MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

1) En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

2) El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

a) Calcula el lado de la baldosa y el número de las baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3) Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

4) ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

5) María quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningún trozo de cartulina.

a) ¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

6) Eva tiene una cuerda roja de 15 m. y una azul de 20 m. Las quiere cortar en trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada.

a) ¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cuerda que puede cortar?

7) Carlos y Luis tienen 25 cuencas blancas, 15 cuencas azules y 90 cuencas rojas y quieren hacer el mayor numero de collares iguales sin que sobre ninguna cuenca.

a) ¿Cuantos collares iguales pueden hacer?b) ¿Que numero de cuencas de cada color tendrá cada collar?

8) Se compra en una florería 24 rosas y 36 claveles. Si todos los centros de mesa son iguales, el máximo número de centros que podemos realizar utilizando ambas flores son 12.

a) ¿Cuantos centros de mesa se puede elaborar si se coloca la máxima cantidad de flores sin que sobre ninguna?

b) ¿Cuantas rosas y claveles se colocan en cada centro de mesa?

9) Se quieren cortar 2 tiras de papel, una de 48 y la otra de 72 cm en la mayor cantidad de pequeñas tiras iguales.

a) ¿Cuántas tiras pueden cortarse y cuanto medirá cada una?

10) Un padre da 3,600 a otro 5,850 y a otro 3,150 para repartirlo en donativos a diferentes causas sociales de modo que todos den la misma cantidad

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

a) ¿cual es la mayor cantidad que podrán dar a cada causa y cuantas las causas socorridas?

Solución del ejercicio 1

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T1 = 250/10 = 25

Número de garrafas de T2 = 360/10 = 36

Número de garrafas de T3 = 540/10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

Solución del ejercicio 2

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a centímetros.

3 m = 300 cm = 2² · 3 · 5²

5 m = 500 cm = 2² · 5³

A = 300 · 500 = 150000 cm2

m. c. d. (300, 500) = 2² · 5² = 100 cm de lado

Ab = 1002 = 10000 cm2

150000 : 10000 = 15 baldosas

Solución del ejercicio 3

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

Calculamos el máximo común divisor.

12 028 = 2² · 31 · 97

12 772 = 2² · 31 · 103

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

Solución del ejercicio 7

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

Pasamos las unidades a centímetros porque las baldosas se miden en centímetros.

8 m = 800 cm = 25 · 5² cm

6.4 m = 640 cm = 27 · 5 cm

m. c. d. (800, 640) = 25 · 5 = 160 cm de lado

A  b  = 1602 = 25600 cm2

A = 800 · 640 = 512000 cm2

512000 : 25600 = 20 baldosas

PROBLEMAS DE M.C.D. Y M.C.M. RESUELTOSMaría quiere dividir una cartulina de 40 cm. de largo y 30 cm. de ancho en cuadrados iguales, tan grandes como sea posible, de forma que no le sobre ningun trozo de cartulina.¿Cuánto medirá el lado de cada cuadrado?

Lo haremos utilizando el m.c.d. y vamos a explicar por qué:

1º Para que no le sobre ningún trozo, calculamos los divisores del 40 y del 30:    divisores del 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 y 40    divisores del 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

2º Como el ancho y el largo de un cuadrado son iguales, buscamos los divisores comunes:    divisores comunes del 40 y del 30:  1, 2, 5 y 10

3º Para que el cuadrado sea tan grande como se pueda, escogemos el máximo divisor común.

    m.c.d.(30, 40) = 10

Respuesta: Cada cuadrado hará 10 cm. de lado._______________________________________

Juan tiene la gripe y toma un jarabe cada 8 horas y una pastilla cada 12 horas.Acaba de tomar los dos medicamentos a la vez.¿De aquí a cuantas horas volverá a tomarselos a la vez ?

En este caso, utilizaremos el m.c.m.

Estamos buscando un número de horas que será mayor o igual a 12,buscamos un nº que sea múltiplo de 8 y de 12 a la vez,de todos los múltiplos que lo cumplen nos interesa el más pequeño.

m.c.m.(8, 12) = 24

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

Respuesta: dentro de 24 horas se tomará ambos medicamentos a la vez.__________________________________________________

Eva tiene una cuerda roja de 15 m. y una azul de 20 m.Las quiere cortar en trozos de la misma longitud, de forma que no sobre nada.¿Cuál es la longitud máxima de cada trozo de cuerda que puede cortar?

Estamos buscando un nº que sea divisor de 15 y de 20 a la vez,de los números que cumplan esto, escogeremos el mayor.

m.c.d.(15, 20) = 5

Respuesta: la longitud de cada trozo de cuerda será de 5 m._____________________________________________

Luís va a ver a su abuela cada 12 días, y Ana cada 15 días.Hoy han coincidido los dos. ¿De aquí a cuantos días volverán a coincidir en casa de su abuela?

Estamos buscando un nº que será mayor o igual a 15, que es un múltiplo de 12 y de 15 a la vez.De todos los múltiplos que lo cumplen escogemos el más pequeño.Por tanto buscamos el m.c.m.

m.c.m.(12, 15) = 60

Respuesta: Volveran a coincidir dentro de 60 días.

Buscamos el mcm (10,6,2)= 30por tanto, volverán a encontrarse a los 30 minutos.