Ejercicios tema 10. Boletín 1 1. Encontrar una relación entre el coeficiente de fricción f y el número de Manning n.

¿Cuál es la tensión tangencial media entre los flancos y la solera de un canal rectangular de 3.66 m. de ancho por 1.22 m. de profundidad y trazado con una pendiente de 1.6 m/km.?

Solución Tomando la fórmula de Manning como base de la correlación tenemos:

1 1 26 6

13

8 1 8

8

g R R gnC f

f n f n g R= = → = → =

En el canal de la figura, si aplicamos la condición de equilibrio tendremos:

_ _

0oh S h S SLsen pLγ γ γ θ τ− + − =

donde Jo es la tensión cortante que actúa sobre la superficie de longitud L y anchura p, siendo p el perímetro mojado. Entonces,

/o

o h

SLsen pL

SLsen pL R s

γ θ ττ γ θ γ

== =

dado

que el ángulo es pequeño y la tangente y el seno son prácticamente iguales. A partir de aquí tenemos:

3 3.66 1.22 1.6(9.8 10 ) 11.5

1.22 3.66 1.22 1000o h

xR s x Paτ γ = = = + +

2. ¿Qué caudal puede alcanzarse en un canal revestido de cemento de 1.2 m. de

anchura trazado con una pendiente de 4 m/km., si el .agua circula con una profundidad de 0.6 m.?. Aplicar los coeficientes de Kutter y Manning.

Solución Aplicando el coeficiente de Kutter con n=0.015, y sabiendo que el radio hidráulico vale:

1.2 0.60.3

0.6 1.2 0.6h

A xR m

p= = =

+ + podemos ver en la tabla para coeficientes de Kutter y valores

del radio hidráulico que s= 0.0004, luego: 0.00155 1 0.00155 1

23 230.0004 0.015 54

0.00155 0.015 0.001551 23 1 23

0.00040.3h

s nCn

sR

+ + + += = =

+ + + +

, por lo que

3(1.2 0.6)(54) (0.3)(0.0004) 0.426 /Q Sv SC Rs x m s= = = = .

hL

L

2222

D

W

Wsen2222

Aplicando el coeficiente de Manning se tiene: 2 21 1 33 32 2

1 1(1.2 0.6) (0.3) (0.0004) 0.430 /

0.015hQ Sv S R s x m sn

= = = =

3. Por el canal de hormigón mostrado en la figura circula un caudal de agua de 30 m3/s.

determinar la pendiente de la solera..

Solución Aplicaremos la relación:

2 13 2

1h

Qv R s

A n= = , de

donde: 2 2

42 3h

n Qs

A R= , por lo

que sustituyendo A y Rh por sus respectivas expresiones se llega a:

( )( )4

32 2 2 242 2 2 2 2 2 3

4 4 10 102 3 3 3 32

(0.013) (30) 3.6 2.0 1.6 2 20.000746 0.746 /

1.6 3.6(3.6)(2.0) 2

2h

n Q n Q n Q ps m Km

A R AAA p

+ + + += = = = = ≈

+ +

4. Una tubería de alcantarillado de revestimiento vitrificado ordinario se traza con una

pendiente de 0.0002 y conduce 2.3 m3/s. cuando la tubería está llena al 90%. ¿Qué diámetro tiene la tubería?.

Solución De las tablas obtenemos que n=0.015. Seguidamente, determinamos el radio hidráulico:

_________ ________

h

A círculo AOCE AOCDR

p ABC∩

− −= = , y donde el ángulo 2 viene dado

por: 0.4

arccos 36º52 '0.5

D

Dθ = = . Determinaremos ahora el área de los

sectores AOCE, AOCD y ABC respectivamente. _________

2 2

_________2

2 36º52'0.16

360º 41

2 (0.4 )(0.4 tan 36º52 ') 0.122

2 36º52 '2.498

360º

xAOCE D D

AOCD D D D

xABC D D D

π

π π∩

= =

= =

= − =

, por lo que el radio

4 m

3.6 m

1.6 m

2 m

A

B

CD

E

O

2

hidráulico queda:

2 2 2_________ ________20.16 0.12 0.7444 0.298

2.498 2.498h

D D Dcírculo AOCE AOCD D

R DD DABC

π

∩

− −− −= = = = .

Utilizamos ahora la fórmula de Kutter para el caudal, suponiendo que C=55 (valor estimado). Así, 22.3 (55)(0.744 ) (0.298 )(0.0002) 2.212hQ CA R s D D D m= → = → = . Con

este valor del diámetro determinamos el radio hidráulico, que queda: R=(0.298)(2.212)=0.659 m. Con este valor, nos vamos a la tabla 10 que nos da el coeficiente C y observamos que sale C=62. Utilizamos este nuevo valor para recalcular el diámetro y nos sale: 22.3 (62)(0.744 ) (0.298 )(0.0002) 2.109hQ CA R s D D D m= → = → = .

