Ekuazio jaraunskorrak: I. Erradiazio elektromagnetikoa II ... · horretan aurkeztu behar izan nuen,...

Ekuazio jaraunskorrak:

I. Erradiazio elektromagnetikoa II. Osin-muga fraktalak

Jakintza-arloa: Fisika

Egilea: JOSE RAMON ETXEBARRIA BILBAO Urtea: 1986 Zuzendaria: JUAN MARIA AGIRREGABIRIA AGIRRE Unibertsitatea: UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-145-7

Hitzaurrea Urrun geratu da tesia aurkeztu nuen garaia, hogeita bat urte ez baitira alferrik pasatu ordutik honaino. Denbora-tarte horretan asko aldatu da nire bizimodua; hainbat zirkunstantzia direla tartean, orduan hasitako bidetik urrun samar nabil egunotan. Tesiaren beraren gaia parafraseatuz, nagoen punturaino iristeko bide aski kaotikoa eraman dudala esan daiteke, nahiz horretara behartu nauen prozesua determinista izan den, nik hala nahita izan ez izanik ere, bestelako indar boteretsuen eraginez halabeharrez ibili beharrekoa. Horregatik, lasai eta dolurik gabe esan dezaket, tesiarekin abiaturiko bidea burutu ezinik gelditu naizela, eta nire gaur egungo interesak ordukoetatik urrun samar daudela. Horrek ez du esan nahi, ordea, halabeharrez ibilitako bidea alferrekoa izan denik, ezta tesiaren beraren ikuspuntutik ere, jarraian azaltzen saiatuko naizenez. Nolabaiteko interesa badu orduko lanak, edozelan ere, era digitalean bildu, gorde eta argitaratzeko erabakia hartu denean. Nago interes hori euskaraz pentsatua eta sortua izan zelako datorkiola tesi honi, behinenik, zientziaren ikuspegitik izan zuen balio ahantzi gabe. Garai hartan “kaos determinista” deritzon gaia erakargarria zen, eta hainbat ikerkuntza egin ziren hura ulertu eta argitu nahian. Guk geure ahalegintxoa egin genuen, geure txikian, eta lorturiko emaitzen fruitu modura, lau artikulu argitaratu genituen maila desberdinetako aldizkarietan, eta zenbait hitzaldi eta ponentzia ere eskaini genituen gaiaren inguruan. Ziurrenik ez da goren mailako emaitza, baina ezer baino gehiago bada. Gero, bizitzako zirkunstantziengatik, alde batera utzi behar izan nuen ikerkuntza-lerro hori. Urteen joana ez zen gelditu, noski. Zernahi gisaz, kaos deterministarenaz gain, tesiak bazeukan beste bide bat, askok alde batera utzia eta baztertua zutena, neurri batean mezpretxatua, baina gero, bizitzaren gorabeherengatik, oraingo nire langintza-modu eta ikerketa-lerroarekin zerikusirik duena. Izan ere, tesia euskaraz sortua eta landua izanik, garrantzitsua izan baitzen bertan terminologiaren eta testugintza teknikoaren arloan eginiko ahalegina, tesia aurkeztean eta aldeztean agerian geratu ez zena; zeren, bere sorrera-prozesuan tesia euskaraz egina eta eztabaidatua izan arren (zorionez, zuzendaria euskalduna baitzen, hizkuntza landuaren jabe), tesiaren defentsan modu testimonial samarrean erabili behar izan bainuen hizkuntza hori, epaimahaikoak ez baitziren gai defentsa hura euskara hutsez segitu ahal izateko. Nolanahi den, nahiz eta tesiaren defentsarako aurkezturiko dokumentazioan jarri ez, tesia idaztean hiztegi bat osatu nuen bertan erabilitako terminoekin, eta ondo gorde nuen, inoiz behar izanez gero eskura izateko moduan. Gauzak zer eta nolakoak diren, oraingo argitalpen digital honek aukera eskaini dit orduan eginiko lan argitaratu gabea berreskuratzeko, eta tesiaren jatorrizko dokumentazioarekin batera aurkezteko. Hori egitean, egia esanda, nire satisfazioa bikoitza da, hogeita bat urte geroago lanean dihardudalako euskara tekniko-zientifikoaren arloan, eta momentuz horixe dudalako ikergai. Eta hori guztia, tesia bera aurkeztu nuen irakastegi berean Bilboko Ingeniaritza Eskolan hain zuzen. Baze, bitxia bada ere, fisika teorikoaren arlokoa zen tesia eskola

horretan aurkeztu behar izan nuen, nire lizentziaturako ikasketak bertan eginak bainituen. Aipaturikoa kontuan harturik, pozik esan dezaket, parentesi luzearen ostean berrartzen ari naizen irakaskuntza eta ikerkuntzareko trenean lagungarri gertatzen ari zaidala tesian egindako lana, eta de facto terminologia eta fraseologia berezituaren arloko euskarazko corpusaren parte ere bada. Ez da gutxi, beraz. Emaitza hori kontabilitatearen alde positiboan jarri behar dudalakoan nago, eta are positiboagoa litzateke, testu digital hau kontsultatu, aztertu, baliatu, ikertu edo, hitz batez, nola edo hala erabiltzen duen inor balego. Hala izango ahal da!

Bilbon, 2007ko azaroaren 19an

eman ta zabal zazu

1 11EUSKAL HERRIKO UNIBERTSITATEA

INDUSTRI INGENIARIEN 601 ESKOLA

EKUAZIO JARAUNSKORRAK:

1 . ERRADIAZIOELEKTROMAGNETIKOA

H . OS IN-MUGAFRAKTALAK

JOSE RAMON ETXEBARRIA BILBAO-K

DOKTORE-GRADUA LORTZEKO

JUAN MARIA AGIRREGABIRIA AGIRRE

DOKTOREAREN ZUZENDARITZAPEANAURKEZTEN DUEN TXOSTENA .

BiLBO, 1986

Neure eskerrik beroenak eman nahi dizkiet Ian hau burutzen

lagundu didaten guztiei .

Berez1ki,,

Lanaren zuzendaria izan den Juan Maria Agirregabiria Agirre- ri,

labor esanda, denagatik .

Fisika Teorikoa Sofia egia bihurtu nahi duten lank.ideei, etengabe

adore-hitzak izan baitituzte nireganako, eta prezeski Martin Rivas

Perez-i, erdal itzulpena ongi orrazten lagundu didalako .

Euskara Zientifikoa Sailean diharduten adiskideei, sarri nire

estuasunak ulertu baitituzte eta, agian berek jakiteke, kemena eman

baitidate lana burutzeko.

AURKIBIDEA

Sarrera orokorra 1

I . Erradiazio elektromagnetikoa 11

1 .1 . Partikula bakarraren erradíazio elektromagnetikoa . 13

I.2 . Bi partikularen tetramomentu lineal erradiatua.

20

1.3. Bi partikularen tetramomentu angeluar erradiatua .

25

1 .3.1 . Tetramomentu angeluar erradiatuarenproportzioa

1.3.2. Tetramomentu angeluar erradiatuarenekarpen mixtoaren proportzioarenkalkulua

1.3.3. Ekarpen mixtoaren proportzioarenbestelako adierazpena

25

34

44

1.3.4 . Denbora-unitatean erradiaturikotetramomentu angeluarra48

1.3.4.1 . Ekarpen mixtoaren proportzioarengarapena partikulen kargen berreduren

arauera 54

1.3.4.2. Erradiaturiko tetramomentuangeluarraren partikula batenekarpenaren proportzioarengarapena partikulen kargenberreduren arauera59

V

1 .3.4.3. Denbora-unitatean erradiaturiko

tetramomentu angeluarra60

1.3.5. Tetramomentu lineal erradiatu osoa . . .

65

1.3.6. Tetramomentu angeluar erradiatu osoa . .

79

1 .3.7. Tetramomentu angeluar intríntseko

erradiatua 84

1 .3.8. Erradiazio nulurako baldint2ak89

1.3.9. Limíteko zenbait arazo97

II. Osin-muga fraktalak 103

11.1 . Sarrera 105

11.2. Sistema dinamiko ez-linealetako erakarleak .

106

11.2.1 . Sistema dinamiko ez-lineal iraungikorrak . 107

11.2.2. Erakarpen-osinak 107

11.2.3. Sentikortasuneko eskualdea109

11.3 . Ekuazio jaraunskorren erakarleak eta

erakarpen-osinak

11.3. 1 . Ekuazio jaraunskorrak112

VI

112

11.3.2. Ekuazio jaraunskorren erakarleak .

.

.

114

11 .3.3. Erakarpen-osinak ekuazio jaraunskorretan . 115

11 .4 . Ekuazio jaraunskor baten azterketa116

11 .4.1 . Duffing-en ekuazioa 116

11.4 .2. Aukeraturiko ekuazio jaraunskorra

(MLA ekuazioa) 118

11 .4.3. MLA ekuazioaren integrazioa118

11 .4.4 . Biegonkortasuna MLA ekuazioaren kasuan .

119

11.4.5 . MLA ekuazioaren erakarle-motensailkapena

11.4.6. MLA ekuazioaren erakarpen-osinak . . . . 130

11.4.7 . Parametroek mugen fraktaltasunean

duten eragina

11 .4.7.1 . f eta c parametroen eragina . . . . 137

11.4.7.2. Osin-muga fraltalen dimentsioaren

neurketa

11.2.7.3.Beste parametroen eragina . . . . 156

11 .4.8 . Bestelako zenbait faktoreren eragina . . .

160

VII

120

. 137

152

11 .4.8.1 . Erizpideen eragína160

11 .4.8.2 . Hasierako baldintzen eragína . . . 163

11.4.8.3. Gal bortxatuaren izaeraren eragina .

166

11.4.8.4 . Gai atzeratuaren ez-linealtasunaren

eragina 168

Ondorioak eta aurrikuspenak 171

A eranskina. Idazkera orokorra 177

B eranskina. Integralen taula 183

C eranskina. Programak 191

MLA2 programa 195

MLAOSI programa 201

MLADIM programa 209

Bibliografia 217

VIII

SARRERA

OROKORRA

Txosten honetan era desberdineko ekuazio jaraunskorrak aztertzen

dira: Batetik interakzionatzen ari diren bi partikula puntualen

elkarrakzio elektromagnetikoa adierazten dutenak eta, bestetik, bi

putzutako potentzial baten eta kanpoko indar bortxatu baten eraginpean

higituz, horretaz gainera gai jaraunskor baten eragina ere jasaten duen

oszilatzailea adierazten duena .

Izenak berak adierazten duenez, ekuazio jaraunskorretan sistema

dinamikoak aurreko aldiune batetan izan duen egoerak ( gai atzeratuak,

hots, jaraunskorrak) eragina du sistemaren eboluzioan, eboluzio hori

adierazten duen ekuazioan expreski parte hartuz. Era honetako

ekuazioak aztertuak izan dira ikuspuntu matematikotik/ 1,2+ 3,4,5,6/ eta

Fisikaren arlo desberdinetan ageri dira, hala nota, elektrodinamikan,

grabitazioan, optikan, plasmen dinamikan eta abarretan. Fisikaz aparte

Zientziaren beste arlo askotan ere agertzen dira era honetako

ekuazioak /1 / .

Txostenak bi atal nagusi ditu . Lehenengo atalean bi partikulak

erradiaturiko tetramomentu angeluar elektromagnetikoaren azterketa

erlatibista kobariantea egin dugu . Ikus dezagun zein izan den horretara

eraman gaituen motibazioa, eta zeintzu izan diren geure azterketan

burutu ditugun pausoak.

Partikula-sistemen kasuan dagoen erradiazio elektromagnetikoa

aztertzeko erabili ohi den metodoa, abiadura txikietako hurbilketa izan

da, 1/c delakoaren berreduren arauerako garapenetan finkatuz

alegia/7/. Dena den, Erlatibitatearen Teoriatik abiatuz, duela zenbait

urte burutu egin zen jadanik partikula baten kasuko erradiazioaren

3

azterketa kobariantea/8'9/ .

Hala ere, azkenengo azterketa hori partikula-sistemen kasurako

hedatzeko, egiteke zegoen partikula-sistemen dinamikaren teoria

erlatibista ; behar-beharrezkoa zen. Azken urteotan, interakzionatzen

ari diren partikulen sistemen azterketa erlatibista garatu da/ 10/, eta

horri esker gaur egun ba ditugu tresna eta kontzeptu egokiak, aipaturikoazterketa kobariantea egiteko .

Arestian, azken tresna hauek eta Eremuen Teoria Klasikoarenak

erabiliz, bi partikularen sistemak erradiaturiko energia eta momentulinealari buruzko lehenengo kalkulu kobarianteak egin dira/i 1/, eta

lehenengo atalean izan dugun helburua , azkenengo azterketa hau

zabaltzea eta hedatzea izan da, hain zuzen, tetramomentu angeluar

erradiatua kalkulatuz .

Horretarako, 1.1 . puntuan partikula bakarraren erradiazioaren

azterketa berrikusi ondoren, 1.2. puntuan /11/ erreferentzian aipaturiko

lanaren berrikuspen ]aburra egin dugu. Hortik abiatuz, geure kalkuluak

egin ditugu, bi partikulak erradiaturiko tetramomentu angeluar

elektromagnetikoa erdiesteko (1.3.) .

Lehenengo pauso batetan, 1.3.1 ., tetramomentu angeluar

erradiatuaren proportzioa nola defini daitekeen aztertu dugu, geroago

magnitude honen kalkulua burutzeko. Horretarako, bi partikularen kasua

aztertzen ari garelarik, Maxwell-en tentsore elektromagnetikoa hiruosagaitan bana dezakegula kontutan hartuz, era berean banatu dugu

tetramomentu angeluarraren dentsitatea, ondorioz, partikula

bakoitzaren ekarpenez erradiaturiko tetramomentu angeluarraren

proportzioa (jadanik ezaguna/ 9/) emanez, eta tetramomentu angeluar

erradiatuaren ekarpen mixtoaren proportzioa kalkulatuz (1 .3.2.). Hemen

azpimarratzekoa da, egindako kalkulua kobariantea eta zehatza dela, eta

Minkowski-ren espazioan bi partikularen koordenatuak, abiadurak eta

azelerazioak emanik zehazki kalkula ditzakegula tetramomentu angeluar

4

erradiatuaren proportzioak. Halaber, 1.3.3 . puntuan azelerazioetarakoohizkoak diren hipotesiak onartuz, ekarpen mixtoaren proportzloarenbestelako adierazpen bat lortu dugu.

Bigarren pausoan denbora unitatean erradiaturiko tetramomentuangeluarra kalkulatzera salatu gara . Proportzioen kalkuluan ez bezala,oraingoan ez da nahikoa Minkowski-ren espazioko bi puntueninformazioekin, eta horretaz gainers informazio gehiago behar dugu bipartikulen unibertso-lerroei buruz, hain zuzen ere partikulen posizioatzeratuetatikoa . Arazo hori gainditzeko, Mekanika ErlatibistaAurresankorreko hipotesiak onartu ditugu" 11,12/ eta hortik abiatu gara.Beraz, onartu egin dugu ezen kargen unibertso-lerroak sistemaaurresankor aldaezin baten ebazpena direla. Horrela, tetramomentulinealarekin lehenagoko lanetan egin den bezala1l l / tetramomentuangeluar erradiatu osoaren definizioa eman ondoren, beraren kalkuluperturbatiboa burutu dugu (1.3.6.), ekarpen desberdinen proportzioakpartikulen kargen arauera garatu ondoren (1 .3.4.) . Bide batez, metodoberean finkatuz, tetramomentu lineal erradiatu osoaren kalkulua ereegin dugu, garapenaren ordena baxuenetan (1.3.5.) .

Azterketa horren bidetik, hurrengo pausoan tetramomentuangeluar intrintseko erradiatu osoa aztertu dugu (1.3.7.) eta bertan erekargen berreduren arauerako garapenaz, ordena baxueneko osagaiaklortu ditugu . Higidura osoari dagozkion (3,1) eta (1,3) osagaiak batdatoz, beste Ian batetan metodo zinematikoaz lorturikoekinhl 3/.

Bukatzeko, eta ekarpenen proportzioen balio zehatzak abiapuntutzatharturik, erradiazio nulurako baldintzak" 14" aztertu ditugu 1 .3.8 .puntuan, ondorioztatuz ezen, egitura gabeko bi partikula puntualkargaturen kasuan energia erradiaturik ez egoteko posibilitate bakarra,partikula biek azelerazio nulua izatearena dela .

Erradiazio elektromagnetikoari dagokion atala osotzeko, 1.3.9 .puntuan limiteko zenbait arazo aipatu eta aztertu ditugu, prezeski bi

5

partikulen abiadurak berdinak direneko kasuari dagozkionak.

Bigarren atalean ekuazio jaraunskor baten biegonkortasuneko

kasuko erakarpen-osinen banaketako mugen fraktaltasunaren azterketa

egin dugu.

Fluidoen turbulentzia aztertzen ari zela, 1963 .ean E.N. Lorenz-ek

konportamolde kaotikoa aurkitu zuen hiru dimentsiotako sistema

dinamiko batetan/ 15/ . Izatez, berak erabili zituen ekuazioak,

Navier-Stokes-en ekuazioen trontzaketa latz baten emaitza ziren, eta

fluidoaren fluxua deskribitzeko zuten ahalmena, ez zen guztiz zuzena .

Hala ere, beraien garrantzia horretan datza, alegia, bertan ikusten dela

ezen kaosa agertzeko ez dela infinitu dimentsio behar Landau-ren

ereduan bezala/ 16/, eta aski dela hiru dimentsiotako sistema ez-lineal

batekin .

Geroago, 1971 .ean, Ruelle-k eta Takens-ek/ 17/ iradoki zuten ezen

kaoseranzko bidean ondoko bifurkazioen segida ager zitekeela : puntu

finkoak, muga-zikloak, bi dimentsiotako toruak eta erakarle kaotikoak,

eta ez geroago eta dimentsio handiagotako erakarle kuasiperiodikoen

segida, Landau-k proposatu bezala .

Orduandanik, gai honen inguruko lanak biderkatu egin dira eta,

nolabait esateko, kaos deterministaren azterketa garatu da/18,19,20/

/21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32/ . Azal dezagun zer esan nahi dugun

horrekin ; has gaítezen determinista hitzarekin . Guk denborarekiko

menpekotasun determinista duten sistema fisikoak aztertuko ditugu; hau

da, hasierako baldintza batzu emanez, printzipioz, bide bat dugu,

etorkizunean sistemak izango duen eboluzioa kalkulatzeko . Dena den,

ohar bat egin behar da. Besterik gabe, higidura deterministak

erregularra izan behar duela pentsa daiteke, baina duela ia ehun urte H.

Poincare-k (1892) frogatu egin zuen, Hamilton-en ekuazioen arauerako

zenbait higidura kaotiko izan zitezkeela. Hain zuzen, lehen aipaturiko

lanean Lorenz-ek sistema iraungikorretako kaos deterministaren

6

lehenengo adibidea aurkitu zuen. Beraz, kaos determinista izenarekin,

sistema dinamiko ez-linealetan agertzen den higidura kaotikoa

adieraziko dugu, baina beti ere kontutan edukiz, sistema horren eboluzio

denborala guztiz finkaturik geratzen dela, beraren aurreko historia

zehazki ezagutuz. Bestalde, kaosa definitzeko, bide desberdinak erabil

daitezke (1k . 18-32 erreferentz1ak) .

Azken urteotan argi geratu denez, kaos determinista nonahi ageri

da naturan eta ondorioak dauzka zíentziaren arlo desberdinetan/ 33":

fluidoen mekanikan, astronomian, meteorologian, optikan, 1aserretan,

partikulen azeleragailuetan, pendulu bortxatuetan, kimikan, eredu

biologikoetan, medikuntzan, populazioen dinamikan, . . . Ohar gisa diogun

ezen, ez-linealtasuna baldintza beharrezkoa dela, nahiz eta nahikoa ez

den. Nolabait esanez, zientzia ez-lineal izenaz ezagutzen den arloaren

zati interesgarrienetarikoa dugu kaos deterministaren azterketa .

Bestalde, kaosaren agerpenari dagokionez, era desberdinetako

agertokiak daude saükaturik iiteraturan : Feigenbaum-ena/34,35/

Manneville eta Pomeau-rena /36/, Ruelle eta Takens-ena/37/ eta arestian

bestelako agertokiak ere aipatu dira/38/ ekuazio diferentzial arrunten

kasuan . Gainers, errenormalizazio-taldearenaren antzeko tekniken

bidez, unibertsaitasunaren teoria interesgarria garatu da /18,19,20,21,

25,28,29,39/ .

Matematikaren ikuspuntutik, mota desberdinetako sistema dinamiko

ez-linealetan aztertu da eboluzio kaotikoa: iterazio unidimentsional

ez-alderanzkarrietan /25/, iterazio bidimentsional alderanzkarrietan/25,40,41/,

ekuazio

diferentziai

arrunten

sistemetan/25,42,43/

(gutxienez

hiru

askatasun-gradurekin),

deribatu

partziaietako

ekuazloetan /25/

eta

ekuazio

jaraunskorretan/44,45,46,47,48,49 / .

Bistakoa denez, geure lanean azken erako ekuazioak hartu ditugu

aztergai . Ekuazio jaraunskorrek garrantzi handia dute arlo askotan,

optika ez-linealetik has¡ eta medikuntzaraino. Dimentsio infinitudunak

izan arren, zenbait kasutan oso sinpleak izan daltezke . Gainera,

7

kaosaren azterketari dagokionez, ezaugarri bereziak dituzte. Horregatik

hartu ditugu geure azterketaren oinarri gisa .

Dena den, higidura kaotikoarekin ez dira bukatzen, sistema

ez-linealen aurresankortasunerako ditugun oztopoak . Sistema dinamiko

iraungikorrek erakarle arruntak (hots, ez-kaotikoak) eduki arren,

bestelako arazoak izan ditzakegu, erakarle horien erakarpen-osinak

banatzen dituzten osin-mugen izaera fraktalaren/ 50,51 / kausaz. Hain

zuzen, biegonkortasuneko kasutik abiatuz, aztertuta daude osin-muga

fraktalen Inguruko sentlkortasun-eskualdeak/40,42/ eta bertan ikusten

denez, hasierako baldintzen determinazíoan zehaztasun osoa behar da,

azken egoera ziurtasunez aurresateko. Bestela esanda, bukaerako

egoera prezisioz ezagutzeko, hasierako datuak askoz ere zehaztasun

handiagoz ezagutu behar dira. Bukaerako prez1síoa bi aldiz hobatzeko,

hasierako datuena neurri handiagoan hobatu behar da. Eta, horí,

azpimarra dezagun, nahiz erakarle arruntak eduki gertatzen da.

Sentikortasun-eskualdeen arazoa aztertuta zegoen iterazioen

kasuan /40,52/ eta ekuazio diferentzial arrunten kasuan/42,53/ baina

egin gabe ' zegoen ekuazio jaraunskorren kasuan . Horixe izan da geure

lana egitera bultzatu gaituen arrazoia .

Geure txostenaren bigarren atalean, hortaz, horrelako arazo baten

azterketan abiatu gara. Lehenengo azpiatalean (11.2.) sistema dinamiko

ez-linealetako erakarleen aurkezpena egin ondoren, hurrengo

azpiatalean (11.3.) ekuazio jaraunskorren erakarleen eta

erakarpen-osinen berrikuspena egin dugu, azken azpiatalean ekuazio

jaraunskor baten (MLA deituko dugunaren) azterketa burutzeko .

Aukeratu dugun ekuazio jaraunskorra, 1918. urtean Duffing-ek

proposaturiko ekuazio baten/S4/ aldaketa da. Ekuazio horrek hirugarren

ordenako zurruntasun-gaia duen osziladorearen dinamika adierazten du.

Geure aldetik gai jaraunskor bat gehitu diogu (11.4 .2.) .

8

Ekuazio jaraunskor horren integrazioa era numerikoan eta

ordenadorearen laguntzaz nola egin den azaldu ondoren {11.4.3.),

biegonkortasuneko kasuak aukeratu ditugu geure ikerketa aurrera

eramateko (11 .4.4.) . Horrelatan, ba, geure ekuazioaren erakarle-moten

sailkapena egin dugu (11.4.5.) . Eta hemen erakarle arruntak

(ez-kaotikoak) kontutan hartuz, biegonkortasuneko kasuko bi erakarpen

osinak marraztu ditugu (11 .4.6.), osin-mugak ardura bereziz aztertuz,

eta prezeski mugak leun edo fraktalak izan daitezkeela ikusiz . Nabaria

denez, osin-muga fraktalak direnean, sentikortasun-eskuaideak izango

ditugu .

11.4.7 . puntuan, ekuazioaren parametroek osin-mugen

fraktaltasunean duten eragina aztertu dugu, bide batez zenbait muga

fraktalen dimentsioa kalkulatuz (11 .4 .7.2.) .

Bukatzeko, 11.4.8. puntuan beste zenbait faktoreren eragina aztertu

dugu, hala nola, hasierako baldintzena (11.4.8.1 .), gai bortxatuaren

izaerarena (11 .4.8.2.) eta gai jaraunskorraren ez-linealtasunarena

(11.4. 8.3. ) .

9

L ERRAD1AZIOELEKTROMAGNETIKOA

Helburu bezala bi partikula puntualek erradiaturiko tetramomentu

angeluarra definitzea eta kaikulatzea dugularik, lehenengo bi

azpiataietan orain arteko emaitza ezagunen berrikuspena egingo dugu .

Hasteko, partikula bakarraren erradiazio elektromagnetikoaren

berrikuspenetik abiatuko gara, ondoren bi partikulak osotzen duten

sistemari dagokionez eginda dauden azterketak berrikusiz, eta,

bukatzeko, guk eginiko definizio eta kaikulu berriak aurkeztuz .

,,

?, .,, :!

nn

^n e.nl

Aspa1d41d-3ni : ezagutzen da,

Dart ikula bakarraren erradiazicri

dagokion Larmor-en formula ez-erlatibista

d W,ddt

2

3

2e

2a

c 3

13

non

Wad erradiaturiko energia, e par ;kularen karga, a azelerazica ata

argiaren abiadura diren .

Halaber, ilinkowski-ren espazioan, adierazpen horren orokorpen

erlatibista ere ezaguna da'Sb' . Al oaturiko orokorpen hori ,nr`zeke

segituriko prozesu bat aztertzea, interesgarri gerta dakiguke, geroago

segituko dugunaren abiapuntutzat . Hori dela eta, partikula bakarraren

azterketa egingo dugu espazio horretan .

Demagun, partikularen unibertso-ierroa (L)

xa = `, ( z)

akuazioaran bidez adierazten dela, non t cartikularen denbora propioa

den (ikus 1 . irudia) . Kalkuluak errazteko, argiaren abiadura c=1 egingo

uugu eta bestetik 7~~ = diac, (- 1, 1, 1, 1) metrika erabiliko dugu .

A)diuneko abiadura honda adieraziko dugu :

n :n - !.;nflAk denb

^rooit_lar_.

klko derT ba

S°r?zte

d en e_

~ora..

: .

~a

d : :

.a K ne : era honetara

on.^o a ^

r

a Uc~ = ~ (t) ~,(t)

~estaide, azelerazioa ondokoa izanc_o da :

C ( t) =

l t)

Partikula horri dagokion eremu elektromagnetikoa aztertzeko,

ohizko bideari lotuko gatzaizkio . rspazioko edozein puntu harturik, X0<

eta Lienard-Wiechert- en adierazpenaren arauera,honela eman dezakegu

Dertako tetraootentziala ;57,53/ .

o!Á (t)

er-

-Cr

14

non zr puntuaren posizio atzeratuari dagokion denbora propioa den,

alegia, x~ puntuaren iraganeko argi-konoak partikularen unibertso

lerroa ebakitzen dueneko puntuar í dagokion denbora propioa (¡k . 1 .

irudía) .

1 . Irudia

etrapotentzialetik

eremu

elektromagnetikoa

tetratentsorea

deribatzen da

F°`~ = a[°` A r3 = aa A ~ - a ~A° `

( 7

15

eta beronetik Maxwell -en tentsore elektromagnetikoa, hots, eremu

elektromagnetikoak garraiaturiko energia-momentuaren dentsitatea

adierazten digun tentsorea/ 59/ .

T a ~ = A FF/' . 47

~ Fr sás

(3)4 Ti 4

AzKen

rentsore

honek,

nc1ae,a1t

esateko,

gor(det_en

:,uen

n ormaz''caren bide' tetramomentu Peal _'ek.'_romagnet oarerr

oef inizioa aman dezakegu. Ham. zuzen ere, ria tetrabiaaura ;duen

erreferentzi sistema inertzialar en kasuan, era honetafa ¿ ef ni dai eke

t?

_

,~r;r`(`rraren

ñ

^+aenco a

oroo , r,ar

mago ion

1etr

'amnmC~n.`_ ..

nea(~telektromagner'{:oa /JD/ :

Pa r ) _ -

T "l~ d 3 o-

1a)

non Tai Maxwell-en tentsore elektromagneti oa den, 2(n, ~~ áe a .ca

ondoKo ekuazioa Guen mota espaziale0 n oerTanoa Gen

3 _

aC

eta dcra136 n delakoa (n, A) hiperplanoko bolurnen-elerr,entua

den . Argi utzi behar da, ezen horrela definituriko tetramomentua ez

dela benetako tetrabektor ea, lau ŕurtzioen multzoa baizik, `bau da,

aukeratutako Z(n, ~)

planoaren menpekotasuna dute .

16

2 . irudian aurreko integrazioa egiteko bide bat adierazten da

grafikoki, bertako aldagaiak banatzeko eta, zehazkiago esateko,

partikularen denbora propioarena agirian jartzeko rnodua azalduz .

d 6a = dti d201

Z(n,~) / ~~

..

/ ~(n,A)

2 . Irudia

eginez,

t

,a)

dL

i °`/-~ d2 -

,7(n,A,z)

t(n,))

«

=

dz ~ póL

Oo

17

Z(n,,k,-r)

yX

eta bertatik :

-9p (n ~ ) z) = -a-r

Z,,.aitza honetan z , ri eta ~ direlakoen menpekotasuna adierazi

behar da. Baina Schild-ek ŕrogatu zueaezl51 ', infinituan denbora^^ 'r'_are ko mencek.ctasuna geratzen da soilik, hots,

-r °`13 d 2a-

2:

i~m

aPw (n,a z+ oo á z

ta ^ain zuzen ere, gal hori partikuia horrer erradiaturikotetrarnomentu ?inealaren proportzio modura uler daiteke . Emaitza

r,onetan adierazten dena, benetako -entsorea da eta, gainera, ecozein°<

ik, emaitza h:,erb~-e,r,a lortzen u-+a,• ^flrt :1

t n

berarenm

har" ur,

k da~v

esanguraz egiten dugun interpretazioa. Bestalde, esan benar da, metodo

honen

bidez

lortutako

emaitza,

ohizko

deŕinizioaz

lortutakoaren

bal?oK?cea aela, a?egia, errad c In and,ko esteran Terarreko fluxua

ralkulatuz

1ortzen

denaren

baliokidea .

<aikuiuak

burutuz

ikus

daiteKeenez, armor-en formularen orflkcrpen er?atibísta lortzer, da

borrela 5c/ :

ad pr- ( .u

)_ 2 e 513(Z) 5 (z)

u ~(z)áz

3

mod, berean, aurretik harturiko bide beret ;k, tetramomentu

angeiuarraren dentsitatea dei1,uriko tentsorea CÁetini dezakegu

espaz¡ o-denborako puntu bakoitzean, berau ere Maxwell-en tentsorean

o narr1tuz :

18

x °` T~'r - x~T ° ` '~ = x[a T 33 1

(15)

eta definiziotik bertatik dakusagunez, hirugarren ordenako tentsore hau

antisimetrikoa da lehenengo bi indizeekiko . Tentsore honen bidez, ritetrabiadura duen erreferentzi sistema inertzialaren kasuan, beraren

denbora propioari dagokion tetramomentu angeluar elektromagnetikoosoa defini ezakegu,

J«~(n~ ~)

-

/ ' a3

¡ , r

A)

kasu honetan ere tetramomentu linealerako egindako o~arrak egin

ditzakegularik . Antzerako prozesuari loturik,

r Z (7-, ^ )

J C< (n,~~ _ -

cfz

a~d 2ci

z (n, ),) ad-u- a J ~( n 1 a / r)

19

19 10< ~

f1r¡

a I

d

i

(13)

eta Schild-en bidetik froga daitekeenez' y/ , adierazpen honek n, -ren

menpekotasunik ez duen limitea du ).--+ +oc egitean :

Cl (T) = Im

(n 1 1 T)

J)d

A

+ o0 '3T:

gehiago oraindik, emaitza hau lortzen da:

d -Trz = 4 e 5 (z) 5 (Z) ~ ( r) A z) f ¿ (r) (r)~

-F-

3

eta

hauxe

da

partikula

horrek

erradiaturiko

tetramomentu

angeluarraren proportzioa .

