Ejercicios Sobre Vectores en El Espacio 12-04-15

7/21/2019 Ejercicios Sobre Vectores en El Espacio 12-04-15

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1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSUniversidad del Per, Decana de Amrica

FACULTAD DE INGENIERA INDUSTRIAL

CURSO: LGEBRA LINEAL

PRCTICA DIRIGIDA

PROFESOR: VCTOR OSORIO VIDAL

________________________________________________________________________

Sistema coordenado tridimensional1.

Grafique los puntos )2,3,0(),2,0,1(),1,0,3( y )0,2,2( sobre un mismo sistema de

ejes coordenados.

2.

Cul de los puntos )3,2,4(),2,3,6( QP y )7,0,3(R est ms cerca al plano YZ?.

Qu punto esta sobre el planoXZ?.

3. Cules son las proyecciones del punto )5,3,2( en los planosXY, YZy XZ. Grafique una

caja rectangular en el origen con )5,3,2( como vrtice opuesto y con sus caras paralelas a

los ejes coordenados. Identifique todos los vrtices de la caja. Determine la diagonal de la

caja.

Vectores

1. Encuentre un vector a

representado por el segmento de recta dirigidoAB. Haga la grfica

deABy la representacin equivalente, con punto inicial en el origen de coordenadas.

a) )4,4(),3,1( BA b) )2,1(),1,4( BA

c) )1,3,2(),1,3,0( BA d) )3,2,1(),0,2,1( BA

2.

Calcular y graficar :

a) )3,2()5,2( b) )30,45()60,60cos( senTgsen c) )3,0,1()4,3,2( d) )2,3,0()2,0,1()1,3,2(

3. Averiguar si existen nmeros reales r,sque satisfagan la relacin: bsarc

(Interpretar Geomtricamente).

a) )3,2( a

, )2,(21b

, )4,3( c b) )2,1(a

, )4,2( b

, )3,3( c

4. Demostrar las siguientes propiedades :

a) cbcaba

b) 000

xrxr

c) xsxr

y srx 0


2/8

2

5. Qu condiciones sobre a

, b

y c

aseguran que dichos vectores sean los lados de un

tringulo?.

6. Cules de los siguientes pares de vectores son paralelos?. Cules tienen el mismo

sentido?a) )2,4,4,2(,)1,2,2,1( b) ),5,(,)1,3,2(

35

310

c) )9,3(,)6,4( d) )5,1,4(,)1,3,2(

7. Averiguar si son vrtices de un paralelogramo los siguientes puntos :

)2,2,6()1,0,4(,)1,5,5(,)2,7,3( y

8. Mostrar que si existen escalares r y s no ambos ceros tales que :

bsar a

y b

son paralelos.

9. Prubese que si cbd

y si b

es paralela a a

, entonces d

es paralela a a

si y slo si

c

es paralelo a a

. Interpretar grficamente.

10. Si a

y b

son vectores no paralelos tales que bnmanmc

)()1( y

bnmanmd

)12()( , hallar m y ntal que dc

3

11. Demostrar que baba

13. Averiguar si los siguientes pares de vectores son ortogonales :

a) )5,3,1( y )3,5,2( b) )0,1,1( y )0,2,3(

c) )1,4,3,1( y )7,3,1,2( d) )1,2,2,1( y )2,1,4,2(

14. Demostrar que ba

y ba

son ortogonales si y slo si ba

.

15. Dado vu

, vectores arbitrarios. Demostrar que los vectores:

vuuv

y vuuv

son ortogonales

16. Demostrar las siguientes propiedades :

a)222

2 bbaaba

, para todo nRba

,

b) 22 bababa

, para todo nRba

,

17. Los vectores a

y b

forman entre si un ngulo de 45 , el mdulo de a

es 3. Hallar el

mdulo de b

para que la diferencia de ba

sea perpendicular al vector a

.

18. En el mismo problema anterior hallar el mdulo de b

para que ba

forme con a

un

ngulo de 30 .


3/8

3

19. Sean a

, b

y c

, tres vectores diferentes del vector cero. Si se verifica que el

producto escalar caba

, entonces mostrar mediante un ejemplo que no

necesariamente es cb

(No se cumple la ley de cancelacin ).

