EjerciciosAlgebraLineal.pdf

Universidad de Costa RicaFacultad de CienciasEscuela de Matematica

Ejercicios de Algebra Lineal.

Christian Fonseca Mora

2012

1

1. Prefacio

El objetivo de estas notas es ofrecer a los estudiantes del curso de Algebra Lineal un complementoal material visto en clase y que les permita apropiarse de una serie de tecnicas para la resolucion deejercicios. Como en todas las areas de la matematica, la resolucion de ejercicios es la mejor manera decomprender tanto los resultados teoricos, como la aplicabilidad del Algebra Lineal y por lo tanto esindispensable que los estudiantes traten de resolver la mayor cantidad de ejercicios.

Usualmente no es posible cubrir el material del curso en el tiempo de clase y almismo tiempo realizarla suficiente practica para que los estudiantes identifiquen y dominen los distintos metodos utilizadosen la resolucion de ejercicios, los cuales en muchos casos requieren de una aplicacion de los conceptosy resultados de la teora. En esa direccion, escrib estas notas con ejercicios resueltos pensando en quelos estudiantes pueden guiarse con las explicaciones y as realizar sus propias conclusiones sobre comosolucionar un determinado ejercicio.

La recomendacion a los estudiantes que utilicen estas notas es que primero intenten realizar el ejer-cicio por su cuenta y que cuando definitivamente no puedan hallar la solucion, entonces recurran a lasnotas para identificar los fallos cometidos y cual sera el metodo para encontrar la solucion. Como esusual en la matematica, existen normalmente diversas maneras de solucionar un ejercicio, por lo que seofrecen en estas notas solo algunas de las posibilidades.

Los ejercicios fueron tomados de examenes de semestres anteriores de la catedra del curso MA1004Algebra Lineal de la Universidad de Costa Rica, especificamente entre los anos 2009 a 2011. De ningunamanera la resolucion de estos ejercicios pretende sustituir el estudio del material discutido en clase porel profesor, ni tampoco garantiza que el estudiante tenga un buen desempeno en los examenes. Portanto se recomienda al estudiante estudiar a conciencia el material del libro usado o las notas vistasen clase y complementarlo con estas notas. Cualquier error en este documento es responsabilidad delautor. Agradezco a mis estudiantes que en muchos casos me han permitido corregir errores de escritura,aunque este documento puede no estar excento de muchos mas.

Christian Fonseca.

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Indice

1. Prefacio 2

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 4

3. Matrices 13

4. Determinantes 33

5. Geometra vectorial de Rn 45

6. Rectas y planos en Rn 56

7. Espacios vectoriales reales 78

8. Espacios con producto interno, ortogonalidad y proyecciones 95

9. Transformaciones lineales 109

10. Valores y vectores propios de operadores y matrices 126

11. Formas cuadraticas, secciones conicas y superficies cuadraticas 137

3

Ejercicios de Algebra lineal Prof. Christian Fonseca

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Considere el sistema de ecuaciones lineales 1 3p 13 p 7

! 0BBBBBBB@xyz

1CCCCCCCA = 179

!

a) Determine para que valores de p y de b el vector

0BBBBBBB@b8

b + 7

1CCCCCCCA es solucion del sistema.Respuesta:Para que el vector (b; 8; b + 7)t sea solucion del sistema, es necesario que:

1 b + 3p 8 (b + 7) = 173 b + p 8 7 (b + 7) = 9 ,

b + 24p b 7 = 173b + 8p 7b 49 = 9

, 24p = 2410b + 8p = 58 ,p = 1

5b + 4p = 29 , p = 1 y b = 5

b) En el sistema de ecuaciones dado, sustituya p por el valor que encontro en la parte (a) ydetermine el conjunto solucion del sistema.

Respuesta:Sustituyendo p = 1, se obtiene el sistema en forma de matriz aumentada dado por

1 3 1 173 1 7 9

!3 f1 + f2!

1 3 1 170 10 10 60

!110 f2!

1 3 1 170 1 1 6

!3 f2 + f1!

1 0 2 10 1 1 6

!Entonces tenemos el sistema:

x1 +2x3 = 1x2 x3 = 6

Tomando x3 = t, se tiene x1 = 12t y x2 = 6+ t. Por lo tanto, el conjunto solucion del sistemaes f(1 2t; 6 + t; t) t 2 Rg.

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales

px1 + 2x2 + 3x3 = 2px1 + px2 + (p + 1)x3 = ppx1 + px2 + (2p 2)x3 = 2p 2

Determine para que valor o valores de p el sistema: (a) tiene infinitas soluciones, (b) tiene solucionunica, (c) no tiene solucion.

Respuesta:

4


Planteamos el sistema con matriz aumentada:0BBBBBBB@p 2 3 2p p (p + 1) pp p (2p 2) 2p 2

1CCCCCCCA f1 + f2!

f1 + f3

0BBBBBBB@p 2 3 20 p 2 p 2 p 20 p 2 2p 5 2p 4

1CCCCCCCA f2 + f3!

0BBBBBBB@p 2 3 20 p 2 p 2 p 20 0 p 3 p 2

1CCCCCCCA = RA partir de la matriz aumentada R presentamos los distintos casos de solucion del sistema:

a) Tiene infinitas soluciones: Para esto, alguna fila debe de ser de ceros;

Si p=2, entonces

R =

0BBBBBBB@2 2 3 20 0 0 00 0 1 0

1CCCCCCCA 3 f3 + f1!0BBBBBBB@2 2 0 20 0 0 00 0 1 0

1CCCCCCCA f3!12 f2

0BBBBBBB@1 1 0 10 0 0 00 0 1 0

1CCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBB@1 1 0 10 0 1 00 0 0 0

1CCCCCCCAEntonces, x3 = 0 y x1 = 1 x2. Las soluciones son de la forma f(1 t; t; 1) t 2 Rg

b) Solucion unica: en este caso se necesita entonces que no existan filas nulas, i.e. Rng(A) = 3,

Si p , 0, p , 2 y p , 3. Se tiene de la matriz R que,

R

1p f1!1

p2 f21

p3 f3

0BBBBBBBB@1 2p

3p

2p

0 1 1 10 0 1 p2p3

1CCCCCCCCA2p f2 + f1!

0BBBBBBBB@1 0 1p 00 1 1 10 0 1 p2p3

1CCCCCCCCA1p f3 + f2!

f3 + f2

0BBBBBBBBBB@1 0 0 1p

p2p3

0 1 0 1p30 0 1 p2p3

1CCCCCCCCCCALa solucion unica es (x1; x2; x3) =

1p

p2p3

; 1p3 ;

p2p3

.

c) No tiene solucion: en este caso se tiene la presencia de filas inconsistentes;

Si p = 0

R =

0BBBBBBB@0 2 3 20 2 2 20 0 3 2

1CCCCCCCA 12 f2! 13 f30BBBBBBB@0 2 3 20 1 1 10 0 1 23

1CCCCCCCA12 f2!

f3 + f2

0BBBBBBB@0 1 32 10 1 0 130 0 1 23


1CCCCCCCA f1 + f2!0BBBBBBB@0 1 0 00 0 0 130 0 1 23

1CCCCCCCA5


Por lo tanto el sistema tiene una ecuacion inconsistente y no hay solucion.

Si p = 3

R =

0BBBBBBB@3 2 3 20 1 1 10 0 0 1

1CCCCCCCAEntonces el sistema tiene una ecuacion inconsistente.

3. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 = 2x1 + 3x2 + 6x3 + 5x4 = 3

px1 + px2 + 2px3 + (p2 + 4p)x4 = 1

a) Determine para que valor o valores de p el sistema tiene infinitas soluciones con un parametro.

Respuesta:Planteamos la matriz aumentada. Tome, p , 0, entonces0BBBBBBB@

1 2 4 4 21 3 6 5 3p p 2p (p2 + 4p) 1

1CCCCCCCA f1 + f2!

p f1 + f3

0BBBBBBB@1 2 4 4 20 1 2 1 10 p 2p p2 1 + 2p

1CCCCCCCA2 f2 + f1!

p f2 + f3

0BBBBBBB@1 0 0 2 00 1 2 1 10 0 0 p(p + 1) (p + 1)

1CCCCCCCA = RComo el sistema tiene menos ecuaciones que variables, entonces si tiene solucion, las solu-ciones son infinitas. Entonces para que el sistema sea consistente, con soluciones infinitasdependiendo de un parametro, es necesario que hayan 3 filas no nulas en la matriz, es decir,que p , 1.Si p = 0, entonces del sistema original,0BBBBBBB@

1 2 4 4 21 3 6 5 30 0 0 0 1

1CCCCCCCAEn este caso el sistema es inconsistente.

b) Resuelva el sistema para este caso (es decir, cuando tiene infinitas soluciones con un parame-tro).

Respuesta:Si p , 0 y p , 1, partiendo de la matriz R,

R1

p(p+1) f3!

0BBBBBBB@1 0 0 2 00 1 2 1 10 0 0 1 1p

1CCCCCCCA f3 + f2!

2 f3 + f1

0BBBBBBBBB@1 0 0 0 2p0 1 2 0 (p+1)p0 0 0 1 1p

1CCCCCCCCCA6


De donde se obtiene el sistema equivalente, x1 = 2p , x2 =(p+1)

p x3 y x4 = 1p . Entonces elconjunto de soluciones del sistema es

n2p ;

(p+1)p t; t; 1p t 2 R

o4. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales:

A =

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 20 a 2 0 00 0 b + 1 c0 0 c 0

1CCCCCCCCCCCAa) Determine cuales son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentada

del sistema sea 1.

Respuesta:Para que el Rango(A) = 1, se necesita que solamente una fila de A sea nula. Tome a = 2, b = 1y c = 0, con lo que solo la primera fila no es nula.

b) Determine cuales son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentadadel sistema sea 2.

Respuesta:Para que Rango(A) = 2, es necesario que dos filas de A no sean nulas. Se requiere entoncesprimero que c = 0, y se presentan 2 posibilidades:

1) a = 2 y b , 1. Las filas nulas son la 2 y 4.2) b = 1 y a , 2 Las filas nulas son la 3 y 4.

c) Determine cuales son los valores de a, b y c de tal forma que el rango de la matriz aumentadadel sistema sea 3.

Respuesta:Como la matriz A tiene 4 filas, para que el Rango(a) = 3 es necesario que solamente una filade A sea nula. Para que esto suceda, se necesita a , 2, b , 1 y c = 0.

d) Determine cuales son los valores de a, b y c de tal forma que el sistema no tenga solucion.

Respuesta:Para que tenga ecuaciones inconsistentes unafiladeAdebe ser nula del ladode los coeficientesy no nula del lado aumentado. La unica fila con esta posibilidad es la tercera. De modo quees necesario que b = 1 y c , 0, con a 2 R.

e) Determine el conjunto solucion del sistema cuando tiene solucion unica.

Respuesta:Para que el sistema tenga solucion unica, como se tienen 3 variables (3 columnas en la partede coeficientes de A), entonces se necesita Rango(A) = 3. Entonces si a , 2, b , 1 y c = 0

A =

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 20 a 2 0 00 0 b + 1 00 0 0 0

1CCCCCCCCCCCA1a2 f2!1

b+1 f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 0 0

1CCCCCCCCCCCA7


La solucion unica es x1 = 2, x2 = 0, x3 = 0.

5. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + y + z = 12x + py + 2z = 24x + 2py + 4z = m

a) Determine para cuales valores de p y m el sistema tiene infinitas soluciones dependiendo deun parametro.

Respuesta:Planteamos el sistema con matriz aumentada:0BBBBBBB@

1 1 1 12 p 2 24 2p 4 m

1CCCCCCCA 2 f2 + f3!0BBBBBBB@1 1 1 12 p 2 20 0 0 m + 4

1CCCCCCCA = RNote que sim , 4, el sistema tiene una ecuacion inconsistente, y por tanto no tiene solucion.

Si p = 2 y m = 4, entonces

R =

0BBBBBBB@1 1 1 12 2 2 20 0 0 0


1CCCCCCCAEl sistema tiene entonces una ecuacion inconsistente, de modo que p , 2.Si p , 2 y m = 4, entonces,

R =

0BBBBBBB@1 1 1 12 p 2 20 0 0 0

1CCCCCCCA 2 f1 + f2!0BBBBBBB@1 1 1 10 p 2 0 40 0 0 0

1CCCCCCCA = BY se tiene entonces que Rng(A) = 2.Por consiguiente, el sistema tiene soluciones infinitas dependiendo de un parametro si p , 2y m = 4.

b) Con los valores de p ym encontrados en a), resuelva el sistema cuando tiene infinitas solucio-nes dependiendo de un parametro.