BI, PAR T iKULAREN TETRAMOMENTU LINE .-^,i_ ERRADiATUA

Partikula bakarrarekin egindako azterketa orokorturik dago

partikula

kargaturen

kasurako/ l }/, baina tetramomentu lineaiaren

erradiazioari dagokion atalean soilik. Diogun, bestaide, 'tan berean

aioatzen denez, oi partikulatatik N partikulatako sistemarako pausoa

guztiz zuzena dela . Dena den, geroko azterketaren carrera gisa, lan

norretan urraturiko urratsak adieraziko ditutu .

Oraingoan bi partikula puntual ditu (z u, e a kargaounak, a = 1,2 ,

eta beraien unibertso-ierroek, L a , ondoko adierawenak izango dituzte

MimKowski -ren espazioan :

.a

(T--

~ t ) _ 1~

! Q ~ q

20

(20)

non z a a partikulari dagokion denbora propioa den eta abladurek

ondoko eriazioa

LLJ

betetzen duten .

Gainezarmenaren printzipioaren ondorioz, eremu elektromagnetiko

osoa partikula biek sorturiko eremuen (eremu atzeratuen) batura dela

joko dugu, hau da, sistemara heltzen den kanpoko errad!azio-eremurik

ez dagoela suposatzen dugu :

F``b = F a~ + F °`~4

2

ondor'oz

Maxwell-en

tentsore

elektrornafanetikoa

era

honetara

.,eskonoOsa dezakegu arik :

2

T a ~ _

T~~ + ~ ?

( 24 )

non

diren .

°~

t t

a i

ref rá zi

+

+

i !a e

,

pn.

etrabiadur .. ~.uen er~

e, nt~ ; sis~ema ,nertz .a . . .r .kik~ berar~n

denbora propioari dagokion tetrarnomentu lineal osoa, honelaxe defini

dezakegu :

ca = 4

«~

O<~

J ~ ~ FIS Fá -- 4~~ `Q F~ t 4

a a ió

21

l2S)

~z~ --

F«~ i ~+ z<1 F ~ + 2 7aPF 1 FZ~ b I

/

(25)

5<

P(n, j A) = -

T ° `f' XT

(27)

A)

partikula bakarrarekin egin dugunaren antzera . Tetramomentua fonda

deskonposa daiteke :

P«~n,

pe‹~n,

p«

a=+ a

12

non 3 1arT K.u aren eremuari exKiu5 boK1 oagokion ekaroena

T (n- I A )a

Á (n, ñ) _

-ca

TA / d Z~a

'61

C'}a

za

, Q )

den' eta ai noni dagokionez, aurreKo puntuko hedakuntza oeroera egin

dezakegu harik eta a partikulari exkIusiboki dagokion tetramomentu

lineal erradiatuaren proportzioa iortu arte :

d Par ta )

2 e 2 5a(á) a l~A) ~a (Ta )

(30)d zQ

3

~

Arazoa korapilatu egiten da, bi eremuen ekarpen mixtoari dagokion

atala aztertzean . Aipaturiko autoreen lanaren arauera , modu

honetara kalkuia dezakegu ekarpen mixtoa :

(lt , >') V- (-n, A)

P2 (n, M =

dz2

T1 2P cio42'3

(3l )

E2 1 k-ci, zz )00

22

3non á =d 1 2 d 423 den eta 72 (n ' a1z Z2} delakoa 2-1(n,a,t1 ) eta I2 (n,direlakoen ebakidura den 3. irudian adierazten den bezala .

L2

L,

3. Irudia

3eren lanean, Agirregabiria-k eta Bet-ek '3child-en frogapenarenorokorpena egin dute, ondoko pausoak emanez, hots,

2 ap

12

( r` 1 ~ ) Z',

121 da-

( 32)2 a-EZ

" .f-1

Z1z ( rt, )\, e ) z2)N

integralak n -ren menpekotasunik ez duen limitea duela ŕrogaturik, etaemaitza hori zera dela, bi partikulen sistemak erradiaturikotetramomentu linealaren proportzioaren ekarpen mixtoa bí partikulend enbora propioen unitateko, alegia . Argi utzi ~uten bestalde, ekarpenhori zero dela, kontigurazio horretan bi partikulen arteko +~(_CI

(2'2)11

Z12(n,X,t1 , t2)

23

tetrabektorea denbora motakoa denean .

Aurreko limitea existitzen dela frogatu ondoren, aipaturiko

autoreek beraren balio zehatza kaikulatu zuten, espazio motako

konfigurazioen kasurako, horretarako bi partikulen posizio eta

abiaduretan oinarrituriko sistema ortonormala aukeratuz (ikus 5

eranskina), emaitza konfigurazio horretako posizio, aciadura eta

azeierazioen bidez eman zutelarik .

-- .;arren

rauso

,~c .a. te an

!e~rbora-u,j ni tarex.o

_errarvia?ioareny ,.,,

~

,~

K a lu,ua,

Pt

, g+n ru :en , i ,ex.an,ka Er •Q S,LI,s .a r ui

sank3 re

_rimkak erabiliz, zeren croo erra hau eb3zte~o oerarnei<oa baita

- -s- -r, L re,, zail zat e `-aa ut - a! - C_,_enaz< :' .ago esanda, beharrezKoa ca konfigurazio rrr_ak pc3 z1o

azzeratuetararteko unibertso-lerroak ezagutzea . <,.on, icurazicarekin

bakarrik ezagutza hori posiblea ez denez, metodo pertürnaticoa erabi i

zuren, Den ere agertzen airen magnitudeak --+naia nc'a en_z-en

'ncarra- partikulen kargen berreduren arauera gar3tL : eta leper

cr eena ez nuluko galak soilik hartuz . Era norretan 1121, 12, eza 3,g aiak kalkulatu zituzten, tetramomentu lineal erradiatuarer casari

aacokior ez .

Esandakotik ondorioztatzen denez, azterketa norretan zeri

tetramomentu angeluarraren arazoa ukitu eta, zer e anik ez,

tetramomentu angeluar intr ;ntsekoarena, eta horixe ca prezeski jure

lararen iehenengo atalaren helburua .

24

1 .3 . Bi PARTIKULAREN TETRAMOMENTU ANGELUAR ERRADIATUA.

Lehenago partikula bakarrarekin egin dugunaren antzera .

tetramomentu angeluar elektromagnetikoaren dent sitatea delako

tentsorearen definiziotik abiatuz, bi partikularen kasuan aauden era

esberaineiaKo eKarpenak aztertuKo ctt —igu.

! .~ .'etramomentu angeluar erraoiatuaren orooor z,ea

J . .M

^r; .r t3ra

ce'IFfi t7en

ua

tutra^ o .mer:t :

an .a ;z I- arraren

entSit3tea :

33)

Bi partikularen kasua aztertzen ari garelarik, eta gainezarrnenaren

FT

aorint_ipioa erernuetan aplikatzen cela, FT , "P+ FZ 1

, hats, ino1ako

erradiazio- are ez dagoela, eta bestetik Maxwell-en tentsore

a f5a a 0',(6elektromagnetikoa hlrutan bana dezakegula, T = T 1 + z 0',(6

+ ~2 ,kontutan hartuz, honela adieraziko dugu hirugarren ordenako tentsore

hori :

j

)C Ca ( T1í"] ó t T ~j ~ t T ~3 1)

(34)2

12

a=1~a

J 42

25

15

partikula bakoitzaren ekarpenak eta ekarpen mixtoa gai desberdinetan

adieraziz .

Partikula bakarraren kasuan azaldurikoaren antzerako bideari

jarraikiz, nm¿ behatzaile inertziaiaren X denbora propioari dagokion

tetramomentu angeluar elektromagnetiko osoa ondokoa da:

6ertatl

2

Ta~`~(n, a) + 42

3

3non

= 6 yi

irud kC (

i

Y ~n

~'o me :.er,

al ,aia, ~,enatzalie norren

derbora proDloan espazlo osoari '~agoŕ:i ~n

tegrazioa egir ez .

Hemen ere arg? A V oehar ca ezen none a deiinituriko maGmt :-Idea

3z d eia tentsorea, erreferentzi sistemaren dependentzia duten 5 ŕuntz7,o

aesberdinen mu'=Toa baizik .

3arbi dagoanez, integrazioa agitean hiru gai banatu ahalko ditu ;;u .

Partikula bakoitzaren ekarpenari dagozkion kalkuluak ezagunak dira •~ a'

eta honeia ]abrir ditzakegu :

ra(n, A

~!

a

2JQ

a a

aYj(0,1)

á (n i A)

-Oo

0

dz asa 1(7, A z )ó =a

26

(37 1,

(38)

á

Ó(

1r)

eta frogatzen denez'9', adierazpen horrek limitea dauka denborapropioa infiniturantz eramatean, hain zuzen, limite hori a partikularenerradiazioari dagokiolarik :

á J r~( za

= ,~,,m,

a •raad -Ca

it

+ o0 ó ra

~~n?,r,~ oralndjw, ondoko emaitzW lor?zen da:

áTaá

4 á2 ~~á a l za~ ~ ( za) á~J(á)+ a~~a~ ~~](\ ( 40)3

nori ;<e deiarik a oartikulak ~rr~catu't'ŕra

má +~ an, ararenmon .. .~.~ :ur::r.oortz?oa .

Ekarpen mixtoari dagokionez, azterketa hori ecin cabe zegoen .prezeski,

geure

lanean

ni

partikulen

denbora

propioarekikotet, amomentu angeluarraren prcportzioa aztertuz, ekar en mixtorenkasuan ere adierazpen horrek limitea duela frogatuko dugu, ondorenlimitearen balioa kalkulatzeko . Horretarako, tetramomentu angeluarelektromagnetikoaren ekarpen mixtotik abiatuko gana:

z (n, ~) r,(r1

J2~(n, a) _ -

d zr

d

~z~d 62 á

15'!z (nI ~,t 11 Zz)

~) zz(n ~~)a2 d/3Jd r2 42- (n, ~, r,, zz)

a7~ a z

27

(4l

Bertan ondoko intégrala bereiz dezakegu :

2 a~

a `T12 l n.~A t 1 í )

-

j ~~ ~~

(42)

a7-1 9tz `

a12

~12(~,~~zt~zz)

eta hor

behatzailearen í~

den ;ora propioaren menoaKotasuna

1zt`uki 8 gertZen den arren,

- +oo jotzean, int°Qral horreK "Mite

.~:~Jela 'ooatuKo ~Jugu,

a2 T12

-c~ z2 , _

~Z `T+Zf3

_ ni ~~ z zZ-Dr a zz

-.+ oo Ó T1 a L21

hain zuzen, emaitza honek tetrarnomentu aneieluar erradiat,.:aren

orooortzoko ekaroen' mixtoa agertzen ddi :au1 :af ik, limite horet n n °~be~ctorearen menoekotasuna cesagerru -,elarik .

rogapena aurrera erarrateko . - as teko ~12 1 j-- n+ sorear en

diber']entzia nulua dela -unibertso-lerroetan izan ezik- gogoratu

enar du gu, oncoren egiten den lecez .

ai--( =)<' TY

- X~ T 242

2

a~ .a[5y_

rry +. xa a Í~Y_S Ta1_x (ba T °`Y

,:45;Ó a42.

1 42

1 12

1 42

0 42

eta hemen 9

n lela kontutan hartuz,1 49

a~~ 2 = ~:d _T2í= o

`

26

zeren T2~ tentsorea simetrikoa balta . Hots,

a~ '42ó

= 0

f.n.g.

(47)

L2

4. rudia

Tetramomentu angeluarrarer dentsitatearen dibergentzia nulua

dela ikusi ondoren, aurreko integralak

no bektorearen menpekotasunikc

_ duen

ea duela frogatzek^, Gauss-en teorema

^eraúl? KO

'T~mit

~

1y .:,

29

L1

dV

ondoko se¡ hipergainazalek inguratzen duten

áV(z~ , rz , n1 4 nz , A2~

tetrabolumenean:

tá (za ) a partikularen ó

denbora propioari dagokion etorkizuneko

argi-konoa. Horrelako lau hipergainazal hartzen ditugu, z,

t r tdr z +dr denbora propioetan .z i 1

1 ) L

Z

- ~ (na ~ a )

na behatzailearen á denbora oropioari dagokion

hi^

y,,perplano ,r ._,U

iorr~, hako ~ i dau i e .

-iiz.erboiur^eni hore rren

adierázpen era, +koa 4 . irud4 lan~

e°r+ate^ a. Bcstalde, diogun

^a.-.5 e a bate n

-

et~inao -Juoun af; en, cer _ 1 --++ oc eta AZ --

_ nao :ugu a,

r.?¡

~. ~,i-1 o , a zen ,a n flux n

dn : .~an

,r .,, xn~etn

ar

,:ua u + a .~e+a

:~ . {.o .

. nibertso-lerroetatik Kanpo gaudelarik, dibergentzia nuiua denez,

d~x. 0

48)

dV

;auss-en teorernaren arauera,

/`~~~ 3

a~~ s

a'(~á 30=

~42dy

12d ~-

r - ~q2át~ t

jr(n 212)

2 (n 11 A 1)

1t(7, )

dr ~d c

-l- I

~ 13

+

~~ Id3c

~12

2'

J1Z

4 1

4 12

2~icZ(r2)

, C'(trtdr,)

CZ (-C2t~ 2)

non azkenengo lau integralek argi-konoetan zehar dauden fluxuak

adierazten dituzten . Bertan agertzen diren argi-k.onoetaKo

,,ipergainazal-eiementu diferentzialak, Dndok.o erara eman datezke/11

30

11 -+y

non

d3

r2 j 2

Lau argikono ditugula ahantz i gabe, har dezagun WOMANN& bat

02~d3c

.00 k

ar , Ir »

'1

J47 a

cl

c4

a

Azken .n * egrakizuna a zte r t ulk C, ;.,g : :, Alinnitean nU 1 ,-; a a la

fragat2sko, horrvarako r 3 dsiakoaran berreduren arauerwo w. ovan

oanavuz eta verresura negatiboz 0500a lag Oela *USM WaMr ere 7 :

altaalak 2 (7i I 'I ) eta 70 A A2) ;D i anoen artean duen bari.azi.c - tartea,

fimm,tua ~enez gero, mtegralla nullua ,zango ila .

c's7pavoc - dencoran aijkeratutako

x

7,, tj,-,tuan ballo hau ¡-.u

a

partikularen eremiu elektromagnetikoaK"621,

q

w5 2)

ct

a

a

a

r = j u) ,

{,1a= ~a ~ZQ,

5 "< =

a

(51

a

,-a

31

«~ a = x

De~

tal (t_a ) 1

(50)

da :

Sestalde, ekarpen mixtoari dagokion Maxwell-en tentsorea hauxe

T2~ = _

íF a yZ ~ + Zdó 1 13 fi á p Frs F

(54)4n

2 7

216'

al.-Jre noriek gogoan ditu .uiari

honeiaxe garatuko dugu lel,,engo

ap~

2_(x T ~ Y k -X 7-a?k ) r 2

_q~

r

5_'412 ay a

12

oY

12

a~ a

uazúera erraztearren ondoko tentsoreak de` ;nltuz,

Rd - r 2 T ai ka

a

12

a~

S« P =. ~ a R f - x /S R o(a

a

a

ata aurreko (52), (53) eta (541 adierazpenen didez kelkuiu zuzenake,,inez, emaitza hau lortzen dugu :

_2

( ~,,

(

a

i3 )Cl u

A1+1a'/a') \aQ,~U -(Ka a,l 4a

4 ~ á) A'-~Q %,'

=,

Q

Tenzsore hau ra delakoaren berreduren arauerako galetan bara. azarayü :

32

ROL

= R0<

(-f) +- á(2)

(59)

C<non

R ( 1) gaiak r-1

erako gaiak bill-en dituen ( r a zein ra • )

eta

l~( 2) delakoakr-2

erakoak.

r

a a

r

m r

finítua dela jorik, eta bestalde

x«=r, k,+ ~Q, denez,t

,

a (3

<2 a

niru gaitan bana dezaKegu Sa

5

= r (I~ k

~ R

-

Ro(

- . r'k C~ R ti]

~50 )a(o)

a ' l a , a(-1)

a'

a'

a(-1)

s

_ r k L°` R ~7

~[~rR

~]

()

a(t )

a' a' a(-a) +

a'

c (- f)

a(-2)

a'

cz(-2)

0, - , z a

ordenako gaiak orderatuz .

-i'ru gai{~tarik,

5

da aztertu behar augun baKarra, zeren

r --A 00

e+,itean beste biak anulatu egiten baitira . (58) adierazpenaz1

baliatuz,

a(a _ e e

'

',~

[le J31

( 63)a(o) - ~ 2

(

á

aJ'a' a

a' } a' F7 , j4n

gestalde . ~-.+oc limitean, geroago ikusiko dugunez (ka á,,=0

a, eta,

ŕortaz, S~o = D

dela ikusten da . 3eraz, frogaturik geratzen

, ezen

in`inituan argi-Konoetan zehar f'u ur k ez da cela.

33

Honekin batera, berriro ere (49) adierazpenera itzuliz,

) - to

limitean Z(n. { )

eta Z(nz) hiperplanoetan zehar fluxu berbera dugula

ikusten da, hots,

o(f 0 d3

1

Oo

~12

0

2r00

Z(n„ X,)

modu horretan onaorio hau ateratzen duuuiarik, alegia,

2 a/

2Jaf3af2r

I Z z)_ AZ ~n ~

r2) _97, az2 , f '

*0 azr 2z2

)z~

412

12~

~~2(~i z T2)

34

delako limitea kalkulatzeko edozein n hiperplanoz balia gaitezkeela .

1 .3 .2 . Tetramomentu anaeluar erradiatuaren ekarpen mixtoaren

oroportzioaren kalkulua

Azpiatal honetan (65) ekarpen mixtoa kaikulatzera saiatuko

gara,espazio motako konfigurazioetarako noski, zeren lehenago aipatu

dugunez, denbora motako konfigurazioekin zero baita, edo bestela

esanda, denbora motako konfigurazioetan ez baitago ekarpen mixtorik,

bi partikulen argikonoek ez baitute elkar ebakitzen. Hots, Z eta _Z'2denbora propioak hartuko ditugu, edonolakoak ondoko bi baidintzengatik

izan ezik:

(b4)

(65)

i) posizio erlatiboa adierazten duen tetrabektorea

oc _

~

a

oC

92

espazio motakoa da, hots,

(66)

X 2 = X d X

>42

12

12o

of oartikulen aoiacuraic e= d~ra der inak, nau da,

( (. u

-

(6131 2

dena den, azkenean muga-i asu honetan wertatzen dena ere

aztertu',o dugu.

2 OEf3a Ti z rB+?stali~e, aurreko azDiatalean k.usitakoaren aranera,

a

a z+ az2^e rrek airulatzen deneko

n

( eiakoaren menpekotasun'k tez duene',

arrazzasunaren mesedetan

'1.

0¿

= U a

(69)1

egingo dugu .

35

Kaikuluak bideratzeko, bi partikulen posizio eta abiaduretan

oinarritutako ondoko sistema ortonormala ( .u.f

de*initzen

dugu l l 1/ :

j a = - A { F a ~r y X4

u4y u 25

- 2, 1 l >C

+ ( X' LLAL ~

aron

~~

-.raoat ant} 7 irr.e t ^'K03 -lán ¿

=QC12 3

2

2

12á a' = X12 +

X12

A2= X1Z 1(u,

-[(x12

u f)+ Z(

U, uZ)(~12 q)(" 12

u2' +(X

f

2~Z)J

dicen. Sistema ortonorma ; honen azalpena / ' l erreferentzi an:n dator .

Bertan ikusien denez, integrazioa egiteko C+

c2 ~z2~

c+eta z (ZZ tiZz argi-konaen ebakiduran

u, -ren hiperplano ortogonalean

dugun bol,.men elementua ondokoa da:

da

-1

a

12 - 2 21 1 d

^emen acertzen den Ce angeiua ondoko giraratzen delar ik :

36

(70)

(71)

Pc-°-:s~ = it(~ 6 + ) = zi~

t E2)

Psr21(~ Q4) = 21~~~2) (76)

Limitara egin behar dugun pausoaren kalkulua errazteko, gaiguztiak rQ distantzien berreduren (berredura negatiboen) arauera

garatuko ditugu . 8estaide, ondoko emaitzak kontutan hartuz :

,¿;r

r2 1_4 = a f-~

CO-5 T

k 1~ - x12 21' ( co .5 i a -r- S ¿ri yj ,) t

~.

k2 = ~« + ~ Gos ~P) 1

k_°`

1-1 -•+a0

qHonela deskonposa dezakegu F

eremu eiektrcmagnetikoa :a

a

a(-1)

a(-2)

r o0

eta ondorioz, (~b) kontutan hartuz, 92~ energia-momentuaren ekarpen

rnixtoa delako tentsore simetrikoa ondoko erara gara dezakegu :

T"f' - TO[

+

T~í

+ T°í

12

~12 (-2)

f2(-3)

12(-4)

Honetara heidurik, ohar gisa diogun ezen tetramomentu l :nealarenazterketan nahikoa dugula

T42~-2)

gaia soilik aztertzea~'

baina

37

(79)

(8r)

tetramomentu angeluarraren kasuan

42 ( 3) ere eduki beharko dugu

kontutan zeren

-x~~ T~~?l

izanik x X-`~- ~a+r k a = x~ + r k°~'

d 2-

12

'

a a a

a

a abektorean ageri den ra hori ere kontutan hartu behar bai*ta .

Aukeratutako sistema ortonormalean honela geratzen zaigu (65)

integrakizuna :

da2 - xC~ h2] 1 r~ 24

~t4 d

r~ r2 (x~~` +r

kfo

J~z'rui ó

d~r

/21

ntegrazio-aidagaiari, `P

dagozkion mugak ( 71 71)

ra. Beraz,

,rt~.grakizunaren onportamoldea azter? beharko dugu --; + oo ;edo

r --~foo ) 1}m7tean .

_imiteko arazoak non eta nola agertzen diren aztertzeko,

intearakizuna r a delakoaren Uerredurstan banatuko d ::gi . '-oni eginik,

ondoko gaiak geratuko zaizKigu :

a)

rr--2 1[ ~2(-2) L Gai hau zuzenki kalkula dezakegu, /111

laneko 2émaitzak erabiliz, zeren x1a horrek ez baitu limitean inolako

arazorik sortzen, limite-prozesuan konstantea baita, behin

unibertso-lerroko puntua ( z, ----• x 1a

) emanik. Hortaz, limitean

honeiaxe adieraz dezakegu :

r, rZx ~` T

(3~u.

- - >C°` ffl

r

9

12 (-2) 11

4 f24

38

(8-')

non

=e eZ

irn{{111

~UuZ~~K5J)( 25~+ ( f§§ (f $) ~(u2C 1)(k2

"(1152)j Kf]

(34)2~ Zt

(P) r1

den,

= 0 izanik /11/ erreferentzian ikus daitekeenez .a

b) r r1 X L T

u.

i~ai nau nuiua egiten da r --; +oo- - ear.ji

(-z

~2(-3) 1 Y

It

d

e)

rz x~ T ) ul

úerd n gertat zen da.r

~ 1 2( `~)

á21a

~+, r r2 r k T~(-Z)

u I

asu nona_an zenbait~z 1

araz sJrtzen1 4

~2(Yzklgu ndeterminazio bat_uren Kausaz . Dena aer, rri':ean

indeterrninazio horiek egokiro ebazten dira, ondoko eran hain

zuzer, :

[~

~~

- i

Ca

¡~]

,U^ r1 k~ k2 = (a ~- g cos Y) 'tvmt

k192

.,35 )l

1 ~tao

rt -~+90

~vrn

r1 k1 k2) _ ~b(4

+~ Cos ~~ .wrn_

12 k1 ) = 0

8^too

1 -• tao

Bestalde, esan beharra dago ezen

T2 -z)

kaikuiatzeko, 26)

adierazpenean F- ~ hartzen dugula soilik, hots:

F~p - e aa (-1) -

Fa

/

a)7a~1 uá a

13_ uá ká +

"()<,L _ "a ka /

87)

39

Ca p] é ~] [d~ ~]

~~Honekin batera eta k l U- , k1 U.Z , k4 `ll , k1 %. Iinituak direla , eta

anti simetrikoasunagatik r k 1 kp 0 dela kontutan harturik, kaikulu

zuzenak eginez ondoko emaitza lortzen da l imitean :

r; r2

[a

(3J-

1 k 1 T2 (-2) . l r21

x[~ í]

eZ2

1 2

~ rr r21

k1~ [(a~ K

k )(~C u.~ -(k )(K u)(XC

)] +2 1~( 1~Z 12 2

1

f 2 12 2

f kfK2~JCCkZ t)` k4

u 1)(x i2 IHK2

l k 1~7+)(12~1J~

tk1a

1~][(KZ

u1)(K,u2)( 1 2~z)

-(kZ ui,)(k1 gZ )(x, 2 u?) +

lk ~ u f)(12 u1) -(k { ~ 1)(X42 1CI J

3 `)

r~ rz

k [a

;~] ye) r

r1 f !2(_3) u,~ 3ai honekin antzerako orozesu bat sPC'` , :24o

dugu , beti erea inde_

rla.Lteerminazioen eba zpena gogoan

i ir4. ir,

edubehark . . .

Dena den, lehenik eta behin Í c~~ kaikulatu beharko dugu, hau da,12(-3)

Tc(p _- 4 Fa ~ F nt F`r~F

13tF"(1

Ff"

+ F°(~ F

í3 +-42 (-3)

4(i( 4~ ( ) 2(-2)j

j(-2) 2(I)y

2(f) 1(2)j

2(-2) í(t)r

+

"F-15 F

t

° F ~~F

(.8g)2 7

1(-,) 2(-2)1b

2 ?

1(-2, 2(-+)~a

40

bertan a(~ (87) adierazpenean emandakoa delarik eta

á(2 ) -eQ

uQ k Q - u.A ká )

(go )

a Fa

Ca?ku?u luze baina zuzenak egin ondoren, azkenean emaitza hau

,IDrtzen (!a :

~,vrn

r'~2

r k ~~ T ~~1

1

iz (-3 )r +Po 21t

-1-

e ¡ e2(a+~ co5~ um

4rr r t

1-y+cbÍ ~7 ~ u ~+ K ~ k

[.eu0]

k~ is, k14 ~

1

g, i!

1

t

{ 2 2 1 z

i t

1 2

r+ r2

erraz eta zuzen K:usten den bezaia .r

1k1

42(-4)u ' = 0

21

veraz, hasierako integraiera ;tzulita, zera dauKagu :

Z lT3

nó '42

C=,Z) _- dp2 ~~(X1~J+x2~~t

e,ez

cosy) d~Q

a Lt~ z

;T

4nr2I

k 1~ u1A1Í(K2,)( ~2)(x,Z uz) - (k2

~1)( k 1

u2)(x,2 2)-(k1 1)(k2 u2)] +

+Kt u2]C(k212)( ktut)(x12gt -~kZ~z~~ki ~~~x12~`+~-(kzz)(kt u t) +

+.<

~~

][(r~u,) (k1 uz)(X12% ) - ( kzut)(Kf~2)(X12 14 2

) +( kz u~(kt u

1f+

+''K I27RKiuf)(kZ UZ)( xf2~t) + ~ K~~h~(K2 2~~x+z

+(1~u2)( K t u)]

gC_

41

badugu.

Baidin eta /11/ erreferentz aren arauera I

tentsorea hartzen

7f

I a ~Y _ -

dy k,

-t

k,1,1

k

y

r,

oo 211 (a + /3 W-5 ~t' ~n)z

- TT

a-. KBnean ::-~ra 'entsorla1 horetan aman ,:ezaKegu tetramomentu anae ;uar

a ~+2r ~ .r

e1 e 2 I

Laz1

at2

' 2

2

r21

~L

non L<~y-ondoko girara ernanda :a` rren :

L

-~

~

- ~~ u1 L42) ~l 2 ~ (u f ~z)51a~Z - (u2 11)ü1 ~2+(1I2) "+~ 2

+ [` X12 u2)

- (X12 52)51 U2 - 51 u2 1

~

-c (

°r Pl .ü . ó t

+ [-(X12u1) 12 ~1I'~(X2 1) 5-uL - ~2 ~1

2~

o(

g+ [- (xt2 u.2) u 1 f]2 + (x12~2)

Lk1 z + u1 "z ,

t

X

~ ¿d u (3 + 11 Z I,L1~ Z~

y+ [(x111)u~2 1

12 ,) 2 1

42

~33

(x~+X2 )+

Argi ikusten denez, L~ r tentsorea t~uztiz definiturik geratzen da

2 eta z2 denbora propioetan bi partikulen posizioak, abiadurak etaFa

azelerazicak ezagutzean, alegia xa1

, xa2,a

U.19"z

a,

~

1, 72 ezagutzean ; eta I <P r

tentsorea kalkulatzeko integratu egin behar den arren, L~l kalkulatzeko

ez da inolako integraziorik egin beharrik .

Gaien berrodenaketa eginez, honelaxe adieraz daiteke

LenLSoreQ:

[-' P Y - - [{u l uz) 5 51a 2 -(u152) i i z - ( 112 C) ui

c< 1*3

~

t£á~Z

t~ ~[ (x ~~ )+i] Li~ - (x U

u~~

~]a=1 ?a aa a'

a'

a aa' a) ~al ~ a ~a

LaP á = u(' Áí[' Y]2

1 51

43

2xá

a .1

4zken adierazDen `'onetan, 21 , 22 par tikuia bien konfiguraz': •_ K

posizlo, abladura eta aze+erazioen msnpekotasunaz gain, argi agert_en

da. b i partikulen azpiindizeekiko simetrikotasuna .

Bestetik, bi oartikuletariko bat ek azeleraziorik eduki ez arren ere,

ba dago ekarpen mixtorik konfigurazio horretan . Adibidez,

= 02

aginez, ond oko ekarpena dugu :

;977

Honetaz, tetramomentu linealarekin ez deia gauza bera gertatzen

gogoratu behar dugu .

1 .3 .3 . Ekarpen mixtoaren oronortzioaren hestelako adierazoenak

Aurreko

atalean

lorturiko

emaitza,

konŕigurazioko

posizio,

abiadura eta azelerazioen funtzioan dator. Dena den, aurrerago egingo"ugun kaikuluak prestatzeko,

bestelako

erara

adieraziko

dugu .

,orretarako, geroago a , . Ko

itugun arrazoiak taŕean direla, birŕ

s-T

-n~

h r n_ .a .ir:~.;~~n +i~idura Minkow k

en ~sraz : .-c~ vf:raKO

'1- riano bat3 .3n

e

ncor o?

~~

ce

era Ko:i f!, a

, :~k.

