1084 Cálculo diferencial T13) Siftx) = ~,demuestra queft-x) = _(1 ) I1-x /x '

14) Siftx) = tan x, demuestra queftx) =ftx+ 3n)

lS) Si ftx) = cos ~, demuestra que / ( x + ~) = -ftx)

r-;; /(x+h)- /(x) 116) Demuestraqueparaftx) = vx-2, =( ) ( )h / x+h + / x

17) Si h(x) = ¡;z-=-¡ ,r(x) = ~,demuestra que h ( n+;) +r (n-;) = 2n

. s-l /(m)- /(n) m-n18) SlftS) = -, demuestra que [ ( )][ ( )] = -s+l 1+ / m/n l+mn

. Verifica tus respuestas en la sección de soluciones que se encuentra alfinal del libro.

i1

Dominio, contradominio y rango de una función I

.Dominio (Df) y contradominio (Cf) I

Dada una función f A ~ B, se dice que el conjunto A es el dominio y B el contradominio o codominiode f. En términos del plano cartesiano el dominio corresponde al conjunto formado por los valores po-sibles para "X" mientras que el contradominio corresponde a los valores posibles para "Y".

Rango (Rf)

Son los valores del contradominio para los cuales y = ftx), siendo ftx) la imagen de "x". I1

I

Df Cfo --L-.. @

E.~ 1": c, /

'" .-,. ~ ,-¿Cuál es el dominio de la funci6n ftx) = 3x2 - Sx - 6? '"

Solución: Lafunción es polinomial, "x" puede tomar cualquier valor, por lo tanto el dominio son todos los nú-meros reales, es decir x e R o dicho de otra/orma x e (-00,00) . I

IJ.-(

Determina el dominio de lafunci6nftx) = ~x+S

Solución: Lafunción es racional, el denominador debe ser distinto de cero, ya que la división entre cero no estádefinida, por lo tanto, se busca el valor para el cual x + S = O obteniendo x =-S,por lo tanto el dominio

es:D¡= {xeRlx*-S} o bien x e (-oo,-S)u(-S,oo)

~

Relaciones y funciones 1085l.. ".

¿Cuál es el dominio de lafunciónft.x) = 2 x?x -5x-6

, I 1 Solución: Al factorizar el denominador se obtiene: ft.x) = ( )x( ) , el denominador se hace cero para¡ r x-6 x+1

x = 6 o x = - 1, DI= {x e R I x ~ -l,x ~ 6} o bien x e (-00,-1) u(-1,6) u (6,00)

l .. . " . '. " (,-" ~c C .

Determina el dominio de lafunciónft.x) = J"i-::s ' ,.~, ..'

Solución: El radicando debe ser mayor o igual a cero es decir x - 5 ~ O de donde x ~ 5, por lo tantoDI= {xeRlx~5} obienxe [5,00)

- ,~ ,Encuentra el dominio de lafunciónft.x) = R="i6 t, - ~

I Solución: Se plantea la desigualdad x2 - 16 ~ O, al resolverla se obtiene que el dominio es el conjuntoDI={xeRlx~-4ox~4} o bien x e (-oo,-4]u[4,00)

,.i Determina el dominio de la funciónft.x) = log (2x - 3)

~' Solución: Para determinar el dominio de esta función se debe tomar en cuenta que si 10gb N = a, entonces N > O,por lo tanto, se plantea la desigualdad y se resuelve:

32x-3>0-72x>3-7x> -2

Entonces, el dominio es el conjunto DI= {x e R IX>~} o bien x e (~,oo )

.~row~ . ,~-~, '

, ( ) 6x+1 Encuentra el rango de la función f ~ = ~

Solución: Se despeja x:

6x+1 ( )y= - -7 Y 1+3x =6x+1 -+ y+3xy=6x+ 11+3x

. 1-y3xy - 6x = 1 - y -+ 3x(y - 2) = 1 - y -+ x =( )3 y-2

El denominador se hace cero cuando y = 2, por lo tanto el rango es el conjunto:

RI={yeRly~2} o bien, y e (-oo,2)u(2,00)

.-1086 Cálculo diferencial

-.;~. ' I

Determina el rango de la junci6n y = ..{9-::-;; :

Solución: y ~ O ,por que la raíz es positiva o cero,' se despeja "x":

y=..{9-::-;; -+f=9-r-+r=9-f-+ x=~Se plantea la desigualdad 9- y2 ~O ,al resolverla se obtiene que y e [-3,3] ,pero y ~O ,por lo tantoel rango es el conjunto R¡={yeRIOSyS3} o bien ye[O,3].

--Ejercicio 3 P . .