Respuesta:Por la parte a), si p , 2 y m = 4.

B =

0BBBBBBB@1 1 1 10 p 2 0 40 0 0 0

1CCCCCCCA 1p2 f2!0BBBBBBB@1 1 1 10 1 0 4p20 0 0 0

1CCCCCCCA f2 + f1!0BBBBBBBB@1 0 1 p+2p20 1 0 4p20 0 0 0

1CCCCCCCCASe tiene entonces el sistema x1 =

p+2p2 x3 y x2 = 4p2 . Por tanto, el conjunto solucion esn p+2

p2 t; 4p2 ; t

t 2 Ro.

8


6. Para la siguiente matriz aumentada que corresponde a un sistema de ecuaciones lineales:0BBBBBBB@1 4 7 g0 3 5 h2 5 9 k

1CCCCCCCAa) Encuentre una ecuacion que contenta a los valores reales g, h, k de tal manera que la matriz

aumentada anterior corresponda a un sistema consistente.

Respuesta:

0BBBBBBB@1 4 7 g0 3 5 h2 5 9 k

1CCCCCCCA 2 f1 + f3!0BBBBBBB@1 4 7 g0 3 5 h0 3 5 k + 2g

1CCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBB@1 4 7 g0 3 5 h30 0 0 h + k + 2g

1CCCCCCCA13 f2!

0BBBBBBB@1 4 7 g0 1 53

h3

0 0 0 h + k + 2g

1CCCCCCCA 4 f2 + f1!0BBBBBBB@ 1 0

13

3g+4h3

0 1 53h3

0 0 0 h + k + 2g

1CCCCCCCA = RParaqueel sistema sea consistente, entonces h, ky gdebende satisfacer la ecuacion 0 = h+k+2g.

b) Determine el conjunto solucion del sistema consistente correspondiente a la matriz aumenta-da anterior.

Respuesta:Por la parte a), si se cumple que h + k + 2g = 0, entonces la matriz R corresponde al sistema:x1 =

3g+4h3 13x3, x2 = h3+ 53x3. El conjunto solucion es entonces:

n3g+4h3 13 t; h3 + 53 t; t

t 2 R

o.

7. Dado el siguiente sistema homogeneo de ecuaciones lineales:

2x + ky + z + w = 03x + (k 1)y 2z w = 0x 2y + 4z + 2w = 02x + y + z + 2w = 0

Determine los valores reales de k para los cuales el sistema de ecuaciones anterior tiene solucionesdistintas de la trivial, es decir, diferentes a (0; 0; 0; 0).

Respuesta:

Planteamos el sistema con matriz:0BBBBBBBBBBB@2 k 1 13 k 1 2 11 2 4 22 1 1 2

1CCCCCCCCCCCA f1 , f3!0BBBBBBBBBBB@1 2 4 23 k 1 2 12 k 1 12 1 1 2

1CCCCCCCCCCCA2 f1 + f3!

3 f1 + f22 f1 + f4

0BBBBBBBBBBB@1 2 4 20 k + 5 14 70 k + 4 7 30 5 7 2

1CCCCCCCCCCCA9


f2 + f3!

0BBBBBBBBBBB@1 2 4 20 k + 5 14 70 1 7 40 5 7 2

1CCCCCCCCCCCA f3!0BBBBBBBBBBB@1 2 4 20 k + 5 14 70 1 7 40 5 7 2

1CCCCCCCCCCCA f4 + f2!

2 f3 + f1

0BBBBBBBBBBB@1 0 10 60 k 7 50 1 7 40 5 7 2


0BBBBBBBBBBB@1 0 10 60 k 7 50 1 7 40 0 28 18

1CCCCCCCCCCCA128 f4!

0BBBBBBBBBBB@1 0 10 60 k 7 50 1 7 40 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA10 f4 + f1

!7 f4 + f27 f4 + f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 k 0 120 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA = RSi k = 0, entonces,

R =

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 0 0 120 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA 2 f2!0BBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 0 0 10 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA877 f2 + f1!12 f2 + f3914 f2 + f4

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0

1CCCCCCCCCCCA !0BBBBBBBBBBB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAPor lo tanto, si k = 0 el sistema solamente tiene la solucion trivial.

Ahora, si k , 0,

R =

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 k 0 120 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA k f3 + f2!0BBBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 0 0 (k+1)20 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCCA = SSi k = 1, la matriz S tiene 3 filas no nulas, y por tanto el sistema tiene soluciones infinitas. Por otraparte, si k , 1,

S2

(k+1) f2!

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 8770 0 0 10 1 0 120 0 1 914

1CCCCCCCCCCCA877 f2 + f1!12 f2 + f3914 f2 + f4

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 00 0 0 10 1 0 00 0 1 0


1CCCCCCCCCCCADe modo que si k , 0 y k , 1, entonces la solucion es unica. Se concluye que el valor k = 1 es elque produce soluciones distintas a la trivial.

8. Considere el sistema de ecuaciones lineales que se da a continuacion

x + y = 3bx + by + z = a + 4bax + ay = 4a

bx + by z = b

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Determine todos los valores de a y de b para los cuales el sistema es consistente. Determine elconjunto solucion del sistema en los casos en que es consistente.

Respuesta: 0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4ab b 1 b

1CCCCCCCCCCCA f2 + f4!0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4a0 0 2 a 3b

1CCCCCCCCCCCA12 f4!

0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 1 a + 4ba a 0 4a0 0 1 a+3b2

1CCCCCCCCCCCA f4 + f2!0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 0 a+5b2a a 0 4a0 0 1 a+3b2

1CCCCCCCCCCCA = BSi a = 0,

B =

0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 0 5b20 0 0 00 0 1 3b2

1CCCCCCCCCCCA = CSi b = 0,

C =

0BBBBBBBBBBB@1 1 0 30 0 0 00 0 0 00 0 1 0

1CCCCCCCCCCCAEntonces, Rng(A) = 2 y el sistema tiene soluciones infinitas S = f(3 t; t; 0) t 2 Rg.

Si b , 0

C1b f2!

0BBBBBBBBBBB@1 1 0 31 1 0 520 0 0 00 0 1 3b2

1CCCCCCCCCCCA f1 + f2!0BBBBBBBBBBB@1 1 0 30 0 0 120 0 0 00 0 1 3b2

1CCCCCCCCCCCAEn este caso el sistema no tiene solucion porque tiene una ecuacion inconsistente.

Si a , 0,

A1a f3!

0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 0 a+5b21 1 0 40 0 1 a+3b2

1CCCCCCCCCCCA f1 + f3!0BBBBBBBBBBB@1 1 0 3b b 0 a+5b20 0 0 10 0 1 a+3b2

1CCCCCCCCCCCAEntonces el sistema tiene una ecuacion inconsistente y por tanto no tiene solucion si a , 0 paracualquier valor de b 2 R.

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En resumen, se concluye que:

a) El sistema es inconsistente si

1) a , 0, 8b 2 R.2) a = 0, b , 0.

b) El sistema es consistente si a = 0,b = 0 y la solucion es S = f(3 t; t; 0) t 2 Rg.9. Considere el sistema de ecuaciones lineales que se da a continuacion

ax + ay + 2aw = 0x + 2y + 3w = 1

x + 2y + z + 3w = a b 1x + 2y + 3w = a2 + b2 1

a) Determine todos los valores de a y de b para los cuales el sistema es inconsistente.

Respuesta: 0BBBBBBBBBBB@a a 0 2a 01 2 0 3 11 2 1 3 a b 11 2 0 3 a2 + b2 1


f2 + f4

0BBBBBBBBBBB@a a 0 2a 01 2 0 3 10 0 1 0 a b0 0 0 0 a2 + b2

1CCCCCCCCCCCA = BPara que el sistema sea consistente es necesario que a2 + b2 = 0 lo que se da si y solo si a = 0 yb = 0 ya que a2 0, b2 0 y a2 > 0 si a , 0 y b2 > 0 si b , 0.

Entonces el sistema es inconsistente si alguno de los dos, a o b es distinto de cero, i.e. si ocurrealguno de los casos:

1) a , 0, 8b 2 R.2) b , 0, 8a 2 R.

b) Determine el conjunto solucion del sistema en los casos en que es consistente.

Respuesta:El sistema es consistente si a = b = 0, entonces, sustituyendo en B

B =

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 0 01 2 0 3 10 0 1 0 00 0 0 0 0

1CCCCCCCCCCCAEntonces x = 1 2y 3w y z = 0, por tanto S = f(1 2t 3s; t; 0; s) t; s 2 Rg.

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3. Matrices

1. Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A;B;C y X con A y B invertibles, tales que(AXB)t + C = I (donde I es la matriz identidad).

a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en terminos de las ma-trices I;A;B y C (no use sistemas de ecuaciones).

Respuesta:

(AXB)t + C = I, [(AXB)t + C]t = It (aplicamos transpuestas), [(AXB)t]t + Ct = I (propiedad transpuesta de la suma), AXB + Ct = I (propiedad transpuesta de la transpuesta), A1 [AXB + Ct] = A1 I (multiplicando por A1), A1 AXB + A1 Ct = A1 I (propiedad de distributividad), XB + A1 Ct = A1 (definicion de inversa), XB = A1 [I Ct] (distributividad del producto en suma), XB B1 = A1 [I Ct] B1 (multiplicando por B1), X = A1 [I Ct] B1 (definicion de inversa)

b) Segun lo que se obtuvo en (a), determine X si

A = 1 21 3

!B =

2 31 2

!C =

1 23 4

!Respuesta:

1 2 1 01 3 0 1

! f1 + f2!

1 2 1 00 1 1 1

! f2!

1 2 1 00 1 1 1

!2 f2 + f1!

1 0 3 20 1 1 1

!) A1 =

3 21 1

! 2 3 1 01 2 0 1

!f1 , f2!

1 2 0 12 3 1 0

! 2 f1 + f2!

1 2 0 10 1 1 2

! f2!

1 2 0 10 1 1 2

! 2 f2 + f1!

1 0 2 30 1 1 2

!) B1 =

2 31 2

!

Ct = 1 32 4

!Entonces,

X = 3 21 1

! 1 00 1

! 1 32 4

!! 2 31 2

!) X =

11 184 6

!2. Se dan las matrices cuadradas, del mismo orden, A, B y X con A B invertible, tales que XAt =

I + (BXt)t (donde I es la matriz identidad).

13


a) Use las operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en terminos de las ma-trices I, A y B (no use sistemas de ecuaciones).

Respuesta:

XAt = I + (BXt)t

, XAt = I + (Xt)tBt (transpuesta de un producto), XAt = I + XBt (transpuesta de una matriz transpuesta), XAt XBt = I (restando XBt a ambos lados de la igualdad), X (At Bt) = I (distributividad del producto sobre la resta), X (A B)t = I (distributividad del producto en resta), (X (A B)t)t = It (aplicando transpuestas), (A B) Xt = I (transpuesta de un producto, (A B)1 (A B) Xt = (A B)1 I (multiplicando por (A B)1), Xt = (A B)1 I (aplicando definicion de inversa), X = [(A B)1]t (aplicando transpuesta a ambos lados)

b) Segun lo que obtuvo en la parte a), determine X si

A = 3 50 1

!B =

1 21 5

!Respuesta:

Se tiene A B = 2 71 4

!Para obtener X necesitamos determinar la inversa de A B

2 7 1 01 4 0 1

!2 f2 + f1!

0 1 1 21 4 0 1

! 4 f1 + f2!

0 1 1 21 0 4 7

! f1! f2

0 1 1 21 0 4 7

!f1 , f2!

1 0 4 70 1 1 2

!De modo que

(A B)1 =

4 71 2

!) X =

4 17 2

!3. Sea S = f1; 1; k); (k; 1; 1); (k; k; 4)g

a) Determine para que valor o valores de k el conjunto de vectores S es linealmente indepen-diente.

Respuesta:Sean v1 = (1; 1; k), v2 = (k; 1; 1), v3 = (k; k; 4). Los vectores de S forman un conjunto linealmenteindependiente (li) si

c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 ) (c1; c2; c3) = (0; 0; 0)

14


Lo anterior, es equivalente a que la unica solucion al sistema Ax = 0 sea x = 0, donde

A =vt1; v

t2; v

t3

x = (c1; c2; c3)t

Entonces, resolvemos el sistema homogeneo haciendo casos sobre k.

