Ejercicios Resueltos Interpolacion Polinomial
Transcript of Ejercicios Resueltos Interpolacion Polinomial
1
I.T.I. GESTION CALCULO NUMERICOBOLETIN CON LOS EJERCICIOS RESUELTOS CURSO 2004-05
3. Interpolacion polinomial
1. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funcion f de la que conocemos que: f(-1)=1; f(0)=-1 ; f(2)=2 y f(3)=2.
Solucion.
En primer lugar los polinomios de Lagrange:
P0(x) =(x− 0)(x− 2)(x− 3)
(−1− 0)(−1− 2)(−1− 3)=
(x)(x− 2)(x− 3)−12
P1(x) =(x + 1)(x− 2)(x− 3)(0 + 1)(0− 2)(0− 3)
=(x + 1)(x− 2)(x− 3)
6
P2(x) =(x + 1)(x− 0)(x− 3)(2 + 1)(2− 0)(2− 3)
=(x + 1)(x)(x− 3)
−6
P3(x) =(x + 1)(x− 0)(x− 2)(3− 0)(3 + 1)(3− 2)
=(x + 1)(x)(x− 2)
12Ahora el polinomio interpolador:
P (x) = 1(x)(x− 2)(x− 3)
−12− 1
(x + 1)(x− 2)(x− 3)6
+ 2(x + 1)(x)(x− 3)
−6+ 2
(x + 1)(x)(x− 2)12
P (x) =−112
(5x3 − 19x2 + 12).
2. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para la funcion f(x) = log(x) con el soporte s ={1, 2, 4, 6, 8}. Determinar la funcion del error y acotar el error cometido al usar P(3) para aproximarel valor de log(3).
Solucion.
Sabido que log(1) = 0; log(2) = 0.633147; log(4) = 2 log(2) = 1.386294; log(6) = 1.791759 y quelog(8) = 3 log(2) = 2.079441, el polinomio interpolador es:
P (x) = −0.001768x4 + 0.038892x3 − 0.325901x2 + 1.425121x− 1.136444.
Para acotar la funcion error necesitamos la derivada cuarta de la funcion: f4(x) = 24x5 .
En el intervalo I = [1, 8], puesto que es una funcion decreciente en el, ofrecera su valor maximo en x=1 luego: M= 24.
Por tanto la funcion del error sera:
ε ≤ 244!|(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 6)| = |(x− 1)(x− 2)(x− 4)(x− 6)|.
Para aproximar log(3) uso:
P (3) = −0.00176834 + 0.03889233 − 0.32590132 + 1.4251213− 1.136444 = 1.112814.
con lo que el error:ε ≤ |(3− 1)(3− 2)(3− 4)(3− 6)| = 6.
Realmente la acotacion resulta excesiva puesto que el valor “exacto” es log(3) = 1.098612 y el “errorexacto:” 0.014202.
2
3. Obtener el polinomio interpolador de Lagrange para cierta funcion f(x) de la que conocemos: f(-2)=0;f(0)=1; f(1)=-1. Idem por Newton, Diferencias Divididas. Escribirlo en la forma a0 + a1x + a2x
2
para comprobar que son identicos.
Solucion.
Por Lagrange:
P0(x) =(x)(x− 1)
6
P1(x) =(x + 2)(x− 1)
−2
P2(x) =(x)(x + 2)
3Por lo tanto:
P (x) =−16
(5x2 + 7x− 6) = −0.833333x2 − 1.166666x + 1.
Por Newton:
xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2]−2 0 0.5 −0.8333330 1 −21 −1
Con ello:
P (x) = 0 + 0.5(x + 2)− 0.833333(x + 2)x = −0.833333x2 − 1.166666x + 1.
4. Disponemos de los siguientes datos sacados de un polinomio de grado g ≤ 5. ¿Podrıamos averiguarde que grado es?
xi -2 -1 0 1 2 3yi -5 1 1 1 7 25
Solucion.
Lo resolveremos por Diferencias Divididas.
xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4] f [xi, · · · , xi+5]−2 −5 6 −3 1 0 0−1 1 0 0 1 00 1 0 3 11 1 6 62 7 183 25
Con estos datos:
P (x) = −5 + 6(x + 2)− 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x + 0(x + 2)(x + 1)x(x− 1) = x3 − x + 1.
Al anularse las diferencias de cuarto orden se deduce que se trata de un polinomio de tercer grado,comofinalmente obtenemos.
3
5. Sabemos que P4(x) = −524 x4 + 14
24x3 + 2924x2 − 62
24x es el polinomio interpolador de cierta funcion paralos datos:
xi -1 0 1 2 3yi 3 0 -1 1 2
Lo hemos calculado por Diferencias Divididas, compruebalo y determina el polinomio interpoladorresultante si ampliamos los datos con el punto A = (4, 3).
Solucion.
Comenzaremos por las Diferencias Divididas para el soporte inicial:
xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4]−1 3 −3 1 0.166666 −0.2083330 0 −1 1.5 0.6666661 −1 2 −0.52 1 13 2
Y de aquı, el polinomio interpolador es:
P4(x) =−524
x4 +1424
x3 +2924
x2 − 6224
x = −0.2083333x4 + 0.583333x3 + 1.208333x2 − 2.583333x.