UV~.oU

'_a

aL _

raL . ~

_; 11'J'J J

~a I a~ 'I uzte,a Cnaf tuKO , u :J'y 4

~7a = ~a Qa X(2 +baa ~a + baa' ua'

a+-4ertan

-~ ~)

den , edo 7es noosaKeta trúi,ok ;cea

t <N

/a

~Q aa ~~ + ~aa' a'

a

,, -

¿ron t = u - k u eta k = - u. u , diren . Gu azken aeskonposaK:etaz

a

a

a'

( 4 2

a

a

ocbaiiatuko gara nagusiki, hots, C ;narr' sa

t1 t2 sistema ;artukc

cuqu . Sistema honetan ondoko bicerk.adura eskaiarrak ditugu :

(ñ t' ) = o

2

2ta

= k - 1 = A2

44

a, a'

gg,

,Z eta a = a'

(100 i

eta 1-estalde

i _an1K,

X12

~,a

+ z1 u.1 -z2 u2

2

2

2

2=

x12-- Z1

2 k ~1 z + z2

(X12 ~a l ~a k á , - ~a

(x . )12 %7,2

( QQ ~ Z A2 ~ocl, Z- 67 )

,lm (k11 )~ = - R2 4 a 1 Z 2)(a t-~ cos ~) + (t1Z k t z 1 a 1

;ri -+ 00

wm (k2

_(121

k + --2a2)-1~29a,- 0 l thcos~~

t11~1

--P Qo

Aurreko

emaitzak

kontutan

hartuz,

ekarpen

m x o r en

aalerazpenera ,tzul gaitezke:

2a 3, 2

C~P

TV

r C z' 1 z2) _ -

1~ja

~,+ x2p1 +

e, 62-(X I

a -G1a t

4Tf rZt

~lr~cos~Z

n

-Tt2

a

} ~q láQ, a'I + la`á Q, á')(xa' a~ña

0L7 + á~Ja) á~7

45

Kontutan eduki behar da, aurrekoan agertzen diren k a eta k a izatez14m zar, ,ulertu oehar uirela, hots, Lm ka

eta

-~.

k ~`r -• Qo 1

po

23estaide, gai horiek guztiok arduraz integratu behar dira . í' iJerreferentzian erabiltzen den metodo berberaz baliatuz, ondoko modura

berrantola dezakegu ekarpen mixtoaren integrazioa :

2 «13

l ) 2a z°, ó ~z

2a

C~_ - 2 ei e2 Aa a~ - B - ) l x1 XZ t

e+ e2 dn=41

41T

'

A+2 4

(..U.>

Ik ~)(k,,

k 1, c1 +~k 5 4)

11,2 Ka D ~],- K~a E p7

1

2z

1

4 f

2,12

1

Aurreko adierazpenean

A _(k~a+e Vza t~ )a

a s aa' a a'

a' a

2C

a=1 7, (x,al ua)

46

ŕ

T-«_

~3 ¡k~

,

r2

ta ~2~-1 °`

. -1 1a

a aa.'

a a

aa'

a a' aa

aa' a'

`

B=(~zt-2kz, -¿Z ) a1 c~ +2k ~z i4+(z++kz2 )a f 121+

kz+,a2 ¿12

77 -Z r

-4 Z i - -A2a

La

'V_a

aa' a

raa' a. (114 ;

' c ,

integrazioari dagokionez, C , D eta E- , konstanteak dira, z1 eta

2 aduneoropioetako sistemaren egoeraran arauerakoak nain zuzen .

Gtaide, imitean integraleK. ;,ndoi~o balioa dute :

j¡

a{

K~

~ ~ - W a

oC

21T r2 4 i- ,IT a +~605

W

k1~

á`p _ ~a

(11a)

z tT r2 (a +~ COs y) 2

non

a

Da

(a' aa' 5a) ~a

x%a 1 a' aj

-

( 1 16)a

2

aEa = E ~I + 7a (Xaa , Ca,) 7a

a-f

(117)

1

~ad

_~a

H,0)L`J_

1

2

1

K.aikuiu zuzenak baina luze samarrak egin ondoren, emaitza hau

1ortzen dugu tetramomentu anceluar erradiatuaren ekaroen mixtoaren

orooortziorako :

a2 TZr(r T .-

4

2

e e

A ir~`-gwI°` ( X~7 +XZ7 t1) 2)

2 1 2_( a a

a ) 1

)ÓZ1 ór2

a-~

+ _ e e ["¿ pl +

+2' P pJ

Ca [3]1 Z(

á Da2 e

)

(?1)

47

Z

-

-K2 t ,+ a2

71)](WlC

1(112 k + al

a2 Z2) +-(tl2

't' Vr2

f- a

t cz2-z f) ir, - (~ Ik ta,

+a2-=,) v~

( '1 22)-

f

de< _ -(~

"' aa

) CK

+ ( k ~

- *( v-r 0,)

(23)!ja

aal

a

aal

,.) ( ví,1.

l

~

eX =W I -

0(

r 1

,jt U'-2-

24I

mrer.

0.4 . Derror a-un¡tate-anZetramomentu arceluarra_

1

Orain arte --gindako kaiku*it-ietan, e k Iaroe,,n mixtoaren prootDr YziiDart---n

aikuluetan aiepa, p etaprcportáca lortzeko, nahikGa izan da

~orr- etak ,gr, laposimak 5 abiadurak eta azeleralca ezagutzea, unibertso-lerroei

buruzko informato gehiagoren beharrik adué gabe. Baina bi partikulen

sistemak denlúNora- unitatean e rr a d ,, a t ij í-, K ,o tetramomentu angeluarra

kalkulatzeko, informazio gehiago behar dugu unibertso - lerroei buruz .

Ha¡n zuzen ere,

r'.

-r aldiunear

xIZe<

mota espazialekoa bada,f

2erradiaziorako par tikularen ekarpena eta ekarpen mixtoa bilduz, na eu x c-

lortzen Cugu:

9

r

áJ.r,

+

48

J-42r

M4 U1 ^-caal

7 , = -Cct

(125)

non z , delakoa, ~ (-C,) puntuko iraganeko argikonoak (, , unibertso-lerroaQa

a

aecakitzen dueneko puntuko r

a, denbora propioaren balioa den. Alboko 5.

d ua

d -c

dcX-LL

_

dTa

5 . 'srudia

~^' : an adiera-ten den bezala, inte :arazioa egiteko

auni

tso-

ober

lerrok

t z tartea ezagutu behar da.a a' A'

Arazo hau cainditzeko, `?ekanika Eriatibista Aurresankorre?~ . :A

niootesiak / l2 / onartuko ditugu eta nortik abiatuKo gara . Beraz, onartu

egingo dugu ezen kargen unibertso-ierroak sistema aurresankor

aidaezin baten ebazpena direla, hasierako baldintzak emanik noski, hots,

ondoko erako ekuazio diferentzial arrunten sistema baten ebazDena,

49

Y)

i 5 -> .7, l, '~

non

a~x~ u.~

funtzioak ortogonaltasun -baldintza betetzen dutentetrabektoreak diren, hau da,

lJ-La F] a (x6 ) ~G

eta, halaber, Droz-Vincent-en ekuazioak 57,b8,ñ9,70/ .

(127)

~

2 a0

( 1 2°)

?esta lce, isladapen espaziaie= aldaezintasuna onar`'u_ (nau`re da

,ererago

, adlerazpena ja, t :eK.o izan dugun arrazo?a„ none a adleraz~7

egu.~tvLz,_~~ ,~ .~J

` ci

70aa

~oC

"áa! ' Q

50

(129)

Afaseen espazioan bi bektore- eremu ditugu, ekuuazio - sistemaK

berak emanak,

aHa = u.a a

+5a

(xb~ J u~) a

(130)ax~

9u,aa

a

nolabait bakoitzak partikula bateK kofaseen espazioan duen eboluzioa

adierazten due arik (bestea finko jarriz) . Hain zuzen ere,

~Na) ikurrakeremu ~orrekiko Lie-ren deribatua adierazten du.

Ernancako bipotesiekin eta / '! erreferentziaren bide oeret':k, mudu

honetara definituko dugu J~~(x6) LL ) iraganeko infinitutik kofaseen

espazioko (x, u) punturaino erradiaturiko tetramomentu angeluarra,

hots, ondoko aboluzio-funtzioa duen funtzioa :

(H)T"P(x

ru ") = L f` ( X,

u ó)a r

b

o

or b G

= Ma~ (x y U 5) 6) c)

raa'

úe?1nizioa mota espazialeko konfiyuraz o ŕ~K ;~ eiíten da (ha',n zuzen

ere, ces e1a oe'an da integr ala KDr ',~'n r .r'ia tenar ), eta ;amera

ondoko baldintz . asintotikoa ;artzen du{ u :

~vm

R~ (z R2 (z2) J"rP(xe 1 uG) D

z-~ or

~*m09

Cx~ u b )a' z

12 r

6

l~

aiegia, iraganeko infinituan ez dela oraindik tetramomentu angeluarrik

erradiatu.Azal difzagun banan-banan aurreko de"n?z!oan erabilit.ako 'kurrak:

M~~(x~ u b -- 4 e2Y~x u) ~x, . x' u~]+ u

p](x,~.~

(133)ar b) ~) 3 a ~a

a~,

a a

a

hau da, d Ta,-(za

)dagokioal zQ

Map x u5) _ - a

2e e:, ~, (A V~`- B wt~ x ~] f x ~~ f

42F( 6/ c

2 1

Q_'

a a

a /( 1

2

2

+

e~ e2 c~~

(.134)2

a=f

51

.'32)

non gaiak (121) adierazpenean bezala definiturik dauden .

Bestalde, á Q , (X' u. denbora propio atzeratua ondoko baldintzen

bidez definitzen da:

d

1xa - ~Q

°K~Cx, u

aa'))[ ¿le< - 00«

Lj áa)J =

0

`135)

U +O

^ lX -

x - z/> 0

,r_iQ

a'

)

G1 a'

-n

CXUL 'z

~1C~?IYIa ~iir^JC~(~Y-r a

eznarAr ~t-, j~n, :. n ;~ --c-,(X~ LL E)

nasieraKo baldintzak har""au

(x u ~) ~ ~ X u ~~~

37 )Q

Pc¿

~X~U ) 0)

uaa

4ia (X~ u 5 (1) - xa

(131) adierazpenean c~1

delakoak ondoko maparen aplikazio duala esan

nahi du

A~T

oí

~X

X

üy

L1S

)---r

C)(d

~XU'Zl fL~~

CfXU' \ 1t~)

~

a ' a' 1 a 1 a

a ~a' '

» al R` (> >~~

52

(139)

eta baldintza asintotikoan ageri den á(z)

despiazamendu-operadorea

honela +eŕinitzen da:

Q (-C)(á á' ~a , ua'

X t á' ) Xa' ua, , á `)

41 '

E .;an dugun legez, Ja ~(Xb~uG )delakoa, iraganeko inünitutik e mandakokon`ig ,o r az-^rainc erradlaturiko 7etramomentu argeluarra da.

_ehenag:_-J ': :;retan tetramornentu ''(

af Kln eg n denarer !"_Jra 1 I

et;r 1tuko dugu tetramom,entu anaeluar errac atu _.soa :

Jt (Xa ~ ~b

2 r á~~Z -* + oo

eta esan ako bidetik (126) sistemaren tetramomentu angeluarra, hots,

kofaseen espazioko ~x~ U.) konŕigurazioari dagokicn tetramomentu

angeiuarra rnonela definituko dugu :

1)

«P i(

)

~~~

~~: ,r(><a )

f á ~ u~

6- r xa) Gu

t. 3)

hau

da,

iraganeko

intinituko

tetramomentua

ken

kon i~igurazio

horretaraino erradiaturikoa . Aurrekoan,

2

Cot .

T

x~ LA.Sl

~ á ( X, ~; z) ~~(x

~)

l 44 )/ a_4 -C-00

non m a a partikularen masa den .

53

Beraz, bertako funtzioak ezagunak direnez, (131) ekuazioak,

baidintza asintotikoekin batera (132), era integrodiferentzialean jar

daitezke eta ebazpena lor daiteke formalki, perturbazioen teoriaren

barruan teknika ezagunak erabiliz' :4 " .

1 .j .`? .! . Ekarpen mixtoaren oroportzioaren caarapena , oartikuien

karQer berreduren arauera .

`ie troa narniKa

Y:.'iasikoan

bi oartiku-, iaK

osotur!ko

S1stemao, :-_Úal °n e OI'VzÍ n a :Jazter'zea1~n, cenen arTeKn inter •aKz ;Ca LoJr e nz : - en__

V'

~ 1

s

ir :.'ar~ raren b i

eG-í e

Qnt_-D i rac- rn ek 1,~a7 i .o D ar

tar az

tzen ~ i:

Üez e- do

bi

_

.,nar _ .,

.'a kontutan. Honela iorturiko ekuazio dinamiko hauek, ¡araunS arrak

,Jira, hau da, partikuia bakoitzaren azelerazioak sistemaren iraganeko

„istoriaren menpekotasuna dauka . °aina az el erazioak bi oartikuien

argen berreduren arauera gara daitezkeeia onartuz gero, frogat "-t- ti

da4o /o3/ ezen sistema iaraunskorrari atxekiriko sistema aurresankor

bakarra dagoela .

Gainera,

berezko

aurresankortzearen

ondoriozsistema au, + esankor hori da, prezesKi, iKUS[7untJ

Si k.oL

nteresatzen zaiguna. Kasu h;orretan bai _orentz - en indarra eta bai

Lorentz-Dirac-en ekuazioa erabiliz, modu nonetara idatz daizeke,

sistema aurresankor aldaezin atxekiari dagokion aze ;erazioa~b3 / :

4

(~ i)

oc

4 4

o'

( ,

~a= e

aea \ a a a

+ ~a' 't ) + 0 (e4~

45)'

u'

a.'

non

0(e4 )

horrek gutxienez

e4 modura txikitzen dicen gaia .

adierazten dituen, e = e = e --- 0 egitean, eta bestalde

54

r-3

t11

= - rol 7 r-a a'

a a aa'

Austan denez, geure garapen perturbattoan Ilehenengo ordena.z -nulua hartuko dugu so% ; horrela eginik, azelerazioek bi partikulenKarsen merpekwasuna cute eta (I,!) gal ak erablKlo Wtugu WHO

Sescalde /12/ , hanlaxa adieraz oezakegu par-,~,ku.',en

eta

atzeratuaoosizio

honela -a,- ,,eraz i",ezaKeglj :

áa~~x6 u~ , _

+a a'

n i i_,

X~qa'

"6

, uc

a

a/ = - bo u

r a'

55

(146)

(147)

1143)

(149)

(150)

,iurbUketa honen esangura 5. irudian azaltzen la

aliegia,garapeneko lehenengo ordena ez-nul!-ian,

Lai

unibertso-lerroanorabideko lerrozuzena bail tzen hartzen da .

zá,Uá,

La$

6 . frudia

ltzul gaitezen, bada, aurreko ataleko (121) adierazpenera, eta saia

gaitezen beraren kargen arauerako garapeneko lehen ordena ez-nuluko

gaiak kalkuiatzen. Ekarpen mixtoaren adierazpen horretan, kortutan

hartu behar da, bertako gaiek azeierazioekiko duten menpekotasuna,

zeren ordena txikieneko gaiekin geratuko baikara soilik . Azterketa nori

eginik, ondokoa ikus dezakegu :

G

gal guztiek bigarren ordenako menpekotasuna dute

aze!erazioetan .

aUQ ,

aUa

ta

LQ

56

B : bigarren ordenako menpekotasuna azelerazioetan .

Ga : bigarren ordenako menpekotasuna azelerazioetan .

aQ : lehenengo ordenako menpekotasuna azelerazioetan .

K a aaa , Qa, ~Q , C e

ez dute azelerazioen menpekotasunik (zero

ordena) .

Da

.Q

so i l i k hartuko í~itugu kontutan azelerazioekiko lehenengo

or denako ;aiak .

E~` soilik hartuko jiT(jaú k~ntutan azelerazi08kiko iehenena0

ordenako gazaK.

Esandako hurbilket ak eginez, eta azeierazioekiko lehenengo

ordenako gaiak soilik harturlk (hots, karaekiko bigarren ordenakoak)

honela adierazi ahalko dugu ekarpen mixtoaren proportzioaren garapena :

2 d ,3

. _a Taar

a~, +

E~~, + 0 ~e6)

( 15'a z, 2z2

2

a_

a

o(non Da eta E direlakoetan ordena baxueneko gaiak soilik harto diren .

Era horretara eginik, parentesiaren barneko galak e 2 ordenakoak dira .

Bektore guztiak , t4 , t2 oinarrian emanda dauzkagularik,

antisimetrikotasuna gogoan edukiz, azkenean gai guztiak honelako

osagaien bidez adieraz daitezke :

57

Kalkulu luze baina zuzenak egin ondoren, bukaeran emaitza hau

lortu dugu :

a2Ja~42r_ e:eH

~CYt~1} H0 23+ T,t1~~~1)t o( ) ( 152)

,

Z

2

12

non H ,

á - 2 ~a

eta T koefizienteek-

on.doko balioak dituzten :2

Za

k

4

4

A _ 2a _ 441

2a2 -.

-- +~Qa' rl r 3 M , r- , 3

á' ra a'

a 'a

3'

a aa

aaa2

24

d

/ k(Kzj~t - Eai)

Ck ~a~ -~Q }

57

~lZ á4' raá ,

m a'

ma

T _ !

a

Zr

1'

~z

t2A2 n~1

r

m2Z1

2

2 ,!

~Z(k~2 -

(154)

3

3

3 3r12 2 i

m2

I2 2 j

Beraz, argi ikusten dene., tez ramomen" u ange uarraren exarpen

mixtoaren proportzioari dagokionez, lehenengo gal ez-nuluak laugarren

ordenakoak dira kargatan . Gogora gaitezen , bicenabar, tetramom entu

ineaiaren kasuan seigarren ordenako gaiak ditugula /11/ . Bestaide,

azpirnarratzekoa da aurreko koefizienteek partikulekiko duten

simetrikotasuna, adierazpenetan aceran agertzen dena .

58

1 ehenago aipatu dugunez (40), honela adierazten da partikula batenekarpena :

~~

_

z.

á

E

P)

[da ar(X

u)- 3 a ~a ~a1 '< Lt f- LÁ

ci ,

a

a

( i 5,

Jestet'f, gar acena eg'tean era no-rezara .eratzen ara abiaduura eta

a .,elerazioa :

.3.4 .2 . Erradiaturiko tetramomentu angeluarraren oartikulabatenekaroenaren oroportzioaren aaraoena oartikulen karaenberreduren arauera .

-U 0 = - 1~ 2( tá i- k'ta' )

Azkenean

(4,1) • eta 1 (4,1),, aa

uQ direlakoen balioak ordezjarriz, emaitza hau

lortzen dugu :

3(~_ 2 a a Á2(7 k

th+

k2~~t~+

eqtCatŕ?

a

aa

J

15 ,9a ar

3 m

a r3'

a ~ar3 a r 3 a aaa'

a4'

59

(155)

41

1,

~t`el = e e ,C a(, ~ «+

) t

+ o (e 4)

(157)a

a a 7a a

aa'

aeraz,

5a

biderkadura jadanik laugarren ordenakoa da, LL

ordea

bigarren ordenakoa den bitartean . Hau da,

a a

2 2/1(

C`

COT] (4' 1

J

6ár - 3" A l á +ktQ

Jaá,(7a á +

a'

+ O(e,(15$)

Honetaz azpimarratu egin behar da ezen, ekarpen mixtoaren

proportzioarekin gertatzen den bezala, lehenengo gai ez-nuluak

laugarren ordenakoak direla nahiz eta hemen (3,1) eta (1,3) erakoak izan

eta han (2,2) erakoak .

L14 .3 . Denbora unitatean erradiaturiko tetrarrnrnentu an~~eluarra

21raz, berriro ere kofaseen

espaz ,, oko

Y ) u,)

Dun'uraino

_.rraoiaruriko

tetramomentu

angeluarra

de f J, nitzen

duten

~alu_io

.uaziceta a itzu,iz,

_ert_;r

te-~ r oaL oer t, oriare n ara ..era, eta

lener ago U3.4 . 1L eta '.3.4 .2 . -untuetan eginiko garapenez ba'iatuz,

ordena oaxueneko hurbilketan eg.ngo ditugu kalkuiuak. Saaa ;aitezen,

bada, 131) adierazpeneko eskuineko bi .aaien baboa lortzen, lehenengo

ordena ez-nuluko hurbilketan .

MCcr

eta

Mir

lehenagotik kalkulaturik dauzkagua

Ur

kargen araueŕako garapena egitean eta izatez (159) eta (152)

adierazpenetan datozenak lira, hots,

M ao _ ? ea e i'A Z¡ K

kZ

t~`t~~ + 0 (es

(160)ar

a 3

a ~A 3

al

3 a Q 13 n1a

Gal

áal

raal

v1 f - e~ e 2 (

N 2 -~.ja t /~ T ~~ t2 ] ) + D ~ e 6~

(161)42r -

Hortaz, egiteko duguna, azken gai honen integrazioa da, hau da:

Na~

d z

1 2~

(152)

áa'

60

Horrelatan, ba, honelaxe idatz daíteke integraia :

o

Na~=

d -e ~a ' (r) M2-r2

1 2) e, eZ + 0 (e6)

( 163)

J~aa0(n(2,2)

Bestetik,

42r

galan ondoko aldagai-aldaketa egin dezakegu :

1a'w

dz-du.

z, =-a Ra,~~7

k á - áa'aa a

eta ondorioz

2

2 l~2

Q'R= ~~ +

U / =

(LÁ)_ +~

( 157)

Ná13 - e 42

Arai dagoenez, integrazio honetan a partikularen koordenatuak, (za, áa')'finko daude, nots, konstantetzat dauzkagu eta, ordea, a

partikularenak

' á' aa') ' aldakorrak, eta integrazioa 6 . irudiko lerrozuzena corrituzegiten da . Beraz, (162) eta (16B)tik

2

du M K~ (2,2)

42f

61

2Q ' _ íC

(166)

t 0 (e6)

(168)

N~~= e2e2

z

Ea+-

r

a H ciu

~~a t~~ ta

a 2

a

a

a'

a'

al

1

~t

~Za

"a'

+

T d Lx

+ O(e 6)

( 159)u

a a'

~~

Uza,

ntegrazio horieK honela .lortzen lira :

HQa_=

2

Nadu

A-Z k

rna r- 4c, i

Ea ,

ma 1 r4a ' rn a

ic

a'4,

1L- A -2 ~4

2 k 3~G2 -

2 k

rs+

3

r~Q a al

rn0.' Q-3

mq' Qa.7

Za Jl-a 2 K í !~ 2 2 k~~

r 3a a'

t

MQ

a-z K2

2 k

Líz áu

+ -- +- 3

+mQ

Tal-321

rrla, áa+

R3

z

ni

4( 117 0)

herren agertzen diren integralen balioak B eranskinean aurki daitez .e .

62

Modu berean,

-2

2

Za)=u-

2

i f LC, áa'

ma áa l

+ (-A-2 k a. + A 2 k2aa

-a' d

+R3m a a rn 'a'a'a a

}

-2 212 z,,

A z 2 k F-Q

Y~1a r 31

á, raaas

+ K 2k3 A•2 ' r

+-ma mal

3Ma raai_za1

~a'

fu2c~ t

A k

R3

mal A Cza,

a

u. t -rnQ, r- 3

a a'

R3

k2 3

63

2~, ~G

u c¡ ut

tz

rna á4^ A

Ra'

a'2,

Aal

ma' Za,

24

R3i-

Beraz, aurreko emaltzak kontut an hartuz, era honetara eman

dalteKe

c

N

= e, 2 e2 (

~ 15 t I'll 4-H

~[" t ~3 +T ~ t ~])+ O(Efi~~ 173)0-

1 2.

6L

aal

CL O

a 6L a I

;remiazkoa ez denez, ez duclu ernaitza hau zeraztasunez hemen

:alna erraz `or ca lt.eKe B eranskineKiD intlegra llen

Hala

r aZ l m a r ra t u e g

Up e :enTo,

e t a N"Neza gu--:z gerD, ezzagmuri~

mugoa mmaber

1) *CO

( Z4 , -rz )

eta hauen

tetrarnornentU argejUarra Or dezakegula 3 ,. 3~em.a in --rtzial

ca lazar .

64

1 .3.5 . Tetramomentu lineal erradiatu osoa .

Benin eta berriro aipatu dugun erreferentzian'lll", tetramomentulineal osoaren definizioa ematen den arren,

P,G¿

(Xb uc ) _

Pa(x , u_

(1i4r~+00 lZ 2z

alkulu

ez

!a

burutzen.

Gu

3,3 a+u

egingo

gcra,

e 3 1117- I'D

oer turyat o :en arauara ordena a .nef o ka i ; ;ua egiten .

r,

ce_ •o g arapeIla eg ;

rcr

n, -;onela iaat_ a _

:

P ,< (x 1 u fl = ~irrm• R1 (r) ~~) ŕr (x~~~ u¿~) + (es)r~+ 00

tzul gaitezen, ba, abiapuntura eta jar ditzagun tetramomentu ljneai

erradiatua definitzen duten eboluzio-ekuazi oak :

Na) Pr1 ( x6 ~c - Ia ( X6 u~,

hots,

ó Pru (S +

ÓP',

p( r L( . )= I o, X ° u 5\a a

¡1 a

ó ¡~ '7c

b , cl

a

b ' ~~aeta beti ere, esandako erreferentziaren garapenaren aranera,

65

e " ~ ~ a ( ' {) Q,a

+ ~

há + O(e 4~

(178)0<~a ~

ea

aal

4 2

(4,2)

2 4 p,< (2,14)

3

«(3"3)

-~ 0 (e s)

( 179)Pr4

ea , Pr

+ea ec, , f-

+ < c, 1,n ,

lo, = e4 e2 -o< (4,2) e3

e3 1

e<(3 ' 3)

a

Kraz, Wargetan selgarren or denako gaink

1177) e~UaZ l oa.:rea geratzen Ca .'

p c¿

c<r

+

Xa

wren eta beste gaiak, a 1 1

gutxtanez zorizigarren

) r- :~era,Koa~,Koa~, baitira .

310 5a3estalde, hemen ere aren pertijrbat~boa eginez, banatu egingo

dirugu aurreko ekuazioak Targen rerreduren arauera . Daigunez,

4

2

3

-'(3,3)I e e

l

TCL

cL a

a

a ct0 a

beraz, honela geratuko zaigu bi ekuazioen banaketa*.

Pr-< (4,2)

G-< (4,2)

(03)x

aa

13 9 pa(3,3)

o< (3,3)

U

(184)a 9 x ib

a

66

+ O(e g )

(1so)

_j- 0 (C 9)

(!82)

a á Q<, t1 , t2 oŕnarrizko sisteman finkaturik, ondoko baliokidetza daukagu ,

ekuazio hauetan ageri diren eragile diferentzialei dagokienez :

D = LLa a

=

( 185)

a

a axa ó~Q

kontutan hartuz .

°< (4+2)G

delakoaren balioa ordezjarrŕz,a

-((4,2)

2Z

`ó Pr _ - 2

Z 6

k

Z+ ~á tá

tá

(139 )a~a

3 mQ Qa

eta hori Kontutan hartuz, honelaxe eratzen zaigu ekuazio-sistema :

a(4,2)a P

Ga(y12)r _aa zQ

á Po~ ( 3,3)

rJ(3, 3)

_

a

(13i,

a ¿SQ

Lenenen,o bi ekuazioak zuzenean integra ditzakegu, bet, ere bald,

asintot koa, hots,

,;m.

k1 (t) R ( -c) Pr (,<b1,31 LÁ-f) = D

(138)

Z ~-00

(186)

eta baldintza asintotikoa integrasen mugak jartzean konkretatuz,

67

r

3 rna

Dena dela, guri tetramomentu lineal erradiatu osoa interesatzena (4,2)

zaigu, kasu honetan P r

osagaia, hots, á-• +oo egitean lortzen dena :

00

00pa (4,2)

2 1

du

LtZdu

tr

^ _

3 m2

2 6

R 6a

Azh4^ adiaraz;~an honetan B eranskirekoo integr alen :ial iiak úrde arri"

e etar?

tia sZa ^au erdiesten du:~u :

P-e(42' =-

42 s s(3k2+1)(t~+K e )

t r

a

a'2 M

-i,

eh n ;o ekuazíú-sistemako azken bi 'eŕuazioaic inte~ratzean (187), .

bestelako arazoak ditugu, biak batera integratu behar baítitugu, gairera,

baldintza berezia eduki behar da kontutan

I dcl

(3,3)gaian, zeren bia2 P"partikulen arteko distantzia era denboralekoa desean, f2r

baita,-~zeta nain _uzen horregat;k aipatu dugu (67) baldintza, hots, '

2z2

Xf2

X42 x42 oc i O

Ondorioz

J -«3,3)_

0a

x 2

0

-,enean .42

68

(t+kt)á

á,

(190)

(ta +ktá,)

(191)

(193)

Bestetik, honeia adieraz dezakegu baldintza hau :

X42

- i -a + 2kz1

zz2 -~ 2 > 0

(194)1

7-

non

2> 0

den. Mugako baldintzatik (X'2= 0 )

Z= kz1 ±

1 2

('95)

alei, a oos _lo at=eratuari (

_

-q2 .` eta aurreratuari z - k- + )rl~n

t

"'(3,3)

`/y oz en bai oak . ortaz, á

zateko,2~

~z <_ ~Z izan behar dan

( ,,,,do baliokidea dena, 71

z~

of ) . Baldintza hori honeia sar dezakegu

/11/ erreferentziako (4 .26.) adierazpenean :

áal(3,3)

,~

4

~

A Qt

C(

o(

n

vá i ~a~/ m r3 !a Pa + á a á + cl

a

9á' á'~

)

2 a a'

non e delakoa Heaviside-ren funtzioa den .

Beraz, ondoko ekuazio-bikotea ebatzi behar dugu

a Poe(33)

Ja(3,3)

a

non honako integragarritasun-baldintza betetzen den

69

(197)

a J,0((3,3)

a(3,3)

_a T2

(198)

1DI

PcY(3, 3 ~(ohar gisa diogun ezen integrazio-prozesuan Pr jarriko dugula ror.dez) . Integra dezagun, bada, (197) sistema . a = 1 ekuazioa integratuz,

P=

J( u 1 22 ) d

+ F(z2)

i

1

i'cn F(zZ -Ciozein ven Vraingcz . ú úarr er eKuazioan —rdezjarr ,

Z)du

Horren bidez F((2) kaikLia dezakegu

04d F~~2 _

2(~~~~z) á

J( u) ~2

)dk -

dle2

~E2 21E

A

2

~u + J (_~ ~2) d ?- I

01)

a -2

d ~2

eta integrazio-baidintza erabiliz,

dF(zz= Z

d221

A

=i (e+~ Z) - 2 (~~J ~2) + 2(Z1I Z-2)+ J (a~ ~2Z) á ~,

í ,2,

J ZZ

70

+ d F(-a2)T a

(2rn

d ŕ

2 C 1 ' 22

Azken adierazpena integratuz, F(;2) lar dezakegu :

Bestalde,

~1 _

az)

~Z

207)

hots,

F(z2 ) =

P

non k integrazio-konstantea den . Bestalde, kontutan hartu behar da,

ide nt~k.ok1 ,r2(1 -Z2)=0 de'a. Bersz, (201) emaitza ' 1199) ad}erazpenera

er amanik,

( 11 Z-2)

~2) ~'

v

J

Bmaitza honetako bigarren integralean zenbait aldaketa egingo dugu,

osterantzean oso korapilatsua baita zuzenki kaikulatzeko . Horretarako,

ondoko aldagai-aldaketaz bai iatuko gara :

W- Z1 ~V~

(205)

d -¿ ,

J t2

2` ~~ZJ+J C

-1'

ZZ)d~1

a ~2

d :;~.Iv-LL2-Z2=v

d Ir

Z2u

71

áv + K

(203)

Z V

;2aU)

eta, ondorioz, w aidagaiari dagokion goiko muga21

izango da. Beraz,honela geratzen zaigu bigarren integrala :

,,,T,_.maren eoazo~na :

(aI ) ~Z) `~ z '

al v =a 2~

J ŕZ = V

(208)

2 (~)) °~

(209)

,!au da r;odu ncnetara adiera :: cezaKeau ŕasierako bi ekuaz cen

0< ~3,3)

o((3 3)

3,3) vP

=

J (w, 2

4- i ( UF, zz (w» dur+ k ('lo

Emaitza honetan ageri diren Z~ eta ; parame troen balioei bur,-,z,

char oatzu egingo dituyu :

a) Aurreko emaitza bi partikuien arteko distantzia era espazialeKca

denean da baliagarria (57) . Kasu horretan integral biek ondokc

esanaura dute:

nr ~~

o' (3,3)(

yJ4

ur, E,(w)) d ui-

nintegrazioa -oo-tik z puntura egiten da, kontutan edukiz

72

T=

a au_ W-ren argiKondarer

a'de w arte~'.': e~:arpen-a

biitz i-; 4~l ;a, nots, mota

espazia puntu-bikoteena .

K.us 7 . rudia.

.1

(3 3),Tia

(u, a1~.dw

Kasu honetan gauzy berg egiten

da, baina soilik 2 -etik Z,

-era eta beti ereE2

T_

-,z( L,- )

delako adierazpenean 22 finkoa

izaniK. IKus 8 . irudia .

L2

7 . rudia

Li

73

8 , irudia

b) Bi partikulen arteko distantzia era denboralekoa denean (x22 0 ),

da eta orduan 22) dw ez da kontutan hartu behar .

bestea bakarrik geratzen delarik, beraren goiko integrazio-muga

7- 1 izanik. ikus 9. irudia .

Hots,

P=

B'StaK.Oa iienez,bateracarria

::a

mota

espazia eko KaSuarekin .

v(ur))dut+- K

€r^:aitza hau

74

9. irudia

a

)c) Bai baldintza asintotikoa ezartzean ( Z»t

~r (~„ ~2 = D

)00

eta` bai momentu angeluar osoaren ekarpen m^ixtoa kaikulat_ean

( Ptr = -&w

PrW (Z1, z2) ), limitea lortzerakoan arau bat eman behar,?'Zdugu, 2: 1 eta zZ parametroen eboluzioa zehazteko . Hain zuzen, arauhau ohiturazkoa da arlo honetako lanetan114,22/ , eta honela eman

daiteke :

1_~ 1

A

(211a)

non ñ parametro bakarra den r

etaI Z

dauden,

~rd~Y.o ba dintza betez :

k/ -A i~- -2 G k +A21

(212)

Azken batez, baidintza honen esangura zera da, bi partikuien

arteko posizio-bektorea mota espazialekoa dela i imite-prozesuan

zehar .

d) Baldintza asintotikoa erabiliz, k

konstantearen balioa zehatz

dezakegu:

ur 2 ~w))dw K (213)

Bigarren integrala nabariki emaitza nulukoa da . Bestetik, lehenengo

integralean , eta z parametc(roak, c oharrean azaidu den madura,

batera doaz-O limitera . Eta J (a1 , ~2)

gaiaren izaera aztertuz,

75

nabariki ikusten da integral nor! ere nulua dela. Ondorioz,

K=0

Beraz, ecindako oharrak baliatuz, honela adieraz dezakegua (~, 3)

3Zkenean p

gaia, nots, (a {) z2 ) konfigurazioraino,(Z , t2), erradiaturiko

°r .momen-u 1irea1aren ~ 3,3) _ .acaía :

d (3,3)P(z11 ~2) =

76

A

u, z2 ) áu +

J4 (w ZZ(w» d W- 2'3)

(214)

E dozertara, ata] honetan gurí interesarzen

Fonfigurazio honetarainokoa, tetramomentu lineal erradiatu osoa baizik,

aleola

d (3,3)

a (3,3)Ptr

{~

(

~2~

i21^i

0 11 22 --rcw

eta lehengo arrazonamendu berberari loturik, lehenengo integralaren

limitea nulua dela ikusten da . Hau da, azken emaitza modura, gisa

honetara eman dezakegu tetramomentu lineal erradiatu osoaren (3,3)

osagaia:

Ptr(3 3) -

«(3,3)(wZ\

v<r1, dW-

(217 )

Dena den, notazio-aldaketa

batez,

/11/ erreferentzian ageri«(3, 3 )

den

Jcl

(a , 2Q,)

galaren 4txura gogoan dugularik, hone la idatz

dezakegu:

r

z2

10 . lrudia

Bestaide, (218) adierazpena kontutan hartuz, ondoko ema¡tza

lortzen da (217) adierazpeneko inteQraia egitean:

77

z1

(218)

eta orduan integral ponen esangura, 101 . irudian ageri dena deia onar

:!ezake! u :

00

~oo ~3 P1

~Z )12

guztien emaitza nulua

- Ostera,JL3 0- 1 (-=4 , i2 ) dz, eta r3 a- (z -')áz, egitean,

ntJ

~„grakizun - °'guztiak b ;

~'.

~koitiak dira. B Jéani

kineko intet^, ala.,n balioa

kentutan hartuz eta kalkulu oso luze baina zuzer:ak egin ondoren,

K.asu bietan emaitza berbera lortzen da, ondokoa haln zuzen ere:

00

r3a1

( e 1, í'2)

Ja,

_~ 12

egitean, bakoititasunaren kausaz, integral

Q- f E+)a2)

~ -a 1 =¡- 3

1212

A (3 k3-4k 2 -+9k-4) -(3K 2+1)Pn

o«3,3)Beraz, honelaxe adierazi chal dugu

osagaia :

a(3,3)

a

1rPr

m14

~ 3n62

Denetara, osagai desberdinak kontutan hartuz, oeni^ koniigurazioa

ezagutuz eta garapen perturbatiboaren ordena baxuenean, era honetan

eman dezakegu tetramomentu lineal erradiatu osca :

P~` = e4 e2 P«( 2)~-

2e4 P°~(2 ` 4)+ ~3e3 p '(313)+ 0

e g

(221)(

)t~ 1 2 t ~

1 2 ~f~ 2 í=("

(4,2) K(2, 4

4(3,3)non

Lr , 1r

eta Pr

direlakoak (10.2) eta (220) adierazpenetakoakdiren, hurrenez hurren .

~3 k3- u k2+ 9k - 4~ -(3 kt 1)~r,,(K+I~)

78

+n) (Ll~)

~i:ci+ t2

(220)

1 .3 .6 . Tetramomentu angeluar erradiatu osoa.

Atal honetan aurrekoaren prozesu berberari lotuko gatzaizkio,baina oraingoan tetramomentu angeluar erradiatu osoa kalkuiatzeko .

Mekanika Erlatíbista AurresanKorreko hipotesiak egin ondoren,ondoko eboluzio-ekuazioa definitzen genuen koiaseen espazioan (131) :

F~' . da

"%

s'

x~

°~~ a Jr (b L.`c -Lar ~ x b u c)

2 J-

µ +2J,

P

5µ-

D x k` a.

á L t

a

a

b 1 c>a

Q

(222)

(223)

Kasu honetan ere, garapen perzurbatiboa egingo dugu . Ordenaa¡~

baxueneko gaia_k hartuz,-ú~ a gaia ez dugu konttutan * hartuko, zeren

a norreK bi ordena gehitzen baititu. 6estaide, LQ delakoaren osagaienordena baxuena e4 da (150), (l01), eta, ondorioz, zera idatz dezakegu :

0 ( e )

( 224)')xP- Q

ar

cZr

a

Garapen perturbatiboa eginez, banatu egingo ditugu aurreko

ekuazioak karcen berreduren arauera, (183), (184) adierazpenetan egingenuenaren antzera. Dakigunez,

Ldy = e 3 e Ma,S (3,l) e2 e 2, N o(f (2, 2)+ 0 (e 6)a

225)a a, a r

a a ar

79

beraz, honela geratzen zaigu ekuazioen banaketa, (182) adierazpena ere

erabiliz :

a J~~(3+)

Ma~(3

' +)

.r

r

(226Q

)a ~a

a T~ (2 ' 2)

~~,

( z, 2)

227 )

ó ~

Nar

a

~ nerengc bi

-.e -.r= ~l~d~tk int g~ ..ratL nY

`J,I a,

l_ I .iL1

iC O

o(p(3,1)~all ir za ds}ntot koa erabiljz . t

ati e~3zpenetj

M

e akoarenza oa ~ .-,, ;._1ar-17 :Vv JI J

.-

13 r(~(3 -)2 4

f K 4 [0 tPI

K Z ~R pj + 2a t~K t '1a

3

a a'/2 F- Q

3 a 2 a LI

3

áa'

a '

áa3

'

Saldintza asintotikoa integralen beneko muga aukeratzean jarrjz gero :

1 k1,

d-zq, ~ ["t7

f-r

3á~2

á 3

aa

+

d z

r 3

a'aa'

Edonola ere, gure helburua tetramomentu angeluar erradiatu osoa

kaikulatzea denez,a pl (9, 1)

Jtr

aurreko emaitzak baino areago, z 1 ---+-ao

egitean lortzen denak ardura digu, hots,

J ~~ (31) 2 1

`~ día

4 ~t o £a d ;?-a tEOIpi

tr

_3 M

k

a

a'

3 a a'aAz

a3a'

Faa3, raa,-00

-00

-00

80

228)

12/91

( 23n)

8 eranskineko integralen balioak kontutan hartuz, azkenean emaitza

hau lortzen dugu :

4

k

~-ñ Ca t~~ f k ~, tPI

, (231)3 rn eA3

Aa

fá bektoreen ordez

u.á

bektoreak jarriko bagenitu,a

tQ = uá _ k á, delarik, emaitza hau lortuko genuke :

Jo~(3' f)

_

4

4

k

[a ¡3J

L r

3rn ~

2A -ñ ua

` )

a

Beste bí ekuazioei dagokienez (a = 1,2),

9,7r P (2, 2)-N

c~/3C2, 2

25 za

a

- tntegragarritasun-baldintza betetzen da :

(233)

((137) ekuazio-bikotearekin segituriko bidea hartuko dugu . Ebazketan nasi

aurretik, hemen ere kasu hartan egiten genituenen antzeko oharrak

egingo ditugu .

- Bi partikulen artekQ oosizio-bektorea mota denboralekoa denean,

XZ<0 orduan°

. O da. Ondorioz, gauza berbera gertatzen da4,2

gr, 2 z2N I funtzioekin. tzatez honelaxe idatzi beharko genituzke :ar

(23 )

á'

81

~~ 0<~ (2,2)

2~o(g2,z)

4

2

9 --;-z

D ;z 4

!ntegrazioa 1 .3.5 . atalean erabilitako metodo berberaz egin

ondoren, eta bertan egindako char berberekin, azkenean honela adieraz

dezakegu,(Zi ) Zz) konfigurazioraino erradiaturiko tetramomentu

ange'uarraren ; 2,2) osagaia :

A

«~, (2 2)

a0 (2,2)

a' 0( 3(2,2)

r

á, 2a') - Nar (u , á') d L`

Nar(V, á'(~`))dw' (236)

Baina guri tetramomentu angeluar erradiatu osoa interesatzen

zaigu, eta hori honakoa da:

+aoel f9 2)

o(~ (2, 2)J-~

1 , 1

-

Nar

(á) á' ) d~a

1237)

(173) adierazpenetik,

Ñ 0 212)= H

t~j~H ~,1 tpl +T tF( tp1

(238)a r

a a

a

aa' .

a'

a a a'

Beraz, (170), (171) eta (172) adierazpenak ordezjarriz, (237)

adierazpenaren integrazioa egin dezakegu . B eranskineko integralen

balioak kontutan hartuz, emaitza hauek lortzen dira :

f1+00

- 00

H

z

Iz - 2 kA-in. (k+A) 1 k 2 _ kaa a) a, a

2A

(i,

82

(235)

( 239)

.+ o0

2k~ ~n(K+~)

k

k2 \

(240)áa(

~ 2 j~6

ma ri, /J 00

eta bestaide, azkenengo gaian ageri diren integrakizun guztiak bakoitiak

direlarik,

- o0

Hots, denetara,

O

Ta~(2, 2 ) 2 k~ - ~n (k+n)

tr

p 2 ~6

edo beste era batetara idatzita,

dp (2 ,2 )(= r

(241)

K Z kQCaá~,+

l K - k 2 1 D 1 tá1(242)

rva Ma ,

n14 ma,-h

/

2

kA- k4(k+A)/m

EA

/;J- Y1

&u

nJ(243)

mamQ,

83

Honelatan, ba, osagai desberdinak bilduz, modu honetara eman

dezakegu tetramomentu angeluar erradiatu osoa :

J a~ _ e 3 e 1d~ (3 ~ 1fi e e 3 f

e2~2 J (f (2J2 0(~)(244)

tr

1 2 tr

1 2 tr

4 2 tT

~2A4

a

a

a'

a'

d~(3' 1) ,Yp(1,3)

c (212)

,non ,Ttr , J-tr

eta Jtr

direlakoak (231) eta (242) adierazpenetakoak

diren, hurrenez hurten .

1 .3 .7 . Tetramomentuangeluarmiintseko erradiatua .

Lan egiten ari gareneko sistema isolaturik dagoela joz gero,

beraren tetramomentu angeluar intrintsekoa aztertu ahalko dugu .

Prezeski, tetramomentu angeluar intrintsekoa sistemaren

masa-zentruarekiko momentua denez, gogora gaitezen beraren

deiimz oaz ~`,

s`ema Co!aturik dagoenez, beraren tet r amomentu

neaí os oa

eKa, oer ^ ekar ikoa bar ne

kor stan ea da,

P =kzea.

e a ~:orrela

berar , I masa

M = C- P°` P)2. KteG .

(245)

eta sistemaren masa-zentruaren abia c ura

p (24h)

p r`pt

definitzen ditugu, hasteko. Ondoren, era honetara defini dezakegu

tetramomentu angeluar intrintsekoaren dentsitatea :

Woeh= 1 6-(~óC 11 -~~

s~

( 247)

2

eta hiperplano espazial bat hartuz, na , sistema inertziai horretako

aldiune batetan, , espazio osoko tetramomentu angeluar intrintsekoa

definituko dugu :

84

W0((Ti ) A)

-

ur~~ ci-

( 248)114-

~3

3

C<non d O-tA,_d u- it,, den. Dena dela,integral hori egitean, U tetrabektorea

konstantea dela eduki behar da gogoan . Beraz,

2

p

á'

~`Z(n,a)

85

(249)

.^~ . ,rekoa tetramomentu angeluar intr intse+ o osca izan da, baina

gu tetramomentu angeluar intrintseK_o erradiatua iortu nahi dugu . Hon

er iesteko, 1,3.1 . atalean erabilitako metodoaren ant_ekoaz baliatuko

para, baina Jc<~ deiakoaz egin ordez MF a tetrabektorea erabiliz .

(249) integrala honela ebatz dezakegu partikula bakarraren kasuan :

r(n, a)

1rIÍ(n , ñ,

E~~~~

dz

óµd 2a-

(250)2

r.

/z(n, a / -c)2

2

non

d- =

n1 d 0" delakoak (11) kasuko esangura duen . Hortik

niaW(n ,1 r) _-4 F-~

µd2a_

(251)D -

1

2

Ys

t.-j(n,A r)

Lehen egindako modu berean,9-

(n i ñ, z)

horrek limitea duela, limite9 -c

hori benetako tentsorea dela eta Yt -ren menpekotasunik ez duela

frogatzen da eta horixe da hain zuzen, partikula bakarraren kasuko

tetramomentu angeluar in' rintseko erradiatuaren proportzioa :

dwra~(~

) _ -L

U dJrrB ~t)

(252)dz

2

dz

apnon

(t) tetramomentu angeluar erradiatuaren proportzioa den .

Bi partikularen kasuan tetramomentu angeluarraren dentsitatea

(35)

a=4

1a

d 12

de r ; :

~ti fm z

t ;neaTat'asunaz7, noelak ,D banak.eta eg, n z~ L ,a ? .,

~e {, ~ioaren ~~iie l

dee _ 3KerLi

tetramomer:?u angeluar intrintsekoaren d-ntsitatean'

2

w '/3 . = 2 aa~ + u42

Gauza bera egin dezakequ, ín

erreferentzi sistemako A

aldiuneko

tetramor entu angeluar intrintseko osoarekin :

2 áa (n .¡ t12ar-i

(254)

(255)

ntegrazioan 1 .3 .1 . ataleko bideari jarraikiz,r u d 2

2 13J-°O

( n i

t1)

i