A =

0BBBBBBB@1 k k1 1 kk 1 4

1CCCCCCCA f1 + f2!0BBBBBBB@1 k k0 1 k 0k 1 4

1CCCCCCCA = BSi k = 0, entonces

B =

0BBBBBBB@1 0 00 1 00 1 4

1CCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBB@1 0 00 1 00 0 4

1CCCCCCCA 14 f3!0BBBBBBB@1 0 00 1 00 0 1

1CCCCCCCAEntonces, si k = 0 se tiene x = 0 y los vectores de S son li.

Si k , 0, se tiene,

Bk f1 + f3!

0BBBBBBB@1 k k0 1 k 00 1 k2 4 k2

1CCCCCCCA f2 + f1!0BBBBBBB@1 1 k0 1 k 00 1 k2 4 k2

1CCCCCCCAk f2 + f3!

0BBBBBBB@1 1 k0 1 k 00 1 k 4 k2

1CCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBB@1 1 k0 1 k 00 0 4 k2

1CCCCCCCA = CSi k = 1, entonces,

C =

0BBBBBBB@1 1 10 0 00 0 3



1CCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBB@1 1 00 0 10 0 0

1CCCCCCCAEntonces, como el Rango(A) es 2, hay infinitas soluciones dependiendo de un parametro. ElRangoFila(A) es 2, entonces a lo sumo hay 2 vectores li.

Si k , 1, se tiene 1 k , 0, y se sigue que

C1

1k f2!

0BBBBBBB@1 1 k0 1 00 0 4 k2

1CCCCCCCA f2 + f1!0BBBBBBB@1 0 k0 1 00 0 4 k2

1CCCCCCCA = DSi k = 2, se tiene,

D =

0BBBBBBB@1 0 20 1 00 0 0


15


Si k , 2, es decir, si 2 k , 0, se tiene

D1

2k f3!

0BBBBBBB@1 0 k0 1 00 0 2 + k

1CCCCCCCA = ESi k = 2, se tiene,

E =

0BBBBBBB@1 0 20 1 00 0 0


Si k , 2, es decir, si 2 + k , 0, se tiene

E1

2+k f3!

0BBBBBBB@1 0 k0 1 00 0 1

1CCCCCCCA k f3 + f1!0BBBBBBB@1 0 00 1 00 0 1

1CCCCCCCAEntonces, x = 0 y los vectores de S son li.

Se concluye que los vectores de S son li si k 2 R y k < f2; 1; 2g.

b) Para que valor o valores de k el conjunto S contiene a lo sumo dos vectores linealmenteindependientes? (Justifique)

Respuesta:Por el desarrollo de la parte a), se concluye que el conjunto S tiene a lo sumo 2 vectores li sik 2 f2; 1; 2g.

4. Sean A = 2 1 00 1 0

!y B =

0BBBBBBB@1 02 11 2

1CCCCCCCAa) Determine la siguiente matriz (AB I2)1, si existe.

Respuesta:

A B = 4 12 1

!AB I2 =

3 12 2

!Entonces, calculamos su inversa,

3 1 1 02 2 0 1

! f2 + f1!

1 1 1 12 2 0 1

! 2 f1 + f2!

1 1 1 10 4 2 3

!14 f2!

1 1 1 10 1 12

34

! f2 + f1!

1 0 12

14

0 1 1234

!16


Entonces, (AB I2)1 = 12

14

12

34

!.

b) Utilice solamente algebra de matrices para encontrar una matriz X tal queAtX

tB I2 = Xt.

Respuesta:

AtX

tB I2 = Xt

, XtAt

tB I2 = Xt (transpuesta de un producto)

, XtAB Xt = I2 (transpuesta de una matriz transpuesta), Xt (AB I2) = I2 (distributividad del producto sobre la suma), Xt (AB I2) (AB I2)1 = I2 (AB I2)1 (multiplicando por (AB I2)1), Xt = (AB I2)1 (por definicion de inversa), X =

n(AB I2)1

ot(aplicando transpuestas)

Entonces por lo calculado en la parte a), X = 12

121

434

!.

5. Para cuales valores de a, si existen, el conjunton(1; a; 0; 0)t; (1;3; a + 1; 0)t; (0; 1;4; 0)t

oes lineal-

mente independiente?

Respuesta:

Sea

A =

0BBBBBBBBBBB@1 1 0a 3 10 a + 1 40 0 0

1CCCCCCCCCCCALas columnas de A son el conjunto de vectores de S, por lo que por teorema, el conjunto S es l.i. siy solo si la unica solucion al sistema homogeneo Ax = 0 es x = 0

Entonces, resolvemos el sistema homogeneo haciendo casos sobre a.

Si a = 0,

A =

0BBBBBBBBBBB@1 1 00 3 10 1 40 0 0


f3 + f1

0BBBBBBBBBBB@1 0 40 0 110 1 40 0 0

1CCCCCCCCCCCA111 f2!

0BBBBBBBBBBB@1 0 40 0 10 1 40 0 0


4 f2 + f1

0BBBBBBBBBBB@1 0 00 0 10 1 00 0 0

1CCCCCCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBBBBBB@1 0 00 1 00 0 10 0 0

1CCCCCCCCCCCAEntonces, si a = 0 la unica solucion al sistema es x = 0, por lo tanto en este caso el conjunto S es l.i.

Si a , 0, entonces

17


Aa f1 + f2!

0BBBBBBBBBBB@1 1 00 3 a 10 a + 1 40 0 0

1CCCCCCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBBBBBB@1 1 00 (3 + a) 10 2 30 0 0

1CCCCCCCCCCCA12 f3!

0BBBBBBBBBBB@1 1 00 (3 + a) 10 1 320 0 0


f3 + f1

0BBBBBBBBBBB@1 0 320 a 1120 1 320 0 0

1CCCCCCCCCCCA a f3 + f2!0BBBBBBBBBBB@1 0 320 0 12 (3a + 11)0 1 320 0 0

1CCCCCCCCCCCA = BSi 3a+ 11 = 0, a = 113 , entonces Rng(A) = 2 y por lo tanto existe una solucion distinta a la trivial,de modo que S no es l.i.

Por otra parte, si a , 113 ,

B2

3a+11 f2!

0BBBBBBBBBBB@1 0 320 0 10 1 320 0 0

1CCCCCCCCCCCA32 f2 + f1!32 f2 + f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 00 0 10 1 00 0 0

1CCCCCCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBBBBBB@1 0 00 1 00 0 10 0 0

1CCCCCCCCCCCAEntonces x = 0 es la unica solucion. Los vectores de S son l.i. si a , 113 .

6. Dada la matriz A =

0BBBBBBB@1 0 20 1 22 2 0

1CCCCCCCAa) Determine el rango de A.

Respuesta:Para determinar Rng(A) necesitamos encontrar la forma escalonada reducida de A.

A2 f1 + f3! f2

0BBBBBBB@1 0 20 1 20 2 4

1CCCCCCCA 2 f2 + f3!0BBBBBBB@1 0 20 1 20 0 0

1CCCCCCCAEntonces Rng(A) = 2, puesto que la forma escalonada reducida equivalente por filas a A tienesolamente dos filas no nulas.

b) Escriba el vector que corresponde a la tercera columna de A como combinacion lineal de losvectores que corresponden a las otras dos columnas de A.

Respuesta:En este caso, se plantea el sistema con matriz aumentada, donde la solucion al sistema sonlos escalares que permiten escribir a la columna 3 como combinacion lineal de las columnas1 y 2 de A. Se tiene, por la parte a) que,0BBBBBBB@

1 0 20 1 22 2 0

1CCCCCCCA !0BBBBBBB@1 0 20 1 20 0 0

1CCCCCCCA18


Entonces, se concluye que 0BBBBBBB@220

1CCCCCCCA = 20BBBBBBB@102

1CCCCCCCA + 20BBBBBBB@012

1CCCCCCCAc) Sin hacer calculos adicionales, diga si las tres filas de A corresponden a vectores linealmente

independientes o a vectores linealmente dependientes. Justifique su respuesta.

Respuesta:Como Rng(A) = 2, y A es de 3x3, entonces Rng(A) < 3 y por lo tanto, las filas de A no puedenser linealmente independientes, i.e son linealmente dependientes.

d) Sin hacer calculos adicionales, diga si el sistema de ecuaciones lineales AX = B, dondeX = (x; y; z)t y B = (1; 2; 3)t tiene solucion unica. Justifique su respuesta.

Respuesta:No tiene solucion unica ya que Rng(A) < 3, y por tanto las soluciones son infinitas. De hechodependen de 1 parametro ya que Rng(A) = 2.

7. Sea A una matriz de orden mxm y B es una matriz de orden mxn.

a) De que orden deben de ser las matrices X y D, de modo que la igualdad, XAt Bt = XDttenga sentido.

Respuesta:Como At es de orden mxm, entonces para que el producto XAt tenga sentido, X debe tener mcolumnas. Por otra parte, como Bt es de nxm, entonces para que la resta tenga sentido, XAt

debe tener n filas, por tanto, X es de nxm.

Por el orden de At, Bt y X, se sigue que XAt Bt es de nxm, entonces XDt es de nxm, y XDtes de orden nxm. Se sigue que Dt tiene m columnas, y como X tiene m columnas, entonces Dt

tiene m filas para que el producto matricial tenga sentido. De modo que Dt es de orden mxm,y D es de orden mxm tambien.

b) Para que la igualdad dada anteriormente en a) tenga sentido y (A D)t sea invertible, utilicelas operaciones con matrices y sus propiedades para despejar X en terminos de A, B y D.

Respuesta:

XAt Bt = XDt, X

At Dt

= Bt (distributividad de producto sobre resta)

, X (A D)t = Bt (transpuesta de una matriz transpuesta), X (A D)t

n(A D)t

o1= Bt

n(A D)t

o1 multiplicando por

n(A D)t

o1, X = Bt

n(A D)t

o1(definicion de inversa)

19


c) Segun lo que obtuvo anteriormente en b), calcule X si

A = 2 31 0

!B =

2 34 0

!D =

2 12 1

!Respuesta:

A D = 0 43 1

!, (A D)t =

0 34 1

!Ahora calculamos la inversa de (A D)t,

0 3 1 04 1 0 1

! 13 f1! 14 f2

0 1 13 01 14 0

14

!14 f1 + f2!

0 1 13 01 0 112

14

!f1 , f2!

1 0 112

14

0 1 13 0

!)

n(A D)t

o1=

112

141

3 0

!Entonces,

X = 2 43 0

! 112

141

3 0

!=

32

121

434

!

8. Dada la matriz P =

0BBBBBBB@1 1 10 1 10 0 1

1CCCCCCCAa) Compruebe que P2 =

0BBBBBBB@1 2 30 1 20 0 1

1CCCCCCCARespuesta:

P2 = P P =0BBBBBBB@1 1 10 1 10 0 1

1CCCCCCCA0BBBBBBB@1 1 10 1 10 0 1

1CCCCCCCA =0BBBBBBB@1 2 30 1 20 0 1

1CCCCCCCAb) Calcule P3.

Respuesta:

P3 = P2 P =0BBBBBBB@1 2 30 1 20 0 1



1CCCCCCCAc) Calcule P4.

Respuesta:

P4 = P3 P =0BBBBBBB@1 3 60 1 30 0 1



1CCCCCCCA20


d) Obtenga una formula para calcular Pn, donde n 2N, con n 1.

Respuesta:

Pn =

0BBBBBBB@1 n Sn0 1 n0 0 1

1CCCCCCCA donde Sn =nXk=1

k = 1 + 2 + ::: + n

9. Dada la siguiente matriz:

A =

0BBBBBBB@4 0 12 3 66 3 4

1CCCCCCCAa) Determine el Rango de la matriz A.

Respuesta:Para determinar Rng(A) necesitamos encontrar la forma escalonada reducida equivalente porfilas a A:

A3 f2 + f3!

2 f2 + f1

0BBBBBBB@0 6 112 3 60 12 22


1CCCCCCCA16 f1!12 f2

0BBBBBBB@0 1 1161 32 30 0 0



1CCCCCCCAComo la forma escalonada reducida de A tiene solamente dos filas no nulas, entoncesRng(A) = 2.

b) Sin hacer calculos adicionales, diga si la matriz A es invertible. Justifique su respuesta.

Respuesta:Por teorema, la matriz A no es invertible pues es una matriz de 3x3 tal que Rng(A) < 3. Noteademas que no es equivalente por filas a la matriz identidad I3.

c) Sin hacer calculos adicionales, diga si los tres vectores que corresponden a las tres columnasde la matriz A son linealmente independientes o linealmente dependientes. Justifique su res-puesta.

