EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA

IGUALDADES TRIGONOMÉTRICAS

  

  

   

  

 

6º-

 

7º-

 

8º-

 

9º-

 

10º-

 

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO.

1- Determina todas las razones trigonométricas del ángulo x si cos x =-0.8 y el ángulo x está en el tercer cuadrante

Soluciones: sen x =-0.6 Tg x = 0.75

2- Si la tg x =-0.5 y x esta en el cuarto cuadrante determina el resto de las razones trigonométricas

Soluciones: cos x =0.89 Sen x =-0.44

3- Calcula el seno y coseno de un triangulo del tercer cuadrante sabiendo que su tg = √3

Soluciones: cos x = -0.5 Sen x =-0.86

4- Sabiendo que sen x =3/5 y que 0º≤x ≤ 90º; calcula el cos x y tg x

Soluciones: cos x =4/5 Sen x =3/4

5- Si el ángulo x esta en el segundo cuadrante calcula el resto de las razones trigonométricas si el cosec x =2.5

Soluciones: sen x =0.4 Cos x =-0.91 Tg x =-0.43

6- Si el sen x =0.8 y que 90º≤x≤180º calcula el resto de las razones trigonométricas

Soluciones: cos x =-0.6 Tg x =-1.3

7- Calcula las razones trigonométricas del siguiente triangulo:

Sen x= 7/8.6 sen ß =5/8.6 Cos x= 5/8.6 cosß= 7/8.6 Tg x =7/5 tgß= 5/7

5cm 7 cm

8-calcula el valor de las siguientes razones trigonométricas de todos los ángulos del siguiente triangulo:

sen x = 8/10.63 senß = 7/10.63 cos x =7/10.63 cos ß= 8/10.63 tg x =8/7 tg ß= 7/8

7cm

8 cm  9. Si senα = 3/10 y 90º ≤ α ≤ 180º, Averigua todas sus razones trigonométricas.

10. Si α = 0’6 y α se encuentra en el 2º cuadrante. Averigua sus razones

11. Si tgα = -2/5 y α se encuentra en el 2º cuadrante. Averigua sus razones

12. Si senα = 0’4 y α está en el primer cuadrante. Averigua el resto de las razones trigonométricas

13. Si la sec (x) = ¾ y x es un ángulo agudo, calcula:· Cos (180º - x)· Sen (180º + x)· Tg (90º - x)

14. Si senα = 0’68 y cosα = 0’73, calcula senβ y cosβ

15. Si α es un ángulo agudo y cosα = 4/5, calcula el resto de las razones trigonométricas

    16-Sabiendo que el seno de un angulo agudo es 0.17 calcula:a) sen (180 + alfa ) SOLUCIÓN: -0.17b) sec (180 – alfa ) SOL - 1/ 0.985c) tg (360 – alfa ) SOL -0.17 

    17-Sabiendo las razones trigonométricas de 30 º, calcula:a) cos ( 90 – alfa ) SOL 1 /2b) cotg (180 + alfa ) SOL √3c) sen ( 360 – alfa ) SOL - ½

     18- Sabiendo que la tg de un angulo agudo es 1.09 calcula :a) cosec ( 180 º – alfa ) SOL 1.36b) tg ( 180 + alfa ) SOL 1.09c) cos ( 90º – alfa ) SOL 0.735     19- Sabiendo que la cotg de un ángulo del tercer cuadrante es 0.854 calcula todas las razones trigonométricas del primer cuadrante:a) sen alfa SOL 0.760b) cos alfa SOL 0.649c) tg alfa SOL 0.73 d) cosec alfa SOL 1 / 0.760              e) sec alfa SOL 1 / 0.649f) cotg alfa SOL 1 / 0.73

EJERCICIOS TEÓRICOS

1.- Cosec (α) es la razón entre la longitud de la hipotenusa y la longitud delcateto opuesto del ángulo α

Respuesta: Verdadero, ya que si tomamos la circunferencia gniométrica la hipotenusa tiene el valor de 1 y el cateto opuesto seria el seno, luego:

1/sen (α)= cosec (α)

2.- Dado este dibujo di:

1º ¿Que relación hay entre la hipotenusa de un triangulo rectángulo y la relación 1= sen² (α) + cos² (α)?