~~~~b

d z2

á2~á Kd

-o,

12(n,A,r2)z n,a) r2(n,a

µ

25b )f ~(_2

15

at, dz2

j 121ó d o

~00

4:11 (17 ,a,z,1tL)

86

a

+ oo limitean ondoko emaitzak dauzkagu :

hau da,

d War(za)

_ )

aWaa ~,,~~, zQ

(257)dz

ñ ~ttoo óz;a

á w-ózW2r

CzJ , z =,úm, 1z

z)

(n1 ñ) 4 i TZI

(258)'D -r, 9 -CI.

~ _ ._ . t0. áz, á zZ

alar

) _

ŕ~ ÜdJar~~ z

(259)d Q

a

2

d z

a~G

2V a

~-

24zr

Cri,-=2

f zr ó~1 z1 ) T

2 ) ( 260)

aL~ 2z2

2

2-C

f2

Emaitza hauek kontutan hartuz, etazE " Üf konstantea denez,

Mekanika Erlatibista Aurresankorraren barnean honela defini dezakegu

tetramomentu angeluar intrintseko erradiatua kofaseen espazioan :

c(/ ! ub) _2

~0 5

1~Ü

(~f

I

(xá u6 )

( 261)

eta, ondorioz, tetramomentu angeluar intrintseko erradiatu osos :

Wtr

UT~~.2

Berau kalkulatzeko, garapen perturbatiboa erabiliko dugu, eta

87

(262)

q(3,1)

0((1,3)

c (212)beronen bide , Wt r

,

tr eta

tr

lortu ahalko ditugu. Dena den,

lehenengo U °` tetrabiadura lortzera saiatuko gara .

88

Sistema osoaren masa-zentruaren abiadura lortzeko,

tetramomentu lineal osos kontsideratu beharko dogo, ale( -,¡a, parte

elektromagnetikoaz gain parte materiala ere. Bestalde, sistema

isolaturik dagoenez, tetramomentu osoa kontserbatu egiten da higiduran

zehar, p = konstantea. Beraz, U kaikulatze%o, iraganeko baldintza

asintotik :_;a hartuo dugu eta -e kargen arauerako garapena dugu .

(144) a~'era% e^e _ k,

2

Poo (x6 1 u1= ~'

nrta ~q ( x6) Uc ; z)

253)U=1 Z-; -co

«

mua+m'2uz°~ + () (e 2)

( 2h4)

V ~+" +2km~«n

~~ (3, 1)Ja~~Be az, honekin batera (231) eta (242) adierazpenetako J~r

eta

tr

oalioak (252) adierazpenera eramanez eta kalkulu zuzenak. eginez,

ondoko emaitzak lortzen dira :

Ea~rF4 u

Lt

(255)Wtr - 3 LAA r

/M . f má, + 2 k ma á,

i r (2)2)

4

k2/t - k ~^' ~ktll) ~°~~ Ó

á~ á'b

( 265 )

I l

itr

V~á+ má t2k ma m

2,/~ 4a,

-~,

4

(265) ados dago /13/ erreferentzian beste metodo bate.,

lortutakoarekin ; (266) emaitza berria da. Ohar gisa diogun ezen,

aipaturiko erreferentzian metodo zinematikoa erabiltzen zela, eta,

bestetik, ezen bertan emaitza globala lortzen zela, tarteko pauso bezala

proportzioak kalkulatu gabe .

Beraz honela eman dezakegu tetramomentu angeluar erradiatu

osoa, garapen perturbatiboko lehenengo osagaien bidez:

Wtr = 23 z ,S, 't e + e3 ~r(1'3+e2e2 ta(212) + 0 e6)

(267)

noon

W 3,1) etar

to((2,2)direlakoak, (16~5) eta 256) a ierazpenetakoak

1 .3 .B . =rradiazlo nulurako baldintzak .

Ezaguna da ezen, erradiazioari dagokionez, partikulen azelerazioak

nuluak izanik erradiazioa nulua dela, orain arteko emaitza guztietan

modu nabarian ikus daitekeen bezala. Dena den, hemen pianteatzen dugun

arazoa, alderantzizkoa da. Prezeski, bi partikularen sistemari

dagokionez, galdera hau egiten dugu, alegia, ea egon daitekeen higidura

oso bat (kanpoko bortxaketaz sortija izan daitekeena) zeinean

azelerazioak egon arren denetara erradiaz.i o osoa nulua den. Ohar gisa

diogun, sistema jarra¡ makroskopikoetan horrelako kasuek aipatu

direla /73,74,751

Partikula bakarraren kasuan ezaguna da, halaber, erradiazio nulua

izateak azelerazio nuiua halabehartzen duela . Baina bí partikularen

kasuan kontutan hartu behar da ekarpen mixtoaren eragina eta hauxe da

hemen arduraz aztertuko duguna, partikulen ekarpenari buruz partikula

bakarrari buruz esandakoak errepika baitaitezke . Sarrera hau beste

ohar batez bukatzeko, diogun ezen tetramomentu lineal erradiatua

aztertuko dugula soilik .

89

Behin eta berriro aipaturiko /11/ erreferentzian, tetramomentulineal erradiatuaren ekarpen mixtoaren azterketan, honela adierazten da`~ angelu-unitateko eta bi partikulen denbora propinen unitateko, ('r,, -CtZ)

,

erradiatzen den tetramomentuaren eKarpen mixtoaren proportzioa :

-42 d7,2( 1k 1a d`f4 -,dv2

411 92 (a ~-~Cos ~)(253

,~ _ e~Z(c( +~C°sT)2C~2-~

{ h)2J +ez(~+~cos~)z[ z -

(K2 2)z+

+ 2e e2[~u~ w2)(Ki51)(K252)+(ut5z)(K+ 1~ + (2 1;(L2 z) +( 5z)]

en eta

t

eTa

zten a rean 4vm IC

eta

2

1.J1 rr'J .ber an k~

a z 1 /L .

-

A~+cb 1

~y to, 2

'eŕar cielarik. (253) adieraz en nc-~r. :

Onf~ jur~"n caicoitzj~' dac;~K~o,

eta,

noski,

konfigurazic

bakoitza

eta

guztiak

ezagutzeko,

uníbertso-lerroak osorik ezagutu behar dira .

ueure arazoa ebazteKo eraoiii dugun me odoa, honelaxe laburbil

aezaKegu . Energía erradiaturik, edota momentu lineal erradiaturik ez

egoteko, / t delakoak~nulua izan behar du, , 21 eta Z2 a~dagalen balio

guztietarako, 4 ~r at co (Q) > 0 f -> d eta, adibidez, k1 > 0 betetzen

baita . Frogatuko augunez, fi=0 berdintza ~-ren balio guztietarako

nulua dela suposatzea, nahikoa da 5,N = 52 = 0 izan benar dela

ondorioztatzeko .

Azelerazioei dagokienez, lehenengo

pauso

batetan

( 99adierazpeneko hipotesia onar dezakegu, eta horretan oinarrituz, kaikulunahiko zuzenen bidez azter dezakegu azeierazio nuluen halabeharketa .

Hala ere, azterketa oroKortzeko, ez dugu inclako trabarik jarrikc

90

azelerazioetan, eta aurreko hipotesiKoez gain beste osagai bat sartuko

dugu.

Oinarri modura

t1 ~~ t2 , j ) sistema erabiliko dugu . Eta ( aua,=0

baldintzak kontutan hartuz, honetara idatz ditzakegu azelerazioak :

a _a ~a+~

ta+ C

o(

_O5

)a

a

o a , a'

a

, ,tieto a ..~art~~~:

a,ako era( 2 5 ' . ? ai r azpena :

non

= R 2 = R °`R _~

Ro~

C4( k

4[4u~ f +

uá~ k~ ~l

den . Erradiazio nulurako baldintzen azterketa, beste gaidera honetara

itzul dezakegu: Zeintzu baldintzatan bete

adaiteke

Nabariki ikus daitekeenez,

eta, ondorioz, R 2= 0

izan dadin, ha'acoeharrez

IK

ai+ e2(k2 u1) IZ

+ uL Ck2~2

91

1273)

C<

k 1° `

bektore nulua baita .

). koetizientearen baiioa erraz aurki daiteke, (?72) eta (274)

adierazpenak u ~ delakoaz biderkatuz, berdinduz eta (k4

delao(

erabili' .

horrela kaikuiatuz, R fietrabektorea honela eman dezakegu :

R ~1 (k~ u2)(k 1 1 ) k~ - Zt K2 ~1)

Cera:, = o denean eta Crduan soilik, R` -~en 272) eta (27J)

adierazpenak berdinak dira . 3erdintza horretatik, ga ak berrordenatuz,

hauxe lortzen dugu :

e1(11 u2) [ 510(

+ ~k4

1 ) ~~ - (ki~4)

k 1 f

+- 2(k2~1) 2+(kZ 2)u2 +j( 2 it 1)~(u,uZ-)ck2~2)~k

1

(2 U4)+(U1

~,c2)(kz 52)

92

4

(274)

aV2ÍJi

0

(276)

Adierazpen honetako gaiak osagaitan banatuko ditugu, horretarako

C~t1 ~2, q_ á ) sistema erabiliz. izatez, unibertso-ierroak emanez eta

bertako ~puntu-bikote bakoitzerako, aurreko adierazpenean

askatasun-gradu bakarra dugu, T angeluari dagokiona hain zuzen.

Bestetik, T -ren balio guztietarako bete behar denez, baldintza hori

erabiliko dugu azelerazioen osagaiak lortzeko . Honeiatan, ba, osagaien

arauerako banaketa eginez, emaitza hau erdiesten dugu (bertan

L = a+~cos~Q delarik) :

0= 4 0' a, {- elL(1-(~~-L.

2 ~+ a2{- e2L~'(l+k12L~2)2L~} }

+~12 el L(k-L)(~1-L~2~+~ j e2 L'{-A2+k(k-L1~~~~~-L~2~+

+ e 1 e i L ŕ12 s¿n, `~ (~1-L~5)+ iiL1k

12s¿n `P L {(~4-L~)]+

21

51

+ Z a1 {e,L(~f -L )~~Z(k-L)~faZezL'~2M(2,-L~Z)(-L- ' +k)+-

+ ~12~-P-f

L(4 - (k-L) kXZ + (K-L) LA 2)}

+-

+ ~24 {e2 L (`k-L- JAZ f L - A-2(K-L-')KL)~ +

+ C1 { e1 L ŕ s~n 11 2 (k-L + Z{e2 L r1 S,n~112(J<-L') +

21

Zf

+011a,

e1 L ~a1-L -?-2) ~2 X{Z sí tC + a2 f C2 LA1k 42 (a+-

Xf2 sinef0

Zf

+~42 e1 L~K-L)r2sl~~ f~21 ez L-'~-

S (rnq -i-1~

Zi

+C{ e1 L(f _ X+Z sin2~ +CZ -e2 L f(1-kL i Xf2 ~ . 2(~~

(`77)

1

1)

22ii

24

eta oinarrizko bektoreen osagaiak zein bere aldetik anulatu behar

direlarik, era honetara idatz dezakegu aurrekoa, bí partikulen

azeierazioen osagalak berdintzaren alde bietan banatuz :

93

{-2 L' -9+K~Z ~

ZL~ á+ eZ L ' ~ltk~K-L (e- 1) ~+ 1LkY~5in~L(-L 2;278a)~~

ru

Lzl Á2(K-L)~q,+~-e, L[1 Á2(k-L)

2

]~~42t~e1L x{Z Sí Y1C-L)}C

1

-eZL Z Z~ ' - L~ k-L' a +{e L2 ~ f~2 K-l' (+-KL)fL~~21 +{-~L{ X+ 2 sín~~t~x-L') C2 ."8b))J 2

{e,L(L;) 2..~i2 sín 1Fa 1,,-~}+4e, L (K-L) X12 SínLC.

z11

= e21 1 i,

~Z~L

íx~sin~ át~eZ -( 2 kí -C X2 si

F,

z,2

Es-an bezala, adierazpen hauek Y an geluaren ball- uz, (0

bete ehar dira. 8estaide, parametroa agertzen c nckc turtz oenbakoititasuna ado bikoititasuna kontutan hartuz, zehazki sin y cbakoitiaeta cos T eta L = K +1 CDs T bikoitiak direla, (2-78a) adieraz^eneko tuntzlobakoitiak aztertuz, emaitza hau lortzen dugu :

e1 ~c< +~ cos')3c - 2 k c2 = 0

(279)

-ren edozein baiiotarako bete behar dela kontsideratuz, ondorio hauaterat_en dugu:

94

2L [i -~ sf h2~] ~ ci

21

-,

2-KL~

12-1z

lsín2~, C 278c)z

C _ e = 0

(230)1

2

Hortaz. Ca- 0 eginez, (278) adierazpenak honela geratzen zaizkigu :

2

2e~L[~

>ó7=; eZ L

tC-i + k~2~

Z L ~] A Z +~ zL~~-h+k~K-C')J~z~-l )~i1 ~ ( 281a)

fe1L(L 2~2(k-L)a~~ - .j l

a

e-7-

1

2az

I- e, (cl+p ¿es tf)

)~2,

(281b)

{e1 (1-L2)2~

íñ 2 sin~}a1 +~e, L(x-L) ? sín 9 j12

_ e2 L'k~ 2~~1 L~1)L' Xf2 sin~P?a + e2 L~[ .Z 1X'Zsí 1D (281c)z1

F21

1

Ekuazio-sistema honetako lehenengo eta hirugarrena hartuz, a1 eta % 2

kaikulatzeko Cramer-en erregela erabiliz, ebazpen bakarra dugula

dakusagu :

(282)

Hemen ere, T -ren edozein baliotarako bete behar da baidintza hori .

Baina, behin cL 1 emanik, a2 bakarra izan beharko genuke . Hots,

baldintza betetzeko aukera . bakarra,

izatea da .

Prozesu berberari jarraituz, erraitza hau lortzen dugu beste bi

osagaiei dagokienez :

~ =- e2

1~2

2Z" -L42 e z (Z, 2

o = a = 0z

eta arra_~~i óer-erenaatik :

= ~ = 042

21

Hots, dene _ara . err adiazio nuiurarc baldintzak

izatera garamatza .

Beraz, ez da ez higidura osorik eta ez

konfiguraziorik,

zeinean

egonik

bi

partiku?aren

erradiazioa

aelektromagnetikoa nuiua izan daitekeen,

' # 0 edota52

~ 0 betetzen

delarik .

96

( 2> 83)

Limiteko zenbait arazo .

Aurreko kaikuluak egitean, bi partikuien abiadurak berdinak ez

airelako baldintza jarri dugu (á ), alegia :

~d , u2)-~-1

ó¿

0<

• v ¿ V

i,V~nC~an l 1 i1 - L; ri ' nCtaN ,

k _ - (-u.4 u2)= ~

A2 = k2-1 = 0

eta . ondorioz, lehenago lorturiko emaitzetan c1oer4entzl arazoak a_uer

daitezke . Hain zuzen arazo horiek dira at& honetan aztertuko ditugunak .

«

a

!k.us dezagun, ba, nolakoak diren limiteko arazoak -ti2 -- u~ egitean .t-,

a erreferentzi sistema erabiliko dugu zeineanha,ku íuak bideral. .ek.-, u .~

,

,u. 22

_ ( k j

(k - ~[4 + A2)

?g2 )

97

C; (YX tribektore unitarioa econolakoa den. u2

- ren forma hau eraD ililliKo auqu

O egite<o . Horren arauera, modu honetara geratzen zaizk ,,*gil, guk

erablitako sistemako oina,-riz é<o bektoreak :

= (- 2

I

A j - kAA")

(293)

2e< = ( 0

1jl nA

)~

x120,= ( K)

IZII .

X-,',-)

non

eta

tribektoreak Wren. Argi ikusten da. (293) eta 1294)

adierazpenetan dibergentziagat ,,k

sortzen

eta,A

gairera, /n

horrek ez du limite bakarri~ '.295),efjonoliakoa deltarik,

u2nots, Lk~- L'L lCIA, nuroilketa nola egiten den arauera lo,-*zen !a. 5estal ;C e,

g1

2

leta ; parametroak eta r- ,2-

r-1

dis t antzliaK honeia geratzen dina .z

1<

X

2g7)

12

12

4 -

Z2= -

AX12

twx, r- = í¿ »'L r-= ~ 742-12

~k--- 4

k-- 4

98

1296)

(299)

hau da, 1 2 eta 1j ongi definiturik dauden arren, E i , Z2 parametroetan

dibergentzi arazoak ditugu eta gainera

-ren indeterminazioa dugu .

