Ejercicios TEMA 5

Estadística Aplicada Tema V

1) Un contrato de compra estipula la compra de componentes en lotes grandes que deben contener un máximo del 10% de componentes con algún defecto. Para comprobar la calidad se inspeccionan 11 unidades del producto con reposición de cada lote, aceptándolo si hay como máximo una unidad defectuosa. Estudia como varía la probabilidad de aceptación por lote, cuando la proporción real de componentes con algún defecto en los lotes es del 5%, 10%, 15% y 20%.

SOLUCIÓN

Vamos a utilizar una variable aleatoria X, que definimos así:

X : nº de unidades defectuosas encontradas entre las once unidades de la muestra del lote.

Los valores posibles de la variable aleatoria son:

X 0 defectuosas 1 defectuosas 2 defectuosas 3 defectuosas 4 defectuosas 11 defectuosas

Por otra parte, la variable aleatoria es una binomial, dado que el resultado de la inspección de cada unidad de las once de la muestra es éxito (defectuosa) o fracaso (no defectuosa), manteniéndose la probabilidad de éxito constante, al ser el muestreo con reposición.

Llamaremos a esa probabilidad o proporción de unidades defectuosas en el lote. Por tanto tenemos que:

X B(11, )

Las regiones de aceptación y de rechazo del lote son:

Región de aceptación = {0, 1}Región de rechazo = {2, 3, 4, ..., 11}

A partir de aquí el problema se limita al cálculo de la función de probabilidad de una binomial según sea el valor de . Por ejemplo, calcular la probabilidad de que el lote se aceptara siendo la proporción de unidades defectuosas del 5% se resolvería así:

X B(11, 0,05); p (0) + p (1) = 0,569 + 0,329 = 0,898

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola I.N.E.A. (U. Valladolid)1


En la tabla que se ve a continuación aparecen las probabilidades que se nos pedían en el enunciado.

5% 10% 15% 20%

Probabilidad de que el lote sea aceptado

0,898 0,698 0,492 0,322

Probabilidad de que el lote se rechace

0,102 0,302 0,508 0,678

A la vista de los resultados se deduce que la regla de decisión en el control es bastante deficiente: pese al pacto de admitir hasta un 10% de componentes defectuosos, lotes con ese nivel de defectos, o incluso menor, tendrían una probabilidad considerable de no ser aceptados. Y a la inversa, lotes con una proporción de unidades defectuosas de hasta el 20% (el doble de lo pactado) tendrían una probabilidad de 0,322 de ser aceptados.

Así pues, la regla de control no parece buena ni para el proveedor ni para el cliente. La solución obligaría a considerar otros tamaños de muestra más grandes y estudiar en cada caso, del modo que se ha visto, posibles reglas de decisión más eficientes.

2) Una empresa recibe piezas de un proveedor en lotes de 2.000 que se someten al siguiente control de calidad: Se toman 20 al azar y si hay más de una defectuosa se rechaza el lote; en otro caso se acepta. La calidad garantizada por el proveedor es un 8 por mil de defectuosas. Calcula la probabilidad de:

A) Aceptar un lote que contenga un 2% de defectuosas.

B) Rechazar un lote con sólo el 8 por mil de defectuosas.

SOLUCIÓN

Este ejercicio es muy parecido al anterior. La variable aleatoria X, la definimos así:

X : nº de unidades defectuosas encontradas entre las veinte unidades de la muestra del lote.

Los valores posibles de la variable aleatoria son:



X 0 defectuosas 1 defectuosas 2 defectuosas 3 defectuosas 4 defectuosas 20 defectuosas

Mucha atención hay que prestar al dato de cómo se realiza el muestreo. Como se examinan 20 piezas al azar de un lote de 2.000 resulta que, si el muestreo se hace sin reemplazamiento, la probabilidad de encontrar una pieza defectuosa no sería la misma en la primera pieza examinada que en la segunda, o que en la tercera, o que en la cuarta, o etc., ya que dependería de lo que hubiese ocurrido en el examen de la pieza anterior. Por tanto, esa probabilidad de “éxito” de los sucesos aislados no se mantendría constante y en consecuencia no estaríamos ante una verdadera variable aleatoria binomial.

Consideraremos que el muestreo se hace con reemplazamiento, en cuyo caso no cabe duda de que la variable aleatoria sería ciertamente binomial.

Llamaremos a esa probabilidad o proporción de unidades defectuosas en el lote. Por tanto tenemos que:

X B(20, )Las regiones de aceptación y de rechazo del lote son:

Región de aceptación = {0, 1}Región de rechazo = {2, 3, 4, ..., 20}

A partir de aquí el problema se limita al cálculo de la función de probabilidad de una binomial según sea el valor de .