Respuesta: Que para conseguir dicha relación primero tenemos que escribir el teorema de Pitágoras y luego dividirlo todo por la hipotenusa al cuadro y así obtenemos la relación.

a² = b² + c² ; a²/ a² = b² /a²+ c²/ a² ; 1= b² /a²+ c²/ a² ; 1= sen²(α) + cos²(α)

2º ¿Porqué el seno y el coseno de la relación 1= sen² (α) + cos² (α) están elevados al cuadrado?

Respuesta: Porque el sen y el cos de la relación se sacan de la división del teorema de Pitágoras entre la hipotenusa al cuadrado. b/a = sen (α) y c/a= cos (α)

a² = b² + c² ; a²/ a² = b² /a²+ c²/ a² ; 1= b² /a²+ c²/ a²; 1= sen² (α) + cos² (α)

3.- Explica la relación que hay entre los lados de un triángulo y los ángulos:

Respuesta: Según el teorema del seno, hay una relación de proporcionalidad entre los senos de los ángulos y los lados opuestos ellos: senÂ/a = senÊ/e = senÛ/u

4- Demuestra que (sen²)²α · cos²α + sen²α · (cos²)²α = sen ²α · cos ²α

Solucion: sen²α + cos²α = 1

PROBLEMAS

1 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m.

Reso lver e l t r iángulo

sen B = 280/415 = 0 .6747        B = arc sen 0 .6747 = 42° 25′

C = 90° - 42° 25 ′ = 47° 35 ′

c = a cos B    c = 415 · 0 .7381 = 306. 31 m

2 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c =

21 m. Reso lver e l t r iángulo

tg B = 33/21 = 1 .5714          B = 57° 32 ′

C = 90° - 57° 32 ′ = 32° 28′

a = b/sen B      a = 33/0 .5437 = 39.12 m

3 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B =

22° . Reso lver e l t r iángulo

C = 90° - 22° = 68°

b = a sen 22°      b = 45 · 0 .3746 = 16.85 m

c = a cos 22°         c = 45 · 0 .9272 = 41.72 m

4 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5 .2 m y B =

37º . Reso lver e l t r iángulo

C = 90° - 37° = 53º

a = b/sen B        a = 5 .2 /0 .6018 = 8.64 m

c = b · cotg B    c = 5 .2 · 1 .3270 = 6. 9 m

5 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B =

41.7° . Reso lver e l t r iángulo

6 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B =

54.6° . Reso lver e l t r iángulo

7 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4

m. Reso lver e l t r iángulo .

8 De un t r iángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y c = 5

m. Reso lver e l t r iángulo .

 

9 Un árbo l de 50 m de a l to proyecta una sombra de 60 m de

larga. Encontrar e l ángulo de e levac ión de l so l en ese momento.

.

10 Un d i r ig ib le que está vo lando a 800 m de a l tura , d is t ingue

un pueblo con un ángulo de depres ión de 12° . ¿A qué d is tanc ia de l

pueb lo se ha l la?

11 Ha l lar e l rad io de una c i rcunferenc ia sab iendo que una

cuerda de 24.6 m t iene como arco correspondiente uno de 70°    

12 Ca lcu lar e l área de una parce la t r iangular , sab iendo que dos

de sus lados miden 80 m y 130 m, y forman entre e l los un ángulo de

70° .

13 Calcu la la a l tura de un árbo l , sab iendo que desde un punto

de l ter reno se observa su copa ba jo un ángulo de 30° y s i nos

acercamos 10 m, ba jo un ángulo de 60° .

14 La long i tud de l lado de un octógono regu lar es 12 m. Ha l lar

los rad ios de la c i rcunferenc ia inscr i ta y c i rcunscr i ta .

.

15 Ca lcu lar la long i tud de l lado y de la apotema de un octógono

regu lar inscr i to en una c i rcunferenc ia de 49 cent ímetros de rad io .

16Tres pueblos A , B y C están un idos por carreteras . La

d is tanc ia de A a C es 6 km y la de B a C 9 km. E l ángulo que forman

estas carreteras es 120° . ¿Cuánto d is tan A y B?