Arazo honen zergatikoa 6. irudian ikus daiteke, zeren uq eta LZparaleloak izatean, 2, eta zZ ez baitaude ongi definiturik .

etrarromentu lineal erradiatuari dagokionez, ondoko irazkinak

eg,.n ditzak.egu :

Y'r3momen ±' :

ne& :'rradiatu osoaren

~) ~~?

!

ao raz .eneLat ; ;;,':'e-urozesuak segituz, arg, ;KU.3Len aa, gu:t ;aK

t~ oergenteaK dlr u a, diherQentzla -L er-acoa de ar'K, adibide7,

tr

1 3 M Z 2 ~3A1

d (9.3)era berdin

Ptr

Gainera ñ .

ere ageri _aigu, eta (2 )

adierazpenean ikuSi c ugunez, nori ere ez dago ongi aef niturik .

-Hala ere, aldiuneko croportzioak kalkulatzean, balio finituak

ortzen ditugu :

«(u, 2)J., 19

Pr

_2 d

2

4

Al o á ~1

3 rn11 7,21

y

apra~2~~~

2

u~ (302)

-A-0 a ~2

3 mz 7~2I

~karpen mixtoaren propcrtzica honda adieraz daiteke

99

aaz

` 303)TT ó z1z

non 'fza delakoak 1.t2 --• LL° limitean ondoko balioa duen :

1= ele2

[ (~~)- (k2 Tf ~

, z

Z4WIPt 2r ¡ z z

)_ e, e,

-,k,o

' z1 D E2» z

2T-

,-Tr

[(5,5z)-(k~,)( 2)

k <

dela.o magnitudea it xuraz 'iniuua da, ez baitago inolaK.o arazor'Kin terrazloar. Hala pre , ar a z o a K d auz

rme

r - -, , .

.

~ ..~~ . .

. :, :

ge ,_- ._r 'ce

de aKooarekin, (2Q5) adierazpenean ik'usi dugunez, -- ^a tag , --)ni; ,,

deiiniturik .

Beraz, era desberdinetako orooorzroaK integratzean, aicergent_ ,oa

T en dira, zeren, b~i abi adurak b~ d inak

:a" ear,ara~~ .;~k sortL

e,T

--

,

integrazioan etengabe prcccrtzioen balio berúerak marzentzen

baitira ; eta, horregatik, dibergentzia !ehenengo ordenakoa ca.

Tetramomentu angeluar erradiatuari dagokionez, antzerako _erbait

esan dezakegu:

- Tetramomentu angeluar oscaren csagai guztiek lehen ordenako

dibergentz~a dLte, alegia, 4 piaren arauerakoa .

Ir

3 m1 12 A

i n

100

T"~~(A, '3) =

3 1

4 ~,Ia ,upl

(307)m2~ 2 /l.

.T3(212)

=rn~

rmZ

{

-~,R u/37

( J~ 3Í

Tatr amomentu ange ll iar lntrintseko errad atua aztertzean 8r e,

antz°ra gertatzen da, hau da, e radiazio osoaren Dalla CBÍ~{UÍatzen,

ehener G~ '~1 denaŕr~

ber^en"'a a a rf '~a, ~

'r Jv 'Ja . J~rr *az calnera,L

?ra t. oat €r'e inri : ra?_en _a''; J. _eren

~c~

~~

u , ~í 5 - (0

X12 A m /

A'j-. j} .:aK 4t norab dearen merceK.otas~ .~na b '

101

H . OS1N-MUGA

FRAKTALAK

11 .1 . SARRERA.

Sistema dinamikoak aztertzean, ohiturazkoa dugu sistema

linealekin aritzea, horiekin ebazpen akademikoak lortu ahal baitaitezke.

Irakaskuntzan behinipehin, aide batetara utzi ohi ditugu sistema

ez-linealak, horien kasuan ebazpena gehiegi korapilatzen baits, edota

ezina bihurtzen baitzaigu metodo arruntez.

Hala ere, azken urteotan garrantzi handia hartu du zientzia

ez-linealak eta, haiaber, bertan ager daitekeen kaosaren azterketak .

Kaosaren beraren agertokiak ere sailkatu egin dira/34,35,36,37,38/

Guk sistema ez-lineal baten azterketa egingo dugu bigarren ata¡

honetan; baina kaosa aipatu dugunez gero, ohar bat egin behar dugu

geure kasuari dagokionez . Nahiz eta - gure ekuazioan ere erakarle

kaotikoak ager daitezkeen (parametroen zenbalt ballotarako noski), geuk

aztertuko ditugun biegonkortasuneko kasuetako erakarleak, ez dira

kaotikoak izango, bestelako eratako erakarle arruntak baizik

(muga-zikloak, adibidez) .

Bestetik, diogun ezen, aukeratu dugun sistema, jaraunskorra deis .

Sistema jaraunskorrak, fisikaren arloaz gaínera, zíentziaren beste arlo

desberdinetan ere agertzen dira, hala nola ekonomian, populazioen

azterketan edota medikuntzan/ 1,46/ eta beralen azterketan asko

aurreratu da.

Honelatan,ba, ekuazio jaraunskor baten biegonkortasuneko kasua

aztertzean, bi erakarleen erakarpen-osinen arteko mugaren izaera

aztertzera saiatuko gara; zehatzago esanik, osin-muga horrek zeintzu

baldintzatan duen izaera fraktala/ 50,51 / aztertuko dugu.

105

11 .2 . SISTEMAEZ-LINEALETAKOERAKARLEAK.

Sistema dinamikoa faseen espazioko puntuen eboluzioa arautzen

duen ekuazio-multzoa da, eboluzio-parametroa jarraia edo diakretua

izan daitekeelarik .

Sistema linealen azterketa ongi finkaturik dago, eta bertan,

existentzia eta bakartasunaren teoremaren bidez, hasierako baldintzak

ezagutuz, sistemaren eboluzioa zein izango den jakin daiteke,

determinismoari buruz inolako arazorik eduki gabe. Gainera, sistemaren

eboluzioa sinplea da eta funtzio ezagunen bidez adierazi ahal izaten da.

Sistema dinamiko ez-linealen kasuan, ordea, arazoak agertzen dira

eta eboluzioa asko korapilatzen da. Horrela, era desberdinetako sistema

ez-linealetan eboluzio kaotikoa agertzen zaigu, hala nola iterazio

unidimentsional ez-alderanzkarrietan/ 25/, iterazio bidimentsional

alderanzkarrietan /25,40,41/9

ekuazio

diferentzial

arrunten

sistemetan/25,42,43/, deribatu partzialetako sistemetan/ 25/ eta ekuazio

jaraunskorretan '44,45,46,47,48,49/ •

Horrelako

sistema

iraungikor

guztiotan

erakarle

kaotikoak

ager

daitezke,

ekuazioen

kontrol-parametroen bailo batzutarako .

Dena den, aurrera baino lehen diogun ezen, sistema dinamikoak

kontserbakorrak edo iraungikorrak izan daitezkeela, faseen espazioko

eskuaide baten bolumena sistemaren eboluzioan zehar kontserbatzen den

ala ez kontutan hartuz. Izatez, guri sistemak denbora luzetara (t--- oo )

duen eboluzioa (ebóluzio-parametroari denbora deituko diogu)

interesatzen zaigu, eta halaber, sistema iraungikorren kasua, hauexek

baltira erakarleak edukiko dituztenak .

106

11 .2.1 . Sistemadinamikoez-lineal iraungikorrak .

Esan bezala, sistema iraungikorretan faseen espazioko eskualde

baten bolumena uzkurtuz doa eboluzio-parametroa handitzean . Ondorioz,

hasierako baldintza desberdinak dituzten ibilbide desberdinek,

denborarekin bolumen txikiagoko eskualde berean higituko dira .

Hasierako baldintza desberdinetako ibilbideak biltzen dituen eskualde

horri, erakarlea deritzo'28/ . Erakarleen definizio zehatzagoa /76/

erreferentzian aurki daiteke.

Mota desberdinetako erakarleak ageri dira sistema dinamiko

ez-lineal iraungikorretan eta berorien artean, puntu finkoak, muga-ziklo

arruntak, n-zikloak (hemen bifurkazioen turrusta letorke) eta erakarle

kaotikoak.

11 .2.2 . ErakarDen-osinak .

Sistema dinamiko ez-lineal iraungikorrek erakarle bat baino

gehiago eduki dezakete, alegla, denbora handitzean bat baino azken

egoera asintotiko gehiago . Zer esanik ez, azken egoera horrek hasierako

baldintzen menpekotasuna ízango du.

Ondoko definizioa eman dezakegu: Hasierako baldintza modura

hartuta azken egoera edo ibilbide asintotikoan erakarle batetara

eboluzionatzen duten faseen espazioko puntuen multzoari, erakarle

horren erakaroen-osina , deritzo . Definizio matematikoagoa /77/

erreferentzian aurki daiteke.

Geure lanean, nagusiki, bieaonkortasuneko kasuak aztertuko ditugu,

107

hau da, erakarle bi dauzkaten sistema dinamiko ez-linealak. Grebogi eta

lankideen bidetik/40", biegonkortasuneko erakarpen-osinak eta

osin-mugak definituko ditugu .

A

11 . Irudia

Demagun bi erakarle ditugula A eta B. Faseen espazioko eskualde

batetako puntuak hasiernko baldintza modura hartuz, sistema

dinamikoak bere eboluzioan A erakarlera joko du. Eskualde hori zuritan

adierazten da 11 . irudian eta A erakarlearen erakarpen-osina da.

Beste eskualdeko (marraturik dagoena) puntuen eboluzioa B erakarlera

zuzenduko da, eskualde hori B erakarlearen erakarpen-osina delarik . Bi

eskualdeen arteko banaketako mugar¡, 2-ri, osin-muaa , deritzo .

Osin-muga era desberdinetakoa izan daiteke . Batetik, nolabait

esateko, osin-muga arrunta edo leuna dago eta, kasurako, faseen

espazioaren dimentsioa D baldin bada, osin-muga leunaren dimentsioad = D-1 izango da. Baina, bestetik, osin-muga fraktala ere izan daiteke

108

eta, orduan, beraren dimentsioa d > D-1 izango dal 40/ .

Osin-mugen dimentsio fraktalez gain, erakarleen dimentsioa ere

azter daiteke/46,78/. Edozertára, esan beharra dago ezen erakarle

ez-kaotikoekin ere ager daitezkeela osin-muga fraktalak, eta hain zuzen

horixe da gure hemengo aztergaia . Prezeski, erakarle arruntak dituzten

biegonkortasuneko kasu desberdinetan ezagutzen dira osin-muga

fraktalak, gutxienez iterazioekin/40,52/ eta ekuazio

diferentzialekin /42,53,88,89/ . Gure kezka, ea ekuazio jaraunskorretan

antzekorik ageri den aztertzea da.

11 .2.3 . Sentikortasuneko eskualdea .

Aurrera baino lehen, aurreko atalean aipaturiko dimentsioen

esangura azalduko dugu140/. Demagun hasierako baldintzak doitasunez

ezagutzen ditugula (ikus 12 . irudia) . Mugatik urrun samar bagabiltza, ez

da arazorik agertuko; adibidez, hasierako baldintzak 1 puntuari

dagozkionak badira, E errorea egon arren sistemak beti joko du B

erakarlera . Hala ere, mugaren inguruko puntuen kasuan, zalantzak eduki

ditzakegu, zein erakarlera joko duen jakiteko ; adibidez, 2 puntuaren

finkapena ¿ doitasunez egiten badugu, sistemak A zein B erakarlera jo

dezake. Horreiako baidintzetan, faseen espazioko eskualde ez-ziurraren

bolumenak kontsideraturiko espazioaldearen bolumenarekiko frakzioa, f,

azter dezakegu. Irudiko kasuari dagokionez, muga leuna delarik, argi

dago ezen f -E dela. Dena den, hau ez da beti horrela gertatzen, eta ez

hori soilik, sistema dinamiko ez-linealetan bestelako erlazio hau

agertzen da sarri :

109

non

a < 1 den. Hain zuzen horixe gertatzen da osin-muga fraktala

denean. Horrelako kasuetan azken egoerarekiko sentikortasun-eskualdea

A

B

12 . irudia

dagoela esaten da, eta orduan, unítatea baino nahiko txikiagoa denean

adibidez, hasierako baldintzen doitasuna, E. , asko hobatu arren, ez da

horrenbeste hobatzen azken erakariearen ezagutzan dagoen

ziurgabetasuna, berau f frakzioaren bidez nolabait adierazita

dagoelarik.

Era honetara definitzen dugu, bestalde, osin-mugaren dimentsioa,

kapazitatea ere deitua/40,46,50,51,81/ , Demagun faseen espazioaren

dimentsioa D dela. Baldin osin-muga osoa 6 luzeratako erradioa duten

bola D-dimentsi,onalen bidez estaltzeko, behar diren bolen kopurua NW

110

bada, ondokoa da osin-mugaren dimentsioa:

hots,

In N( ,E)

d = lim (2)F-~0

In (1/E)

hau da, N(E )

~d (E--- 0). B e raz, lehen aipaturiko f frakzioa honelaxe

eman ahalko dugu:

muga estaltzeko bolen kopurua

k E -d

f=

faseen espazioa estaltzeko bolen kopurua

k' E -D

oC = D-d

(4)

da. Osin-muga fraktalen kasuan d > D-1 da (muga leunen kasuan, d = D-1) .

Eta hortik argi ikusten da, osin-muga fraktalen kasuan, oc < 1 denez,

sentikortasun-eskualdea izango dugula. Beraz, muga fraktalekin

oztopoak izango ditugu azken egoera asintotikoko erakarlea zein den

aurresankortzeko .Adibide modura, horrelako osin-muga fraktalak

iterazioen kasuan nola ager daitezkeen ikusteko, /40/ edo /52/

erreferentz¡etara jo daiteke.

11.3. EKUAZIO JARAUNSKORREN ERAKARLEAK

ETAERAKARPEN-OSINAK.

Jokamolde kaotikoa eduki dezaketen sistema dinamikoen artean,

ekuazio jaraunskorrak dauzkagu . Orain arte, horrelako ekuazloetan ez

dira aztertuak izan erakarpen-osinak eta zer esanik ez are gutxiago

osin-mugak.Beraz, ezezaguna zen, ekuazio jaraunskorretan osin-muga

fraktaiík agertzen ote den . Hortik datorkigun kezka, bertako erakarleak

eta erakarpen-osinak aztertzearena da. Dena den, Ikusiko dugunez,

ekuazio jaraunskorretako faseen espazíoa infinitu dimentsiotakoa izanik,arazo bereziak azalduko zaizkigu, baí hasierako baldintzak definítzean

eta bai osin kontzeptua aztertzean ere.

II. 3.1 . Ekuazio jaraunskorrak .

Nolabaiteko definizio bat emateko, honelaxe zehatz dezakegu

ekuazio jaraunskorra zer den : Izatez, ekuazio diferentziai bat da, baina

bertako funtzioak eboluzio-parametroaren bailo desberdinetarako

hartzen dira batera; zehazki, eboluzio-parametroa t izanik, honela

adieraz dezakegu n ordenako ekuazio jaraunskorra :

dnx

dn-1 x

dn-1 x(t) = Wit, X(t), x(t-r), . . .,

(t),

(t-r)]

(5)

dtn

dtn-1

dtn- 1

non r balioa atzerapena deituko dugun. Arrazoi horregatik ekuazio

jaraunskorrei argumentu atzeratudun ekuazloak ere deritze. Ohar gisa

diogun ezen atzerapena konstantea edo aldakorra izan daitekeela .

112

Si ekuazio diferentzial arrunten kasuan,

dx

dv- = v

- = g( t;x,v)dt

dt(O)

t = t o baliorako . x(to) = xo ; dx/dt ( to ) = y o emanik. existentzia eta

bakartasuneko teorema d ugu eta horrela ehazpen bakarra, 'f (t ;x o,v o ),

_era betetzen duena .

d P

dv

dc-l.t ;x0 ,v 0} = 'v

(t ;x o,v 0 ) = ; Pi

.- (,t;xo,'vo)]

(7)dt

dt

dt

non

? +,t,- ;'(o .,lo) = x o

("'3)

_ t,t0; :io,'1o' = vo

dtt

Baina ekuazio jaraun3 korretan ez da horrela bakartasuna

bermatzen. Hain zuzen, hasierako baldintzak denbora - tarte batetan

eman behar dira, r atzerapenari dagokion tartean; adibidez, hasierako

baidintza madura `?,(t) funtzioa eman beharko da -r L t L 0 tartean .

lntegrazioa pausoz pauso egin ahalko da, zeren o +~tti funtzioa erabiliz

0 - t :!i~ r tartean integra baitaiteke ekuazioa, jadanik ekuazio arrunt

bihurturik baitago. Horrela, pausoz pauso t > 0 tarterako ebazpena

lortuko dugu, zeina bakarra den; hots, denboran aurreranzko ebazpena

lor dezakegu .

Dena den, gurí ardura digun adora itzuliz, hasierako baldintza

madura funtzioen espazio batetako funtzio bat giman behar dugu, hau da,

113

infinitu dimentsio dituen espazioko elementu bat. Zentzu horretan, eta

existentzia eta bakartasuneko teorema zutik utziz (egia esan,

aurreranzko ebazpenei dagokienez soilik), gure hasierako baldintzenespazioa infinitu dimentsiotakoa dela esango dugu .

11.3.2 . Ekuazio iaraunskorren erakarleak.

Aurreranzko ebazpenak azter ditzakegularik, sistemairaungikorren eremuan abiatuz, denbora handiagotzean lortzen diren

ebazpen asintotikoak aztertuko ditugu, ekuazio jaraunskorren

erakarleak alegia .

Mota desberdinetako ekuazio jaraunskorren erakarleak aztertudira/44,45,46,47,48,49/ eta ]an horietan ikusi denez, kasu honetan ere

lehen aipaturiko erakarle-mota guztiak (puntu finkoak, zikloak,bi-zikloak, . . ., erakarle kaotikoak) agertzen dira . Hain zuzen, erakarle

moten kaoseranzko bilakabidea ageri da, ekuazio horietako parametroen

aldaketaren arauera, parametro horien artean, atzerapena adierazten

duena oso kontutan hartzekoa delarik. Erreferentzia

desberdinetan /46,49/ erakarle horien sailkapena egiten da, eta erakarle

kaotikoei dagokienez, zenbait kasutan beren dimentsioa ere neurtuda/ 46/, dimentsio ez-osokoak (fraktalak) direla ondorioztatuz .

114

11 .3 .3. Erakarpen-osinak ekuazio iaraunskorretan .

Ekuazio jaraunskorretan egoera asintotikoan erakarleak agertzenbadira, sistema determinista izanik, bistakoa da, erakarle bakoitzakbere osina izango duela, alegia, hasierako baldintzen multzo bat izango

dela zeinetatik hasirik sistemak erakarle horretara joko duen. Arazoamaila praktikoagokoa da ordea. Nola adieraz ote daiteke grafikoki osina,hasierako baldintzen espazioa infinitu dimentsiotakoa izanik? Gukezagutzen ditugun osinen adierazpenak140,42,52,88,89,90,91/ beti egin

ohi dira bi dimentsiotako irudian .

Arazo hori neurri batez gainditzeko, hasierako baldintzen

espazioko azpiespazio bat hartuko dugu, prezeski bi dimentsiotakoazpiespazio bat eta, horrela, azpiespazio horretan osinak definitu ahalkoditugu grafikoki .

Labur esanda, -r t :!r= 0 tartean emango ditugunY O (t) funtzioen mota murriztuko dugu, bi parametroren bidez

definitzeko modukoak soilik hartuz.- Hala ere, hori modu askotara egin

daiteke eta lehenengo maila batetan, ondoko erara definituriko hasierakobaldintza linealak hartuko ditugu:

Y O (t)=xo +vot

-r :!:-~ t :!1~- 0

(10)

eta gero , (xo,vo) grafiko cartestarrean jarriz, holako hasierako

baldintza bakoitza puntu batez adierazi ahalko dugu, bide batezosin-mugak aipaturiko azpiespazioarekin duen ebakidura irudikatuz .

115

11.4 . EKUAZIO JARAUNSKOR BATEN AZTERKETA .

Oraín arte II . ata] honetan esandakoak, kontzeptu orokorrak izan

dira. Ideia horiek konkretatzeko, geure lanean ekuazio jaraunskor bat

aukeratu dugu eta beraren azterketa zehatza egitera saiatu gara .

111 .4.1 . Duffina-en ekuazioa .

Abiapuntu modura, behin eta berriro azterturiko ekuazio bat

aukeratu dugu'921 . 1918 . urtean Duffing-ek hirugarren ordenako

zurruntasun-gala duen osziladore baten proposamena egin zuen . Gu

ekuazio horren forma berriago batetik abiatuko gara, zehazki esanda,Moon-ek eta Holmes-ek'93,94/ eta Moon-ek eta Li-k/42/ proposaturiko

ondoko ekuaziotik:

1x +~x - - x(1-x2 ) = f coses t

(11)2

Eredu honen garrantzia eta egokitasuna, jadanik beraren dinamika

kaotikoa eta ez-kaotikoa ondo aztertuta daudelako dator, eta hori ongi

ezagutzen da simulazio numerikoaren bidez eta ordenadore analogikoen

bidez /93, 94/ . Gainera, Moon-ek experimentalki aztertua da, habe

elastiko baten pandeoan'801 .

Aurrera baino lehen azal dezagun, ekuazio hori zein sistema

fisikori dagokion. Moon-ek eta Holmes-ek erabilitako muntaia

experimentala, 13. irudian adíerazten dena da. Bertan ikusten denez,

altzairuzko habe mehe bat, behekaldean imanak dituen sistema zurrun

116

batí finkaturik dago. Berauen erakarpenez, habea baterantz etabesterantz abia daiteke . Horretaz gainera, sistema zurrun osoak

kanpoko indar sinusoidal baten eragina jasan dezake eta, bestalde,habeak indargetzea pairatzen du, inguruko airearen biskositatearen etaimanen indargetzearen kausaz. Beraz, fisikoki honela uler ditzakeguekuazioan ageri diren parametroak:

Ó: indargetzearen neurria adierazten duen parametroa .

f : kanpo-indarraren eraginez sorturiko oszilazíoaren anplitudea .

(o : kanpo-indarraren maiztasun angeluarra .

Én dar bortxatuI habea

si nusoidata

1 1

II

imanak

H

Heuskarri zurruna

13. Irudia

117

seinate elektrikoa

Bestetik, geroagoko Ian batetan/42" Moon-ek eta Li-k ekuazio

horren biegonkortasuneko kasuko erakarpen-osinak aztertu zituzten,

denbora berean mota desberdinetako osin-mugak arakatuz, hots, muga

leun eta fraktalak. Beraz, egoki eritzi diogu ekuazio honetatik abiatzeari,

geure emaitzak zerekin konparatu izango baitugu .

11.4 .2 . Aukeraturiko ekuazio iaraunskorra: MLA ekuazioa.

Agerikoa denez, Duffing-en ekuazioa ez da jaraunskorra. Baina

kontutan hartuz, bestelako konportamoldeak aztertzeko,ekuazio horrek

lehenagotik ere zenbait lanetan aldaketa batzu jasan dituela, geure

aldetik argumentu atzeratuak dituen gai bat gehitu diogu, c z = c x(t-r),

horrela Moon eta Li-ren ekuazio aldatua deituko duguna lortuz, MLA

ekuazioa alegia:

1x+ix--x(1-x2)+cx = fcos cut

(12)2

Ekuazio jaraunskor honetan, c parametroak gai jaraunskorraren

garrantzia neurtuko digu eta r parametroak, atzerapena, hots, xdelakoak posizio atzeratua adieraziko du, beste parametroek Duffing-en

ekuazioko esangura berbera dutelarik .

11.4 .3. MLA ekuazioaren intearazioa .

MLA ekuazioaren integrazioa modu numerikoz egingo dugu, batetik

Hermite-ren interpolazioa eta bestetik Runge-Kutta-ren metodoa

118

erabiliz 195", prezeski laugarren ordenakoa (ikus C eranskina) .

Lehenago aipatu dugunez, ekuazio jaraunskorretan arazoa dugu

hasierako baldintzak ematerako orduan . Gero, erakarpen-osinenadierazpen bidimentsionala egin ahal izateko, 11.3.3. atalean azaldu

ditugun arrazolak tartean direla, bí parametroren bídezko baldintza

linealak aukeratuko ditugu, zehazki (10) adierazpenekoak:

TOM =xo +vot

-r!!!= tG0

t = 0 denean posizioa eta abiadura x o eta vo izan daitezen hurrenez

hurren. Edozertara, 11 .4.9.2. atalean hasierako baldintzen linealtasun

ezak eduki dezakeen eragina ere aztertuko dugu .

111 .4 .4. Bieaonkortasuna MLA ekuazioaren kasuan .

Berriro ere ( 12 ) ekuaziora itzuliz, diogun ezen sistemaren higiduraarautzen duen potentziala,

1V(x) _ - (x4 -2x2)

(13)8

bi putzutako potentziala dela eta eskuin-ezkerrean bí oreka-posizio

dituela, x = ± 1, x = 0 puntuetan. Ondorioz, kanpo-indarraren eraginez

sortutako oszllazloen anplltudea, f , txiki samarra bada,

biegonkortasuna ageri da denbora luzeetarako, alegia bi lekudesberdinetan ageri zaizkigu erakarleak (puntu finkoak edo zikloak),

119

lehen esandako puntuen inguruan. Anplitudearen balio handietarako,

higidura kaotikoak ageri diraJ42l . Dena den, Moon-ek eta Li-k erakarle

arruntei dagozkien biegonkortasun kasuen osinak aztertu dituzte . Ohar

gisa diogun, ezen biegonkortasuna bi eratako erakarleak (batak eskuin

aldean x = +1 , z = 0 puntuaren inguruan, eta besteak ezker aldean x =

-1, x = 0 puntuaren Inguruan kokaturik daudenak) egoteari esaten

diogula, nahiz eta aide bakoitzean mota desberdinetako erakarleak egon

daitezkeen. Horrela, f = 0.1 eginez, bai eskuinean eta bai ezkerrean

bat-zikloak eta sei-zikloak ageri direla frogatzen da (gero 14 . irudian

ikusiko den legez) .

Ekuazio jaraunskorren kasuan, faseen espazioko dimentsioa

infinitua delarik, ezin ahalko dugu grafikoki erakarlea osorik adierazi

eta, orduan, (x,x) azpiespazioko projekzioa hartuko dugu erakarlearen

itxura nolabait adierazteko, eta projekzio horretan oinarrituz,

biegonkortasuneko kasuak aztertuko ditugu, horrela hasierako

baldintzen parametroen espazioan bi erakarleei dagozkien osinak

irudikatzeko .

11 .4.5. MLA ekuazioaren erakarle-moten sailkapena .

120

Erakarleen irudikapena lortzeko, C eranskinean datorren MLA2

programaz baliatu gara. Lehenengo pauso batetan, jadanik aztertuta

dagoen Moon-ek eta Li-k egindako kasuko erakarleak aztertu ditugu,

emaitza horiek 14 . irudian agertzen direlarik.

Bertako sei-zikloei buruz ohar bat egin behar da. Zenbait kasutan

oso higidura iragankor luzeak ageri d1ra, eta azken egoerara heldu

aurretik, hiru-ziklo batetara iritsi garela dirudi, Moon-ek eta Li-k aipatu

bezala. Dena dela, sasi-hiru-ziklo hori ez da egonkorra eta, nahiz tarte

iragankor luzea eduki, denborarekin sei-zikloa ageri da. Higidura

iragankor horren adierazpena eta sasi-hiru-ziklotik seí-ziklorako

pausoa, 15. irudian ageri dira. Bertan ikusten denez, denbora oso luzea

behar da, zikioa egonkortzeko . Prozesu iragankor batzu horren luze

izateak, sistema bere eboluzioan erakarlerantz iritsi denentz

erabakitzeko erizpideak gogortzera garamatza.

MLA ekuaziora itzuliz, (x,x) projekzioan ageri diren erakarleen

sailkapena aurkeztuko dugu. Hemen ere lehenengo interesatzen

zaizkigunak, biegonkortasuneko kasuak dira, aide bietako

oreka-posizioen inguruan, hau da, zikloak, bi-zikloak, bifurkazioen

turrusta eta, azkenean, erakarle kaotikoak. Honelatan, ba, 16. irudian

horrelako erakarle batzu adierazten dira.

Ohar berezia egin behar dugu, erakarle hauei dagokienez . Beren

arteko osin-mugak leunak direnean, normalean, erakarlera iritsi

aurreko higidura iragankorra ]aburra ohi da. Ostera, osin-mugak

fraktalak direnean edo egoera horretatik hurbil, oso higidura iragankor

luzeak ager daitezke, nahiz eta azkenean erakarle arrunt batetara iritsi .

Horixe da, hain zuzen, 17. irudietan adierazten den egoera .

Antzerako zerbait esan daiteke, bifurkazioen turrustari

dagokienez . Zikloaren izaera korapilatuz doan neurrian, prozesu

iragankorra luzatuz doa ( ikus 17. irudiko bi-zikloaren kasua), eta,

horrela, parametroak aldatuz, erakarle kaotikoa edukitzera heltzen gara

(ikus 18 . irudia) .

121

L.

5

u O

N

Ñ

mNm N

Ox -I

H

T 31m -11 M

.~ N

C -

x

II

m

4Om. ti

,m

M11 ~ ••

H!~V

N O

•

C1

u m

°g eN 6

~

!V

W

yy%

11Ñ

>!

N

N

N

. MII

OI

14 . Irudia : 6ai jaraunskorrik aabeko kasu batetakomota desberdineko erakarleak (bat eta sei-zikloak),bi oreka-posizioen inauruan .

122

rtLA2 :

g = 8.158 f = 8.100 c = 8.800 o = 8 .833 r = 1.808 h : 0.100Ha:ierako baldintzak : -6 .371 • t 8 .875

(-r <- t <- 8)

281 .480 <- t 1 302.900

Leihoa :

-2.40 S x S

2.48

-1.28 <_ dx/dt S

1 .28Pantalla ezabatzeko, jo 'E' . Hurrengo kalkulurako, jo 'W .

t1]A2 :

g = 8.158 f = 8.100 c = 0 .888 o = 8.933 r = 1 .886 h = 8 .108Hasierako baldintzak : -8 .374 • t 8 .875

(-r <_ t 1 8)

1585.280 1- t 111681 .788

ti

iiwWP~~

tLeihoa :

-2.48 S x S

2.48

-1.28 S dx/dt í

1.28Pantaila ezabatzeko, jo 'r . Hurrengo kalkuluraho, jo 'H' .

15 . Irudia : Goiko irudiko erakarlea, hiru-zikloarenantza eduki arren, prozesu iragankor luzearenondoren se¡-zikloa bihurtzen da .

123

x

x

16.

Irudia :

Ekuazio

jaraunskorrari

dagozkionzenbaít erakarle, biegonkortasuneko kasuan.

tt1A2 :

q = 8. L58 t = 8.188 e : 8.188 o = 8.833 r = 1 .888 h = 8.188Hasieralio baIdiassak: 1 .888 • t 8 .888

(-r i t i 8)

8.888 1 t 1 582 .288r

18. Irudia: Erakarle kaotikoa .

Erakarle kaotiko honen kasuan ikusten denez, higidura hau

potentzíalaren bi oreka-puntuen inguruan gertaten da. Izan ere, MLA

ekuazioaren ebazpena ez baíta beti biegonkortasunaren erakoa eta,

parametroen balioen arauera, erakarleek x koordenatuaren aide

positiboa eta negatiboa biak hartzen dituzte . Horrelakoetan arazoak

sortuko zaizkigu, erakarpen-osinak definitzerako orduan, ezingo baitugu

erabakí, erakarlea zein aldetan dagoen, aide bietan baltago ; edo bestela

esanda, biegonkortasuna desagertu egin da.