Respuesta:Como A no es invertible, por teorema sus columnas son linealmente dependientes.

d) Escriba el vector que corresponde a la tercera columna de la matriz A como una combinacionlineal de los dos vectores que corresponden a las otras dos columnas de A.

21


Respuesta:Se plantea el sistema con matriz aumentada, donde la solucion al sistema son los escalaresque permiten escribir a la columna 3 como combinacion lineal de las columnas 1 y 2 de A. Setiene, por la parte a) que, 0BBBBBBB@

4 0 12 3 66 3 4

1CCCCCCCA !0BBBBBBB@1 0 140 1 1160 0 0

1CCCCCCCAEntonces, se concluye que 0BBBBBBB@

164

1CCCCCCCA = 140BBBBBBB@426

1CCCCCCCA + 1160BBBBBBB@033

1CCCCCCCA10. Dadas las matrices A =

0BBBBBBB@1 2 02 1 10 1 2

1CCCCCCCA, B =0BBBBBBB@1 2 01 1 20 1 1

1CCCCCCCA y la matriz identidad I3 deM(3;R).a) Efectue las operaciones para obtener la matriz C tal que C = A2 + A 3I3.

Respuesta:Primeramente calculamos la matriz A2,

A2 =

0BBBBBBB@1 2 02 1 10 1 2



1CCCCCCCAPor lo tanto, la matriz C esta dada por;

C =

0BBBBBBB@5 0 20 6 32 3 5

1CCCCCCCA +0BBBBBBB@1 2 02 1 10 1 2

1CCCCCCCA 0BBBBBBB@3 0 00 3 00 0 3


1CCCCCCCAb) Efectue las operaciones para obtener la matriz D tal que D = B2 + B + 5I3.

Respuesta:Primeramente calculamos la matriz B2,

B2 =

0BBBBBBB@1 2 01 1 20 1 1



1CCCCCCCAPor lo tanto, la matriz D esta dada por;

D =

0BBBBBBB@3 0 40 5 41 2 3




1CCCCCCCA

22


c) Calcule BD y diga que relacion existe entre la matriz D y la matriz B.

Respuesta:

B D =0BBBBBBB@1 2 01 1 20 1 1



1CCCCCCCAEntonces, D = B1 o bien B = D1.

11. Determine si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes olinealmente independientes.

a)n(2;1; 4)t; (3; 6; 2)t; (2; 10;4)t

oRespuesta:Para determinar si un conjunto de vectores son linealmente independientes (l.i.) o linealmentedependientes (l.d.) basta con colocar dichos vectores como las columnas de una matriz ydeterminar si la forma escalonada reducida equivalente por filas a esa matriz es o no laidentidad. Se tiene entonces,

A

0BBBBBBB@2 3 21 6 104 2 4

1CCCCCCCA2 f2 + f1!

4 f2 + f3

0BBBBBBB@0 15 221 6 100 26 36

1CCCCCCCA f2!126 f3

0BBBBBBB@0 15 221 6 100 1 1813

1CCCCCCCA15 f3 + f1

!6 f3 + f2

0BBBBBBB@0 0 16131 0 22130 1 1813


1CCCCCCCA2213 f1 + f2!1813 f1 + f3

0BBBBBBB@0 0 11 0 00 1 0

1CCCCCCCAf1 , f3!

0BBBBBBB@0 1 01 0 00 0 1


1CCCCCCCAPor tanto como la forma escalonada reducida de A es la identidad I3, entonces el conjunto devectores es l.i.

b)n(1;2; 3)t; (5; 6;1)t; (3; 2; 1)t

oRespuesta:Procedemos de la misma manera que en la parte a),

B

0BBBBBBB@1 5 32 6 23 1 1

1CCCCCCCA2 f1 + f2!

3 f1 + f3

0BBBBBBB@1 5 30 16 80 16 8


1CCCCCCCA116 f2!

0BBBBBBB@1 5 30 1 120 0 0


1CCCCCCCA23


Como la forma escalonada reducida de B no es la identidad, entonces los vectores son l.d.

12. Dadas las matrices A =

0BBBBBBB@1 1 00 1 00 0 3

1CCCCCCCA, C =0BBBBBBB@1 23 40 5

1CCCCCCCA, y D =0BBBBBBB@1 13 01 3

1CCCCCCCA .(20 puntos) Encuentre la matriz B que satisface la siguiente ecuacion: A

Bt + C

= D.

Respuesta:

Utilizamos operaciones dematrices para depejar lamatriz B de la ecuacionABt + C

= D. Primero

antes note que A es una matriz invertible ya que, det(A) = 1 1 3 = 3 , 0. En lo anterior calculo deldeterminante se uso la propiedad para matrices triangulares. Procedemos entonces a depejar B,

ABt + C

= D

, A1 ABt + C

= A1 D (multiplicando por A1)

, Bt + C = A1D (definicion de inversa y producto por identidad), Bt = A1D C (restando la matriz C),

Btt=A1D C

t(aplicando transpuestas)

, B =A1D C

t(transpuesta de una matriz transpuesta)

Por la formula anterior para B, entonces necesitamos calcular la matriz A1DC. Empezando porA1, se tiene,0BBBBBBB@

1 1 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 3 0 0 1

1CCCCCCCAf2 + f1!13 f3

0BBBBBBB@1 0 0 1 1 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 13

1CCCCCCCA ) A1 =0BBBBBBB@1 1 00 1 00 0 13

1CCCCCCCAEntonces,

A1D =

0BBBBBBB@1 1 00 1 00 0 13

1CCCCCCCA0BBBBBBB@1 13 01 3

1CCCCCCCA =0BBBBBBB@4 13 013 1

1CCCCCCCAA1D C =

0BBBBBBB@4 13 013 1

1CCCCCCCA 0BBBBBBB@1 23 40 5

1CCCCCCCA =0BBBBBBB@3 10 413 4

1CCCCCCCAEntonces, B =

A1D C

t=

3 0 131 4 4

!.

13. Determine los valores reales de de tal forma que los vectores del siguiente conjunto sean lineal-mente dependientes en R3:

W =;12;12

;12; ;

12

;12;12;

24


Respuesta:

Sea A la matriz cuyas columnas son los vectores deW, es decir,

A =

0BBBBBBB@ 12

121

2 121

212

1CCCCCCCAEntonces, las columnas de A son linealmente dependientes (l.d.) si y solo si, A no es equivalentepor filas a la matriz identidad I3. Vamos a analizar las formas escalonadas reducidas equivalentespor filas a A segun los valores de .

A f2 + f3!

0BBBBBBBB@ 12

121

2 12

0 12 +

12 +

1CCCCCCCCA f1 + f2!

0BBBBBBBBB@ 12

12

12 +

12 +

0

0 12 +

12 +

1CCCCCCCCCA = B

Por tanto, si sustituimos = 12 en B, entonces,

B =

0BBBBBBB@12

12

12

0 0 00 0 0


1CCCCCCCAY entonces si = 12 , A no es equivalente por filas a la identidad, y el conjuntoW es l.d.

Ahora, si , 12 , en B tenemos,

B

112+

f2!1

12+

f3

0BBBBBBB@ 12

121 1 0

0 1 1

1CCCCCCCA 12 f3 + f1!0BBBBBBB@

0 11 1 00 1 1

1CCCCCCCA = CSi = 0, sustituyendo en la matriz C, se tiene,

C =

0BBBBBBB@0 0 11 1 00 1 1

1CCCCCCCAf1 + f3! f2

0BBBBBBB@0 0 11 1 00 1 0

1CCCCCCCA f3 + f2! f1

0BBBBBBB@0 0 11 0 00 1 0

1CCCCCCCAf1 , f2! f3

0BBBBBBB@1 0 00 0 10 1 0


1CCCCCCCAPor lo tanto, si = 0, y , 12 , entonces la matriz A es equivalente por filas a la identidad, yentonces el conjuntoW es l.i.

Si , 0, de la matriz C se sigue,

C f2 + f1! f3

0BBBBBBB@0 11 1 00 1 1

1CCCCCCCA f3 + f1

! f2

0BBBBBBB@0 0 11 1 00 1 1

1CCCCCCCA = D25


En D, sustituyendo = 1, entonces, D =

0BBBBBBB@0 0 01 1 00 1 1

1CCCCCCCA, que no es equivalente por filas a la iden-tidad, ya que tiene una fila de ceros. Por tanto, los vectores deW son l.d.

Si , 1, entonces,

C1

1 f1!

0BBBBBBB@0 0 11 1 00 1 1


1CCCCCCCAf3 + f2!

0BBBBBBB@0 0 11 0 00 1 0



1CCCCCCCAEn este caso el conjuntoW es l.i. puesto que Aes equivalente por filas a la identidad.

Resumiendo, se tienen los siguientes casos sobre la independencia lineal del conjuntoW segun losvalores de :

a) Si = 12 entoncesW es l.d.b) Si , 12 y = 0 entoncesW es l.i.c) Si , 12 , , 0 y = 1 entoncesW es l.d.d) Si , 12 , , 0 y , 1 entoncesW es l.i.

Entonces,W es l.d. si = 1 o si = 12 .

14. Indique porque la matriz A = 1 10 0

!no es invertible y halle una matriz B, de dimension 2x2, no

nula, tal que AB = 0.

Respuesta:

La matriz A no es invertible por alguna de las siguientes razones:

a) Rng(A) = 1 < 2, pues tiene una fila de ceros.

b) Como A tiene 1 fila de ceros, det(A) = 0.

c) Las filas de A son linealmente dependientes, puesto que la segunda fila es el vector de ceros.

d) Las columnas de A son linealmente dependientes, puesto que son iguales.

e) El sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones de la forma, (x1; x2)t = (t;t), 8t 2 R.f ) El sistema Ax = b, no tiene solucion si b = (b1; b2)t y b2 , 0.

Sea B = x yz w

!. Entonces, note que si

AB = 0 ) 1 10 0

! x yz w

!=

0 00 0

!)

x + z y + w0 0

!=

0 00 0

!) x = z y = w

26


Entonces, podemos tomar a B como cualquier matriz de la forma B = a ba b

!con a; b 2 R.

15. Sea A = 1 10 1

!. Determine todas las matrices B =

x yz w

!, para las cuales, AB = BA.

Respuesta:

Buscamos el conjunto de todas las matrices B que conmutan con A. Efectuando los productosmatriciales se obtiene;

AB = x + z y + wz w

!BA =

x x + yz z + w

!

) AB = BA ,

8>>>>>>>>>>>>>:x + z = xy + w = x + yz = zw = z + w

Igualando matricesentrada por entrada

Lo cual es equivalente al sistema homogeneo,

8>>>:x + w = 0z = 0 , que tiene como solucion el conjuntode los vectores de la forma (x; y; z;w) = (t; s; 0; t) tales que s; t 2 R. Por tanto el conjunto de todaslas matrices B que conmutan con A son las matrices de la forma B =

t s0 t

!.

16. Determine si existe una matriz A simetrica, de dimension 2x2, tal que

A1

t " 1 32 1

!A I2

#= I2

Respuesta:

Supongamos que A es invertible, y que es simetrica, i.e.A = At. Aplicamos operaciones matricialessobre la identidad que determina a A;

A1

t " 1 32 1

!A I2

#= I2

,At

1 " 1 32 1

!A I2

#= I2

identidad

At

1=A1

t, A1

" 1 32 1

!A I2

#= I2 (utilizando que A es simetrica)

, 1 32 1

!A I2 = A (multiplicando a la derecha por A)

, 1 32 1

!A A = I2 (restando A y sumando I2)

," 1 32 1

! I2

#A = I2 (distributividad del producto sobre la suma)

, 0 32 0

!A = I2

27


Entonces, A1 = 0 32 0

!.

De esto, se concluye que la matriz simetricaA invertible que es la inversa de 0 32 0

!no existe. Dicha

conclusion se obtiene de cualquiera de las siguientes afirmaciones:

a) La inversa de una matriz simetrica es simetrica, pues si A es simetrica e invertible, se cumple

la propiedad:A1

t=At

1= (A)1. Si A1 =

0 32 0

!, esto es una contradiccon, puesto que

0 32 0

!no es una matriz simetrica.

b) La inversa de la matriz 0 32 0

!es

0 1213 0

!. Pero eso significa que A =

0 1213 0

!, lo que contradice

el hecho de que A es simetrica.