Ahora ampliamos la tabla de Diferencias Divididas:
xi f(xi) f [xi, xi+1] f [xi, xi+1, xi+2] f [xi, · · · , xi+3] f [xi, · · · , xi+4] f [xi, · · · , xi+5]−1 3 −3 1 0.166666 −0.208333 0.8333330 0 −1 1.5 0.666666 0.2083331 −1 2 −0.5 0.1666662 1 13 2
Obtenemos el termino que hay que anadir: 0.833333(x + 1)x(x − 1)(x − 2)(x − 3) y que sumaremosal polinomio anterior:
P5(x) = −0.2083333x4 +0.583333x3 +1.208333x2−2.583333x+0.833333(x+1)x(x−1)(x−2)(x−3)
P5(x) = 0.833333x5 − 0.625x4 + x3 + 1.625x2 − 3.083333x.
3. Integracion numerica
6. Calcular el valor de∫ π
0
√1 + cos2(x)dx usando la formula de Newton-Cotes con el soporte S =
{0, π2 , π}.
Solucion.
El soporte es equiespaciado de paso h = π2 , los coeficientes seran:A0 = A2 = π
6 y A1 = 2π3 y con ello,∫ π
0
√1 + cos2(x)dx ' π
6f(x0) +
2π
3f(x1) +
π
6f(x2) =
=π
6
√2 +
2π
3+
π
6
√2 = (2 +
√2)
π
3= 1.138711π
y si tomamos π = 3.141592;∫ π
0
√1 + cos2(x)dx ' 3.575355
4
7. La funcion f(x) = e2x+1 es continua en [−1.1]. Hallar el valor exacto de∫ 1
−1f(x)dx y comparar el
resultado con el obtenido al usar la formula de Newton-Cotes en el soporte S = {−1, 0, 1}. Determinauna cota del error cometido.
Solucion.
Integrando directamente tenemos∫ 1
−1
e2x+1dx =12
∫ 1
−1
e2x+12dx =e3 − e−1
2= 9.858829
Como se trata de un soporte equiespaciado de paso h = 1, los coeficientes seran:A0 = A2 = 13 y
A1 = 43 y con ello, ∫ 1
−1
e2x+1dx ' 10.442181
Comparando, el error es ε = |10.442181− 9.858829| = 0.583352
Newton-Cotes con el soporte dado n = 2 ⇒ es Simpson, por lo tanto lo podemos hacer directamente∫ 1
−1
e2x+1dx ' 13e−1 +
43e0 +
13e1 = 10.442181
Como es la formula de Simpson, acotamos el error, previa acotacion de la derivada cuarta de la funcionf4(x) = 16e2x+1 como se aprecia en la evolucion de las derivadas la siguiente serıa positiva en sudominio lo que hace que podamos asegurar que la f4 es creciente en [−1, 1] y M = 16e3 < 16(33) = 432
ε <(1 + 1)5
2880432 = 4.8
que como se aprecia es una cota muy mala.
8. Calcular el valor exacto de∫ π
0sen(x)dx y comparar el resultado con el obtenido al usar la formula
compuesta de los Trapecios para n=8. Determina una cota del error cometido.
Solucion.
Integrando directamente tenemos∫ π
0
sen(x)dx = −cos(π) + cos(0) = −1 + 1 = 2
Para aplicar la formula del trapecio para n = 8 el soporte es
S = {0,π
8,2π
8,3π
8,4π
8,5π
8,6π
8,7π
8, π}
por lo tanto:∫ π
0sen(x)dx ' π−0
2(8) [sen(0) + 2{sen(π8 ) + sen( 2π
8 ) + sen( 3π8 ) + sen( 4π
8 ) + sen( 5π8 ) +
sen(6π8 )}+ sen(π)] = π
8 [sen( 2π8 )+ sen( 3π
8 )+ sen( 4π8 )+ sen( 5π
8 )+ sen(6π8 )] = π
8 [2sen(π8 )+2sen(π
4 )+2sen( 3π
8 ) + sen(π2 ] = 1.974232
Para llegar al resultado anterior hemos considerado lo siguiente:
sen( 7π8 ) = sen(π
8 ) = sen(π42 ) =
√1−
√2
22
sen( 6π8 ) = sen(π
4 ) =√
22
sen( 5π8 ) = sen( 3π
8 ) = cos(π8 ) =
√1+
√2
22
Cota del error, ε < (π−0)3
12(82)M2la derivada segunda de la funcion es f2 = −sen(x) por lo tanto M2 = 1
y consecuentemente,
ε <π3
12(82)1<
3.23
768=
32.77768
= 0.0426..
5
9. Determinar el numero mınimo de partes necesarias para calcular∫ 1
0ex2
dx por la formula compuestade los Trapecios con 4 cifras decimales exactas. Calcular el valor de dicha integral en el caso quenecesitemos que el error sea menor que una centesima.
Solucion.