Determina el dominio de las siguientesjunciones:1) ft.x) = r - 4 16) ft.x) = .rxz-:-z5

2) ft.x) = 3x3 - 2

3 Ir ) x 17) ft.x) = -./X2 -5x-6)J\x =-x+3 18)ft.x) = ~x-4 ~

4)ft.x) = ~ 19)ft.x) = ..,9+x2

3 20) ft.x) = ~5) ft.x) = ~

x -16 21) ft.x) = ~x-36) ft.x) = ~

22)ft. ) - ~x -5x x - r-::;-'lix-21

7) ft.x) = xx2-7x+10 23)ft.x) = ~

'li3-xx-18) ft.x) = ~ 24)ft. ) - x25-x x - ,~'IX3 +8x9) ft.x) = -¡i!};x2 + 1 25) ft.x) = ~

3 x-3x-10) ft.x) = 2 rt:-x2x +10x 26)ft.x) = V~ ,;"

11)ft.x) = ~ ":11'"'x -x 27)ft.x) = log(3x+6)

12)ft.x)=.,{i+i 28)ft.x) = ln(5-2x)

13) ft.x) = .J"X=-6 (1)29) ft.x) = log -14) ft.x) = .¡:¡=-;; x

15)ft.x)=.Ji2~ 30)ft.x) = log(3+2x-x2)

Determina el rango de las siguientesjunciones:

10x-1 r:--;¡31) ft.x) = r + 1 35) ft.x) = - 39) Y = ..,4-x-

3-5x

2x-3 132) ft.x) = r - 4 36) ft.x) = - 40) Y = ~4x+1 x +1

~ ~-1 33)ft.x)=9-r 37)y= ..,x2+1 41)y= -x+3

34)ft.x)=3x-X2 38)y=- ~ 42)y=ix-41

_8 Comprueba tus resultados en la sección de soluciones que se encuentra alfinal del libro.

Soluciones de cálculo diferencial 1487

l I:Capi¡;;I¡;j~.l 9) (-oo,oo)={xe R} Ejercicio 1 10) (-oo,-S)u(-S,O)u(O,oo)={xe Rlx~-s,x~o}

1) Función 6) Relación 11) FunciónI 1" R '.. 7" F ., 12" R '.' 11) (-(X),-l)U(-l,O)U(O,l)U(l,oo)= {xeR lx~-l,x~O,X~l }I e,aClon I unclon " e,aClonc 3) Función 8) Relación 13) Función 12) [-l,oo)={x?:-l}

4) Relación 9) Función 14) Función 13) [6,oo)={x~6}I 5) Función 10) Relación lS) Relación 14) (-00, 2]={x~ 2}

i Ejercicio lIS lS) (-oo,4]={x~ 4}

1) f( -2)= -2,f(3)=lS,f(0)=-3 16) (-oo,-S]u[S,oo)={xe RI x~-Sox?:S}

f(a)=a2-Sa+6, 17) (-OO,-1]U[6,oo)={xe RI x~-lox?:6}1) f(a + b) = ~ + lab + b2 - Sa - Sb + 6 [ ] { . }f(x+h) =3xZ+ 6hx+3h2+4x+4h-2 18) -6,6 = xe RI-6~x~6

3) fÍ\:+h)-¡(x) = 6x+3h+4 19) (-oo,oo)={xeR}h 20) (-oo,oo)={xe R}

4) 1;)=-f,~-1)=00, 21) [S,oo)={xeRlx?:s}

22) (2,00)={xe Rlx>l}4h

f(x+h)-f(x)= (lx+2h+1X2x+1) 23) (-oo,3)={xeRlx<3}

5) /(5)=3,/(4)=0,/(6)= fiii=2/i, 24) (-oo,-2)U(-2,oo)={~eRlx~-2}

f(3) =No está definida 2S) (-oo,-4]U(3,oo)={xe Rlx~-4ox>3}

6) f(x+h)= Jx2+2xh+h2-3 26) [l.!..)={ xe RI1~X<!..}i ¡(x + h)- ¡(x) - 2x+ h 2 2

~ h- J(;:h)1-=-;+~ 27) (-2,oo)={xeRlx>-2}

7. ¡(x+b)-¡(x) = - 1 - 28) (-oo,!.. )={ xeRlx<!..}7 b (x+b+1Xx+1) 2 2

f(x+h)-¡(x)- 1 29) (O,oo)={xeRlx>O} -.8) - -h J1-(x+h)+Ji=-; 30) (-l,3)={xe RI-1<x<3}

4 S Ixl 31) [l,oo)={ye RI y?:l}9) ftl)= -,/(0)= -,/(x+5)=-

3 2 x+7 32) [-4,oo)={ye RI y?:-4}

10) /(-1)=1, ~~)= -7+2x2_3X 33) (-OO,9]={yeRly~9}

J Las demostraciones de los ejercicios 11),12) ,13),14), lS), 34) (-oo,.! ]={ fe RI y~.!}i 16),17) Y 18), se dejan al estudiante. 4 4

Ejercicio 3 3S) (-OO,-2)U(-2,oo)={yeRly~-2}

1) (-oo,oo)={xeR} ( 1) (1 ) { 1}( ) { } 36) -00,- u -,00 = ye Rly~-2) -00,00 = xe R 2 2 2

3) (-00,-3)U(-3,00)={xe Rlx~-3} 37) [l,oo)={ye RI y?:l}

4) (-oo,S)u(S,oo)={xe Rlx~s} 38) (-oo,O]={ye Rly~o}5) (-00,-4)U(-4,4)U(4,oo)={xe Rlx~-4,x~4} 39) [0,2]={ye RI0~y~2} -- .

6) (-oo,O)u(O,S)u(S,oo)={xe Rlx~o,x~s} 40) (O,l]={ye Rlo<y~l} .-

7) (-00, 1)u(2, S)u (S, 00)= {xe Rlx~2,x~S} 41) [O,l)U(l,oo)={xe Rlo~y<loY>l} '1 -8) (-oo,-S)u(-S,S)u(S,oo)={xe Rlx~-s,x~S} 42) [O,oo)={ye RI y?:O} -

t.