Ejercicios Resueltos Calculo Vectorial

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III-415 Cálculo Diferencial e Integral III Arturo Profesor: Arturo Vega Unidad: Cálculo Vectorial Ejercicios Resueltos 1. Sea Calcule a lo largo de la recta que va por el punto al punto Solución: Primero parametrizamos el segmento de recta: El ejercicio será resuelto mediante notación diferencial

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Ejercicios Resueltos para el calculo Vectorial

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III-415 Cálculo Diferencial e Integral III

Arturo Profesor: Arturo Vega

Unidad: Cálculo Vectorial

Ejercicios Resueltos

1. Sea

Calcule a lo largo de la recta que va por el punto al punto

Solución:

Primero parametrizamos el segmento de recta:

El ejercicio será resuelto mediante notación diferencial

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2. Sea

Verifique que es conservativo

Solución:

Sea

Calculamos las derivadas de primer orden

Como se verifica que el campo es conservativo.

3. Determine si el campo vectorial es conservativo; si lo es

calcule una función potencial.

Solución:

Tomamos . Calculamos

Por lo tanto, es conservativo.

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Función potencial

Integramos con respecto a , respectivamente

Así concluimos que

4. Evaluar

Solución:

Vector Normal

Primero calculamos

La proyección sobre el plano es

Es decir la región es la comprendida entre los círculos y .

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Utilizamos coordenadas polares:

5. Calcule

Donde . Sabiendo que es la frontera del sólido , el cuál es

la región del espacio encerrada por el paraboloide y el plano de

ecuación

Solución:

está formado por dos superficies: y . Donde la primera es la superficie

parabólica y la segunda el plano; así

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Para la ,

Para está orientada hacia abajo, por lo que podemos tomar como vector normal unitario

a , obteniendo

Así

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6. Considere la integral

Dónde es la curva que se muestra en la figura

a) Verifique que la integral no depende de la trayectoria dada.

b) Calcule la integral planteada, sin usar el teorema fundamental de las integrales de

línea.

Solución:

El probar que la integral no depende de la trayectoria dada es equivalente a probar que el

campo vectorial es conservativo así

Si es el campo vectorial y tomamos como

, entonces

Como el rotacional del campo da como resultado el vector entonces se verifica que el

campo vectorial es conservativo y por consiguiente es independiente del camino.

Es por esto que podemos usar otra trayectoria que inicie en el punto y termine en el

punto (2,0,3). Es claro que lo más conveniente es que dicha trayectoria sea un segmento de

recta.

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Por lo tanto,

Además

Entonces

7. Calcule

Siendo y la superficie orientada en el

primer octante con un vector normal superior.

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Solución:

Primero

Además la proyección en el plano de la superficie es

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8. Sea el sólido limitado por el cilindro , en el plano y el plano

como se muestra en la figura

Calcular

Siendo y

corresponden a las superficies que limitan al sólido .

Solución:

Sea entonces

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Por otra parte la proyección en el plano del sólido es

Entonces

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9. Considere el campo vectorial definido por

a) Verifique que es conservativo.

b) Obtenga una función potencial para el campo .

c) Suponiendo que es un campo de fuerza, calcular el trabajo realizado por a

lo largo de la curva desde hasta

Solución:

Si , entonces

Así se verifica que el campo es conservativo.

Ahora buscamos la función potencial, estos es una función tal que .

Para esto debe cumplir

Integramos con respecto a , respectivamente

Así

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Por último para calcular el trabajo realizado por calculamos

Donde es una trayectoria con punto inicial y final los puntos y

respectivamente.

Entonces