Edozertara, holako erakarleak ez dira guztiak mota berekoak. Guk

bi multzotan sailkatuko ditugu . Lehenengo multzokoak c parametroaren

-hots, gai atzeratuaren garrantzia adíerazten duena- balio

txikietarako ematen dira, c < 0.15 , eta ondoko grafikoetan ¿ ikurraz

adieraziko ditugu . Honelako erakarleetan, higidura iragankorrean

nolabaiteko zalantza ageri da behin eta berriro aide batera edo bestera

joateko, eta nahiz sarritan aide batean higidura luzea egin, higidura

iragankor oso luzearen ostean, azkenean, erakarlea aide bietatik dabil .

iQa. Irudia : Aldebietatiko erakarle peridikoak ; motadesberdinetako zikloak. Grafikoetan p ikurrazadieraziko ditugu.

IQb . Irudia: Aldebietatiko erakarle periodikoak .Azkena bederatzi-zikloa da . Hauek ere Q - ikurrazadieraziko ditugu.

Bestaide, denbora luzetara agertzen diren erakarleak, oso eradeberdinetakoak izan daitezke, 19 . irudian ikusten den bezala :simetrikoak, asimetrikoak, n-zikloak, eta erakarle kaotikoak . Esanbeharra dago, halaber, ezen erakarle horiekin batera, parametroenbailo berberetarako, erakarle arruntak ere ageri direla aide bietan .Hortik datoz, hain zuzen, erakarpen-osinak erabakitzeko oztopoak .

Bigarren multzokoak, gal atzeratuak garrantzi handia duenean

agertzen dira, c > 0.15 , eta geure grafikoetan A ikurraz adierazikoditugu. Kasu hauetan ez dago horiekin batera bestelako erakarle arruntik

eta gainera ez da zalantzarik agertzen bi aldeen artean, sistemadinamikoa era periodikoan batera eta bestera baitabil ; eta prozesuiragankorra luzea izan arren, sistema zuzenean doe erakarlerantz . 20 .irudian holako bi adibíde erakusten dire, gal bortxatua nulua denekokasuan. irudi honetan higidura osoaren (x,z) projezioa ematen dugu.Lehenengo irudia c = 0.16 balioari dagokio, eta beste biak c = 0.17balioari, nahiz hasierako baldintzak desberdinak izan, erakarleranzko

hurbilketak kanpo eta barne aldetik direlarik ; baina erakarlea bat berada.

11.4.6. MLA ekuazioaren erakarpen-osinak .

Pasa gaitezen, bada, blegonkortasuna agertzen deneko kasuetako

erakarpen-osinak aztertzera. Lehenago beste zenbait lanetan

jarraitutako adierazpen grafikoari/ 40,42/ lotuko gatzaizkio . Bi aldeetan

dauden erakarleak ditugularík, eskuin eta ezker aldean, eta hasierako

baidintzen espazloan hasierako poslzioa, x o , eta hasierako abladura, vo,

parametro bezala harturik, espazio horretako puntu bakoitzari

1 30

dagozkion hasierako baldintzekin sistemak zein erakarlerantz jotzen

duen aztertuko dugu. Eskuin aldeko erakarlera jotzen badu, puntu hori

beltz margotuko dugu; ezker aldeko erakarlera jotzen badu, zuri utziko

dugu, margotu gabe. Beraz, azkenean grafiko edo irudi bat lortuko dugu,

hasierako baldintzen espazioaren (xo, vo) adierazpen cartestarrean .

Hori guztiori ordenadorearen bidez egiteko, C eranskinean datorren

MLAOSi programaz baliatu gara .

Bizpahiru ohar egin behar dugu programaren erabileraz. Batetik,

diogun ezen, lehenago esan dugun legez, hasierako baldintza linealak

erabili ditugula ( Po (t) = xo + vto) , expreski bestelakorik azaltzen ez

bada behinipehin .

Bestetik, sistema erakarle batera edo bestera doan erabakitzeko

erizpide egokia hartu beharra dago . Hasiera batetan, Moon-ek eta Li-k

behin eta berriro aipaturiko lanean erabilitakoa aukeratu genuen,

ondokoa alegia : Lehenengo bost periodo zuzeni zegokien prozesu

iragankorra pasatzen utzi, horrela prozesu iragankorra desagertzeko,

eta ondoren ibilbideak eskuin edo ezker , aldean bost orbita egin arte

itxaron, x(t) posizioaren batezbestekoa kontutan hartuz, zein erakarlera

joan den erabakitzeko . Hala ere, horrela beren emaitza

errepikatzerakoan, konturatu egin ginen, ballo horiek muga inguruan

zeudela, eta erizpideak behin baino gehiagotan emaitza okerra ematen

zuela, hots, erizpide horren arauera erakarle batera zihoanean,

sistemak benetan beste erakarlera jotzen zuela. Hori u = 0.833 eginez,

5 2W = 37.5 denean, nola gertatzen den ikusteko, 21 . irudiko eboluzioa

azter dezakegu . Bertako 1, 2, eta 3 irudiak ikusita, aurreko erizpidearen

arauera, sistemak ezker alders jo duela erabakiko genuke; baina 4 eta 5

irudietan ikusten denez, denborarekin, egiatan sistema eskuin aldera

dos.

1 3 1

21 .Irudia :

1 . W maiztasunaren lehenengo bost períodoei (x,X)projekzioan dagokien ibilbidea .

2. Hurrengo bost periodoetan ezker aldean higitzenda.

3. Eskuin aldetik itzuli bat egin ondoren, berriro ereezker aldetik dabíi.

4 . Hamabost períodoren ondoren, eskuin alderairagaten da.

S. Eta denborarekin eskuin aldeko erakarlera iritsida.

Beraz, bertako erizpidea gogortu beharra eduki dugu eta horixe da

MLAOSI programan egin duguna. Dena dela, zenbalt aproba egin ondoren,

nahikoa izan dugu honelaxe egitea: Lehenengo t = 40 tartea pasatzen

utzi eta gero t = 40 tarte oso batetan sistema posizio positiboan ( edo

negatíboan) egon arte itxaron, eta orduan, jadanik eskuin (edo ezker)

aldeko erakarlera iritsi dela erabaki dugu . Horrela, aukeratutako

denbora-tarte bat pasatu arte behatzen egon gara gehienean.

Denbora-tarte horretara iristean oraindik erabaki gabe egon denean,

puntu hori erabaki gabekotzat kontatu eta kontabilizatu dugu eta aurrera

segitu dugu . Esan beharra dago ezen, hemen aurkeztutako kasu

guztíetan, erabakí gabe geratu diren puntuen kopurua, beti izan dela

aztertutako puntuen kopuruaren milako bat baíno gutxiagokoa.

Dena den, erizpidea hortik gora gogortzean, emaitzak ez dira ia

aldatzen, geroago 11.4.8.1 . azpiatalean ikusiko dugunez .

Gauzak modu honetara eginda, erakarpen-osin desberdinak

irudikatu ditugu. Hori egítean, bí eratako osinak agerí zaizkigu :

a) Osin-muga leuna dutenak, hau da, bí osinen arteko mugatzat

lerro arrant bat dutenak. Geroko grafikoetan • erara adieraziko

ditugu . MLA ekuazloari dagozkion zenbait osin leun 22. irudian agerí

dira, parametroen bailo desberdinetarako .

134

---.,.YV .V LV . .VVI< W- -VV ,VV„.

Hauetariko irudi

bakoitzean

10.000 hasierakobaldintza desberdin aztertu ditugu (100x100) .

135

LLU. 11 UUIO . £. IJUall vanrliiuya faun .

Ikusten denez, gero eta fraktaltasunetik hurbilagodaude muga hauek.

b) Osin-muga fraktala dutenak, hots, bi osinen arteko muga ez da

lerro arrunta, dimentsio fraktala (1 < d < 2) duen muga korapilatsua

baizik. Grafikoetan O ikurraz adieraziko ditugu kasu hauek .

Horrelako hiru osin-muga fraktal 23., 24 . eta 25. irudietan

agertzen dira .

Hala ere, erizpideak bailo ez duen kasuetan, bestelako arazoak

sortzen zaizkigu . Lehenagoko 11.4.5 . atalean azaidu bezala, p

ikurrarekin batetik besteranzko prozesu iragankor luzeak dituztenak

adieraziko ditugu, eta At ikurrarekin aide bietatik era periodikoan

dabiltzan erakarleak dituztenak .

11.4.7 . Parametroek muaen fraktaltasunean duten eraaína .

Aurreko atalean azaidutako metodo eta erizpidearen arauera, MLA

ekuazioaren biegonkortasuneko kasuetako osin-mugak aztertzera

saiatuko gara, eta batez ere, muga fraktalak zeintzu baldintzatan ageri

diren ikustera . Gainers, fraktaltasuna agertzean, mugaren dimentsioa

neurtzera saiatuko gara .

11. 4.7.1 . fetac Darametroeneraaina .

Lehenengo pauso batetan, kanpoko indar oszilatzailearen eta gal

atzeratuaren eragina aztertuko dugu, beste parametroetarako ondoko

balioak hartuz : Ó = 0.15, w = 0.833, r = 1 .0 . Lorturiko emaitzak 26.

irudian ikus daitezke.

137

23. Irudia: Osin-muga fraktala.

Irudi honetan 160.000 hasíerako baldintzadesberdinen adierazpena egín da (400x400) .Parametroen balíoak hauexek dira :

f = 0.04

c =0.1

Ó=0.15 w=0.833

r = 1 .0

Bestalde, hasierako baldintzak muga hauen arteanaldatu dira :

-2.44 xo :C- 2.4

-1 .2---l v . 1 .2

lntegrazioan erabilitako pausoa h = 0.25 izan da.

24. Irudia: Osin-muga fraktala .

Kasu honetan ere 23. irudiko ohar berberak eginditzakegu.

Parametroen balioak hauexek dira :

f=0.1

c=0.1

Ó=0.15

w=1.5

r=1 .0

Irudi hau egitean, denetara 206 puntu geratu diraerabaki gabe .

25. Irudia: Osin-muga fraktala .

Aurreko bi irudietako ohar berberak egin ditzakegu .

Parametroen balioak ondokoak dira :

f=0.15

c = -0.08

Ó=0.15 w=0.833

r = 1 .0

Irudi hau egitean, denetara 19 puntu geratu diraerabakí gabe.

lkusten denez, hemengo fraktaltasuna aurrekokasuetakoa baino askoz handiagoa da.

26. Irudía

f eta c parametroen eragína.

•

osin-muga leuna

osin-muga fraktala

L prozesu iragankor oso luzeak

A bi aldetatiko erakarleak

Agerikoa denez, hiru eskuaide bereiz ditzakegu : osin-muga

leunekoa, • , (f eta c-ren bailo txikíetarako), osin-muga fraktalekoa, O ,eta prozesu iragankor oso luzeak ditueneko edota biegonkortasuna

existitzen ez deneko eskualdea ( L eta A eratako kasuena) . Zatika

irudikaturik dauden lerroek, eskualde horien arteko gutxi gorabeherako

mugak adierazten dituzte.

Interesgarria da, c-ren bailo batetarako f aldatzean osin-mugak

pairatzen duen aldakuntza ikustea . Adibidez, c - 0 denean (atzerapenik

gabeko kasua), f = 0.08 baliorako muga leuna daukagu, f = 0.088

balioaren inguruan fraktaltasuna agertzen da (nahiz eta, 27. irudian

ikusten den bezala, oraindik muga leuna den) , eta jadanik f = 0.10

baliorako guztiz fraktala da, 27. irudian jarritako handipenean ikus

daitekeen bezala .

Irudi honetan izaera fraktalaren funtsa agertzen da. f = 0.08

denean ez dago inoiako zaiantzarik mugaren leuntasunaz . f = 0.088

denean, ordea, lehenengo unean zalantza ager daiteke ; baina fraktal

itxura duten eskualdeen handipena egitean, mugak leunak direla ikus

daiteke, hots, oinarrian ez dagoeia txikitan errepikatzen den egiturarik .

Ostera, f = 0.10 egitean, fraktaltasuna nabariki ageri da; gero eta

eskualde txikiagoen handipena egitean, oinarrian dagoen egitura fraktala

agertzen da beti . f = 0.11 egitean, muga oso fraktala da, geroago

azalduko den dirnentsioaren neurketaz ikus daitekeenez .

28. irudian f-ren eraginaren beste adibide bat jarri dugu, baina

oraingoan gal jaraunskorra ere ba dugularik. Kasu honetan c = 0.1

delarik, f parametroaren bailo txikietarako (f = 0.0, 0.2) muga leuna da,

baina píxka bat handiagoa egitean (f = 0.04, 0.06) fraktal bihurtzen da.

142

¿u. iruaia

f-ren eragina, ekuazio jaraunskor baten kasuan145

f-ren balio finko batetarako c parametroaren aldaketak duen

eragina 29. irudian ikusten da. Kasu honetan f = 0.1 egin dugu eta c-ren

balío negatiboetarako (c =-0.1,-0.05) muga leuna da, c parametroa nulua

edo positiboa denean fraktaia delarik . c =-0.01 denean, hasieran zalantza

izan dezakegu. Zalantza hori argitzeko gero eta eskualde txikiagoen

handipena egin dezakegu, 30. írudia adierazten den bezala, eta orduan

argi ikusten da kasu fraktal batetan gaudela, egitura frkatala ageri

baitzaigu .

Esan dugun legez, handipenak oso baliagarri gertatzen dira

zalantzazko kasuetan . Baina halaber, argiro fraktalak diren kasuetan ere

egin ditzakegu, mugaren egitura sakonki ikusteko . Mugaren fraktaitasuna

areagotuz doan neurrian, mugaren egitura ere korapilatuz doa . Egitura

gero eta korapilatsuago horren adibide gisa, 31 . 32. eta 33. irudietako

mugak ikus dítzakegu. Horietan eskualde txikí baten handipena egin dugu,

bakoitzean 160.000 hasierako baidintza desberdin emanez (400x400

puntu). Lehenengoan fraktaltasuna oso txikia da, nolabait esateko,

hasiberría, bígarrenean handia eta hirugarrenean oso handia den

bitartean.

146

Gai jaraunskorraren eragina (c parametroarena)147

fraktaltasun txikiko kasu honen eskualde txikienhandipenean, egitura fraktala ageri da behin etaberriz.

148

31 . Irudia

Fraktaltasun txikiko eskualde baten handipena .Parametroen balioak ondokoak dira :

f=0.04 c=0.11=0.15 w=0.833 r=1 .0

Hasierako baldintzak muga hauen artean aldatu dira :

-0.375 il xo tt-~ -0.275

0.045 i!!:-~ v, :!51 0.075

32. Irudia

Muga fraktal baten eskualde txikiaren handipena .Parametroen balioak ondokoak dira :

f=0.1 c=0.0 Ó=0.15 w=0.833 r=1 .0


-0.375 6 xo :!5~ -0.275 0.045 6 vo :!EP- 0.075

Gai jaraunskorrik gabeko kasu bat da hau .

33. Irudia

Muga fraktal baten eskualde txikiaren handipena .Parametroen balloak ondokoak dira :

f=0.15

c=-0.08

0=0.15 w=0.833

r = 1 .0


-0.375

xo 4 -0.275

0.045 4 vo I!Ei~ 0.075

Adíbide hau ekuazio jaraunskor bati dagokio .

11 .4.7.2 . Osin-munafraktalen dimentsioarenneurketa .

Hurrengo pauso batetan, (xo, vo ) espazioko osin-muga fraktalen

dimentsioa neurtzera saiatuko gara. Horretarako, lehenago Grebogi-k

eta lankideek iterazio bidlmentsionalen kasuan erabilitako metodoaren

antzeko bidea hartuko dugu"401. Metodo hau, bestalde, 11 .2.3 . atalean

emandako dimentsioaren definizioan oinarritzen da. Ikus dezagun, bada,

nola abiatu garen.

Demagun hasierako baldintzen espazioko puntu bat hartzen dugula,

(xo, vo) . Koordenatu horietan e balioko aidaketa txiki bat egiteak zer

eragin daukan ikusi nahi dugu . Horretarako, hasierako puntutik sistemak

zein erakarlera jotzen duen eta puntu aldatutik zein puntutara jotzen

duen konparatzen dugu. Kasu bietan erakarle berberera joz gero, ez

dugu kontutan hartzen; baina erakarle desberdinetara joz gero

kontabilizatu egiten dugu. Gauzak horrela, puntu pilo bat hartzen dugu

azarean, hasierako baldlntzen espazíoan aukeratu dugun - leihoan, eta

puntu bakoitzetik azareko norabidean E delakoaren balioaz urrundurik

dagoen beste puntu bana aukeratzen da prozesu hori aurrera

eramateko . Hortxe dugu, hain zuzen, Grebogi eta lankideen

metodoarekiko aldakuntza, han beti ere norabide bakarrean eta hiru

punturekin egiten baitzen aldaketa (prezeski, (x o, vo ) puntua hartu

ondoren, (x o+ E , v o) eta (xo- 6,vo ) puntu bi aukeratzen dituzte haiek).

Esandako erara puntu-bikoteak aukeratu ondoren, erakarle

desberdinetara jotzen dutenen frakzioa kalkulatzen dugu : f . Lehenago

dimentsioari buruz esandakoak kontutan hartuz, pentsatzekoa da f (Ikus

(3) adierazpena) eta f elkarren proportzionalak izango direla, hots,

TI ,E D d

(14)

152

dela joko dugu. Horretan finkaturik, osin-muga bakoitzaren kasuan,

gehikuntzaren bailo desberdinetarako, f delakoaren balioak kalkulatu

ditugu . log f eta log E balioen arteko erregresio-kurba kalkulatuz,

D - d berretzailearen balioa lor dezakegu, eta gure espazio berezian

D = 2 dela kontutan hartuz, osin-mugaren d dimentsioa (hasierako

baldintzen espazio berezi horretan) erdiets dezakegu .

Kalkulu hauek guztiok ordenadorearen bidez burutzeko, C

eranskinean datorren MLADIM programa prestatu dugu. Esan beharra

dago, programa honen bertsio desberdinak egin ditugula, horien artean

Grebogi eta lankideen erizpidearekin eginikoa ere, eta guztietan oso

antzeko emaitzak lortu ditugula, emaitzen arteko desberdintasuna

errorea baino txikiagoa izan delarik.

Bízpahiru ohar egin behar dira erabilitako metodoari buruz.

Lehenengoa, azarean egindako neurketen errore estatistikoari dagokiona

da. Batetik, E bakoitzerako lortzen den frakzioan dagoen errorea dugu .

Horretaz experimentu desberdinak egin ditugu, errore horren maila

estimatzeko, puntu-bikoteen kopuru hauek hartuz : 512, 2048, - 4096.

Halaber, integrazio numerikoan erabiltzen dugun pausoa aldatuz ere

zenbait aproba egin ditugu . Dena dela, oso kalkulu eta salo luzeak gertatu

izan dira eta, horregatik, erroreak txikíak izan ez arren, ez dugu

sakondu arlo hau, hurrengorako utziz, zeren oraingoz informazio

erdi-kuantitatiboaz askí dugula uste izan baitugu.

Bestetik, E desberdinei dagozkien f frakzioak kaikulatu ondoren

lortzen dugun erregresio-kurbaren maldan daukagun errorea dugu,

zeina estatistikaren metodo arrunten bidez kalkulatu dugun/96/.

Horretarako, parametroari ondoko bost balioak eman dizkiogu : 10-3,10-4s 10-5,

10-6,

10-7,

eta kasu bakoitzean 512 puntu-bikote aztertu

ditugu. Beraz, E bakoitzerako f frakzioak kalkulatu ondoren, bost bailo

153

horiei dagokien erregresio-zuzena kalkulatu dugu karratu minimoen

metodoaren bidez ; eta zuzen horren maldari dagokion balioaren a

kalkulatu ondoren, balío hori 2,58 faktoreaz biderkatu dugu, horrela

99%-ko konfidantza-maila lortzeko . Modu honetara erdietsiriko errore

emaitzak dira dimentsioen neurketan emandakoak, gure irudietan

agertzen direnak.

Bukatzeko diogun ezen, izatez, hartutako espazioaldean dagoen

osin-mugaren batezbesteko dimentsioak kalkulatu ditugula, hasíerako

baldintzen espazioan aukeraturiko leiho edo eskualdeari dagozkion

batezbesteko dímentsioak prezeski .

Ohar horiek egin ondoren, kasu fraktai batzuri dagozkien

dimentsioak ematen dira 34. irudian . Irudi honetan ikusten denez,

dimentsio fraktala handituz doa leuntasuneko eskualdetik urruntzean, eta

hori bai f parametroa zein c parametroa handitzean .. Bestalde, erroreen

tamaina aztertzean, orohar, dimentsioa zenbat eta handiagoa izan

errorea txikiagoa dela ikusten da. Nolabait esateko, muga fraktala gero

eta korapilatsuagoa egitean, egitura hori espazio osoan zabaldurik dago,

gero eta uniformekiago, eta horregatik eskualde desberdinen arteko

fraktaltasunean dagoen desberdintasuna txikiagoa da. Bestetik,

dimentsioa handitzean puntu gehiago daude sentikortasun-eskualdean eta

ondorioz maida kaikulatzeko daukagun lagina handiagoa da, eta horrek

azkenean dugun errorea txikiagotzen laguntzen du.

154

34. Irudia

Zenbaít osin-muga fraktalen dimentsioa, f eta cparametroen arauera .

Beste parametroen balioa ondokoa da:

Ó =0.15

W = 0.833

r = 1 .0

11.4.7.3. BesteDarametroeneraaina .

MLA ekuazioan, f eta c parametroez gain, beste hiru parametro

ditugu: w , Ó eta r . Atal honetan bakoitzaren aldaketak erakarleen

osin-mugan duen eragina aztertuko dugu. Horretarako, bakoitzaren

eragina bere aldetik aztertzeko, beste lau parametroen balioak

konstante gordez, parametro bakarrarena aldatuz joango gara.

35. irudian w -ren eragina aztertzen dugu adibide batetan. Beste

parametroen balioak hauexek dira : c = 0.1, f = 0.1, y = 0.15, r = 1 .0 .

Ikusten denez, cc -ren balio txikietarako ( w = 1 .0) osin-muga oso

fraktala da (d = 1 .85 dimentsiokoa), baina handituz doan neurrian

fraktaltasuna galduz doa ( w = 1 .5 denean, d = 1 .56) eta ondoren leun

bihurtzen da ( w = 3.0 denean), erregulartasun-prozesuak aurrera

egitean .

36. irudian y-ren eragina aztertzen da. Dakigunez, y honek

indargetzea ordezkatzen du, eta horregatik ez da harrigarria,y

handitzean osin-mugak leuntzea, hots, Ó handiago eta mugak leunago.

Irudiko osinak, beste parametroen ondoko balioei dagozkíe : c = 0.05,

f = 0.03, cu = 0.833, r = 1.0.

Bukatzeko, 37. irudian r atzerapenaren eragina aztertzen da. Kasu

honetan, c - 0.1, f = 0.04, (y - 0.15, w = 0.833 izanik, r handitzean

fraktaltasuna ere handituz doala ikusten da, alegia, gai atzeratuak

erraztu egiten duela muga fraktalen agerpena. Bestalde, r

parametroaren handitzearekin osinen itxura orokorraren deformazioa

ere ageri da, gai jaraunskorrean atzerapenak duen garrantziaren

adierazgarrí .

156

35. Irudia

cu parametroaren eragina

157

36. Irudia

parametroaren eragína

158

11 .4.8 . Bestelakozenbaitfaktorereneraaina.

Aipaturiko bost parametroez gain, MLA ekuazioan nabariki ageri

direnak bestalde, ba dira beste zenbait faktore, osinen izaeran eragina

izan dezaketenak . Horietarlko batzu dira, haín zuzen, atal honetan

aztertuko ditugunak.

11.8.4.1 . ErizDideen eraaina .

11.4.6 . atalean erakarle batera edo bestera noiz eta nola iritsi den

erabakitzeko erizpideei burruzko zenbait ohar eginda dauzkagu jadanik .

Hale ere arazo hau pixka bat gehiago azpimarratzea komeni da.

Batetik integrazio numerikoan erabili dugun integrazio-pausoari

dagokion azaipena dugu (gure programetan h izendatu dugunari

buruzkoa) . Balio desberdinekin zenbait salo egin ondoren, h = 0.25 balioa

hartu dugu, hots, neurketa gehienetan r = 1 .0 dela kontutan harturik,

pausoen kopurua 4 izan da gehienetan (p.k. = 4). Aipaturiko

pauso-kopuru hori hartzea nahikoa dela ikusteko, 38. irudiko osinak ikus

ditzakegu. Bertan ageri denez ez da aldaketa kualitatiborik somatzen .

Beraz, eta pausoen kopurua aldatzeak ekuazloaren integrazioa asko

luzatzen duela kontutan edukiz, esandako balioa aukeratu dugu .

Bestetik, erakarlera noiz iritsi den erabakitzeko erizpideari

dagokionez, 39. irudian denbora-tarte (edo atzerapen-kopuru, a.k. )

desberdinak erabiliz lorturiko emaitzak ageri dira. Azkeneko irudian

Moon-ek eta Li-k/42/ azaldutako erizpideekin lorturiko emaitza

dugu.Azken irudiak nahiko desberdintasun dauka besteekin . 37tik 40ra

pasatzean ere zerbait igarri da. Baina 40tik gora ez da ia ezer aldatzen

eta horregatik geure lanean aken erizpidea hartu dugu .

160

38. Irudia

Integrazioan erabilitako pausoen kopuruaren (p.k.)eta erizpide modura harturiko atzerapenenkopuruaren (a. k.) eragina .

161

39. Irudia

Erizpide modura harturikoatzerapenen kopuruareneragina .

Beheko irudian /42/erreferentzian azaldutakoerizpidea erabíli dugu.

11 .4.8.2. Hasierakobaldintzen eraaina .

Ekuazio jaraunskorrak infinitu dimentsionaiak izatean, arazoa dugu

hasierako baldintzak ematean, hauek ere funtzio-espazio batetako

puntuak baitira. Dena den, 11.3.3 . eta 11.4.3. ataletan azaldu dugunez,

adierazpen grafikoa egin ahal izateko . azpiespazio bateko funtzioak

hartu ditugu soilik, hots, (xo, vo) parametroen bidez definituriko funtzio

linealak,

?O (t) = xo + vo t

-r - t :C- 0

(15)

hartu ditugu hasierako baldintzatzat. Edozertara, bí parametro horien

bidez, linealak ez diren bestelako funtzioak ere har dítzakegu. Horixe da,

prezeski, egín duguna, beste hiru funtzio-mota hauek hartuz:

r

21T t

xo + v o- sin21T

r

2nt

r

2Tftxo cos

+ vo sinr

27

r

-rGt :!i-~ O

(16)

-r t:-:~ t t!! 0

(17)

xo + v o (t + t2 )

-r L t L 0

(18)

Ikusten denez, emaitzak nolabait konparagarriak izan daítezen,

funtzioak definitzean ardura izan dugu, hasierako aldiunean (t = 0)

163

40. frudia

Hasierako baldintzen eragina

41 . Irudia

Hasierako baldintzen eragina

sistema dinamikoa egoera berean egon dadin, x(0) = xo , x(0) = vo .

Hasierako baldintza desberdin horiekin zertzu osin-muga agertzen diren

ikusteko, ondoko balioen kasua aztertu dugu : c = 0.1, f = 0.04, y = 0.15,

cu =0.833, r = 1 .0. Emaitzak 40. irudian daude. Agerikoa denez, osinak

oso antzekoak dira guztiak fraktaltasunari eta itxurari dagokionez, nahiz

eta batetik bestera aldaketa txiki batzu dauden.

Beste horrenbeste esan daiteke 41 . irudiari buruz. Hemengo kasuan

parametroen balioa hauxe da: c =-0.08, f = 0.15,y

= 0.15, w = 0.833,

r = 1 .0 . Dimentsioak ere neurtu ditugu eta, ikusten denez, emaitza

guztiak berdinak dira, elkarren arteko desberdintasunak erroreen

mallaren barnean daudelarik.

11 .4.8.3. Gai bortxatuaren izaeraren eraaina .

MLA ekuazioan erabilitako gal bortxatua, f cos w t izan da . Zergatik

cos w t eta ez sin w t, adibidez ?. Egia esan, oinarritu gareneko lanean

/42/, Moon-ek eta Li-k gal hori hartu zutelako izan da, beste arrazoi

berezirik ez baitago, zeren, azken batez, bien artean desfase finko bat

beste desberdintasunik ez baitago . Dena den, aproba modura, f sin w t

funtzioaren eragina aztertu dugu, c = 0.0, f = 0.1, y = 0.15, w = 0.833

direnean, hau da, atzerapenik gabeko kasu batetan . Emaitzak 42. irudian

daude . Ikusten denez, osinen itxura aldatu arren, maila bereko

fraktaltasuna dute biek, dimentsioen neurketan agertzen den bezala,

desberdintasun txiki hori errorearen mailakoa baita.

166

42. Irudia

Gaí bortxatuaren izaeraren eragina

11 .4 .8.4 . Gal atzeratuaren ez-linealtasunareneragina.

MLA ekuazioa jaraunskorra izanik, bertan berebiziko garrantzia du

gal atzeratuak, c x delakoak alegia. Edonola ere, pentsa daiteke ezen c x

gai lineal eta sinplea hartu ordez bestelako motako gai atzeratua hartuko

bagenu, ondorio desberdinak lortuko genituzkeela . Izan ere, horrelaxe

da, adibide modura hartu dugun kasuan argi ikusten den legez .

Parametroen balioak c = 0.1, f = 0.04, = 0.15, c' =0.833, r = 1 .0

direnean, ondoko gai atzeratu desberdinak aztertu ditugu :

•

x

•

sinx

A•

Cosx

c x2

Emaitzak 43. irudian agertzen dira eta bertan ikusten denez, gal

atzeratuaren ez-linealtasunak erabateko eragina du osinen izaeran,

zeina fraktala izatetik (c z), leun izatera (c cos x) pasatzen baita . Gal

atzeratu karratikoaren kasuan ia desegin egiten da erakarle baten osina .

168

4 , z

Gai jaraunskorraren ez-linealtasunaren eragina

ONDORIOAK

ETA

AURR I KUSPENAK

1 .- Azterketa erlatibista kobariantea eginez, bi partíkula kargatupuntualek erradiaturiko tetramomentu angeluarelektromagnetikoaren ekarpen mixtoaren proportzioa definitu etakalkulatu dugu. Proportzioa bi partikulen denbora propioenunitatekoari dagokio, eta lorturiko emaitza zehatza da.

2.- Mekanika Erlatibista Aurresankorreko hipotesietan oinarrituz,tetramomentu angeluar erradiatuaren definizioa eman dugu etahorretarako behar diren kontzeptuen garapena egin dugu,partikulen kargen berreduren arauera .

3.- Tetramomentu lineal erradiatuaren era desberdineko ekarpenenproportzioen garapen perturbatibotik abiatuz, tetramomentu linealerradiatu osoaren hirugarren ordenako osagaiak kalkulatu ditugu(kargetan (4,2), (2,4) eta (3,3) osagaiak) .

4.- Modu berean, Tetramomentu angeluar erradiatu osoaren bigarrenordenako osagaiak lortu ditugu, hots, kargetan (3,1), (1,3) eta (2,2)osagaiak.

5.- Bide beretik, tetramomentu angeluar intrintsekoaren bigarrenordenako osagaiak kaikulatu ditugu, eta horietariko batzu bestelakometodo batez lorturikoen berdinak direla ikusi dugu .

6.-

Eskema erlatibista kobariante honetan, konprobatu egin duguzehazki, ezen erradiazio nulurako baldintzak, partikula bien

173

azelerazioak nuluak izatea halabehartzen duela .

7.-

Ekuazio jaraunskorretan ere erakarleen erakarpen-osinen arteanosin-muga fraktalak ageri direla frogatu dugu .

8.- Hasierako baldintzen azpiespazio bidimentsional batetan,

biegonkortasuneko kasuan erakarle arruntei dagozkien erakarpenosinen arteko muga fraktaien dimentsioa kalkulatu dugu kasu

batzutan.