20.| En cada uno de los siguientes casos expresar a

como la suma de vector paralelo a b

y

un vector ortogonal a b

.

a) )2,3,1(a

, )1,0,1(b

b) )3,2,1(a

, )1,0,0(b

c) )2,3(a

, )1,1( b

d) )1,1(a

, )4,3( b

21. En cada caso calcular acompb

y aproyb

:

a) )1,2(a

, )1,3( b

b) )1,3,1(a

, )3,2,3( b

c) )1,2,5( a

, )0,2,3(b

d) )1,1,1( a

, )3,2,1(b

22. Como consecuencia de la desigualdad de Schwarz probar que si es el ngulo entre los

vectores a

y b

entonces .1cos1

23. Demostrar las siguientes proposiciones :

a) Si b

y c

son vectores paralelos no nulos, entonces:

aproyaproy cb

b)

Si b

y c

estn en la misma direccin, entonces:

acompacomp cb

c) Si b

y c

estn direcciones opuestas, entonces:

acompacomp cb

24. En el tetraedro OPQR que se muestra en la figura, sean OPa

, OQb

, ORc

y sea

M el punto medio de RQ . Hallar PMen trminos de ba

, . y c

.

R

O

P

M

Q


4/8

4

25. Un barco es jalado por un remolcador con una fuerza de 300 kilos a lo largo del eje Y

negativo, mientras que otro remolcador empuja a lo largo del eje X negativo con una

fuerza de 400 kilos. Determine la magnitud y grafique la direccin de la fuerza

resultante.

26. Suponga que un avin vuela a una rapidez en el aire de 260 kilmetros por hora,

mientras que el viento soplan en direccin oeste a 100 kilmetros por hora. Indique en

una figura la direccin aproximada que debe seguir el avin para que el vuelo se dirija

hacia el sur. Cul ser la rapidez resultante?.

27. Una partcula se mueve en una recta que contiene al vector )3,2,1(a y una fuerza

representada por )1,4,3( b

acta sobre la partcula. Determinar el trabajoefectuado si la partcula se desplaza una distancia de 4 unidades.

Producto vectorial y producto mixto1. Diga cules de las siguientes expresiones tiene sentido. En los casos que no tenga sentido

explique el motivo. Si tiene sentido diga si se trata de un vector o un escalar.

a) )( cba

b) )( cba

c) )( cba

d) cba

)( e) )()( dcba

f) )()( dcba

2. Calcular el producto vectorial de ba

para los siguientes pares de vectores.

a) )4,3,2(a

y )1,0,3(b

b) )3,2,1( a

y )2,1,5( b

c) kia

32 y kjb

5 d) kjia

23 y kjib

32

3. Determine los vectores unitarios ortogonales a )1,1,1( y )4,4,0( .

4. Demostrar que baba

si y solo si a

y b

son ortogonales.

5. Si 0a b

. Qu puede decir acerca de a

y b

?

6. Demostrar que tres vectores a

, b

, c

3

V estn en una misma recta si y solo si

)()( acba

7. Encuentre el rea del paralelogramo con vrtices )0,0,0(P , )0,0,5(Q , )6,6,2(R y

)6,6,7(S .

8. Encuentre un vector ortogonal al plano que pasa por los puntosP, QyRsi:

a) )0,0,1(P , )0,2,0(Q y )3,0,0(R b) )1,0,1( P , )5,4,2(Q y )7,1,3(R

9. Si los puntos dados en el ejercicio 8, son los vrtices de un tringulo halle su rea en cada

caso.


5/8

5

10.

Calcular el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son los vectores kji

3 ,

kji

232 y kji

34 .

11.

Encuentre el volumen de un paraleleppedo determinado por los vectores )6,0,1(a

,

)8,3,2( b

y )6,5,8( c

.

12. Dados )1,1,1(P , )3,0,2(Q , )7,1,4(R y )2,1,3( S calcule el volumen del

paraleleppedo con lados adyacentesPQ,PRyPS.

13. Demostrar las siguientes propiedades del triple producto escalar:

a) 0)()( cbaba

b) cabcba

c) bcacba

d) abccba

14. Demostrar la siguiente identidad para el triple producto vectorial:

cbabcacba

)()()(

15. Usando la identidad del Prob. 14, demostrar las siguientes identidades:

a) 0)()()( bacaba

b) ))(()( abaabaaa

c) dcbacdbadcba

)()()()(

d) ))(())(()()( cbdadbcadcba

e) acbcaba

)()()(

f)

)()()( bacacbcba

16. Si ba

, y c

son vectores de 3R y run escalar, demostrar que

)()( cbacba

17. Si a

y b

son vectores de 3R , demostrar las siguientes propiedades:

a) 2222

)( bababa

b) senbaba

, donde es el ngulo formado por los vectores uy w.

18. Los de los lados adyacentes de un tringulo son los vectores a

y b

de 3R . Deducir que

el rea de dicho tringulo est dada por la frmula

baST

2

1

19. Dos de los lados adyacentes de un paralelogramo son los vectores a

y b

de 3R .