A)Nos piden las probabilidades de aceptar un lote siendo = 0,02

Por tanto tendremos

X B(20, 0,02) y nos piden la probabilidad de aceptación, que es p (0) + p (1)

p (0) + p (1) = 0,668 + 0,272 = 0,940 es la probabilidad pedida.

B)



X B(20, 0,008) y nos piden la probabilidad de rechazo, que en este caso vendría dada por: p (2) + p (3) + p (4) + p (5) + ..... + p (20)

Como p (2) + p (3) + p (4) + p (5) + ..... + p (20) = 1 - [ p (0) + p (1) ]

Tenemos p (2) + p (3) + p (4) + p (5) + ..... + p (20) = 1 – (0,852 + 0,137) = 0,011

En la tabla aparecen las probabilidades que se nos pedían en los apartados del enunciado.

2% 0,8%

Probabilidad de que el lote sea aceptado

0,940 0,989

Probabilidad de que el lote se rechace

0,060 0,011

En este caso, la regla no parece satisfactoria para la empresa receptora (cliente).

3) Las llamadas por averías en un puesto de servicio siguen una distribución de Poisson de media 2 averías / semana. Calcula la probabilidad de:

A) Ninguna avería en una semana.

B) Menos de cinco en una semana.

C) Menos de seis en un mes (cuatro semanas).

SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria X : nº de llamadas por avería a la semana.

X P(2)

A)



p (0) = = 0,135 que es la probablidad pedida.

B)

Nos piden F(4) = P( X 4) = p (0) + p (1) + p (2) + p (3) + p (4) =

= + + + + = 0,135 + 0,271 + 0,271 + 0,180 +

+ 0,090 = 0,947

C)Si llamamos Y : nº de llamadas por avería al mes (4 semanas)

Tendremos, por la propiedad reproductiva de la variable de Poisson:

Y = X + X + X + X Y P(8)

FY (5) = P( Y 5) = py (0) + py (1) + py (2) + py (3) + py (4) + py (5) =

= + + + + + = 0,0003 + 0,0027 + 0,0107 +

+ 0,0286 + 0, 0572 + 0,0916 = 0,1912

4) Si las llamadas telefónicas a una centralita siguen una distribución de Poisson de media 3 llamadas/cinco minutos, calcula la probabilidad de:

A) Seis llamadas en cinco minutos.

B) Tres en diez minutos.

C) Más de quince en un cuarto de hora.

D) Dos en un minuto.

SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria X : nº de llamadas telefónicas en un intervalo de cinco minutos.

X P(3) dado que = 3



A)

p (6) = = 0,05que es la probablidad pedida.

B)

Si consideramos Y = X + X Y P(6)

Py (3) = = 0,089

C)

Considerando Z = X + X + X Z P(9)

Nos piden pZ (16) + pZ (17) + pZ (18) + ......... = 1 – FZ (15) = 1 - P( Z 15) = 0,022

una vez realizados los correspondientes cálculos.

D)Sea W : nº de llamadas telefónicas en un intervalo de un minuto.

Considerando lo ocurrido en los distintos minutos sucesos independientes, tendremos

W + W + W + W + W = X y, por tanto W P(0,6)

PW (2) = = 0,099

5) Halla el área bajo la curva normal tipificada en cada uno de los casos siguientes:

A) Entre z = 0 y z = 1,2 E) Para z -0,6

B) Entre z = -0,68 y z = 0 F) Para z -1,28

C) Entre z = -0,46 y z = 2,21 G) Para z 2,05 y z -1,44

D) Entre z = 0,81 y z = 1,94

SOLUCIÓN

A)

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola I.N.E.A. (U. Valladolid)60 1,2

¿ ?

-


P (0 Z 1,2) = 0,8849 – 0,5 = 0,3849

B)

P (-0,68 Z 0) = P (0 Z 0,68) = 0,7517 – 0,5 = 0,2517

C)

P (-0,46 Z 2,21) = P(Z 2,21) - P(Z -0,46) = P (Z 2,21) – [1 – P (Z 0,46)] =

= 0,9864 – 1 + 0,6772 = 0,6636


P ( Z 1,2) P ( Z 0)

0- 0,68

¿ ?

- 0,68

¡es igual que...!

0 2,21

¿ ?

- - 0,46

0

¿ ?

- 1,940,81


D)

P (0,81 Z 1,94) = P (Z 1,94) – P (Z 0,81) = 0,9738 – 0,7910 = 0,1828

E)

P (Z -0,6) = P (Z 0,6) = 1 – P (Z 0,6) = 1 – 0,7257 = 0,2743

F)


0

¿ ?