9.-

Aukeratutako ekuazio jarauskorraren parametroen aldaketek

osin-mugen fraktaltasunean duten eragina aztertu dugu :

9a) Ekuazioan explizituki ageri díren parametroen eragina

aztertu dugu .

9b) Integraziorako erabili ditugun hasierako baldintzen

eragina aztertu dugu.

9c) Aukeratutako ekuazioa osziladore bortxatu batí

dagokiolarik, gai bortxatuaren izaerak osin-mugaren

fraktaltasunean duen eragina aztertu dugu .

9d) Ekuazioa jaraunskorra izanik, gai jaraunskorraren

ez-linealtasunak duen eragina aztertu dugu.

10.- ikerkuntza luzeagoa merezi duten puntuen artean, hurrengoak aipa

ditzakegu :

10a) Ekuazio jaraunskorren osin-mugei dagokien atalean,

azterketa deskriptibo-experimentala egin dugu nagusiki.

Horren inguruko teoría ez dago oraindik finko eraikirik eta,

ekuazio jaraunskorren infinitu-dimentsionaltasuna dela medio,

arazoak daude sistema dínamikoaren eremu egonkor eta

174

ez-egonkorrak definitzean eta halaber mugenfraktaltasunaren azalpena orbita homokllnikoen definizloarenbidez egitean.

10b) Fisikan (Optikan, Akustikan eta abarretan) agertzen diren

beste ekuazio jaraunskor ezagunen kasuetan ere osin-mugafraktalak agertzen direnentz aztertzeko dago .

175

A ERANSKI NA

IDAZKERA OROKORRA

a)

I atalean Eremuen Teorian ohizkoa den idazkera erabili dugu .

b)

o~, ,~

,ó

, . . . indize greziarren aldaketa-barrutia 0,1,2,3 da etaMinkowski-ren espazio-denborari dagozkion osagaiak adieraztendituzte .

c) Einstein-en batuketa hitzarmena edonon erabili dugu . Beraz, aldiberean posizio kobariante eta kontrabariantean agertzen den indizebakoitza, bere bailo guztiekiko baturik dagoela ulertu behar da.Indize greziarrak, Minkowski-ren espazioko tentsore metrikoarenbitartez joaten dira posizio batetik bestera.Beste indizeak ezer egingabe ipini dira komeni den lekuan .

d)

Minkowski-ren espazioko tentsore metrikotzat, honako hauaukeratu dugu:

-1 0 0 0`~~

0 1 0 0

0 0 1 0`0 o o i/

e)

Argiak hutsean duen abiadura c = 1 izateko moduan hautatu diraunitateak.

f)

Funtzio baten gainean agertzen den puntuak, i parametroarekikoderibatu partziala adierazten du I atalean, eta t-rekikoa II atalean .

179

IKURRA

BALIOA - IZENA - ESANGURA

a'

= a

a ez den beste balioa

aC« b p]

= a b - at'b

(antisimetrikoa)

7a

= (-1)a+1

F eremu elektromagnetikoa

Ó 12r

9-t, 37-2

tetramomentu angeluarraren dentsitateaa

d Tr

denbora propioaren unitateko erradiaturiko

z

tetramomentu angeluarra

«pz12r

ó2 I ót2

Maxwell-en tentsore elektromagnetikoa

(energia-bulkada .tentsorea)

denbora propioaren unitateko erradiaturiko

tetramomentu lineala

bi partikulen denbora propioen unitateko

sistemak erradiaturiko tetramomentu

linealaren ekarpen mixtoa

bi partikulen denbora propioen unítateko

sistemak erradiaturiko tetramomentu

angeluarraren ekarpen mixtoa

á~

Ha eremuarekiko Lie-ren deríbatua

RQ (t)

desplazamendu-operadorea

180

IKURRA

BALIOA - IZENA - ESANGURA

1,~a

Er

P ~xá u1)

iraganeko infinitutik (x,u) konfiguraziorainoerradiaturiko tetramomentu lineala

aIr

tetramomentu lineal erradíatu osoa

bJ x~~ u-61

iraganeko infinitutik (x,u) konfiguraziorainoerradiaturiko tetramomentu angeluarra

wa~

tetramomentu angeluar ŕntrintsekoarendentsitatea

aCa1)~b l

iraganeko infinítutik (x,u) konfigurazioraino/

erradiaturiko tetramomentu angeluarintrintsekoa

tetramomentu angeluar intrintseko erradiatuosoa

181

8 ERANSK I NA

INTEGRALEN TAULA

Erradiazio elektromagnetikoari dagokion atalean hainbesteIntegralen ebazpena egin behar izan dugu . Horretarako, integralenebazpena daukaten zenbait liburu erabili ditugu'97,98", eta halaber,ordenadorean integrazio sinbolikoa eta bestelako kalkuluak egitekomerkatuan dagoen MUMATH programaz baliatu gara.

Besterik gabe, lehenengo zerrenda batetan aipaturiko eskuliburuezbaliaturik ebatzitako integralak adieraziko ditugu :

Bestalde, tetramomentu lineal osoa kalkulatzean, MUMATH programa

erabiliz, ondoko adierazpenean bil daitezkeen integralak ebatzi ditugu :

IP

Jao\f2.+ jL Zll)

`

k 2„2 t Az,i \r

Horrelaxe definituriko integral hauexek ebatzi ditugu :_

Ó12 1

1021 J

1104 )1112 ) I121 1 14 31 , I20,q ) 242. '

1214 ) 123 1

Tetramomentu lineal osoa kalkulatzean, zenbait integralen kasuandibergentzi arazoak agertu zaizkigu . Era horretakoak binaka bilduzdibergentzi arazo horiek gainditu egiten dira .

Ondoko kasuetan gertatzen da hori:

n-a r

á ar fc

~Zd 1

(i )42

~2

Integral biak batera eginez, eta tartean zenbait aldagai-aldaketa

eginez, kalkulu luze samarren ondoren, azkenean emaitza hau lortzenda:

Z TT

Antzera gertatzen da beste bi integral hauen kasuan, eta antzerako

prozesuaz emaitza hau lortzen da:

f- 00

r

ola 9 ar ~-c,

¡( 22

3

3._ 00 92

12

2P91

2n

-~ 2( 0

187

Bestetik tetramomentu angeluar intrintseko erradiatu osoa

kalkulatzean, era honetako integralak agertu zaizkigu:

Jmn.~

Horrelakoak ere MUMATH programaz ebatzi ditugu, ondokoak hain

zuzen :

J0-+2 ) 004 ) 002, , 010 , 011 ) f 02 )J441

Modu berean, tetramomentu angeluar intríntseko erradiatu osoa

kalkulatzean zenbait dibergentzi arazo sortzen dira . Dena den, kasu

honetan ere ondoko hiru integral hauek batera ebaztean dibergentzi

arazoak gainditurik geratzen dira :

Zmd~4

122n+1)( r12 + l~Z >~ Z) ~-

= 2 ,2

V22

I R]^ = 2AZ z1

22

(46)

3r~2 c~1

12t1L2~2)2

Z~A3

42_A-. lZ

1

Esandakoaz gainera, integralak egitean integrakizunetan behin eta

berriro ondoko gaiak ageri zaizkigu ( R(u) = Y h2 + A2 u2

izanik) :

188

(49)

C ERANSKINA

PROGRAMAK

Kalkulu numeriko guztiak egiteko, Intel 8087 koprozesadore

numerikoa duten Olivetti M24 mikroordenadore bi erabili ditugu .

Programak Pascal lengoaiaz idatziak izan dira, batipat Turbo Pascal

3.01A delakoaz baliatu izan garelarik .

Kalkulu guztiak zehaztasun bikoitzaz egin dira .

Ondoan agertzen dira gehien erabili ditugun programen iturriak,

eta berauetan lau liburutegi erabilkor sartu dira, $1 konpiladore-

direktibaren bidez. Guk makinaren lengoaiaz idatzitako liburutegi hauen

azalpen arina emango dugu orain .

UNDERZER delakoan UnderflowZero prozedura definitzen da.

Azken honi dei eginez, Pascal-en liburutegi estandarrari adabaki bat

egiten dio, hortik aurrera koprozesadorearen underflow direlakoak era

zuzenean kontrolatzeko.

FETXORDU moduluan definituriko fetxa eta ordua funtzioek,

sistema operatibotik lortutako fetxa eta orduari dagozklen kateak

ematen dituzte .

TURBOGRA eta TURBOGPR liburutegietan, M24 mikroordenadoreen

grafikoak (lehenengo kasuan) eta inpresoreak egindako grafikoak

(bigarrenean) lortzeko behar diren prozedurak aurki daitezke . Bertan

definitzen dira pict_type mota, picture aldagaia eta hurrengo

prozedurak: SuperRes, View, 6raphWindow, Box, Line, Pset,

Líneto, Lcopy eta Dset.

193

MLA2 programa

*Fitxategia : m1a2 .pas

Orria : 1*

program mla2 (input,output) ;

{ Ondoko ekuazioaren eboluzio grafikoa :

d2x(t)/dt2 + g dx(t)/dt - 1/2 x(t) C1- :<(t)2) = f cos (o t) - c :<(t-r)

}

.$I turbogra )

{(Interface) grafikoa}{$I underzer )

(8087 kontrolatzeko)

constf : real = 0,1 ; {8ifurkazio-parametrva}x0 : real = 1 .0 ;

+:Hasierako baldintzak}YO

real = 0 .0 ;g

= 0 .15 ;

{Parametroak}

o

= 0 .333 ;

': omegar

= 1,0 ;

pt~arao9na".100 = 1 ;

':Leiho grafikoa1 1 J = 3,5 i101 = 630 ;it 364 ;uO

real = -2 .4 ;

::Hasier .ako baldintcen leihoav0 . real = -1 .2 ;ul real = 2,4 ;vl real = 1 .2 ;pk

= 10 ;

Tartearen p •a usoen kopurua

typebektorea = record pos, abi

real end ;

~.Posi-iaa eta abiedura>

varif, n : integer ;og, 1h : array CO .,pkj of bektorea ;

y

real ;real ;

k char ;h, h2, hó, h8 : real ;

197

CKontatzaileak ,ttboluzio-aldagaiak}{Oraingo pasizioa eta abiadurai{Denbora}{Teklatuan idat , ia}{Pausoa eta azpimultiploak}

x *Fit:<ategia : mla2,pas

Orria : 2* *

procedure markoa ;

(Pantaila)var pos, luzera : real ;

{Oreka-puntuak}begin

SuperRes ;

{Modu grafikoa : 640 :<400}gotoxy (1,I) ;

write (' MLA2 :

g l-',9 :6 :3,'

f =',f :6 :3,'

C

0 =' ,0 :6 :3,r =' ,r :6 :3,'

hgotoxy (1,2) ;

write ('Hasierako baldintzak : ',<0 :6 :3,' + t',yO :á :3,'

(-r 4 t 4 0)

,t :6 :3,' 6 t 4 ') ;

gotoxy (80,23) ;

write (' ;<') ;gotoxy (1,24) ;

write ('LeihoauO :12 :2,' b ;< 4

,u1 :7vO :12 :2,' i: dx/dt -' ',vl :7 :2) ;

gotoxy (1,25) ;

write ('Pantaila ezabatzeko, jo "E" . ' ,'Hurrengo kalkulurako, jo

View (100,110 ) 101,111) ;

{Leiho grafikoa}3raphwindow (uO,vO,ul,vl) ;

(Hasierako baidintzen leihoa).ox

(100-1,110-1,101+1,111+1,1) ;

(Markoa}pos := 1 .0 ;

(Oreka-puntuak}luzera : _ (vi-v0) / (111-11.0) *5 ;Line (0,vO,0,vl,1) ;

{Ardatzak

}Line (uO,0,u1,0,1) ;

(

segmentuen bide :)Line (pos,-luzera,pos,luzera,l) ;

(Oreka-puntuak}Line (-pos,-luzera,-pos,luzera,1) ;Pset ( :<,y,1)

(Lehen puntua}end { inarkoa) ;

procedure inkey ;begin

if keypressed thenbeginread (Kbd,k' ;k := UpCase(k) ;if k = 'E' then markoa

endelse k

'end {inkey} ;

function W (t,x,xr,y :real) : real ;

{MLA ekuazioa}begin

W := 0 .5*x*(1 .0-sgr(x))-g*y-c*xr+f*cos(o*t)end (W) ;

198

(Irakur teklatua)

* *Fitxategia : mla2 .pas

Orria : 3* •*

procedure puntua ;

( Integrazioa)var xr,xl,x2,x3,x4,yl,y2,y3,y4 :real ;begin

x

ogCnJ .pos ;

{Runge-Kutta-ren i,ntegrazioa}y

ogCnJ .abi ;

{eta Hermite-ren interpolazioa}xr

0 .5*(lhCnJ .pos+lhCn+lJ .pos ) +(lhCnJ .abi-lhCn+IJ .abi)*h8 ;x1

y

yl

W (t

, ;< -

, 1hCnL , pos

, y

) ;x2 := y+h2*yl ;

y2 := W (t+h2, x+h2*xl, xr

y+h2*yl)x3

y+h2*y2 ;

y3

W (t+h2, ;<+h2 * :<2, xr

, y+h2*y2) ;x4 := y+h *y3 ;

y4

W (t+h , x+h *x3, lhCn+lJ .pos, y+h *y3) ;gotoxy (71,2) ;

(Idat: denbora}write

(t :6 :3) ;L ineto ( :<,y,l) ;

{Aurreko puntutiko lerro :uzena}x

x+h6*(x1+2 .0*x2+2 .O*x3+x4) ;y

y+h6*(yl+2 .0*y2+2 .0*y3+y4) ;ogCn+ll,pos := x ;ogCn+ll,abi := y ;t

t+h ;

inkey

{Amaitu ala e :abatu ?}end {puntua } ;

r

199

* *Fitxategia : mla2,pas

Orria : 4* *

procedure bat ;

( r-ren balore bat)beginwriteln ('Ekuazioa :') ;

( Parametroen baloreak)writeln ;write in C d'-"<(t) /dt= + g dx(t)/dt - ~ x(t) C1-x(t)23 = f ccs (o t) - c x(t-r)') ;writeln ;writeln ('Sar itzazu hurrengo parawetroak (espazioez banaturik),') ;writeln ('(Parametro bat sartzen ez hada, aurreko balorea gordetzen du),') ;writeln ,write

(' f C' , f :8-3,'3readln (f) ;write

(' x0 C' ,xO :8 :3,' J, YO C' ,yO :8 :3,' J

) ;readln

(xO,yO) ;write In ;writeln ('Oraingo leihoa : ' ,uO :12 :2,'

:< < ' ,ul :7 :2,vO :12 :2,'

dx/dt b ',vI :7 :2)write

('Leihoaren xO, xl, yO, yl koordenatuakreadln

(uO,u1,vO,vl) ;for n := 0 to pk do

{Hasierako baldint z ak)begin

ogCnJ .pos := xO+(n-pk)*r/pk*yO ;ogCnl,abi := YO

end ;x

ogCpkJ,pos ;

(Soluzioare n jarraitasuna)y

ogCpk] .abi ;t

0 .0 ;markoa ;repeat

{Integrazio-tarte osoa)lh

og ;ogCO] := lhCpkJ ;n := 0 ;repeat

puntuauntil (n )= pk) or (k = 'HI)

until k = ' HI ;

TextModeend (bat) ;

begin { programa nagusi a )Underflowzero ;

{8087 kontrolatzeko)LowVideo ;h := r/pk ;

(Integrazio-pausoa)h2 h/2 ;h6 h/6 ;h8 h/8 ;repeat

batuntil false

end {programa nagusia) .

200

MLAOSI programa

* *Fitxategia : mlaosi .pas

Orria : 1* *

progran mlaosi (input,output), .

(Moon-Li-ren ekuazio aldatuaren "osinak" ,narrazteko>

(**) {Lst delakoa bere hartan uzteko, kendu aurreko <*)> }var (Emaitzak idazteko fitxategia}

Lst : text ;

(**)

{$K-}<SI underzer }

(8087 kontrolatzeko>{$I turbogpr )

("Interface" grafikoa}{$I fetxordu }

{Fetxa eta ordua}

label irteera ;

const<Programaren izena)(Hasierako baldintzen mota){gamma>{f)(omega }{c}{r){Tarte bateko pausoen kopurua)(Azkeneko tartea){Aukeraturiko leiho grafikoa}{ beraz, lxl x lyl karratua}{Aukeratutako parametro-leihoa}{ beraz :

}{

p:.0 - x0 c px 1

}

t

py0

v0 6 py1

}{2 n / o * 5

){ Datuen fitxategiaren izena}{Hasierako lerroa (izena+l)}{Haiztasuna}

izena

= ' ailaosi' ;hasbal = ' linealak' ;g

= 0 .15 ;0,1 ;

•

= 0 .833 ;•

= -0 .05 ;•

= 1 .0 ;pk

= 4 ;tarmax = 500 ;lx!

100 ;lyl

= 100 ;px0

= -2 , 4 ;pxl

=

2 .4 ;PY0

= -1 .2 ;pyl

=

1 .2 ;kopu

= 40 ;ize

= ' mla52' ;lerO

= 0 ;ma iz

= 25 ;

type{Posizio eta abiadura)

bektorea = record pos, abi

real end ;

var{Hasierako baldintzen parametroak}

haspos, hasabi, hasabih : real ;(Pausoa eta erdia)

h, h2, h6, h8, oh, oh2, pit : real ;<Oraingo eta lehenengo ppos . eta ab .) og, lh : array CO „ pkl of bektorea ;(omega * t, balore atzeratua,

}

ot, xa, x, y,{ oraingo posizio eta abiadura,)

x1, x2, x3, x4,{ eta Runge-Kutta-ren metodoa }

yl, y2, y3, y4 : real ;(Pausoa, eta tartea)

paus, tartea

integer ;(Gehikuntzen baloreak)

gehix, gehiy

real ;{Lerro eta zutabea)

pix, piy : integer ;{Amaiera)

amaia : boolean ;{Zein aldetan dagoen)

positiboa : boolean ;tHasierako ordua eta fetxa)

hasord, hasegun : stringCSI ;(Marraztu ez diren puntuak)

eziru : integer ;{Pantaila gordetzeko fitxategia)

pantaila

file of pict_ ,. Ype ;(Purrekoaren izena eta hedapena)

na, hed : string C32) ;(Saiakeraren zenbakia)

saia : byte ;{Orado grabatu da?}

grabatu

boolean ;(Laguntzaileak)

ler, i : integer ;


Orria : 2 *

function W (ot, x, xa, y : real)

real ;

(MLA ekuazioa)begin

W := 0 .5*x*(1 .0-sqr( :<))-g*y-c*xa+f*cos(ot)end {W) ;

procedure gorde ;

(Gorde pantaila)begin

($I-)Str (piy,na) ;saia := O ;repeat

saia

saia+l ;Str (saia,hed) ;assign (pantaila,i :e+na+' .'+hed) ;if IOresult = 0 then ;rewrite (pantaila),grabatu := IOResult = 0 ;if grabatu then

beginwrite (pantaila,picture) ;grabatu := IOResult = 0

enduntil grabatu or (saia ) 10) ;Close (pantaila) ;if ?0result = 0 then ;Rename (pantaila,ize+na+',dat') ;if IOResult = 0 thenbegin

if piy > maiz thenbegin

Str (piy-maiz,na) ;assign (pantaila,ize+na+',dat') ;if IOresult = 0 then ;Erase (pantaila) ;if IOResult = 0 then

endend

($I+)end (gorde) ;

function amaitzeko : boolean ;

(Amaitu?}var c : char ;begin

writeln ('Lerroa

,piy+l,'

Puntua :

,pi:<+1) ;write ('Amaitzea nahi al duzu? (B/E)

) ;readln (c) ;amaitzeko := UpCase(c)

end (amaitzeko) ;

204

* *Fitxategia : mlaosi,pas

Orria : 3* *

procedure ernaitzak ;

{Azkeneko emaitzen inpresioa)begin

gorde ;(**) {Lst delakoa here hartan uzteko, kendu aurreko <*)) )assign

(Lst,ize+' .1st') ;

( Birdeiinitu Lst){$I-) rewrite (Lst) ; (3I+)if IOResult = 0 then

(**)begin

writeln (Lst,izena,hasegun,' , ' ,hasord,' --) ' , fetxa,' , ' ,ordua,' )') ;

writeln

(Lst,'

.1~

*7taE~E .IF~F***lE~klE3f*1E .lF .if .1FXr .IEaE**lé .1F .lE .IE ***lé*IE .IE*léll~lF9ŕ**A~* .1F .

.1F . .3~1é ') ;

writeln (Lst,'H -asierako baldintzak

',hastial,' . Pausoen kopurua

',pk) ;writeln (Lst,'g

r

: ',c :9 :6) ;writeln (Lst,'f

0

o :6 :3,',

h . ',h :6 :3) ;writeln (Lst,'Leiho grafikoawriteln (Lst,'Baldintzen leihoa

p :<0 :6 :3,' ,' ,pyO :6 :3,' ,' ,px1 :6 :3,' ,' ,py1 :6 :3,writeln (Lst,'Atzerapenen kopurua : ',kopu) ;writeln (Lst,' Tarteen kopuruu maximoa : ' , tarma :<) ;writeln (Lst,'Erabaki gabeko puntuen kopurua : ',eziru) ;writeln (Lst,'Amaierako ;< eta y : ' ,pi :<+1,' ,' ,piy+1) ;write in (Lst) .writeln (Lst) ;lcopy ;

( Pantailaren kopia)writeln (Lst,chr(12)) ;

{Page (Lst)}close (Lst),write (chr(7))

(Beep)end

end ( emaitzak) ;

procedure integrazioa ;

(Atzerapen batzu)begin

amaia := true ;positiboa := x > 0 .0 ;for i := 1 to kopu dobegin

lh := og ;for paus := 0 to pk-t do

(pk pauso)beginogtpausl,pos

x ;

(Runge-Kutta-ren integrazioa)cgCpaus] .abi

y ;

(eta Hermite-ren interpolazioa)xa

0 .5*(lhCpaus7,pos+lhtpaus+l),pos)+(lhCpaus],abi-lhtpaus+ll,abi)*h8 ;

;<1

y

;.

yl

W (ot

lhCpausl, pos

, ;<1) ;X2

y+h2*yl ;

y2

W(ot+oh2,x+h2* :<1,xa

x2) ;x3 .= y+h2*y2 ; y3 .= W(ot+oh2,x+h2*x2,xa ,x3) ;x4

y+h *y3 ;

y4

W(ot+oh

<+h *x3,1hCpaus+l7 .pos,x4) ;;<

x+hb*(x1+2,0*x2+2,0*x3+ :<4) ;y

y+h6*(yl+2 .0*y2+2,0*y3+y4) ;of

ot+oh ;if of > pit then of := of-pi2 ;

(Zehaztasuna gordetzeko)if ( ;< ) 0,0) xor positiboa then amaia := false

COY ard, zeharkatu7}end ;

ogCpkJ . pos

205ogCpkl,abi

yend

end {integrazioa) ;

* *Fitxategia : mlaosi,pas

Orria : 4* *

.begin (programa nagusia)UnderflowZero ;

{8087 kontrolatzeko}hasord

ordua ;

{Hasierako ordua}hasegun

fetxa ;

{ eta fetxa}h

r/pk ;

{Pausoaren luzera}h2 h/2 .0 ;h6 h/6 .0 ;hS := h/8,0 ;oh := o*h ;

{omega * h}oh2

oh/2 .0 ;pi2

2 .0*pi ;eziru

0 ;InitPicture ;

(Modu grafikoa}View (1,1,lx1,lyl) ;

{Pantaila erabilia}Box

(0,0,1x1+l,lyl+1,1) ;

(Markoa)GraphWindow (pxO,py0,pxl,pyl) ;

(H, baldintzen tarteak}if ParamCount = 0 then ler := lerO

(Nondik hasi)else begin

Val (ParamStr(1),ler,i) ;if i () 0 then ler

ler0end ;

if ler ) 0 then

(Bazeuden emaitzak}begin

Str (1er-l,na) ;assign (pantaila,ize+na+',dat') ;Reset (pantaila) ;read (oantaila,picture) ;close (pantaila)

end ;

206


Orria : 5* *

gehix :_ (px1-px0)/(1x1-1) ;gehiy

(py1-pyO)/(lyl-1) ;

{Hasierako baldintzak}for piy := ler to lyl-1 do

(OY ardatzean, abiadura)begin

hasabi := pyl-piy*gehiy ;hasabih

hasabi*h ;for pix

0 to lx1-1 do

(OX ardatzean, posizioa)begin

haspos := px0+pix*gehix-r*hasabi ;for paus := 0 to pk do

{ (-r

t s 0) )beginogCpausL pos := haspos+hasabih*paus ;

_{ x = xO + t * v0 }ogCpausl .abi := hasabi

( v = v0 }end ;

tartea := 1 ;x

ogCpkJ .pos ;

(Soluzio iarraia}y

ogCpkl .abi ;of

0,0 ;repeat

integrazioa ;if tartea = 1 then amaia := false ;

{Lehenengoan ez da amaitzen}tartea := tartea+kopu ;if keypressed then if amaitzeko then (Amaitu?)begin

if p-ix <•> 1x1-1 then piy := piy-l ;goto irteera

'end

until amaia or (tartea > tarmax) ;if not amaia then eziru := eziru+l

(Marraztu puntua?}else if positiboa then Oset (pix+l,piy+1,1)

end ;if (piy+1) ∎od maiz = 0 then if (piy ) 0) and (piy ( lyl) then gorde

end ;irteera :eaaitzak

end (programa nagusia} .

207

HLADIM programa

*Fitxategia : aladia .pas

Orria : 1* *

prvgraa m1adin (input,output) ;

(Moon-1_i-ren ekuazio aldatuaren."osinen" dimentsio fraktala kalkulat:eko>

(**) (Lst delakoa bare hartan uzteko, kendu aurreko (*))}var (Eaaitzak idazteko fitxategia)

Lst : text ;

(**)

($K-)<SI underzer )

(8087 kontrolatzeko)(SI. fet .(ordu )

(Fet:<a eta ordua )

const(Programaren izena)

izena

= ' ;n1adim' ;

(*(0)*)(E bakoitzeko puntuak)

nmax = 512 ;(E baloreen koourua )

ekop = 5 ;(E balorerik txikiena )

emin = IE-7 ;(E baloreen arteko zatidura}

ebid = 10 .0 ;( Fase-espazioaren dimentsioa )

dime = 2 ;(Hasierako baldintzen aota )

hasbal = 'linealak',{gamma)

g

= 0,15 ;(f)

f

= 0 .15 ;(omega)

o

0 .833 ;( c )

c

= -0 .08 ;( r)

r

= 1 .0 ;(íarte- bateko pausoen kopurua )

pk,

= 4;{Azkeneko tartea}

tarmax = 300 ;(Aukeratutako oaraaetro-ieihoa)

:<arin

=:<max

= 2 . 4 ;ymin

= -1,2 ;yma;<

=

1 .2 ;{ 2 R / O * 5 ti >

kopu.

= 4-0 ;(Datuen f it-,<ategiaren izena)

ize

= 'alado' ;{Hasierako lerroa (izena+l)}

lerO .

= 0 ;

type(Posizio eta abiadura)

bektorea = record pos, abi : real end ;(Eaaitzak go-rdetzeko)

gar = array Cl„ ekop,1 .,3 of real ;

var(Lorturiko evait_ak)

ema : gor ;{Une honetako puntua)

unea, n : integer ;(E)

e

real ;(Dudan geratzen diren puntuak)

d

integer ;(Hasierako baldintzen parametroak)

haspos, hasabi : real ;{Pausaa eta erdia)

h, h2, hb, h8, oh, oh2, pit : real ;(Oraingo eta lehenengo pos . eta ab .) og, lh : array CO, .pk3 of bektorea ;(Balare lagungarriak)

ot, ;<a,

y,:<1, x2, x3, x4,y1, y2, y3, y4 : real ;

(Angelua>

ang : real ;(Puntuari dagokion emait :a)

_ : integer ;(Pausaa eta tartea)

paus, tartea : integer ;(Aaaiera)

amaia : boolean ;(Zein aldetan dagoen)

positiboa : boolean ;(Hasierako ordua eta fetxa)

hasard, hasegun : stringC83 ;(Irudikatu ez diren puntuak)

eziru : integer ;(Pantaila gordetzeko fitxategia)

gorderik

file of gor ;{Aurrekoaren izena eta hedapena)

na, hed : string C323 ;(Saiakeraren zenbakia)

saia : byte ;(Onda grabatu da?)

grabatu : boolean ;(Laguntzaileak)

ler, i : integer ;

* *Fitxategia : mladim .pas

Orria : 2* *

function W (ot, x, xa, y : real) : real ;

{MLA ekuazioa)begin

W := 0 .5*x*(1 .0-sgr(x))-g*y-c*xa+f*cos(ot)end (W) ;

procedure gorde ;

(horde emaitzak)begin

( 1-)Str (unea-1,na) ;saia := 0 ;repeat

saia := saia+1 ;Str (saia,hed) ;assign (gorderik,ize+na+' .'+hed) ;if IOresult = 0 then ;rewrite (gorderik) ;grabatu := IOResult = 0 ;if grabatu thenbegin

write (gorderik,ema) ;grabatu := IOResult = 0

enduntil grabatu or (saia ) 10) ;Close (gorderik) ;if IOresult = 0 then ;Rename (gorderik,ize+na+',dat') ;if IOResult = 0 then

beginif unea > I then

beginStr (unea-2,na) ;assign (gorderik,ize+na+',dat') ;if IOresult = 0 then ;Erase (gorderik) ;if IOResult = 0 then

endend

($I+)end (gorde) ;

function amaitzeko : boolean ;

{Amaitu?)var c : char ;

beginwriteln ('E : ',unea,'

Funtua : ' ,n)write ('Amaitzea nahi al duzu? (B/E)

') ;readln (c) ;amaitzeko := UpCase(c)

end {amaitzeko} ;

function log (x :real) : real ;

(Logaritmo arrunta)begin

log := ln(x)/ln(10 .0)end (log) ;

212

*Fitxategia : mladim .pas

Orria : 3 *

procedure euaitzak ;

{Azkeneko emaitzen inpresioa}var

(Koefizienteak)

xx, xb, xy, yb,aa, bb, de, si : real ;begin

gorde ;(**) {Lst delakoa bere hartan uzteko, kendu aurreko (*))}assign

(Lst,ize+' .1st') ;

(Birdefinitu Lst}{SI-} rewrite (Lst) ; {$I+}if IOResult = - O then

(**)beginwriteln (Lst,izena,' (',ize,

'hasegun,' , ' ,hasord,' --) ' , fetxa,' , ' ,ordua,' )') ;

writeln (Lst,' *********~t******************************* *~r **************') ;writeln (Lst,'Hasierako baldintzak : ',hasbal,', Pausoen kopurua : ',pk) ;writeln (Lst,'g . ',g :6 :3,',

r .

r : ',c :9 :6) ;writeln (Lst,'F

',f :6 :3,',

o

',o :6 :3,',

h . ',h :6 :3) ;writein (Lst,'Baldintzen leihoa : (', ;<min :6 :3,'

x ~- ' ,xmax :6 :3,ymin :6 :3,'

y

fma ;< :6 :3,writeln (Lst,'Atzerapenen kopurua : ',kopu) ;writein (Lst,'Tarteen kopuru maximoa : ',tarmax) ;writeln (Lst,'E bakoitzeko ',nmax,' punty-bikote kalkulat>>ko dira,') ;writeln (Lst,'E-en baloreak ',ekop,' izango dira . Txikiena :',emin) ;writeln (Lst,'Bakoitzean ',ebid :ó :3,' balorearekin biderkatzen da aurrekoa .')writeln (Lst,'Amaierako E(-1) eta n : ',unea,',',n) ;writeln (Lst) ;xx

0 .0 ;