17 Calcular la altura de una torre si al situarnos a 25 m de su pie, observamos la parte más alta bajo un ángulo de 45º.

cos 45º = a / 25 = 2 / 2

25 2 / 2 = a             

sen 45º = x / 25 2 / 2 = 2 x / 25

sen 45º = 2 x / 25 2

2 / 2 = 2 x / 25 2

x = 25

18 Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º.

tg 60º = x / y = 3 x = y 3

tg 30º = x / y +10 = 3 / 3

y 3 / y + 10 = 3 / 3

3y 3 = (y+10)* 3

y = 5

x = 5* 3

x= 8´6

19 Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcular la altura del arbol y la anchura del río.

tg 60º = x / y = 3 x = y 3

tg 45º = x / y+10 = 1

y 3 / y+10 = 1

y 3 = y +10

y 3 - y = 10

y( 3 -1) = 10

y = 10/ 3-1 = 13´6 m anchura río

x = y 3 = 23´6 m altura árbol

 

1. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 17 cm, ¿cuánto miden los otros dos lados?

2. Conocidos en un triángulo rectángulo el ángulo A = π / 3 rad y el lado b = 23 cm, da las dimensiones de la hipotenusa c y del cateto a:

3. ¿Cuánto medirá el ángulo central de un dodecágono?

4. Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 16 cm y 9 cm.

5. Calcula las dimensiones del lado desconocido de un triángulo dados dos de sus lados (9 cm y 14 cm) y el ángulo que forman entre ellos 47º.

6. Calcula el radio de un octógono regular de lado 20 cm.

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS                                                 2º cuadrante                           1) tg x = -2                                         4º cuadrante x=arcotg 2 =63,43º en el 1º cuadrante 2º cuadrante: 180º - 63,43º=116,57º                    x=116,57º+360ºk4º cuadrante: 360º-63,43º=296,57º                      x=296,57º+360ºk                                           2º cuadrante2) cos x = - 0,7561                                          3ºcuadrante x=arcos (0,7561)= 40,87º en el 1º cuadrante 2º cuadrante: 180º-40,88º=139,12º                        x=139,12º+360ºk3º cuadrante: 180º+40,88º=220,88º                       x=220,88º+360ºk                                             1º cuadrante3) tg x = 4                                            3º cuadrante  x=arcotg 4 = 75,96º en el 1º cuadrante 1ºcuadrante: 75,96º+360ºk3º cuadrante: 180º+75,96º=255,96º            x=255,96º+360ºk 

                                           1º cuadrante4) sen x= 1/5                                           2º cuadrante   Arcosen 1/5 = 11, 53º en el 1º cuadrante 1º cuadrante: 11,53º+360ºk2º cuadrante: 180º-11,53º=168,47º+360ºk                                       1º cuadrante5)sen x =0,81                                      2º cuadrante  X=Arcsen 0,81= 54,1º en el 1º cuadrante 1º cuadrante: 54.1º+360ºk2º cuadrante: 180º-54,1º=125,9º+360ºk   6) 2-5 cos x= 6 -5 cos x= 6 -2-5 cos x=45 cos x= -4                                      2º cuadranteCos x= -4/5                                       3ºcuadrante  x=arcocos 4/5= 36,87º en el 1º cuadrante 2º cuadrante: 180º-36,87º=143,13º+360ºk3º cuadrante:180º+36,87º=216,87º+360ºk                                        1º cuadrante7) cos x =½                                        4ºcuadrante  Arcos ½=60º en el 1º cuadrante

 1º cuadrante=60º+360ºk4º cuadrante=360º-60º=300º+360ºk                                       1º cuadrante8) sen x =1                                 2º cuadrante  Arcsen 1 =90º en el 1º cuadrante  1º cuadrante:90º+360ºk2º cuadrante: 180º-90º=90º+360ºk                                        2º cuadrante9) tg x= -1                                      4º cuadrante  Arcotg (1) = 45 en el 1º cuadrante 2ºcuadrante: 180º-45º=135º+360ºk4ºcuadrante: 360º-45º=315º+360ºk                                     1º cuadrante10) cos x= 1/4                                   4º cuadrante  Arccos (¼)=75,52º en el 1ºcuadrante 1º cuadrante: 75,52º+360ºk4º cuadrante : 360º-72,52º=287,48ºk+360ºk