Nuevamente, repetimos la operación de calcular el radio hidráulico que sale ahora: R=(0.298)(2.109)=0.628 m., y con este valor volvemos a l tabla 10 y determinamos el valor de C que sale ahora C=61.4, de modo que consideramos el valor de D como correcto. Si empleamos la fórmula de Manning, con los datos anteriores tenemos:

2 21 123 32 21 1

2.3 (0.744 )(0.294 ) (0.0002) 2.2120.015hQ AR s D D D m

n= → = → = , valor que coincide

bastante aproximadamente con el anterior. 5. Por un canal rectangular de 6.1 m. de anchura, trazado con una pendiente de 0.0001

circula agua con un caudal de 6.8 m3/s. Determinar la profundidad del agua si n=0.0149.

Solución Aplicando la fórmula de Manning tenemos:

2 23 32 1 1

3 2 21 1 6.1 6.16.8 (6.1 ) (0.0001) 1.661

0.0149 6.1 2 6.1 2h

y yQ AR s y y

n y y

= → = → = + +

, y

aplicando el método de aproximaciones sucesivas se llega a: y=1.606 m. 6. Resolver el ejercicio anterior utilizando los coeficientes de descarga de la tabla 12.

y F 1 0,828

1,1 0,955 1,2 1,086 1,3 1,222 1,4 1,362 1,5 1,505 1,6 1,652 1,7 1,802 1,61 1,667 1,609 1,666 1,608 1,664 1,607 1,663 1,606 1,661

Solución Los factores de descarga utilizados en la fórmula de Manning pueden calcularse como sigue. El área de una sección recta cualquiera puede expresarse de la forma 2

1A F y= donde F1 es un factor adimensional e y es la profundidad del flujo. De manera análoga, el radio hidráulico se puede expresar de la forma: 2hR F y= siendo F2 otro factor adimensional. Entonces la fórmula de Manning se transforma en:

( )( ) 2122 3231 2 1 2 8 1

3 2

1 QnQ F y F y s K F F

n y s= → = = . Análogamente, 2

3 4hA F b R F b= = , luego

tenemos: 2

33 4 8 1

3 2'

QnK F F

b s= = . A partir de aquí, sustituyendo se llega a:

8 81 13 32 2

(6.1)(0.0149)' 0.0732

(6.1) (0.0001)

QnK

b s= = = , y utilizando la tabla 12 se obtiene que y/b=0.244,

de donde y=(0.244)(6.1)=1.488 m. 7. Un canal triangular con n=0.012 tal

como el mostrado en la figura transporta un caudal de 10 m3/s. Determinar la profundidad crítica, la velocidad crítica y la pendiente crítica del canal.

Solución

La energía específica viene dada por: 2 2

2

1

2 2s

v QE y y

g g A= + = + . Si derivamos respecto a la

profundidad tenemos: 32 2

3

11 0

's cdE AQ dA Q

dy g A dy g b= − = → = , puesto que la condición crítica

implica un maximal. Así pues, de la expresión para el área y de la figura se obtiene:

2( )(3 )2 3

2c c

c c

y yA y= = y ' 6 cb y= , por lo que:

3 32 2 (3 )101.178

' 9.8 6c c

cc

A yQy m

g b y= → = → = . De al

ecuación de continuidad: 2

102.4 /

(3)(1.178)cc

Qv m s

A= = = . Por último, de la expresión del

radio hidráulico y de la pendiente de la solera tenemos:

( )

2

2

2 23 3

c

c cc

h

nv nvs

R Ap

= =

, de

donde sustituyendo se llega a:

( )

22

2 23 32

(0.012)(2.4)0.00181

(3)(1.178)(2) 10(1.178)

cc

nvs

Ap

= = =

1

3

b

yc

8. Un canal rectangular de 3 m. de anchura transporta un caudal de 12 m3/s. Determinar la energía especifica mínima, el tipo de flujo que existe cuando la profundidad es de 0.6 m. y de 2.4 m., respectivamente, y la pendiente necesaria para mantener dichas profundidades si C=55.

Solución

De la ecuación 32 2

3

11 0

's cdE AQ dA Q

dy g A dy g b= − = → = y de 2( )(3 )

2 32

c cc c

y yA y= = tenemos que

( ) ( )2

22

3 33

123 1.178

9.8c

Qbq

y mg g

= = = = , por lo que: min

3 31.178 1.77

2 2s cE y m= = = .

En el caso de y=0.6 m., como es inferior el valor al de la profundidad crítica el flujo es supercrítico, en tanto que para y=2.4 m., al ser superior a la profundidad crítica es flujo es subcrítico.

De la ecuación: hQ CA R s= se tiene: 2 2

h

Q A Qs R

CA p CA = =

. Aplicando para cada caso

obtenemos:

2

2

(3)(0.6) 12( 0.6) 0.0343

3 (2 0.6) (55)(3)(0.6)

(3)(2.4) 12( 2.4) 0.0010

3 (2 2.4) (55)(3)(2.4)

y sx

y sx

= → = = +

= → = = +

9. Un depósito alimenta un canal rectangular de 4.5 m. de anchura y n = 0.015. A la

entrada la profundidad del agua en el depósito es 1.87 m. por encima de la solera del canal. El canal tiene 240 m. de longitud y un desnivel de 0.216 m. en dicha longitud. La profundidad detrás de un vertedero situado en el extremo de descarga del canal es de 1.24 m. Determinar la capacidad del canal suponiendo que la pérdida a la entrada

viene dada por la relación: 210.25 2L

vh g= .