Sabemos que ε < (1−0)3
12(n2)M2la derivada segunda de la funcion es f2 = (4x2 + 2)ex2
funcion crecienteen el intervalo de integracion, por lo tanto M2 = 6e < 18 y consecuentemente,
0.0001 > 1812(n2) ⇒ n2 > 18
12(0.0001) = 15000 ⇒ n > 122.47..
Luego tendremos que tomar n = 123; si apuramos mas en las cotas, por ejemplo tomando e = 2.8,mejoramos algo la particion.
Ahora hacemos, 0.01 > 6(2.8)12(n2) ⇒ n2 > 6(2.8
0.02 = 140 ⇒ n > 11.8.. tenemos que tomar n = 12
S = {0,112
,212
,312
,412
,512
,612
,712
,812
,912
,1012
,1112
, 1}
por lo tanto:∫ 1
0ex2
dx ' 1−02(12) [e
0 +2[e112 +e
212 +e
312 +e
412 +e
512 +e
612 +e
712 +e
812 +e
912 +e
1012 +]+e1] =
1.465794..
El valor ”exacto” es 1.462652 y el ”error exacto” 0.003...
10. Usar el metodo de Simpson para calcular el valor de∫ 1
0x5dx con error menor que una milesima.
Solucion.
Lo primero es averiguar la particion que necesitamos para cumplir el enunciado. f4 = 120x por lotanto es facil deducir que M4 = 120 0.001 > 120
180(n4) ⇒ n4 > 120180(0.001) = 666.6... ⇒ n > 5.08...
Bastara tomar n como el primer numero natural par posterior a 5.08.. es decir n = 6.
Aplicando Simpson con la particion obtenida:
∫ 1
0
x5dx ' 1− 03(6)
[E + 4I + 2P ]
Particion = {0, 16 , 2
6 , 36 , 4
6 , 56 , 1}
E = 0 + 1 = 1; I = ( 16 )5 + ( 3
6 )5 + ( 56 )5 = 0.433256..; P = (2
6 )5 + ( 46 )5 = 0.135802..
∫ 1
0
x5dx ' 118
[1 + 4(0.433256) + 2(0.135802)] = 0.1669238..
11. Calcular el valor de∫ 2
1x8log(x)dx con error menor que 5(10−2).
Solucion.
Las derivadas de la funcion son continuas en todo su dominio, la segunda es f2 = x6(15 + 56log(x))y la cuarta, f4 = x4(1066 + 1680log(x)); ambas crecientes en [1, 2].
Si usamos el metodo de los Trapecios:
M2 = f2(2) = 26(15 + 56log(2) = 3444.24 ; 0.05 > 3444.2412(n2) ⇒ n2 > 3444.24
12(0.05) ⇒ n > 75.7... debo tomarn = 76.
Si usamos el metodo de Simpson:
M4 = f4(2) = 24(1066 + 1680log(2)) = 35687.8.. ; 0.05 > 35687.8180(n4) ⇒ n4 > 35687.8
180(0.05) ⇒ n > 7.93... debotomar n = 8.
A la vista del resultado, lo haremos por Simpson.
6
xi 1 1.125 1.250 1.375 12.5 1.625 1.750 1.875 2yi 0 0.302206 1.330039 4.068815 10.391627 23.606041 49.225977 96.026375 177.445668
∫ 2
1
x8 log(x)dx ' 124
[E + I + 2P ] = 33.13978
12. Sabemos que∫∞2
e−3xdx = 0.0008 con todas sus cifras decimales exactas, ¿podemos afirmar que∫∞0
e−3xdx =∫ 2
0e−3xdx con error menor que una milesima?
Con los datos conocidos y aplicando Simpson, calcular∫∞0
e−3xdx con una cifra decimal exacta,determinando previamente la particion del intervalo de integracion que lo garantiza.
Solucion.
En primer lugar,∫∞0
e−3xdx =∫ 2
0e−3xdx +
∫∞2
e−3xdx ⇒∫∞0
e−3xdx−∫ 2
0e−3xdx =
∫∞2
e−3xdx = 0.0008 < 0.001
luego como el error es menor que una milesima, podemos usar∫ 2
0e−3xdx para aproximar el valor de∫∞
0e−3xdx sin que repercuta sobre el error que necesitamos: ε < 0.001.
Ahora calcularemos∫∞0
e−3xdx en las condiciones solicitadas,aproximada por∫ 2
0e−3xdx
f4 = 81e3x por lo que su valor maximo, en el intervalo de integracion, lo dara en el extremo inferior,
M4 = 81.
Con este dato averiguaremos la particion necesaria,
0.1 > 25
180n4 81 ⇒ n4 > 25
1800.181 = 2432 ⇒n2 > 223 ⇒ n > 3.4 debemos tomar n = 4.
xi 0 0.5 1 1.5 2yi 1 e
−32 e−3 e
−92 e−6
y con estos datos:
∫ 2
0
e−3xdx ' 212
[E + I + 2P ] = 0.339835
Podemos concluir que∫ 2
0e−3xdx = 0.3 con todas sus cifras exactas.