17. Determine todos los valore de a y b para que la matriz

A =

0BBBBBBBBBBB@1 a a 0 01 b 1 1 ba + b 0 1 a + b1 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAsea invertible y determine su inversa, cuando exista.

Respuesta:

Aplicamos el procedimiento de calculo de inversa izquierda para la matriz A, que por teorema, esla misma que la inversa general de A. Se tiene entonces,

(AjI4) =

0BBBBBBBBBBB@1 a a 0 0 1 0 0 01 b 1 1 b 0 1 0 0a + b 0 1 a + b 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1


f4 + f2

0BBBBBBBBBBB@a a 0 1 1 0 0 1b 1 1 b 1 0 1 0 1a + b 0 1 a + b 0 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAf1 + f3!f2 + f3

0BBBBBBBBBBB@a a 0 1 1 0 0 1b 1 1 b 1 0 1 0 10 a 1 0 a 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA = BSi a , 0, y si b = 0, se tiene en B;

B =

0BBBBBBBBBBB@a a 0 1 1 0 0 10 1 1 1 0 1 0 10 a 1 0 a 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAa f4 + f1! f2

0BBBBBBBBBBB@0 a 0 a 1 1 0 0 a 10 1 1 1 0 1 0 10 a 1 0 a 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA28


f1 + f3!

0BBBBBBBBBBB@0 a 0 a 1 1 0 0 a 10 1 1 1 0 1 0 10 1 0 1 0 1 1 a 11 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAf3 + f2!

a f3 + f1

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a a2 10 0 1 0 0 0 1 a0 1 0 1 0 1 1 a 11 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA

f1! f3

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a a2 + 10 0 1 0 0 0 1 a0 1 0 1 0 1 1 a + 11 0 0 1 0 0 0 1


f1 + f4

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a a2 + 10 0 1 0 0 0 1 a0 1 0 0 1 a 1 a 1 a a21 0 0 0 1 a a a2

1CCCCCCCCCCCA

f1 , f4!

f2 , f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1 a a a20 1 0 0 1 a 1 a 1 a a20 0 1 0 0 0 1 a0 0 0 1 1 a a a2 + 1

1CCCCCCCCCCCA ) A1 =0BBBBBBBBBBB@

1 a a a21 a 1 a 1 a a20 0 1 a1 a a a2 + 1

1CCCCCCCCCCCASi a , 0, y si b , 0, se tiene en B;

Ba f4 + f1!

b f4 + f2

0BBBBBBBBBBB@0 a 0 a 1 1 0 0 a 10 1 1 1 0 1 0 b 10 a 1 0 a 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA f1 + f3! f2

0BBBBBBBBBBB@0 a 0 a 1 1 0 0 a 10 1 1 1 0 1 0 1 b0 1 0 1 0 1 1 a 11 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAa f3 + f1!f3 + f2

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a 20 0 1 0 0 0 1 a b0 1 0 1 0 1 1 a 11 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA

f3!

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a 20 0 1 0 0 0 1 a b0 1 0 1 0 1 1 a + 11 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAf1 + f3!f1 + f4

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 a a 20 0 1 0 0 0 1 a b0 1 0 0 1 a 1 a 1 a 11 0 0 0 1 a a 1

1CCCCCCCCCCCAf1 , f4!

f2 , f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1 a a 10 1 0 0 1 a 1 a 1 a 10 0 1 0 0 0 1 a b0 0 0 1 1 a a 2

1CCCCCCCCCCCA f4!

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1 a a 10 1 0 0 1 a 1 a 1 a 10 0 1 0 0 0 1 a b0 0 0 1 1 a a 2


1 a a 11 a 1 a 1 a 10 0 1 a b1 a a 2

1CCCCCCCCCCCAPor otra parte, si a = 0, entonces

29


B =

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 1b 1 1 b 1 0 1 0 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA = CTomando b = 0 en C, se tiene,

C =

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 1 1 1 0 1 0 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA f1! f2 f3

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 1 1 1 0 1 0 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA

f3 + f2!

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA f1 + f4!f1 + f2

2 f1 + f3

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 0 0 1 00 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 0


f2 , f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 0 1 00 0 0 1 1 0 0 1


1 0 0 01 1 1 00 0 1 01 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAAhora, si b , 0, se tiene en C,

Cb f4 + f2!

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 1 1 1 0 1 0 b 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA f1! f2 f3

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 1 1 1 0 1 0 1 b0 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCA

f3 + f2!

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 1 1 0 1 b 10 1 0 2 1 1 1 21 0 0 1 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAf1 + f2!

2 f1 + f3 f1 + f4

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 0 0 1 b0 1 0 0 1 1 1 01 0 0 0 1 0 0 0


f2 , f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 1 1 00 0 1 0 0 0 1 b0 0 0 1 1 0 0 1


1 0 0 01 1 1 00 0 1 b1 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAPor tanto, A es invertible para todos los valores reales de a y b.

30


18. Halle una matriz B tal que 0BBBBBBBB@0BBBBBBB@1 1 10 2 11 0 3

1CCCCCCCAt

+

0BBBBBBB@0 2 00 2 11 2 0

1CCCCCCCA1CCCCCCCCAB =

0BBBBBBB@1 11 10 0

1CCCCCCCARespuesta:

0BBBBBBB@1 1 10 2 11 0 3

1CCCCCCCAt

+

0BBBBBBB@0 2 00 2 11 2 0




1CCCCCCCADe modo que se tiene la expresion equivalente,0BBBBBBB@

1 2 11 0 12 1 3

1CCCCCCCAB =0BBBBBBB@1 11 10 0

1CCCCCCCAPor lo tanto, la matriz B buscada debe de ser de tamano 3x2. Suponga que

B =

0BBBBBBB@x1 x2x3 x4x5 x6

1CCCCCCCAEntonces, 0BBBBBBB@

1 2 11 0 12 1 3

1CCCCCCCA0BBBBBBB@x1 x2x3 x4x5 x6

1CCCCCCCA =0BBBBBBB@x1 + 2x3 + x5 x2 + 2x4 + x6

x1 + x5 x2 + x62x1 + x3 + 3x5 2x2 + x4 + 3x6

1CCCCCCCAIgualando las matrices entrada por entrada se obtiene el sistema:

x1 + 2x3 + x5 = 1x1 + x5 = 12x1 + x3 + 3x5 = 0

x2 + 2x4 + x6 = 1x2 + x6 = 12x2 + x4 + 3x6 = 0

Notese que las primeras tres ecuaciones corresponden solamente a las variables x1; x3; x5 y las si-guientes tres ecuaciones a las variables x2; x4; x6 y que ambos conjuntos de ecuaciones son iguales.Entonces solamente es necesario resolver uno de esos conjuntos de ecuaciones, y el otro tendra lasmismas soluciones.

0BBBBBBB@1 2 1 11 0 1 12 1 3 0

1CCCCCCCA f1 + f2!

2 f1 + f3

0BBBBBBB@1 2 1 10 2 0 00 3 1 2

1CCCCCCCA 12 f2!0BBBBBBB@1 2 1 10 1 0 00 3 1 2

1CCCCCCCA31


2 f2 + f1!

3 f2 + f3

0BBBBBBB@1 0 1 10 1 0 00 0 1 2

1CCCCCCCA f3 + f1!0BBBBBBB@1 0 0 30 1 0 00 0 1 2

1CCCCCCCAEntonces, x1 = x2 = 3, x3 = x4 = 0 y x5 = x6 = 2. Por lo tanto la matriz B tiene la forma

B =

0BBBBBBB@3 30 02 2

1CCCCCCCA

32


4. Determinantes

1. Sea

A =

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 1m 1 6 m + 1m m 2m 2 92m m 1 m + 6 3m 2

1CCCCCCCCCCCAa) Calcule el determinante deA (sugerencia: realice operaciones elementales para producir ceros

antes de proceder al calculo).

Respuesta:

A2 f2 + f4!

f2 + f3

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 1m 1 6 m + 10 1 m 2m 8 8 m0 1 m m 6 m 4

1CCCCCCCCCCCA f3 + f4!0BBBBBBBBBBB@1 1 1 1m 1 6 m + 10 1 m 2m 8 8 m0 0 2 m 2m 12


0BBBBBBBBBBB@1 1 1 1m 1 6 m + 10 1 m 4 3m 160 0 2 m 2m 12

1CCCCCCCCCCCA = BSi m , 0

Amf1 + f2

!

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 m 1 6 m 10 (m 1) 4 3m 160 0 2 m 2m 12

1CCCCCCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 m 1 6 m 10 0 2 m 3m 150 0 2 m 2m 12


0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 m 1 6 m 10 0 2 m 3m 150 0 0 3 m

1CCCCCCCCCCCA = CEntonces, det(C) = 1 (m 1) (2 m) (3 m) si m , 0. Si m = 0, entonces,

A =

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 1 6 10 0 2 90 1 6 2

1CCCCCCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 1 6 10 0 2 90 0 0 3

1CCCCCCCCCCCAEntonces det(A) = 1 1 2 3 = 6.Se concluyen los siguientes valores para el determinante de A:

det(A) =

8>>>:6 si m = 0(m 1) (2 m) (3 m) si m , 0

33


b) De acuerdo con lo que obtuvo en (a), para que valores de m la matriz A es invertible? (Justi-fique)

Respuesta:La matriz A no es inversible si det(A) = 0. Entonces A no es inversible sim = 1,m = 2 om = 3.

c) Segun lo que obtuvo en (a), para que valores dem, los vectores columna deA son linealmentedependientes? (justifique sin hacer calculos adicionales).

Respuesta:Las columnas de A son l.d. si A no es invertible, entonces son l.d. si m = 1, m = 2 o m = 3.

2. Sean A y Bmatrices cuadradas de orden 4, tales que det(A) = 2 y det(B) = 2. Calcule det12A

1Bt.

Respuesta:

Por las propiedades del determinante:

det12A1Bt

=12

4det

A1Bt

=

116det

A1

det

Bt=

116

1det(A)

det(B) =116

3. Sea A 2M(n;R), A es una matriz ortogonal si A At = In.a) Justifique porque toda matriz ortogonal A es invertible.

Respuesta:Para que A sea inversible, por teorema basta con que tenga inversa izquiera o derecha. Y porla definicion de matriz ortogonal, A At = In, entonces A tiene inversa derecha y podemosobservar que A1 = At.

b) Justifique porque toda matriz ortogonal A tiene determinante 1 o 1.

Respuesta:Como A At = In, entonces por las propiedades del determinante de un producto de matricesy el determinante de una transpuesta se tiene que:

1 = det (In) = det(A) detAt

= det(A) det(A) = (det(A))2 ) det(A) = 1 o det(A) = 1

c) Compruebe que la siguiente matriz es ortogonal.

P =

0BBBBBBBBB@1p2

1p6

1p31p

21p6

1p3

0 2p6

1p3

1CCCCCCCCCARespuesta:Por definicion, P es una matriz ortogonal si P Pt = In, entonces,

P Pt =0BBBBBBBBB@

1p2

1p6

1p31p

21p6

1p3

0 2p6

1p3

1CCCCCCCCCA0BBBBBBBBB@

1p2

1p2

01p6

1p6

2p6

1p3

1p3

1p3

1CCCCCCCCCA =0BBBBBBB@1 0 00 1 00 0 1

1CCCCCCCAPor tanto P es ortogonal.

34


d) Sin hacer calculos adicionales, escriba la matrix P1.Respuesta:Por la parte a), es claro que

P1 = Pt =

0BBBBBBBBB@1p2

1p2

01p6

1p6

2p6

1p3

1p3

1p3

1CCCCCCCCCA4. Si A =

0BBBBBBB@a b c4 0 21 1 1

1CCCCCCCA , donde a, b, c 2 R y A = 3, calcule el determinante de cada una de las siguientesmatrices:

a) B =

0BBBBBBB@2a 2b 2c4 4 42 0 1

1CCCCCCCARespuesta:

Af2 , f3!

0BBBBBBB@a b c1 1 14 0 2

1CCCCCCCA2 f1!4 f212 f3

0BBBBBBB@2a 2b 2c4 4 42 0 1

1CCCCCCCA = BEntonces, det(B) = 2 4 12 det(A) = 12.

b) C =

0BBBBBBB@a b c

3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

1CCCCCCCARespuesta:

A f1 + f3!

3 f1 + f2

0BBBBBBB@a b c

3a + 4 3b 3c + 2a + 1 b + 1 c + 1

1CCCCCCCA = CEntonces, det(C) = det(A) = 3.