- 0,6- 0,6

¡es igual que...!

0 - 1,28- 1,28

Es igual que P (-1,28 Z )

= Es igual que P (- Z 1,28)

Valor de la función de distribución para Z = 1,28


P (Z -1,28) = P (Z 1,28) = 0,8997

G)

P (Z 2,05) + P (Z -1,44) = [1 - P (Z 2,05)] + [1 - P (Z 1,44)] = 1 – 0,9778 + 1 -

– 0,9251 = 0,0951

6) Determina el valor o valores de z en los casos siguientes:

A) El área entre 0 y z es 0,3770 C) El área entre –1,5 y z es 0,0217

B) El área a la izquierda de z es 0,8621


0 - 2,05- 1,44

¿ ? ¿ ?

¡son dos áreas separadas la que nos piden!

Area correspondiente a la flecha de la derecha

Area correspondiente a la flecha de la izquierda


SOLUCIÓN

A)

P (0 Z z1) = 0,3770

P (0 Z z1) = P (Z z1) – P (Z 0) = P (Z z1) – 0,5 = 0,3770

luego: P (Z z1) = 0,8770

Y consultando en las tablas se deduce que z1 = 1,16

Son dos las soluciones, dado que: P (0 Z z1) = P (-z1 Z 0)

B)

P (Z z1) = P (- Z z1) = 0,8621 se deduce (tablas) que: z1 = 1,09

C)

Este problema admite dos interpretaciones.

Primera:


0 z1

0,3770

-

0 z1 -

Es la definición misma de lo que llamamos función de distribución

0z1 - -1,5

0,0217


P (-1,5 Z z1) = 0,0217

Y segunda:

P (z1 Z -1,5) = 0,0217

Según la primera de ellas:

P (-1,5 Z z1) = P(Z z1) - P(Z -1,5) = P (Z z1) – [1 - P (Z 1,5)] = P(Z z1) –

- 1 + 0,9332 = 0,0217 luego P (Z z1) = 0,0885 y, por tanto, z1 tiene que ser un valor negativo.

Finalmente (por ser el valor buscado negativo):

P (Z z1) = 1 - P (Z -z1) = 0,0885 y P (Z -z1) = 0,9115

Con lo que -z1 = 1,35 y z1 = -1,35

Según la segunda:

P (z1 Z -1,5) = P(Z -1,5) - P(Z z1) = [1 - P (Z 1,5)] - P(Z z1) = 1 – 0,9332 –


0z1 - -1,5

0,0217


- P(Z z1) = 0,0217 luego P(Z z1) = 0, 0451

Como z1 tiene que ser un valor negativo, resulta:

P (Z z1) = 1 - P (Z -z1) = 0,0451 y P (Z -z1) = 0,9549

Con lo que -z1 = 1,69 y z1 = -1,69

7) Se admite que las retribuciones percibidas en una empresa se distribuyen normalmente. Se conoce, por las relaciones de seguros sociales, que el 1% son superiores a 34.800 euros. y el 10% inferiores a 7.200 euros. Se pregunta qué proporción de las retribuciones son superiores a 18.000 euros.

SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria X : retribuciones de los empleados de la empresa

Sabemos, por los datos del enunciado, que X N( , )

Debemos obtener los dos parámetros de esa distribución. Sabemos también por el enunciado:

Por tanto, tipificando esos valor de abcisas, tendremos:

y


1 %

10 %

7.200 34.800


Hemos de obtener los valores de abcisas que dejan tales probabilidades a derecha e izquierda.

P (Z z1) = 0,01 luego P (Z z1) = 0,99 y z1 = 2,33

P (Z z2) = 0,10 luego P (Z -z2) = 0,90 y -z2 = 1,28 z2 = -1,28

Ahora debemos resolver un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, y

= 16.986,15 euros

= 7.645,43 euros

Ahora ya podemos contestar lo que nos piden:

P (X 18.000) = = P (Z 0,13) = 1 - P (Z

0,13) =

= 1 – 0,5517 = 0,44838) El estudio de las temperaturas mínimas diarias del mes de enero durante los últimos diez

años en cierta localidad indica que se distribuyeron normalmente, con media de 0,50 y desviación típica de 20 C. La temperaturas se midieron redondeando al entero más próximo.


1 %

10 %

Z2 Z10


A) ¿Qué proporción de días tuvieron mínimas de 00 C.?

B) ¿Qué proporción de días tuvieron mínimas entre 00 y -20 C.?

C) ¿Qué proporción de días tuvieron mínimas por debajo de -20 C.?

D) ¿Cuál fue la temperatura más elevada del 10% de mínimas más frías?