Deducir que el rea de dicho paralelogramo est dada por la frmula

baSP

20. Determine el rea del tringulo con vrtices P1(1,2, 3), P2(3, 1, 4) y P3(0, 4, 3).


6/8

6

21. Determine el rea del tringulo con vrtices P1, P2 y P3, donde

kjiPPkjiPP

22y32 3121

22. Determine el rea del paralelogramo con lados adyacentes kjia

23 y

kji

3b

23. Sea un paraleleppedo con un vrtice en el origen y aristas los vectores ba

, y c

de .

Deducir que el volumen de dicho paraleleppedo est dado por la frmula

)]([ cbaV

24. Sea un tetraedro con un vrtice en el origen y aristas los vectores ba

, y c

de 3R .

Deducir que el volumen de dicho tetraedro est dado por la frmula

)]([6

1cbaV

25. Determine el volumen del paraleleppedo con un vrtice en el origen y aristas

jia

2 , y kji

22b y kji

3c .

Rectas y Planos

1. De las siguientes proposiciones diga si es verdadera o falsa. Justifique su respuesta en cada

caso.

a) Dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas.

b) Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas.

c)

Dos planos paralelos a un tercero son paralelos.

d) Dos planos perpendiculares a un tercero son perpendiculares.

e) Dos rectas paralelas a un plano son paralelas.

f) Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas.

g) Dos planos paralelos a una recta son paralelos.

h) Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos.

i)

Dos planos se intersecan o son paralelos.

j) Dos rectas se intersecan o son paralelas.

k) Un plano y una recta se intersecan o son paralelos.

2. Hallar la ecuacin de la recta L que pasa por los puntos )1,1,1(P y ).3,2,1( Q

Decir cules de los siguientes puntos pertenecen a L :

a) )7,3,3( , b) )3,,2(21 , c) )1,3,3(

3. Hallar la ecuacin vectorial y paramtrica de las rectas que pasan por los puntos dados a

continuacin :


7/8

7

a) )0,0,0( y )1,1,1( b) )0,1,0( y )1,0,0(

c) )5,2,3( y )3,1,2( d) )3,1,1( y )1,3,4(

4. En los siguientes ejercicios, determine si las rectas1

L y2

L son paralelas, oblicuas, o se

intersecan. Si se intersecan, encuentre el punto de interseccin

a)3

1

4

5

2

4:1

zyxL y

33

1

1

2:2

zyx

L

b)4

1

12

1:1

zyxL y

3

2

2

2

1:2

zyxL

c)

tz

ty

tx

3

91

6

:1L y

sz

sy

sx

34

21

:2L

d)

tz

ty

tx

3

2

1

:1

L y

sz

sy

sx

4

21

2

:2

L

19.Hallar la ecuacin del plano que pasa por los puntos dados y escribir su ecuacin en la

forma paramtrica:

a) )0,1,1( , )1,0,2( y )1,6,1( b) )1,1,1( , )2,0,3( y )4,1,3(

c) )5,3,2( , )0,2,1( y )0,0,0( d) )0,1,1( , )4,1,1( y )2,4,3(

20. Hallar las ecuaciones de cada uno de los siguientes planos:

a)

que pasa por el origen cuya normal es )2,1,3(

b)

pasa por el punto )0,1,1( con normal paralela al eje Y

c)

pasa por el punto )3,1,2( con normal paralela a la recta que pasa por los puntos

)2,1,3( y )1,5,1(

d) que contiene a la recta

3

31

2

1

zy

x

21. Demuestre que el lugar geomtrico de todos los puntos equidistantes de un par de puntos

distintos, es un plano.

22. Hallar la interseccin de la recta y el plano ( de ser posible ) en los siguientes casos:

a) )0,3,1()1,0,1( tL ; )1,1,2()1,1,1()2,3,0( srP

b) L pasa por los puntos )1,0,2( y )1,2;3( ; P pasa por los puntos )5,0,1( , )1,2,1(

y ).2,4,3(

c)


8/8

8

2

3

12

:

tz

y

tx

L

12

4

3

:

srz

ry

srx

P

23.

Una recta es paralela al vector )1,0,2(a

y pasa por el punto ).1,1,0( P Otra recta

pasa por )2,1,1(Q y es paralela al vector )2,0,5(b

. Averiguar si las rectas

anteriores se intersecan.

24. Determinar si las siguientes rectas son coincidentes

1

3

3

2

1

1

zyx y

3

4

9

1

3

2 zyx

25. Averiguar si la recta5

41

2

1

zy

xesta contenida en el plano 12 zyx .

26. Hallar la interseccin de los planos

a) 1,0,1 zyxzyxzyx

b) 29,0,1 zyxzyxzyx

c) 0,0,2523 zyxzyxzyx

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