(sz delakoaren kalkulua}(b

0 .0 ;xy .= 0 .0 ;yb := 0 .0 ;n

0 ;for unea := 1 to ekop do if ema Cunea,3J )= 0 .0 thenbegin

x

emaCunea,tJ ;y

emaCunea,2J ;writeln (Lst,unea :2,'

log(E)log(N(E)) _ I ,y :6 :3,

Erabaki Babe : ',Round(emaCunea,3J)) ;< :< : = xx+sqr (x) ;<b = xb+x ;xy

xy+x*y ;yb

yb+y7n := n+1

end ;writeln (Lst) ;i f n ) 1 thenbegin

de : n* :<,<-sqr (xb) ;as (n*xy-xb*yb)/de ;bb

( ;(:<*yb-xb*xy) /de ;Si := 0 .0 ;for unea := 1 to ekop do if ema Cunea,3J )= 0 .0 then

si := si+sqr(as*emalunea,ll+bb-emaCunea,2J) ;writeln (Lst) ;writeln (Lst,'d =',dime-aa :6 :3) ;if n > 2 then writeln (Lst,'6=

si/(n-2) :8 :5)end ;

close (Lst) ;write (chr(7)) ;

(Beep)Halt

end

*Fitxategia : mladim .pas

Orria : 4* *

procedure integrazioa ;

(Tarte bat --u)begin

amaia := true ;positiboa :_ x ) 0,0 ;for i := I to kopu do

beginlh := og ;for paus := 0 to pk-1 do

(pk pauso)begin

ogCpaus),pos

x ;

(Runge-Kutta-rem integrazioa)ogCpausl .abi

y ;

(eta Hermite-ren interpolazioa)xa

0 .5*(lhEpaus) .pos+lhCpaus+ll,pos)+(lhCpausJ .abi-lhCpaus+l] .abi)*hB ;

XI

y

;

y1

W(ot

, :<

1h(paus] .pos

,xl) ;x2

y+h2*y l ;

y2 : = W (ot+oh2, x+h2* :<1 , xa

, ;:2) ;X3 = y+tit*y2

y3

W (ot+oh2, ;<+h2* ;<2 , :<a

, x3) ;x4 := y+h *y3 ;

y4

= W(ot+oh , ;<+h * ;<3, lhCpaus+lJ,pos, ;<4) ;x _ :<+hó* (xl+2 .0* :<2+2 .0*x3+x4) ;y

y+hb*(y1+2 .0*y2+2 .0*y3+y4) ;of

of+oh ;if of ) pit then of := of-pit ;

{Zehaztasuna gordetzeko)if (x ) 0 .0) xor positiboa then amaia := false

(OY ard . zeharkatu?)end ;

ogCpkJ .pos

x ;ogCpkJ .abi := y

endend (integrazioa) ;

function zeinua (xO, yO : real)

integer ;

(Nora doa puntua?}begin

x0 := xO-r*y0 ;

(Hasierako baldint--ak)for paus := 0 to pk do

{ (-r L t

0) }begin

ogtpausJ,pos :_ xO+paus*yO*h ;

( x = x0 + t * v0 )ogtpaus7 .abi := yO

( v = v0 )end ;

tartea := 1 ;x

ogCpkJ .pos ;

{Soluzio jarraia}y

ogCpk] .abi ;of

0 .0 ;repeat

integrazioa ;if tartea = 1 then amaia := false ;tartea := tartea+kopu ;if keypressed then if amaitzeko then emaitzak

(Amaitu?)until amaia or (tartea ) tarmax),if not amaia then begin

{Erabaki gabe)eziru

eziru+l ;zeinua

0end

else if positiboa then -einua = 1

__ uin ---- t3raelse zeinua

-1

_z'cerr?tar3}end ( ;ein+ja} ;

214

Fitxategia : mladim,pas

Orria

5* *

begin (programa nagusia)UnderflowZero ;

{8087 kontrolatzeko}hasord := ordua ;

(Hasierako ordua)hasegun

fetxa ;

( eta fetxa)h

r/pk ;

{Pausoaren luzera)h2 : h/2 .0 ;h6 := h/6 .0 ;h8 h/8 .0 ;oh

o*h ;

(omega * h}oh2 oh/2 .0 ;pit 2,0*pi ;if ParamCount = 0 then ler := lerO

(Nondik hasi}else begin

Val (ParamStr(1),ler,i) ;if i (> 0 then ler

lerOend ;

if ler ) 0 then

(Bazeuden emaitzak}begin

Str (ler,na) ;assign (gorderik,ize+na+',dat') ;Reset (gorderik) ;read (gorderik,ema) ;close (gorderik)

end ;e := emin*e :<p(ler*ln(ebid)) ;

{Hasierako E)for unea

ler+1 to ekop do ema Cunea,33 :_ -1 ;for unea

ler+1 to ekop do

(E bakoitzeko)begin

if unea ) ler+1 then gorde ;eziru

0 ;d

0 ;for n := 1 to nmax do

{nmax puntu-bikote)beginhaspos

xmin + random*( :<max-xmin) ;hasabi

ymin + random*(ymax-ymin) ;z := zeinua(haspos,hasabi) ;

(**)

ang := pi2*random ;if z (> zeinua(haspos+e*cos(ang),hasabi+e*sin(ang)) then

d := d+1

(**)(*

if (z (> zeinua(haspos+e,hasabi)) or(z (> zeinua(haspos-e,hasabi)) then d := d+1

(**)end ;

if d ) 0 then

(Gorde emaitzak)begin

ema Cunea,11 := log(e)sema Cunea,21

log(d/nmax) ;ema Cunea,37

eziruend ;

e := e*ebid

{Hurrengo E}end ;

enaitzakend (programa nagusia) .

215

BIBLIOGRAFIA

1 .- R.D . DRIVER: "Ordinary and Delay Differential Equations" . Springer(1977).

2.-

R. BELLMAN and K.L. COOKE: 'Differential-Difference Equations'.Academic Press (1963) .

3.- L.E.EL'SGOL'C and S.B. NORKIN: 'Introduction to the theory ofDifferential Equations with Deviating Argument' . Academic Press(1971) .

4.- J. HALE : "Functional Differential Equations" . Springer (1971) .

5.- J. KAPLAN and J.A. YORKE: ' Functional Differential Equations andApproximation of Fixed Points" . H.O. Peitgen and H.O. Walther Eds.,Springer, Berlin (1979).

6.- 'Differential-Difference Equations . Applications and NumericalProblems'. L. COLLATZ, G. MEINARDUS and W. WETTERLING Eds.,Birkhauser Verlag, Basel (1983) .

7.- L.D. LANDAU and E.M. LIFSHITZ: 'Teoría Clasica de los Campos' .Reverte, Barcelona (1966) .

8.-

F.R. ROHRLICH: "Classical Charged Particles". Addison-Wesley,Reading, Mass. (1965) .

9.- C. TEITELBOIM, D . VILLARROEL and CH.G. VAN WEERT, Rivista delNuovo Cimento, 3 9 (1980) .

10.- "Relativistic Action at a Distance : Classical and Quantum Aspects" .J. LLOSA Ed., Springer, Berlin (1982).

11 .- J.M. AGUIRREGABIRIA and L. BEL, Phys. Rev.D, 29. 1099 (1984) .

219

12.- L. BEL and X. FUSTERO, Ann. Inst. Henri Poincare XXV. 411 (1976) eta

bertako erreferentziak .

13 ..- R. LAPIEDRA and A . MOLINA, J. Math. Phys. 20. 1308 (1979) .

14.- Arazo honen planteamendua B . COLL doktoreari zor diogu.

15.- E.N. LORENZ, J. Atmos. Sci. 2 130 (1963) .

16.- L.D. LANDAU and E.M. LIFSHITZ: "Fluid Mechanics' . Addison-Wesley,

Reading, Mass. (1968) .

17.- D. RUELLE and F. TAKENS, Comm. Math. Phys . 20 167 (1971) .

18.-

H. G.

SCHUSTER :

'Deterministic

Chaos.

An

Introduction" .

Physik- Verlag, Weinheim (1984) .

19.- 'Universality in Chaos'. P. CITANOVIC Ed., Adam Hilger, Bristol

(1984).

20.- "Chaos in Nonlinear Dynamical Systems'. J. CHANDRA Ed., Siam,

Philadelphia (1984) .

21 .- HAO BAI-LIN : "Chaos". World Scientific, Singapore (1984) .

22.- 'Stochastic Phenomena and Chaotic Behaviour in Complex Systems' .

P. SCHUSTER Ed., Springer-Verlag, Berlin (1984) .

23.- 'Chaos and Statistical Methods' . Y. KURAMOTO Ed., Springer-Verlag,

Berlin (1984).

24.- P.C.H. MARTENS, Phys. Rep., 115. 315 (1984).

220

25.- E. OTT, Rev. Mod. Phys., 53 . 655 (1981) .

26.- J.-P. ECKMANN, Rev. Mod. Phys., 53. 643 (1981).

27.- R. SHAW, Z. Naturforsch, 36a . 80 (1981) .

28.- J.-P. ECKMANN and D. RUELLE, Rev Mod. Phys., 57 . 617 (1985).

29.- "Chaos and Ordre in Nature'. H. HAKEN Ed., Springer-Verlag, Berlin

(1984 ) .

30.- I. GUMOWSKI and C. MIRA: 'Dynamique Chaotique . Transformations

Ponctuelles . Transition Ordre-Desordre' . Cepadues, Toulouse

(1980) .

31 .- V. CROQUETTE, Pour la Science, 12 . 62 (1982) .

32.- P. BERGE, Y, POMEAU and CH. VIDAL: 'L'Ordre dans le Chaos. Vers uneAproche Deterministe de la Turbulance', Hermann, Paris (1984) .

33.- 1k. 18. lib . . 199. orrialdean horrelako arazoak aztertzen direneko

erreferentzien zerrenda luzea dator .

34.- M.F. FEIGENBAUM, J. Stat. Phys., 19 . 25 (1978) .

35.- M.F. FEIGENBAUM, J. Stat. Phys., 21, 669 (1979) .

36.- Y . POMEAU and P. MANNEVILLE, Comm. Math Phys., 74 . 189 (1980) .

37.- D. RUELLE and F. TAKENS, Comm . Math Phys., a 167 (1971) ; ~ 343.

38.- J.M. GAMBAUDO, I . PROCACCIA, S. THOMAE and CH . TRESSER, Phys.

Rev Lett., 57 . 925 (1986) .

221

39.- B. HU, Phys. Rep., 91 . 233 (1982) .

40.- C . GREBOGI, S. McDONALD, E. OTT and J.A. YORKE, Phys. Lett., 99A.

415 (1983) .

41 .- P. COLLET and J.-P. ECKMANN: 'Iterated Maps on the Interval as

Dynamical Systems" . Birkhauser, Boston (1980) .

42.- F.C. MOON and G.-X. LI, Phys. Rev. Lett., 55 1439 (1985) .

43 .- J. GUCKENHEIMER and P . HOLMES : " Nonlinear Oscillations, Dynamical

Systems, and Bifurcations of Vector Fields" . Springer-Verlag, New

York (1983) .

44.- M.C. McKEY and L. GLASS, Science, 197, 287 (1977) .

45 . - K. IKEDA, H. DAIDO and 0. AKIMOTO, Phys Rev Lett ., 45 . 709 (1980) .

46 .- J.D. FARMER, Physica D, 336 (1982) .

47.- M. KITANO, T. YABUZAKI and T . OGAWA, Phys. Rev Lett. 50. 713

(1983).

48.- K. IKEDA and 0. AKIMOTO, in "Chaos and Statistical Methods', Y.

KURAMOTO Ed., Springer (1984) .

49.- Y. UEDA and H. OHTA, in 'Chaos and Statistical Methods', Y KURAMOTO

Ed. , Springer (1984).

50.- B.B. MANDELBROT : 'The Fractal Geometry of Nature" . W.H. Freeman,

New York (1977) .

51 .- B.B . MANDELBROT : "Fractals : Form, Chance and Dimension' .

222

Freeman. San Francisco (1977) .

52.- Y. YAMAGUCHI and N. MISHIMA, Phys. Lett. 109A 196 (1985) .

53.- E.G. GWINN and R.M. WESTERVELT, Phys . Rev. A, 33. 4143 (1986).

54.- Ik. 43. lib., 82. or.

55 . - J.D. JACKSON: 'Electrodinamica Clasica' . Alhambra, Madrid (1966) .

670. or.

56.- 1k. 8. lib., 111 or.

57 .- Ik. 8. lib., 83. or.

58.- W.K.H. PANOFSKY and M. PHILLIPS: "Classical Electricity and

Magnetism". Addison-Wesley, Reading, Mass. (1972) . 327. or.

59.- Ik. 8. Jib. 88. or.

60.- Ik. 8.lib., 106. or.

61 .- A. SCHILD, J. Math. Anal. Appl . 1 127 (1960).

62 . - 1k. 8. lib. 84. or.

63.- L . BEL, A. SALAS and J.M. SANCHEZ, Phys . Rev. D, 7 1099 (1973) .

64 .- L. BEL, in "Relativistic Action at a Distance : Classical and Quantum

Aspects'. J. LLOSA Ed., Springer, Berlin (1982) .

65.- L. BEL, C. R. Acad. Sci., 294 . 463 (1982) .

223

66.- L. BEL . 'Predictivizacion Espontanea de los Sistemas Dinamicos

Hereditarios', in Actas de los E .R.E. 82, Bilbo (1982) .

67 .- PH. DROZ-VINCENT, Lett. Nuovo Cimento, 1 839 (1969).

68.- PH. DROZ-VINCENT, Phys . Scr., L 129 (1970) .

69.- PH. DROZ-VINCENT, R. Arens, Arch. Ration. Mech. Anal . 47 . 255

(1972) .

70.- L.BEL, Ann. Inst. Henri Poincare, XII . 307 (1970) .

71 .- L.BEL and J. MARTIN, Ann . Inst. Henri Poincare XXII, 173 (1975) .

72.- C.W. MISNER, K.S. THORNE and J. A. WHEELER. 'Gravitation'. W. H.

Freeman, San Francisco (1973), 158. or.

73.- T. A. ABBOT and D. J. GRIFFITHS, Am. J. Phys., 53. 1203 (1985) .

74 .- S. RAMO, J.R. WHINNERY and T . VAN DUZER: 'Campos y Ondas .

Aplicacion a las Comunicaciones Electronicas. Ed. Piramide, Madrid

(1974), 248. or .

75.- B.B. LAUD: 'Electromagnetics'. 'Wiley Earsten Ld., New Delhi (1983),

231 . or.

76.- Ik. 43. lib., 5.4.1 . definizioa, 256 . or.

77.- Ik. 43. lib., 34. or.

78.- N.B . ABRAHAM, A.M. ALBANO, B. DAS, G. DE GUZMAN, S. YONG, R.S.

GIOGGIA, G.P. PUCCIONI and J.-R. TREDICCE, Phys. Lett, 11_A

217(-1986) .

224

79.-C. GREBOGI, E .OTT and J.A. YORKE, Phys. Rev. Lett . 56 . 1011 (1986).

80.- F.C. MOON, Phys. Rev. Lett., 53. 962 (1984) .

81 .- Ik. 43. lib., 285. or.

82.- M. LE BERRE, E. RESSAYRE, A. TALLET and H.M. GIBSS, Phys . Rev.

Lett., 56. 274 (1986) .

83.- K. IKEDA and M. MIZUNO, Phys Rev Lett ., 51 1340 (1984) .

84.- H.M. GIBSS, F.A. HOPF, D.L. KAPLAN and R.L . SHOEMAKER, Phys. Rev.

Lett., 46. 474 (1981) .

85.- F.A. HOPF, D .L. KAPLAN, H.M. GIBSS and R.L . SHOEMAKER, Phys. Rev .

A, 25 . 2172 (1982).

86.- J.Y . GAO, L.M. NARDUCCI, L.S. SCHULMAN, M. SQUICCIARINI and J.M.

YUANG, Phys. Rev A, 2, 2910 (1983) .

87 .- P. NARDONE, P. MANDEL and R. KAPRAL, Phys. Rev. A, 33, 2465

(1986) .

88.- R.G. HOLT and I.B. SCHWARTZ, Phys. Lett ., 105A 327 (1984) .

89.- I.B. SCHWARTZ, Phys. Lett., 106A. 339 (1984) .

90.- C . GREBOGI, E.OTT and J.A. YORKE, Phys. Rev. Lett., 50. 935 (1983) .

91 .- S.W . McDONALD, C. GREBOGI, E.OTT and J.A. YORKE, Phys.Lett., 107A

51 (1985) .

92.- Ik. 43. lib., 8Z. or.

225

93.- F.C. MOON and P.J. HOLMES. J. Sound Vib., 65 . 285 (1979).

94.- F.C. MOON and P.J. HOLMES, J. Sound Vib ., 69 . 339 (1980) .

95.- C.-E. FROBERG: "Introduction to Numerical Analysis' AddisonWesley, Reading, Mass . (1965) .

96.- N.C. BARFORD: 'Experimental Measurements: Precision, Error andTruth'. Addison-Wesley, London (1967) .

97 .- LS. GRADSHTEYN and I .M. RYZHIK: 'Table of Integrals, Series and

Products' . Academic Press, Orlando, Florida (1983) .

98.- I. BRONSTEIN and K. SEMENDIAEV: "Manual de Matematicas paraIngenieros y Estudiantes" . Mir, Moscu (1982) .

226

EKUAZIO JARAUNSKORRAK:

1 . ERRAD I AZ I O ELEKTROMAGMET I KOA

II . OSIN-MUGA FRAKTALAK

a0&~[Eo OGI

EUSKARA

GAZTELANIA .

MELESA

A

adierazpen

expresión

expression

agertoki

escenario

scenario

a1daezin

invariante

invariant

aldegaii (iz)

variable (n)

variable (n)

a1dagai-banaketa

separación de

variable changevariables

a1daketa-barruti

dominio de

range,variación

variation domain

aldekor (adj),

variable (adj)

variable

aideranzkarri

invertible

invertible

anplitude

amplitud

amplitude

antisimetriko

antisimkrico

skew-symmetric

argikono

cono de luz

light cone

argumentu

ecuación con

retarded argumentatzeratudun ekuazio argumentos retardados equation

atzerapen

retardo

retard

atzeratu (adj)

retardado,a

retarded

aurreranzko ebazpen solución hacia delante

forward solution

aurresankor (adj)

predictivo,a

predictable,predictive

1

EUSKARA

GAZTELAN I A

IMGELESA

aurresankortasun

predi cti bi l i dad

predictability

azpiespazio

subespacio

subspace

azpiindize

subíndice

subindex

azterkete

aWisis

covarianterlatibista

relativista

relativistickobariante

covariante

analysis

a

bakortesun

unicidad

unicity

baldintza

condición

asymptoticasintotiko

asintótica

condition

baldintza ez-lineal

condición no lineal

nonlinear condition

baldintza lineal

condición lineal

linear condition

be deretzi-ziklo

nueve-ciclo

nine-cicie

berezko

predictivización

spontaneouseurresenkortze

espontánea

predictivization

bermatu

garantizar

to guarantee ._

berredura

potencia (Mat)

power (Math)

bi dimentsiotako

toro bidimensional

two dimensionaltoru

torus

bi putzutekopotentzial

biegonkortasun biestabilidad

potencia] de dospozos

two-well

potential

bistability

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

bifurkozío

bifurcación

bifurcation

bifurkazioen

cascade de

bifurcationturrusta

bifurcaciones

cascade

biskositote

viscosidad

viscosity

D

denbora propio

tiempo propio

proper time

denbora motako

configuración de

timelike

konfigurazio

tipo temporal

configuration

desplazamendu-

operador de

shift operator

operadore

desplazamiento

determinista

determinista

determinist

dibergentzia

divergencia

divergence

di mentsio

dimension

dimension

dimentsio froktal

dimension fractal

fractal dimension

diskretu

discreto

discrete

doitasun

precision

precision, accuracy

E

ebakidura

intersección

intersection

ebezpen

solución

solution

choluzio-porametro parámetro de evolución evolution parameter

egi turn

estructura

structure

3

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

egitura fraktal

estructura fractal

fractal structure

egitura gabeko

partícula sin

structureless

partikula

estructura

particle

egoera asintotiko

situación asintótica

asymptotic situation

egonkor

estable

stable

egonkortasun

estabilidad

stability

egonkortu

estabilizar(se)

to stabilize

ekarpen

contribución

contribution

ekarpen mixto

contribución mixta

mixed contributionjoint contribution

ekuazio

ecuación

equation

ekuazio jeraunskor

ecuación hereditaria

delay differential

equation,functionaldifferential equation,differentialdifference equati on

ekuazioen

truncamiento de las

equation truncation

trontzaketa

ecuaciones

elkarrakzio

interacción

interaction

el karrakzi o

interacción

electromagnetic

elektromagnetikoa

electromagnética

interaction

elektromagnetiko

electromegnetico

electromagnetic

emaitze

resultado

result, answer4

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

energía

energía

energy

energía

energía

electromagnetic

elektromagnetiko

electromagnética

energy

energía erradjetu

energía radiada

radiated energy

energía-bulkada

tensor de

energy-momentum

tentsore

energía-impulso

tensor

energía-momentuaren densidad de

density of

dentsitate

energía-momento

energy-momentum

erckarte

atractor

attractor

orakerle-arrunt

atractor normal

normal (noncheotic)

(ez-kaotiko)

(no caótico)

attractor

erakerle kaotiko

atractor caótico

chaotic attractor

erakerpen

atracción

attraction

erakarpen-osin

cuenca de atracción

attraction basin

eredu

modelo

model

eremu

campo

field

eremu

campo

electromagnetic

elektromagnetiko

electromagnético

field

eremuen teoría

teoría clásica de

classical fieldklesiko

campos

theory

erizpide

criterio

criterion

erlatibista

relativista

relativistic

5

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

erl azi o relación relation

erradiatu (ad j) radiado,a radiated

erradiazio

radiación

radiation

erradiazlo

radiación

electromagnetic

elektromag netiko

electromagnética

radiation

errad¡ azi o-eremu

campo de radiación

radiation field

erradiaboaren

proporción de

radiation rate

Proportzi0

radiación

erregresio-kurba

curva de

regresión

regression curve

erregulartason-

proceso de

regularization

prozesu

regularización

process

errenormalízazio

renormali2ación

renorm~alization

er-renormalizazio-

grupo de

renormalizati on

taldea

renormalización

group

errare

error

error

eskUalde

región

region

espaboalde

región del espacio

space region

espazio-denhora

espacio-tiempo

space-ti me

espezio motako

configuración

spacelikekonfigurazi0a

tipo espacio

configuration

espazio motako

hiperplano de tipo

spacelikehiperpleno

espacial

hyperplane

EUSKARA

GAZTELAMIA

IMGELESA

etorkizuneko

cono de luz del

future

argikono

futuro

light cone

euskarri zurran

armazón rígido

rigid freme

existentzin eta

teorema de

existence and

bakertasunaren

existencia y

unicity theorem

teorema

unicidad

ez-aideranzkorri

no invertible

noninvertible

ez-egonkor

no estable (inestable)

instable

ez-lineal

no lineal

nonlinear

ez-lineattasun

no 1inealidad

nonlinearity

F

f aseen espazi o

espacio de (las) fases

phase space

fraktal

fractal

fractal

fraktaltesun

fractalidad

fractality

frakzio

fracción

fraction

f untzi oen espazi o

espaci o de 1 es f unciones function space

6

gai

término

term

gai etzeratu

término retardado,

retarded term

gai bortxatu

término forzado

forced term

gel jaraunskor

término hereditario

hereditary term

7

EUSKARA

6AZTELANIA

INGELESA

gainezarmen

superposición

superposition

geinezermeneren

principio de

superposition

printápio

superposición

principle

garapen (Mat) desarrollo (Mat)

expansion (Math)

bebe

viga, varilla

beam, rod

bebe elestiko

varilla elástica

elastic beam

hendipen

ampliación

enlargement

hasiereko baldintza

condición inicial

initial condition

Hermite-ren

interpolación

Hermite

interpolazio

de Hermite

interpolation

higidura iregankor

movimiento transitorio transient motion

hiperpi anon

hi perpi ano

hgperplane

hipergoinazal

hipersuperficie

hgpersurface

hiru-zIk1o

tres-ciclo

three-cicle

1

Ibilbide esintotiko

trayectoria asintáti ca

asymptotic trajectory

Sur

símbolo

symbol

indargetze

amortiguación

damping

indize

índice

index

8

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

i ntegreki zun

integrando

i ntegrand

integrazio numeriko integración numérica

numerical integration

integrezio-pauso

paso de integración

integration step

interpolezio

interpolación

interpolation

intrintseko

intrínseco

intrinsic

iregeneko

cono de luz

past light coneargikono

del pasado

ireganeko infinitu

infinito pasado

past infinity

i raungi kor

di si pati vo

dissi pati ve

isladopen espeziel

reflexión espacial

space reflection

i terazi o

iteración

iteration

iterazio

iteración

two-dimensionalbidimentsional

bidimensianal

invertiblealderanzkarri

invertible

iteration (map)

iterazio

iteración

one-dimensionalunidimentsional

unidimensional

noninvertibleez-olderenzkarri

no invertible

iteration (map)

izeera

i zeera f raktal

j eraunskor (ad j)

heredi t ari o,a

hereditary

jarroi (adj)

carácter

character

carácterfractal

fractal character

con tínuo,a

continuous9

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

jokamolde

comportamiento

chaotic comportmentkootiko

caótico

(behaviour)

K

kaikuiu kobariante

cálculo covariante

covariant calculus

kaos

caos

chaos

kaos determinista

caos determinista

deterministic chaos

kopazitate

capacidad

capacity

karratu minimoen

método de los

least squaresmetodo

mínimos cuadrados

method

kobariante

covariante

covariant

kofaseen espazio

espacio de (las) cofases cophase space

konfidantze-maiia

nivel de confianza

confidence level

konfigurazio

configuración

configuration

konpi i adore

compilador

compiler

konpi l adore-

directiva de

compilerdi rekti ba

compilador

directive

kontrabariante

contravariante

contravariant

kontrol-parametro

parámetro de control

control parameter

kontserbakor (adj)

conservativo,a

conservative

koordenatu

coordenada

coordinate

koprozesadore

coprocesador

coprocessor

10

EUSKARA

6AZTELANIA

MELESA

koprozesadore

coprocesador

numerical

numeriko

numérico

coprocessor

L

Larmor-en

fórmula de

Larmor formula

formula

Larmor

lengoaja

lenguaje

language

líburutegi estandar

librería standard

standard library

Lie-ren deribatu

derivada de Lie

Lie derivative

Li6nard-Viechert- en expresión de

Liénard-Wiechert

adierazpen

Liénerd-Wiechert

expression

linealtasun

linealidad

linearity

Lorentz-en indar

fuerza de Lorentz

Lorentz force

lorentz-Direc-enekuazlo

angular f recuency

slope

mapa dual

mapa dual

dual map

Maxwell-en

tensor

electromagnetic

tentsore

electromagnético

Maxwell

elektromagnetiko

de Maxwell

tensor

maiztesun angeluar frecuencia angular

malda

pendiente

ecuación de

Lorentz-Dirac

Lorentz-Dirac

equation

11

EUSKARA

6AZTELANIA

INGELESA

mekanika

mec6nica

predictiveerlatibista

relativista

relativistic

aurresenkor

predictiva

mechanics

menpekotasun

dependencia

dependence

metriIka

métrica

metric

mProordenadore

micrordenador

microcomputer

Mi nkowski-ren

espacio-tiempo

Mi nkowski

aspazio-denbora

de Minkowski

space-time

mote denhoral

tipo temporal

timelike

mota espazial

tipo espacial

spacelike

muga

frontera

boundary

muga-Sk1o

ciclo límite

limit cicle

multzo

conjunto

set

N

n-ordenako

ecuación hereditaria

nth order delay

ekuazio jarau=or

de orden n

differential equation

n-ziklo

n-ciclo

n-cicle

normalizatu

normalizado,a

normalizated

nulu

nulo,e

null

0

ordenadore

ordenadore

analoganalogiko

analógico

computer

12

EUSKARA

GAZTELANIA

MELESA

orokorpen

generalización

generalization

orokorpen

generalización

relativistic

erlatibista

relativista

generalization

ortogonaltasun-

condición de

orthogonality

baldintza

ortogo nail dad

condition

ortonormel

ortonormal

orthonormal

osin

cuenca de atracción

basin

osin-muga

frontera entre cuencas basin boundary

osin-muga

frontera normal (lisa)

normal (smooth)arrant (lean)

entre cuencas

basin boundary

osin-muga fraktal

frontera fractal

fractal basin

entre cuencas

boundary

osziladore Oz)

oscilador

oscillator

oszilatzaile (adj)

oscilador,a

oscillating

p

pandeo (gilbordura)

pandeo

buckling

partikula puntual

partícula puntual

pointlike particle

periodo

período

period

perturbaToen

teoría de

perturbationteoria

perturbaciones

theory

poliTo

posición

position

posizio atzeratu

posición retardada

retarded position13

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

projekzio

proyección

projection

proportzi o

proporción (ratio)

rate

prozedure

procedimiento

procedure

prozesu iregenkor

proceso transitorio

transient process

puntu finko

punto fijo

fixed point

R

Funge-Kutte-ren

método de

Runge-Kutta

metodo Runge-Kutta

method

sellkepen

clasificación

classification

.sari-hiru-ziklo

pseudo-tres-ciclo

pseudo-three-cl de

sei-ziklo

seis-ciclo

six-cicle

sentikortasun

sensibilidad

sensitivity

sentikortasun-

región de

sensitivity

eskual de

sensibilidad

region

simulazio numeriko simulación numérica

numerical simulation

sistema

sistema

system

sistema sistema invariant

aurresankor predictivo predictive

aldeezin

invariante

system

sistema di nami ko

sistema dinámico

nonlinear

ez-lineal

no lineal

dynamical system

14

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

sistema dinamiko

sistema dinámico

dissipativeiraungikor

disipativo

dgnamical system

sistema inertzial

sistema inercia]

inertial system

sistema ortonormel sistema ortonormal

orthonormal system

tentsore

tensor

tensor

tentsore metriko

tensor métrico

metric tensor

tetrabektore

tetravector

four-vector

tetrabiadura

tetravelocidad

four-velocity

tetrabolumen

tetravolumen

four-volume

totrapotentzial

tetrapotencial

four-potential

tetramomentu

tetramomento

angularangeluar

angular

four-momentum

tetramomentu tetramomento radiatedangeluar - angular angularerradiatu

radiado

four-momentum

tetramomentu

tetramomento

total radiatedangeluar

angular

angularerradiatu oso

radiado total

four-momentum

tetramomentu

proporción de

radiation rateengeluar

tetramomento

of angularerrediatuaren

angular

four-momentumproportzio

radiado

1 5

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

tetramomentu

densidad de

angularangeluarraren

tetramomento

four-momentumdentsitate

angular

density

tetramomentu tetramomento intrinsicangeluar angular angular .1ntrintseko

intrínseco

four-momentum

tetramomentu lineal tetramomento lineal

ii near four-momentum


electromagnetic linearelektromagnetiko

electromagnético

four-momentum

tetramomentu línea] tetramomento lineal

radiated linearerredietu

radiado

four-momentum


total radiated linearerredi etu oso

radiado total

f our-momentum

tetramomentu

densidad de

linearlineal aren

tetramoment o

four-momentumdentsitate

lineal

density

tetramomentu lineal proporción de

radiation rateerredi etuoren

tetramoment o lineal

of linearproportzio

radiado

four-momentum

toru bidimentsional toro bidimensionel

two-dimensionaltorus

trontzakete

truncamiento

truncation

turruste

unibertso-lerro

cascada

cascade

lí ea de universo

world line

1 6

EUSKARA

GAZTELANIA

INGELESA

unibertsaltasun

universalidad

universality

unibertsaltasunaren teoría de la

universalityteoría

universalidad

theory

uzkurtu

contraerse

to contract

z

zehaztasun MAU

precision doble

double precision

Surgabetasun

incertidumbre

uncertainty

zurrun

rígido

rigid

zurruntasun

rigidez

rigidity

zurruntasun-gai

termino de rigidez

rigidity term

1 7

1

Ekuazio jaraunskorrak: I. Erradiazio elektromagnetikoa II ... · horretan aurkeztu behar izan nuen,...

Documents

Transcript of Ekuazio jaraunskorrak: I. Erradiazio elektromagnetikoa II ... · horretan aurkeztu behar izan nuen,...