5. Si el determinante de la matriz A =

0BBBBBBB@a b cd e fg h i

1CCCCCCCA, donde a, b, c, d, e, f , g, h, i 2 R, es det(A) = 5, calculelos siguientes determinantes:

a) det(3A).

Respuesta:Por las propiedades del determinante, det(3A) = 33det(A) = 27 5 = 135.

35


b) det2A1

.

Respuesta:

Por las propiedades del determinante, det2A1

= 23det

A1

= 8det(A) =

85 .

c) det

0BBBBBBB@a b c

2d + g 2e + h 2 f + id e f

1CCCCCCCARespuesta:Aplicando operaciones de fila sobre A, se pueden relacionar los determinantes de A y el de lamatriz buscada;

A2 f2 + f3!

0BBBBBBB@a b cd e f

2d + g 2e + h 2 f + i

1CCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBB@

a b c2d + g 2e + h 2 f + id e f

1CCCCCCCAPor lo tanto,

det

0BBBBBBB@a b c

2d + g 2e + h 2 f + id e f

1CCCCCCCA = det(A) = 56. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando la Regla de Cramer:

2x + y z + w = 4x + 2y + 2z 3w = 63x y z + 2w = 02x + 3y + z + 4w = 5

Respuesta:

Para poder resolver el sistema mediante el metodo de la Regla de Cramer, considere la matriz Ade los coeficientes de las ecuaciones del sistema,

A =

0BBBBBBBBBBB@2 1 1 11 2 2 33 1 1 22 3 1 4

1CCCCCCCCCCCASi det(A) , 0, entonces el sistema tiene solucion unica y se puede aplicar la Regla de Cramer. Sea bilamatriz que resulta de reemplazar en lamatrizA la columna i por el vector (4; 6; 0;5)t. Entonces,las soluciones son de la forma xi =

det(bi)det(A) . Procedemos a calcular entonces el determinante de A;

A

2 f2 + f1!

3 f2 + f32 f2 + f4

0BBBBBBBBBBB@0 3 5 71 2 2 30 7 7 110 1 3 10


2 f4 + f27 f4 + f3

0BBBBBBBBBBB@0 0 4 231 0 4 170 0 14 590 1 3 10

1CCCCCCCCCCCA

36


f1 , f2! f4

0BBBBBBBBBBB@1 0 4 170 0 4 230 0 14 590 1 3 10

1CCCCCCCCCCCAf2 , f4!114 f3

0BBBBBBBBBBB@1 0 4 170 1 3 100 0 1 59140 0 4 23

1CCCCCCCCCCCA 4 f3 + f4!0BBBBBBBBBBB@1 0 4 170 1 3 100 0 1 59140 0 0 437

1CCCCCCCCCCCA = BComo lamatriz B es triangular, entonces det(B) = 1 1 1 437 = 437 y por el efecto de las operacioneselementales sobre el determinante de unamatriz, se tiene la siguiente relacion entre el determinantede A y el determinante de B;

437

= det(B) = 1 114

det(A) ) det(A) = 86 , 0

Por lo tanto, se puede aplicar la Regla de Cramer, ya que det(A) , 0. Aplicando operacioneselementales se pueden calcular de forma similar los siguientes determinantes:

det(b1) = det

0BBBBBBBBBBB@4 1 1 16 2 2 30 1 1 25 3 1 4

1CCCCCCCCCCCA = 86 ) x1 = 8686 = 1

det(b2) = det

0BBBBBBBBBBB@2 4 1 11 6 2 33 0 1 22 5 1 4

1CCCCCCCCCCCA = 172 ) x2 = 17286 = 2

det(b3) = det

0BBBBBBBBBBB@2 1 4 11 2 6 33 1 0 22 3 5 4

1CCCCCCCCCCCA = 258 ) x3 = 25886 = 3

det(b4) = det

0BBBBBBBBBBB@2 1 1 41 2 2 63 1 1 02 3 1 5

1CCCCCCCCCCCA = 86 ) x4 = 8686 = 1Por lo tanto, la solucion al sistema es (x1; x2; x3; x4) = (1;2; 3;1).

7. Dada la siguiente matriz A 2M(3;R):

A =

0BBBBBBB@cos sen 0sen cos 0

0 0 1

1CCCCCCCAa) Muestre que la matriz A es invertible para todos los valores de .

Respuesta:

37


Podemos demostrar que A es invertible a partir del valor de su determinante.

det(A) = det cos sensen cos

!= cos2 + sen2 = 1

Entonces, 8, se tiene det(A) = 1 , 0 de modo que A es invertible para todo valor .

b) Encuentre la matriz inversa de A.

Respuesta:Aplicamos el procedimiento para hallar una inversa izquierda, que por teorema, si existe,tambien la inversa de A y son iguales.

En los siguientes calculos se utilizan varias de las identidades entre senos y cosenos. Tambienen el desarrollo siguiente se asume que para un determinado valor de , los senos y cosenosno son cero. Los casos en que son cero son mas simples y se pueden hacer de forma similar.0BBBBBBB@

cos sen 0 1 0 0sen cos 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

1CCCCCCCAcos f1!

sen f2

0BBBBBBB@cos2 cossen 0 cos 0 0sen2 sencos 0 0 sen 00 0 1 0 0 1

1CCCCCCCAf2 + f1!

0BBBBBBB@1 0 0 cos sen 0

sen2 sencos 0 0 sen 00 0 1 0 0 1

1CCCCCCCAsen2 f1 + f2

!

0BBBBBBB@1 0 0 cos sen 00 sencos 0 cossen2 sencos2 00 0 1 0 0 1

1CCCCCCCA1

sencos f2!

0BBBBBBB@1 0 0 cos sen 00 1 0 sen cos 00 0 1 0 0 1

1CCCCCCCAEntonces, se concluye que

A1 =

0BBBBBBB@cos sen 0sen cos 00 0 1

1CCCCCCCA8. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x1 2x2 + x3 = 3x2 + 3x4 x5 = 5

x1 + x2 + 2x3 x5 = 12x2 + x3 2x4 2x5 = 0x1 + x3 + 2x4 + x5 = 3

38


a) Calcule el determinante de la matriz del sistema.

Respuesta:Sea A la matriz del sistema anterior, entonces,

A =

0BBBBBBBBBBBBBBB@1 2 1 0 00 1 0 3 11 1 1 0 10 2 1 2 21 0 1 2 1

1CCCCCCCCCCCCCCCA f1 + f3!

f1 + f5


1CCCCCCCCCCCCCCCA3 f2 + f3!

2 f2 + f42 f2 + f5


1CCCCCCCCCCCCCCCAf3 , f4!


1CCCCCCCCCCCCCCCA49 f4 + f5!


1CCCCCCCCCCCCCCCA = BComo B es una matriz triangular, det(B) = 1 1 1 9 199 = 19. Ahora, como A y B sonequivalentes por filas, por las propiedades del determinante en relacion a las operacioneselementales de fila, se tiene para A y B que, det(B) = det(A), por tanto det(A) = 19.

b) Sin hacermas calculos, conteste la siguiente pregunta: El sistema de ecuaciones anterior tienesolucion unica? Justifique su respuesta.

Respuesta:Como det(A) , 0, entonces por teorema, el sistema tiene solucion unica.

9. Sean A =

0BBBBBBBBBBB@a 1 1 1a a 1 1a a a 1a a a a

1CCCCCCCCCCCA , C =0BBBBBBBBBBB@000a

1CCCCCCCCCCCA y X =0BBBBBBBBBBB@x1x2x3x4

1CCCCCCCCCCCAa) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Reducimos por filas a la matriz aumentada (AjC),

(AjC) f1 + f2!

f1 + f3 f1 + f4

0BBBBBBBBBBB@a 1 1 1 00 a 1 0 0 00 a 1 a 1 0 00 a 1 a 1 a 1 a


f2 + f4

0BBBBBBBBBBB@a 1 1 1 00 a 1 0 0 00 0 a 1 0 00 0 a 1 a 1 a

1CCCCCCCCCCCA39


f3 + f4!

0BBBBBBBBBBB@a 1 1 1 00 a 1 0 0 00 0 a 1 0 00 0 0 a 1 a

1CCCCCCCCCCCA = (BjD)Como B es una matriz triangular, det(A) = a (a 1) (a 1) (a 1) = a(a 1)3. Como A y Bson equivalentes por filas, entonces a(a 1)3 = det(B) = det(A).

b) Determine los valores de a para los cuales el sistema A X = C tiene solucion unica, e indiquecual es esa solucion.

Respuesta:El sistema AX = C tiene solucion unica si y solo si det(A) , 0. Por la parte a), det(A) , 0 si ysolo si a , 0 y a , 1.

Como los sistemas AX = C y BX = D son equivalentes, solucionamos BX = D. Con a , 0 ya , 1, 0BBBBBBBBBBB@

a 1 1 1 00 a 1 0 0 00 0 a 1 0 00 0 0 a 1 a

1CCCCCCCCCCCA1a1 f2!1a1 f31a1 f4

0BBBBBBBBBBB@a 1 1 1 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa1


f3 + f1 f4 + f1

0BBBBBBBBBBB@a 0 0 0 aa10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa1

1CCCCCCCCCCCA1a f1!

0BBBBBBBBBBB@1 0 0 0 1a10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 aa1

1CCCCCCCCCCCAPor lo tanto, la solucion unica del sistema es: (x1; x2; x3; x4)t =

1a1 ; 0; 0;

aa1

t, a < f0; 1g.

c) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 1.

Respuesta:En general, como A es de 4x4, Rng(A) < 4 si y solo si A no es invertible. Y por la parte a), Ano es invertible solamente cuando a = 0 o a = 1. Como, Rng(A) = 1 si la matriz escalonadareducida equivalente por filas a A tiene solamente una fila no nula. En B, tomando a = 1, y setiene

B =

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1CCCCCCCCCCCA ) Rng(A) = 1d) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 2.

Respuesta:

40


Rng(A) = 2 si la matriz escalonada reducida equivalente por filas aA tiene solamente dos filasno nulas. Por el argumento de parte c), solamente a = 0 puede hacer que Rng(A) < 4, pues eneste caso A no es invertible. Pero, de B, si se sustituye a = 0,

B =

0BBBBBBBBBBB@0 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAf2 + f1!f3 + f1f4 + f1

0BBBBBBBBBBB@0 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1


1CCCCCCCCCCCAPor tanto, Rng(A) = 3, si a = 0, y entonces no hay ningun valor de a para el cual Rng(A) = 2.

e) Determine los valores de a para los cuales el rango de la matriz A es igual a 3.

Respuesta:Por la parte d), si a = 0, entonces Rng(A) = 3.

f ) Halle el conjunto solucion del sistema A X = C, si a = 0.

Respuesta:

Por la parte d), si a = 0, entonces A !

0BBBBBBBBBBB@0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0

1CCCCCCCCCCCAPor lo que el conjunto solucion es: f(t; 0; 0; 0) t 2 Rg.

g) Halle el conjunto solucion del sistema A X = C, si a = 1.

Respuesta:

Tomando a = 1 en la matriz aumentada (BjD) =

0BBBBBBBBBBB@1 1 1 1 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 1

1CCCCCCCCCCCAQue tiene una ecuacion inconsistente, por lo tanto no hay solucion al sistema (BjD), ni tampocoal sistema (AjC), ya que ambos son equivalentes.

10. Sean A =

0BBBBBBB@1 a a2

1 b b2

1 c c2

1CCCCCCCA , 0 =0BBBBBBB@000

1CCCCCCCA y X =0BBBBBBB@x1x2x3

1CCCCCCCAa) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Utilizando las propiedades de la funcion determinante, se tiene:

det(A) = det

0BBBBBBB@1 a a2

1 b b2

1 c c2

1CCCCCCCA41


= det

0BBBBBBB@1 a a2

0 b a b2 a20 c a c2 a2

1CCCCCCCA8>>>>>>>:utilizando las operaciones

f1 + f2 f1 + f3

= (b a) (c a) det0BBBBBBB@1 a a2

0 1 b + a0 1 c + a

1CCCCCCCA8>>>>>>>:propiedad de linealidadde la funcion determinanteen las filas de la matriz

= (b a) (c a) det0BBBBBBB@1 a a2

0 1 b + a0 0 c b

1CCCCCCCA8>>>>>>>:utilizando laoperacion f2 + f3

= (b a) (c a) (c b) ( determinante de una matriz triangular )Por lo tanto, det(A) = (b a) (c a) (c b), para todos los valores reales de a, b y c.

b) En cuales casos el sistemaA X = 0 tiene infinitas soluciones que dependen de un parametro?