Solución Utilizando la figura adjunta, de la ecuación de Bernouilli, entre los puntos A y 1, tomando como referencia el plano en 1, se tiene:

2 21 1

1 1 1

20 0 1.87 0.25 0 (1.87 )

2 2 0.75

v v gy v y

g g+ + − = + + → = − . Aplicando entonces la relación

para la longitud: 2 21 2

1 1 2 22 2Lv vz y h z yg g+ + − = + + donde 1 2

L o

z zh sL s

L

−= = , luego

2 21 2

1 2( ) ( )2 2ov vsL s L y y g g= + − + − de donde

2 21 1

1 22 2

o

v vy yg gL

s s

+ − + =

− y como

2__ 2 1

3 22

3

1c c m

m

nvQ v A A R s s

n R

= = → =

se llega a:

2 21 1

2 1

2_

23

2 2

o

m

v vy yg gL

nvs

R

+ − + =

−

. Para resolver

estas ecuaciones se utiliza el método de aproximaciones sucesivas, teniendo en cuenta la siguientes relaciones:

( )_

1 1 1 22 1 2

2 1 2

1 1; ;

2 2 2 2m

y v by byQ qb q yv v v v v R

y b y b y

= → = → = = + = + + +

10. Después de pasar por el aliviadero de una presa, un caudal de 253 m3/s atraviesan un cuenco de hormigón (n=0.013) plano. La velocidad del agua en la solera del aliviadero es de 12.6 m/S, y la anchura del cuenco es de 54 m. Estas condiciones provocan un resalto hidráulico de modo que la profundidad en el canal después del cuenco es de 3 m. Con objeto que el resalto se encuentre dentro del cuenco, ¿cuál es la longitud de dicho cuenco?, ¿cuánta energía se pierde desde el pie del aliviadero hasta la sección de aguas abajo del resalto?.

Solución Utilizando la figura adjunta, calcularemos, en primer lugar, la profundidad y2, de

y v1 y2 v2 vm Rm L q 1,5 2,41 1,24 2,91 2,66 0,850 114 3,61 1,6 2,06 1,24 2,65 2,36 0,867 354 3,29 1,55 2,24 1,24 2,80 2,52 0,859 195 3,47 1,56 2,20 1,24 2,77 2,49 0,860 218 3,44 1,57 2,17 1,24 2,75 2,46 0,862 245 3,41 1,565 2,19 1,24 2,76 2,47 0,861 231 3,42 1,567 2,18 1,24 2,75 2,47 0,862 237 3,42 1,568 2,18 1,24 2,75 2,46 0,862 239 3,41 1,5685 2,17 1,24 2,75 2,46 0,862 241 3,41 1,56825 2,18 1,24 2,75 2,46 0,862 240 3,41

acuerdo con la relación:

( )22

2 3 2 3 2 2 2

2431 54( ) 3 (3 ) 0.4052 9.8

qy y y y y y y m

g= + → = + → = . De aquí podemos obtener y1 a

partir de la ecuación: 11

24354 0.357

12.6

qy m

v= = = .

Aplicando entonces la relación para la longitud:

2 21 1

2 1

2_

23

2 2

o

m

v vy yg gL

nvs

R

+ − + =

−

por lo que se

tiene:

2 2

2

23

(12.6) (12.6)0.405 0.357(19.6) (19.6)20

(0.013)(11.86)0

(0.376)

ABL m

+ − + = =

−

, donde la velocidad y el

radio medios han sido calculados a partir de las relaciones

( )_

1 2 12

1 2

1 2

2431 1 1 5412.6 11.86 /2 2 2 0.405

1 1 (54)(0.357) (54)(0.405)0.376

2 2 2 2 54 2(0.357) 54 2(0.405)m

qv v v v m s

y

by byR m

b y b y

= + = + = + =

= + = + = + + + +

.

Para determinar la longitud de la sección BC aplicaremos la relación: 3BC rL c y= donde el coeficiente cr es un valor comprendido entre dos límites establecidos por la relación:

10AB

r

Lc

y= , de modo que para las dos zonas, y1 e y2 se tiene:

1 2( ) ( )

20 204.94 ; 5.60

(10)(0.405) (10)(0.357)r y r yc c= = = = , por lo que 4.94 5.60

5.272rc+= = , de

modo que sustituyendo en la relación de la longitud se llega a:

3 (5.27)(3) 15.8BC rL c y m= = = . Sumando ambas longitudes nos queda:

20.0 15.8 35.8ABCL m= + = . La pérdida de energía viene dada por:

22 2 2331

1 3

7

(12.6) (1.5)(9.8 10 )(243) 0.357 3

2 2 19.6 19.6

1.27 10 16895

L

vvh QH Q y y x

g g

x W CV

γ γ

= = + − + = + − + =

= =