E) ¿Cuál fue la temperatura más baja del 10% de mínimas más cálidas?

F) ¿Qué proporción de días no heló?

SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria X : temperaturas mínimas diarias del mes de enero.

Sabemos, por los datos del enunciado, que X N(0´5, 2)

Hemos de tener en cuenta que las lecturas se redondearon al entero más próximo. Por tanto un valor de 2º C, por ejemplo, recoge lecturas que van desde 1,5º C hasta 2,5ª C.

A)

P (-0,5 X 0,5 ) = = P (-0,5 Z 0 ) = 0,5

–

- [1 - P (Z 0,5 )] = 0,5 – 1 + 0,6915 = 0,1915

B)

P (-2,5 X 0,5 ) = = P (-1,5 Z 0 ) = 0,5

–

- [1 - P (Z 1,5 )] = 0,5 – 1 + 0,9332 = 0,4332

C)

P (X -2,5 ) = = P(Z -1,5 ) = 1 - P(Z 1,5 ) = 1 –

0,9332 == 0,0668

D)

En este caso sabemos P (Z z1 ) = 0,10 debiendo averiguarse el valor correspondiente a z1



Por tanto P (Z -z1 ) = 0,90 y -z1 = 1,28 siendo z1 = -1,28

Si ahora hacemos la operación inversa de la tipificación: -1,28 =

Con lo que X = -2,06 -2º C

E)

P (Z z1 ) = 0,90 y z1 = 1,28 Por tanto 1,28 =

De donde se desprende que X = 3,06 3º C

F)Si interpretamos “no helar” como quedar la temperatura por encima de los 0º C

P (X 0,5 ) = = P (Z 0 ) = 0,50

9) Se sabe que el 10% de las unidades obtenidas en un proceso de fabricación son defectuosas. De la producción total de un día se seleccionaron 400 unidades, aleatoriamente.

A) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de ellas sean defectuosas?

B) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de ellas sean defectuosas?

C) ¿Cuál es la probabilidad de hallar más de 55 defectuosas?

D) ¿Qué pensaría si hallaran ese día 65 defectuosas? (justifica el razonamiento)

NOTA: Usar la aproximación normal a la distribución binomial.

SOLUCIÓN

Sea la variable aleatoria: X = Número de unidades defectuosas entre 400 seleccionadas.

Si se considera aceptable suponer constante la probabilidad de “éxito” (que la unidad seleccionada sea defectuosa) tendremos:

X B(400; 0,1)Las probabilidades que se nos piden se pueden aproximar mediante una variable normal, dado que:

n p (1 – p) = 400 0,1 0,9 = 36 que es mayor que 5



Tenemos que la media (esperanza) y la desviación típica de la variable aleatoria X son:

= n p = 400 0,1 = 40 = 6

Por lo que la variable normal equivalente será:

Y = Número de unidades defectuosas entre 400 seleccionadas. Donde:

Y N (40, 6)

Y mediante tipificación de la variable normal Y podemos contestar lo que nos piden:

A)

P (Y 35 ) = = P (Z 0,83 ) = P (Z 0,83 ) = 0,7967

B)

P (40 Y 50 ) = = P (0 Z 1,67 ) =

= 0,9525 0,5 = 0,4525

C)

P (Y 55 ) = = P (Z 2,50 ) = 1 P (Z 2,50 ) =

= 1 0,9938 = 0,0062

D)

P (Y 65 ) = = P (Z 4,17 ) = 1 0,9999... = 0,0000...

¡una probabilidad pequeñísima! Sospecharíamos una anomalía en el proceso de fabricación.

10) El 10% de las personas que contraen tuberculosis del aparato respiratorio no se curan. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro personas que contraigan la enfermedad sólo se cure una?

Si aplicamos un nuevo tratamiento sobre un grupo de treinta personas que padecen la enfermedad y obtenemos como resultado la curación de todas ellas, ¿cuál es la probabilidad de haber obtenido ese resultado sin usar el nuevo tratamiento?



SOLUCIÓN

Sea X : Número de personas que se curan sobre un grupo de cuatro enfermos.

Como la probabilidad de no curarse es de 0,1 tenemos: X B(4, 0,9)

que es la probabilidad

pedida

Para la segunda pregunta del problema vamos a considerar la hipótesis de que el nuevo tratamiento que se aplica no aumenta la tasa de curaciones. Llamamos:

Y : Número de personas que se curan sobre un grupo de treinta enfermos.

Y B(30, 0,9)

Al ser este resultado (curación de todos los enfermos) bastante poco probable nos inclinaríamos tal vez a pensar que el nuevo tratamiento aumenta la tasa de curaciones.


Ejercicios TEMA 5

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