Respuesta:El sistema AX = 0 tiene soluciones infinitas que dependen de un parametro si Rng(A) = 2.Realizamos operaciones elementales sobre las filas de A;

A f1 + f2!

f1 + f3

0BBBBBBB@1 a a2

0 b a b2 a20 c a c2 a2

1CCCCCCCA f2 + f3!0BBBBBBB@1 a a2

0 b a b2 a20 c b c2 b2

1CCCCCCCA = BDe B, se observa que hay solamente una fila de ceros si se presenta alguna de las siguientescombinaciones de valores para a, b y c;

1) a = b y a , c2) a = c y a , b3) b = c y b , a.

Por lo tanto, en cualquiera de las combinaciones anteriores, el sistema tiene soluciones infini-tas dependiendo de un parametro.

c) En cuales casos el sistema A X = 0 tiene infinitas soluciones que dependen de dos parame-tros?

Respuesta:El sistema AX = 0 tiene soluciones infinitas que dependen de dos parametros si Rng(A) = 1.De la matriz B de la parte b), esto sucede si a = b = c.

d) En cuales casos el sistema A X = 0 tiene solucion unica?

Respuesta:

42


Para que el sistema homogeneo tenga solucion unica, es necesario que Rng(A) = 3, o equiva-lentemente, que det(A) = (b a) (c a) (c b) , 0. Entonces, el sistema tiene solucion unicasi y solo si a , b, b , c y a , c.

e) En cuales casos el sistema A X = 0 es inconsistente?

Respuesta:Como el sistema es homogeneo, siempre tiene la solucion trivial. Entonces nunca es inconsis-tente.

11. Sea

A =

0BBBBBBBBBBB@a + 1 2 2 11 a 1 1 20 0 a + 1 20 0 1 a 1

1CCCCCCCCCCCAa) Calcule el determinante de la matriz A.

Respuesta:Como A es una matriz con forma de bloques:

det(A) = det a + 1 21 a 1

! det

a + 1 21 a 1

!= ((a + 1)(a 1) + 2)2 =

a2 + 1

2b) Indique por que el sistemaAx = b siempre tiene solucion unica, con x = (x1; x2; x3; x4)t y b 2 R4.

Respuesta:Note que det(A) , 0, 8a 2 R ya que a2 0 ) a2 + 1 1 y por lo tanto, det(A) 1, 8a 2 R.Como det(A) , 0, entonces existe solucion unica para cada b 2 R4.

12. Si det

0BBBBBBB@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1CCCCCCCA = 8, calcule (haciendo uso de las propiedades del determinante) el determi-nante de la matriz 0BBBBBBB@

2a12 3a22 2a11 3a21 2a13 3a23a32 a31 a33a22 a21 a23

1CCCCCCCARespuesta:

Sea

B =

0BBBBBBB@2a12 3a22 2a11 3a21 2a13 3a23

a32 a31 a33a22 a21 a23

1CCCCCCCA43


Entonces,

B3 f3 + f1!

0BBBBBBB@2a12 2a11 2a13a32 a31 a33a22 a21 a23

1CCCCCCCA 12 f1!0BBBBBBB@a12 a11 a13a32 a31 a33a22 a21 a23

1CCCCCCCA f2 , f3!0BBBBBBB@a12 a11 a13a22 a21 a23a32 a31 a33

1CCCCCCCA = CEntonces, det(C) = 1 12 det(B). Ademas

Ct =

0BBBBBBB@a12 a22 a32a11 a21 a31a13 a23 a33

1CCCCCCCA f1 , f2!0BBBBBBB@a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

1CCCCCCCA = DY se tiene det(D) = 1 det

Ct= det(C) = 12det(B). Como Dt = A, entonces det(A) = det

Dt

=

det(D) = 12det(B). Entonces, det(B) = 2 det(A) = 2 8 = 16.

44


5. Geometra vectorial de Rn

1. Sean A = (3; 0; 0), B = (1; 0; 2), y C = (2; 3; 0) puntos en R3.

a) Determine si el triangulo ABC es rectangulo, obtusangulo o acutangulo.

Respuesta:

!AB = (1; 0; 2) (3; 0; 0) = (2; 0; 2)!AC = (2; 3; 0) (3; 0; 0) = (1; 3; 0)

Entonces, del producto interior de R3,!AB !AC = (2; 0; 2) (1; 3; 0) = 2 > 0 y por lo tanto el

angulo \BAC es agudo.

!CA = (3; 0; 0) (2; 3; 0) = (1;3; 0)!CB = (1; 0; 2) (2; 3; 0) = (1;3; 2)

Del producto interior de R3,!CA !CB = (1;3; 0) (1;3; 2) = 8 > 0 y por lo tanto el angulo

\ACB es agudo.

!BA = (3; 0; 0) (1; 0; 2) = (2; 0;2)!BC = (2; 3; 0) (1; 0; 2) = (1; 3;2)

Del producto interior de R3,!BA !BC = (2; 0;2) (1; 3;2) = 6 > 0 y por lo tanto el angulo

\ABC es agudo.

Por tanto el triangulo 4ABC es acutangulo.

b) Determine el permetro del triangulo ABC.

Respuesta:Como el permetro es la suma de los lados del triangulo, y como cada lado puede ser repre-sentado por un vector en la notacion de flecha dirigida, entonces tenemos que:

Permetro =!AB + !AC + !BC

Notese que en lo anterior, se uso el hecho de que la norma de un vector que representa a unaflecha dirigida no depende de hacia cual de los dos puntos apunta el vector. Entonces,

Permetro =p(2)2 + 02 + 22 +

p(1)2 + 32 + 02 +

p12 + 32 + (2)2 = p8 + p10 + p14

c) Calcule la proyeccion del vector!AB sobre el vector

!AC.

Respuesta:

Proy!AC

!AB =

210

(1; 3; 0) =15;35; 0

45


d) Determine el area del triangulo ABC.

Respuesta:

Considere el paralelogramo con lados!AB y

!AC. El area de ese paralelogramo, es el doble del

area del triangulo 4ABC. Entonces usamos la formula de calculo del area del paralelogramo:

Area del paralelogramo =!AB !AC

Entonces,

!AB !AC = (2; 0; 2) (1; 3; 0) = (6;2;6)!AB !AC = p(6)2 + (2)2 + (6)2 = p76

Entonces, Area 4ABC =p762 .

e) Determine un punto D de manera que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:

Si se considera el paralelogramo con lados!AB y

!AC, por la interpretacion de la suma, el vertice

opuesto a A, que es el vertice que denominamos como D, cumple con la igualdad:

D A = !AD = !AB + !AC = (2; 0; 2) + (1; 3; 0) = (3; 3; 2)Entonces, D = (3; 3; 2) + A = (3; 3; 2) + (3; 0; 0) = (0; 3; 2).

2. Sean A = (1; 2;1), B = (1; 4; 3) y C = (1;1; 5) puntos en R3.a) Determine un punto D de manera que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:

Considere el paralelogramo con lados!AB y

!AC unidos por el vertice A. Por la interpretacion

de la suma, si se escoge el punto D que satisface,!AD =

!AB +

!AC entonces se obtiene un

paralelogramo con vertices A, B, C y D. Entonces,

!AB = (1; 4; 3) (1; 2;1) = (0; 2; 4) !AC = (1;1; 5) (1; 2;1) = (0;3; 6)

Entonces, D A = !AD = !AB + !AC = (0;1; 10), por tanto D = (0;1; 10) + A = (0;1; 10) +(1; 2;1) = (1; 1; 9).

b) Calcula la longitud de la altura del paralelogramo sobre el lado!DC.

Respuesta:Segun la parte a) el vertice D es opuesto al vertice A, y los vertices B y C son opuestos. Paraestablecer sobre que lado del paralelogramo se referencia la altura, considere que esta se

46


mide referenciada respecto al lado!AB, i.e. la altura h es la longitud del segmento que va del

vertice C en forma perpendicular hasta el lado!AB. Ademas, considere el angulo \CAB que

denominaremos como .

Vease la figura.

Dado lo anterior, entonces se tiene que

sen() =h!AC

Pero el angulo tambien cumple que!AC !AB = !AC !AB sen()Por lo tanto, de las igualdades anteriores se concluye que;

h =

!AC !AB!ABDonde,

!AC !AB =

e1 e2 e30 3 60 2 4

= (24; 0; 0)Entonces,

!AC !AB = 24 y !AB = p20, por lo tantoh =

24p20

=12p5

5

c) Determine el area del paralelogramo ABCD.

Respuesta:

El area esta dada por!AC !AB = 24.

d) Determine si el angulo del paralelogramo cuyo vertice es A es recto, obtuso o agudo.

Respuesta:

47


La clasificacion del angulo cuyo vertices es A, se puede hacer mediante el signo del valorque tome el producto interno de vectores en R3 sobre los lados

!AB y

!AC que coinciden en A.

Entonces,

!AB !AC = (0;3; 6) (0; 2; 4) = 18 > 0

Por tanto el angulo es agudo.

3. Considere el cuadrilatero con vertices A, B, C, y D, que se muestra a continuacion.

Si P, Q, R y S son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA, respectivamente; muestre que!PS =

!QR y

!PQ =

!SR.

Respuesta:

Existen por lo menos dos maneras diferentes para responder a este ejercicio. La primera es obte-niendo una expresion para los puntos medios en terminos de los extremos del segmento. Vamos aobtener una expresion primero para P en terminos de A y B. Vease la figura.

Notese que los vectores!0A y

!0B forman los lados de un paralelogramo, donde las diagonales son

AB y el segmento que va de 0 a A + B. Como P es el punto medio del segmento AB, entonces esel punto medio de la diagonal AB del paralelogramo. Como las diagonales de un paralelogramose cruzan en su punto medio, entonces P es el punto medio del segmento que va de 0 a A + B,donde dicho segmento es el vector

!0 (A + B). Como el vector

!0P es la mitad de largo que el vector!

A + B y apunta en la misma direccion, por la interpretacion del producto por escalar tenemos que!0P = 12

!0 (A + B) y de donde se concluye que P = 12 (A + B).

Para los puntos Q, R y S se puede hacer una interpretacion similar, y se concluye que

48


P =A + B2

S =A +D

2R =

D + C2

Q =B + C2

Ahora, por la definicion de vector como flecha dirigida, se tiene;

!PS = S P = A+D2 A+B2 = DB2 =

!BD2!

QR = R Q = D+C2 B+C2 = DB2 =!BD2

) !PS = !QR

!PQ = Q P = B+C2 A+B2 = CA2 =

!AC2!

SR = R S = D+C2 A+D2 = CA2 =!AC2

) !PQ = !SR

La segunda manera de responder es utilizando la interpretacion de suma de vectores como eldesplazamiento resultante en la direccion de los vectores. Notese que el vector

!PS se puede ver

como el desplazamiento de P a S, y dicho desplazamiento se puede hacer primero de P a A y luegode A a S. Es decir, se cumple por la interpretacion de la suma que:

!PS =

!PA +

!AS. Ahora, como el

punto P esta colocado en el puntomedio del segmentoAB, se sigue que el vector!PA tiene la misma

direccion y la mitad de longitud que el vector!BA. Entonces por la interpretacion del producto por

un escalar, se sigue que!PA = 12

!BA y similarmente se tiene que

!AS = 12

!AD. Sustituyendo esas dos

expresiones en la igualdad que obtuvimos de la interpretacion de la suma, se obtiene que:

!PS =

12!BA +

12!AD =

12(A B +D A) = 1

2(D B) = 1

2!BD

Que es el mismo resultado que obtuvimos por el otro metodo. Similarmente se obtienen las expre-siones para los otros puntos.

4. Considere el triangulo con vertices A, B y C, que se muestra a continuacion.

Si E yD son los puntos medios de los lados CA y CB, respectivamente; muestre, usando geometravectorial, que

!ED = 12

!AB .

Respuesta:

Note que por la interpretacion de la suma, el vector!ED que es el desplazamiento resultante de E

a D, se puede ver como el desplazamiento primero de E a C y luego de C a D. Entonces, se sigueque:

!ED =

!EC +

!CD. Ahora, como el punto E esta en el medio del segmento AC, se sigue por la

interpretacion del producto por un escalar que!EC = 12

!AC y similarmente, se sigue que

!DC = 12

!CB

(note que aqu el vector!CB debe seguir la misma direccion que

!CD). Sustituyendo en la igualdad

obtenida por la interpretacion de la suma, se tiene que:

49


!ED =

12!AC +

12!CB =

12(C A + B C) = 1

2(B A) = 1

2!AB

5. Dados los siguientes puntos en R3: A = (0; 1; 0), B = (2; 2; 0), C = (0; 0; 2) y D = (a; b; c).

a) Determine los valores de a, b y c de modo que ABCD sea un paralelogramo.

Respuesta:La respuesta a esta pregunta se puede hacer directamente con un argumento algebraico, sinembargo, se va a realizar tambien una interpretacion geometrica al proceso algebraico.

Para que el polgono de vertices ABCD sea un paralelogramo, se debe escoger el punto D, yen consecuencia, valores de a, b y c, tales que,ABCD sea un paralelogramo con lados

!AB y

!AC.

Por la interpretacion de la suma de vectores, el punto D debe cumplir que,!AD =

!AB +

!AC,

donde!AB = B A = (2; 2; 0) (0; 1; 0) = (2; 1; 0) y !AC = C A = (0; 0; 2) (0; 1; 0) = (0;1; 2).

Entonces,

D A = !AD = !AB + !AC = (2; 1; 0) + (0;1; 2) = (2; 0; 2)

) D = (2; 0; 2) + A = (2; 0; 2) + (0; 1; 0) = (2; 1; 2)Entonces, para que ABCD sea un paralelogramo es necesario que a = 2, b = 1 y c = 2.

Ahora vamos a presentar una interpretacion geometrica del proceso algebraico realizado.Cuando se realiza el calculo correspondiente a la igualdad,

!AD =

!AB +

!AC, el paralelogramo

de lados!AB y

!AC, es en realidad el paralelogramo A1B1C1D1 que aparece en la figura, donde

A1 es el origen, B1 =!AB, C1 =

!AC y D1 =

!AD.

El calculo permite determinar para el paralelogramo A1B1C1D1 que D1 = (2; 0; 2). Ahora,como se observa en la figura, el paralelogramo ABCD es igual al paralelogramo A1B1C1D1,pero trasladado desde el origen hasta el punto A. Entonces el punto D es igual a A + D1 =

50


(0; 1; 0) + (2; 0; 2) = (2; 1; 2) que es el resultado algebraico antes obtenido.

b) Determine el punto E, que corresponde a la interseccion de las dos diagonales del paralelo-gramo ABCD.

Respuesta:Por propiedades geometricas, las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre s, de mo-do que el punto de interseccion E de las dos diagonales es igual al punto medio de ambasdiagonales. Podemos tomar entonces, E = B+C2 =

A+D2 =

12 (2; 2; 2) = (1; 1; 1).

c) Calcule el coseno del angulo del paralelogramo ABCD, cuyo vertice es el punto B.

Respuesta:Por la forma en que se escogio el punto D, los lados del paralelogramo ABCD adyacentes alpunto B son

!AB y

!BD. Entonces,

!AB = (2; 2; 0) (0; 1; 0) = (2; 1; 0) )

!AB = p5!BD = (2; 1; 2) (2; 2; 0) = (0;1; 2) )

!BD = p5Sea el angulo correspondiente al vertice del punto B, entonces

cos =!AB !BD!AB !BD = 15

d) Calcule el area de la region delimitada por el paralelogramo ABCD.

Respuesta:

Por teorema, el area del paralelogramo ABCD de lados,!AB y

!AC esta dada por Area(ABCD) =!AB !AC. Entonces,

!AB !AC =

e1 e2 e32 1 00 1 2

= (2;4;2) )!AB !AC = p24

Entonces el area de la region limitada por el paralelogramo es igual ap24.

6. Sean A = (0; 2;1), B = (0; 2;2), C = (2; 0;2) y D = (1; 1;1) puntos en R3.a) Determine si ABCD es un paralelogramo o no.

Respuesta:Por definicion,ABCD es un paralelogramo si sus lados opuestos son paralelos. Por la forma enque se encuentran ubicados los puntos de los vertices deABCD, donde los vertices adyacentesa A son los vertices B y D y el vertice opuesto es el vertice C (para ver que efectivamente ese

51


es el orden de los vertices que delimitan al cuadrilatero, se deben de graficar dichos puntosen R3), entonces, lo que se necesita verificar es que

!AD y

!BC sean paralelos, y que

!AB y

!DC

sean paralelos.

Entonces, para!AD y

!BC;

!AD = D A = (1; 1;1) (0; 2;1) = (1;1; 0)!BC = C B = (2; 0;2) (0; 2;2) = (2;2; 0)

y claramente, 2!AD =

!BC, y por tanto los lados son paralelos.

Por otra parte, para!AB y

!DC, se tiene;

!AB = B A = (0; 2;2) (0; 2;1) = (0; 0; 1)

!DC = C D = (2; 0;2) (1; 1;1) = (1;1;1)

Para determinar si los dados son paralelos, calculamos el angulo entre los vectores, como!AB !DC = 1,

!AB = 1, !DC = p3, entonces,cos =

!AB !DC!AB jjDCjj = 1p3

Por tanto, los lados representados por los vectores!AB y

!DC no son paralelos, y se concluye

que entonces ABCD no es un paralelogramo.

De hecho, el cuadrilatero ABCD, es como se aprecia en la figura.

b) Calcule el area de la region delimitada por el cuadrilatero ABCD.

Respuesta:Como se puede apreciar en la figura de la parte a), el area de la region encerrada por elcuadrilatero ABCD, corresponde a la suma del area del triangulo rectangulo DCE, y el areadel rectangulo ABED.

Entonces, como 2!AD =

!BC, claramente se tiene que

!EC = !AD, y ademas, !DE = !AB,entonces el area del triangulo DCE es,

52


area DCE =

!EC !DE2

=

!AD !AB2

=

p2 12

=

p22

Y puesto que,!BE = !AD, entonces, el area del rectangulo ABED es,

area ABED =!BE !AB = !AD !AB = p2 1 = p2

Entonces,

area ABCD =p22+p2 =

3p2

2

c) Determine la medida en grados del angulo interno con vertice A del cuadrilatero ABCD.

Respuesta:Como se aprecia en la figura de la parte a), los lados del cuadrilatero ABCD que determinanel angulo corespondiente al verticeA son

!AB y

!AD. Y como,

!AB !AD = 0, entonces, los lados

son ortogonales, y por consiguiente = 45 grados.

7. Sean los vectores !u ;!v 2 R3, tales que !u !v = 0,!u = !v = 2.

a) Calcule el seno del angulo entre los vectores !u y !v .

Respuesta:Sea el angulo entre los vectores !u y !v . Como !u !v = 0, entonces son ortogonales, y pordefinicion, = 2 . Entonces, sen = 1.

b) Determine el valor en grados del angulo entre los vectores !u y !v .

Respuesta:Por la parte a), el angulo entre los vectores es de 45 grados.

c) Calcule la norma o magnitud del vector !u !v .

Respuesta:Se tiene,

!u !v = !u !v sen = 2 2 1 = 4.d) Determine el valor que se obtiene al realizar las siguientes operaciones:!u !u 2!v + 3!v 2!v + 3!u !v + 9!u

Respuesta:Utilizando las propiedades del producto interno escalar, y del producto cruz, se tiene que:!u !u 2!v + 3!v 2!v + 3!u !v + 9!u

53


=!u 2 !u !v + 3!v 2!v + 3 !u !v + 9!u

= !u 2!v + !u 3!u !v + !u 9!u 2 !u !v 2!v 2 !u !v 3 !u !v

2!u !v 9!u + 3!v 2!v + 3!v 3 !u !v + 3!v 9!u

= 29!u !v 18!u !v !u 4 !u !v !v + 3!u !u !v

+9!v !u !v + 9 !u 2 + 6 !v 2 6 !u !v 2

= 29!u !v 15!u !u !v 5!v !u !v + 9 !u 2 + 6 !v 2 6 !u !v 2

= 29!u !v 15!u !u !v 5 !v !v !u + 9 !u 2 + 6 !v 2 6 !u !v 2

= 9!u 2 + 6 !v 2 6 !u !v 2 pues !u !u = !v !v = 0 y sustituyendo !u !v = 0

= 9 4 + 6 4 6 16 = 36 sustituyendo!u = !v = 2

Por lo tanto, se obtiene que:!u !u 2!v + 3!v 2!v + 3!u !v + 9!u = 368. Considere los vectores !u = (1; 0; 2), !v = (2; 0; 3) y !w = (2; 2; 2).

a) Si !r = !u x!v , determine Proy!r !w .

Respuesta:

!r = !u x!v =e1 e2 e31 0 22 0 3

= (0;7; 0)Y como !r !w = 14 y

!r 2 = 49, entoncesProy!r

!w =!r !w!r 2 !r = 1449 (0;7; 0) = (0; 2; 0)

b) Calcule el area del paralelogramo determinado por los vectores !u y !v .

Respuesta:Area del paralelogramo =

!u x!v = !r = p49 = 7.54


c) Determine la medida del angulo que forman los vectores !w y !r .

Respuesta:Como

!w = p12 y !r = 7, entonces, por la formula del coseno del angulo se tiene quecos =

!w !r!w !r = 14p12 7 = 1p3d) Calcule el volumen del paraleleppedo que determinan los vectores !u , !w y !r .

Respuesta:Si A es la matriz con filas !r , !u y !w , i.e. si

A =

266666664!w!u!r

377777775 =0BBBBBBB@2 2 21 0 20 7 0

1CCCCCCCAEl volumen del paraleleppedo de lados !u , !w y !r es el valor absoluto del determinante deA. Y como, det(A) = 14, entonces concluimos que el volumen del paraleleppedo es 14.

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6. Rectas y planos en Rn

1. En R3 considere los puntos A = (1;2; 3), B = (5; 3; 2) y C = (7;1; 4).

a) Verifique que estos puntos no son colineales (es decir, no pertenecen a la misma recta).

Respuesta:

Notese que los tres puntos A, B y C no son colineales si los vectores!AB y

!BC no son paralelos.

Entonces,

!AB = B A = (5; 3; 2) (1;2; 3) = (4; 5;1)!BC = C B = (7;1; 4) (5; 3; 2) = (2;4; 2)

!AB !BC = (4; 5;1) (2;4; 2) = 14 < 0 ) entonces el angulo es obtuso

!AB = p42 + 52 + (1)2 = p42!BC = p22 + 42 + 22 = p24Entonces, el angulo entre los vectores esta determinado por,

cos =!AB !BC!AB !BC = 14p42p24 =

p7

6

Como cos , 1 y cos , 1, entonces los vectores no son paralelos, y por tanto los puntos A,B y C no son colineales.

b) Escriba las ecuaciones escalares parametricas del plano P que contiene los puntos A, B y C.

Respuesta:Para determinar la ecuacion vectorial del plano P, se necesitan un punto perteneciente alplano y dos vectores que se encuentren dentro del plano y que no sean paralelos. Como lospuntos A, B y C estan en el plano, entonces los vectores

!AB y

!AC forman parte del plano y se

pueden utilizar como vectores directores.

Entonces

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!AC = C A = (7;1; 4) (1;2; 3) = (6; 1; 1)

Por lo que la ecuacion vectorial del plano es:

(x; y; z) = A + s!AB + t

!AC = (1;2; 3) + s(4; 5;1) + t(6; 1; 1)

Y las ecuaciones parametricas escalares del plano P son entonces,8>>>>>>>:x = 1 + 4s + 6ty = 2 + 5s + tz = 3 s + t

La interpretacion geometrica se observa en la siguiente figura:

c) Escriba la ecuacion normal del plano P.

Respuesta:Un vector normal al plano P es:

!AB !AC =

e1 e2 e34 5 16 1 1

= (6;10;26) = 2(3;5;13)Podemos tomar como, = (3;5;13) que es entonces un vector normal al plano P. Laecuacion normal del plano satisface:

X = A , (x; y; z) (3;5;13) = (1;2; 3) (3;5;13), 3x 5y 13z = 3+ 10 39 = 26

La ecuacion normal del plano P es 3x 5y 13z = 26.

2. Considere las rectas L1 y L2 cuyas ecuaciones son:

L1 : (x; y; z) = (3 + t; 7 + 2t;1 + 3t); t 2 R; L2 : x3 =y 12

= z 2

a) Determine la ecuacion normal del plano P que contiene a la recta L1 y es paralelo a L2.

Respuesta:Las ecuaciones vectoriales de las rectas L1 y L2 son,

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L1 : (

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