Ejercicios Para El Examen Final de Estadística

8/19/2019 Ejercicios Para El Examen Final de Estadística

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PRUEBA DE HIPÓTESIS

1. Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen una media de 1800

lb y una desviación típica de 100 lb. Se desea comprobar si un nuevo proceso de fabricación

aumenta dicha tensión media. Para ello se toma una muestra de 50 cables y se encuentra que

su tensión media de ruptura es 1850 lb. ¿Se puede afirmar la mejoría del nuevo proceso con α

= 0.01? Sol. Rechaza Ho, Z = 3.55 y Z crítico = 2.33.

2. La altura media de 50 estudiantes varones con aptitudes superiores a la normal en actividades

deportivas universitarias es 68.2 in con desviación típica de 2.5 in, mientras que 50 poco

adictos al deporte dan una media de 67.5 in con desviación típica de 2.8 in. Contrastar la

hipótesis de que los estudiantes que practican deportes son más altos que los demás.

Sol. Z = 1.32, Z crítico = 1.645, No rechazar Ho.

3. Un sondeo de 300 votantes del distrito A y 200 del B dan 56% y 48% respectivamente de votos

a favor de un cierto candidato. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencias en

las preferencias al candidato. Sol. Z = 1.75, Z crítico = 1.96, no se rechaza Ho.

4. A tire manufacturer claims that the variance of the diameters in a certain tire model is 8.6. A

random sample of ten tires has a variance of 4.3. At α = 0.01, is there enough evidence to

reject the manufacturer’s claim? Assume the population is normally distributed.

Sol. No se rechaza Ho, , df = 9, valor inferior = 1.734, límite superior = 23.589.


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INTERVALOS DE CONFIANZA/ REGLA EMPÍRICA

1) Los puntajes de los estudiantes del último año que realizan la sección verbal del examen SAT

en un año en particular con μ = 490 y σ = 100. La distribución de las notas del SAT tiene una

forma de campana.

A. ¿Qué porcentaje tuvo una nota entre 390 y 590 en el test? Sol. 68%.

B. Una Universidad únicamente admite estudiantes que se encuentran dentro del 16% más

alto de las notas en el test. ¿Cuánto debería obtener un estudiante como mínimo para

asegurar su admisión a la Universidad? Sol. Nota > 590.

2) Hallar los intervalos de confianza del 95% y 99% para estimar la altura media de 100

estudiantes, cuyo promedio de altura es 67.45 in y cuya desviación es 2.94 in.

Sol. IC 95%: 66.88 – 68.02; IC 99%: 66.691 – 68.208.

3) Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de rodamientos

producidas por una máquina en una semana, dieron una media de 0.824 cm y una desviación

típica de 0.042 cm. Hallar los límites de confianza del 99% para el diámetro medio de todas las

bolas producidas. Sol. 0.824 ± 0,008cm.

4) Un sondeo de 100 votantes elegidos al azar en un distrito indica que el 55% de ellos estaban a

favor de un cierto candidato. Hallar los límites de confianza del 95 y 99.73% para la proporción

de todos los votantes favorables a ese candidato. Sol. 95%: 0.55 ± 0.10; 99.73%: 0.55 ± 0.15.

5) ¿De qué tamaño se debería tomar el sondeo del problema anterior para tener confianza al

95% y 99.73% de que el candidato saldrá elegido? Sol. N

385 y N

901.

6) Una muestra de 150 lámparas del tipo A ha dado una vida media de 1400 horas y una

desviación típica de 120 hrs. Una muestra de de 100 lámparas del tipo B dan vida media de

1200 hrs y desviación típica de 80 hrs. Hallar los límites de confianza del 95% y 99% de las

diferencias de las vidas medias de las poblaciones de ambos tipos.

Sol. 95%: 200 ± 24.8; 99%: 200 ± 32.6.

7) La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillas es de 100 hrs. Hallar

los límites de confianza del 95% y 99% para la desviación típica de este tipo de bombillas.

Sol. 95%: 100 ± 9.8; 99%: 100 ± 12.9.

8) Los voltajes de 50 baterías del mismo tipo tienen una media de 18.2 V y una desviación típica

de 0.5V. Hallar el error probable de la media y los límites de confianza al 50%. Sol. 0.048, 18 ±

0.048V.


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TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

1) Si X ~ N (40,10), calcular Pr (39≤ X ≤41) para n=10. ¿En qué intervalo se obtendrán el 95% de

los resultados? Sol. (0.24816; 33.802; 46.198).

2) Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una distribución N (7.5, 0.3),

calcular la probabilidad de que para una muestra de tamaño n=5, se obtenga una media

menor que 7. Sol. 0.0001.

3) Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300Kg. Si el peso de un individuo sigue

una distribución N (71, 7), calcular la probabilidad de que el peso de 4 individuos supere los

300Kg. Sol. 0.1265.

4) Calcular la probabilidad de que la media μ se encuentre entre X 3S para poblaciones

normales y n = 5. Sol. 0.9974

.

5) Calcular un intervalo de confianza al nivel α = 0.05 para la probabilidad de que un recién

nacido sea niño si en una muestra de tamaño 123 se han obtenido 67 niños.

Sol. (0.0456706, 0.632725).

6) Calcular qué tamaño muestral debemos tomar para obtener μ con una precisión de 0.001 a

partir de una muestra de una población N (μ

,3). Sol. 34574400.

7) Se ha hecho un estudio sobre la proporción de enfermos de cáncer de pulmón detectados en

hospital que fuman, obteniéndose que de 123 enfermos 41 de ellos eran fumadores. Obtenerun intervalo de confianza para dicha proporción. Estudiar si dicha proporción puede

considerarse igual a la proporción de fumadores en la población si ésta es de un 29%.

Sol. (0.250023,0.416643).

8) Una muestra de tamaño 10 de una población de mujeres presenta una altura media de 170.2

cm. y una muestra de 12 varones de otra población presenta una altura media de 176,7 cm.

Sabiendo que ambas poblaciones son normales con desviaciones 225 y 256 respectivamente,

se trata de analizar si con una probabilidad del 95% se puede asegurar que los varones son

más altos en media que las mujeres o viceversa. Sol. [-194,56; 207,56].


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. El retorno mensual en el Mercado de Valores en los años 1904 – 1974 sigue una distribución

aproximadamente normal con media 0,68% y desviación estándar 6,85%, ¿cuán

frecuentemente el retorno mensual es:

a. Mayor de 10%? Sol. 0.0868.

b. Entre 10 y 20%? Sol. 0.0844.

c. Mayor de 20%? Sol. 0.0024.

d. Exactamente 10? Sol. 0.0231.

2. Se sabe que la nota estandarizada de dos estudiantes fue de 0.8 y -0.4 respectivamente en una

determinada prueba. Si sus puntuaciones fueron 88 y 64, respectivamente, hallar la media y la

varianza de las puntuaciones de esa prueba. Sol. 3. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una inyección de

cierto tipo de suero es 0.001, hallar la probabilidad de que entre 2000 individuos:

a. Exactamente 3 reaccionen negativamente. Sol.0.180.

b. Más de dos de ellos reaccionen negativamente. Sol.0.323.

4. Un agente de seguros contrata 5 pólizas de seguros con personas de la misma edad y de buena

salud. Según las tablas en uso, la probabilidad de que un hombre de esa edad esté vivo dentro

de treinta años es 2/3. Hallar la probabilidad de que dentro de 30 años vivan:

a. Los cinco. Sol. 32/243.

b. Al menos tres. Sol. 192/243.

c. Sólo 2. Sol. 40/243.

d. Al menos uno. Sol. 242/243.

e. Todos hayan fallecido. Sol. 1/243.

5. La nota media en un examen es 72 y la varianza es 81. El 10% del curso recibirá nota A. ¿Cuál

es la nota mínima para optar a él? Sol. 84.

6. Si un conjunto de medidas está normalmente distribuida, ¿qué porcentaje de ellas difiere de

la media:

c. Más de 0.5 desviaciones típicas. Sol. 61.7%.

d. Menos de 0.75 desviaciones típicas. Sol. 54.7%.

7. Si es la media y s es la desviación típica de un conjunto de medidas normalmentedistribuidas, ¿qué porcentaje de ellas:

e. Cae en el rango Sol. 95.4%. f. Fuera del rango Sol. 23%. g. Son mayores que Sol.93.3%.


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8. La duración de un componente eléctrico sigue una distribución exponencial con media igual a

10000 horas. Se pide:

a. Calcular la probabilidad de que si el componente ha durado más de 20000 horas, dure

más de 21000 horas. Comparar esta probabilidad con la probabilidad de que dure

entre 0 y 1000 horas. Comentar razonadamente el resultado. Sol. 0.905.

b. Si se instalan 4 de esos componentes en serie en un aparato, calcular la probabilidadde que el aparato siga funcionando al cabo de 10000 horas. Sol. 0.018.

9. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir

100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de

estos fallos es ocho,

a. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? Sol. 0.27607.

b. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? Sol. 0.2381.

c. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? Sol. 0.542070.

10. Una fábrica produce en cada turno 100000 bolas para rodamientos de forma que la

probabilidad de defectuosa es 0.04. En el control de las bolas se revisan todas depositando las

defectuosas (que se detectan todas) en un recipiente que se vacía al final de cada turno.

Cuántas bolas ha de contener el recipiente para que la probabilidad de que su capacidad no

se vea rebasada sea 0.95? Sol. 4102 bolas.

11. Determine la función de distribución, esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria

continua X que se distribuye uniformemente en el intervalo [2, 4]. Para dicha variable, calcule

las probabilidades : Sol. E(x) = 3, V(x) = 0.33.

a. P (X ≥ 3). Sol. 0.5.

b. P (1.25 < x ≤ 2.05). Sol. 0.4.

12. Se sabe que una máquina en promedio tiene 4 fusibles rotos al año. La variable aletoria sigue

una distribución exponencial.

a. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de tres años. Sol.0.4724.

b. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 4 años, si ya ha durado 1 año.

Sol. 0.3679. c. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 1 año. Sol. 0.7788.

d. Calcule la probabilidad de que un fusible dure más de 4 años, si ya ha durado más de 1

año. Sol. 0.4724.


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13. El tiempo T en segundos que tarda en conectarse a un servidor durante un día laborable sigue

una distribución de Weibull de parámetros α = 0.6 y β = 1/4, mientas que un fin de semana es

una Weibull de parámetros α = 0.24 y β = 1, donde la densidad de la Weibull se escribe como:

Se quiere saber:

a. Tiempo medio que tardaremos en conectarnos en ambos tipos de día. Sol.

b. Calcula, para ambos tipos de día, la probabilidad de tardar más de 10 segundos enrealizar la conexión. Sol. Pr (TL > 10) = 0.133, Pr (TF > 10) ≈ 0.

c. Si llevamos ya 5 segundos esperando a que se efectué la conexión, ¿cuál es la

probabilidad de que la conexión se demore aun 10 segundos más?

Sol. Pr (TL > 15|TL > 5) = 0.5845, Pr (TF > 15|TF > 5) = Pr (TF > 10).

14. Un profesor confecciona un ejercicio de 10 preguntas seleccionándolas al azar de una carpeta

que contiene 6 preguntas del primer trimestre, 16 del segundo y 8 del tercero.

a. Calcule la probabilidad de que el examen contenga exactamente 3 preguntas del

trimestre 1º. Sol. 0.2304.

b. ¿Cuál es el número más probable de preguntas del primer trimestre que contendrá el

ejercicio? Sol. 2.

15. Disponemos de una caja que contiene: 5 triángulos (T), 3 círculos (C) y 2 rectángulos (R).

Realizando extracciones de figuras con reemplazamiento :

a. Calcule la probabilidad de que, al realizar 8 extracciones, se obtenga en 4 ocasiones un

círculo. Sol. 0.13614.

b. Calcule la probabilidad de que se necesiten 8 extracciones para obtener 4 círculos.

Sol. 0.0681.

c. Calcule la probabilidad de que aparezca el primer círculo en la 8ª extracción.

Sol. 0.04247.

Realizando extracciones de figuras sin reemplazamiento:

d. Calcule la probabilidad de que, al realizar 6 extracciones, se obtenga en 2 ocasiones un

círculo. Sol. 0.5.


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VALOR ESPERADO, VARIANZA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR

1) Un investigador está interesado en estudiar la dinámica de las familias causado por la

composición de géneros.

La distribución de el número de niñas en las familias que consisten de cuatro niños es: 6.2S%de las familias no tienen niñas, 25% tienen una niña, 37.5% tienen dos niñas, 25% tienen tres

niñas, y 6.25% tienen cuatro niñas.

a. Construya la distribución de probabilidad.

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente una familia con mínimo 3

niñas? Sol. 0.3125.

c. Calcular el valor esperado, la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria

X. Sol. E(x) = 2, V(x) = 1, D(x) = 1.

2) Para la siguiente función

Determine:

a) EL valor esperado. Sol. 2.0625.

b)

Sol.0.55 y 0.74.

c) P(1 < x < 2). Sol.0.2777.

3) Si la función de densidad de probabilidad de la variable X es

Determine:

a) ¿Cuál es el valor de c? Sol.2/9.

b) Calcule el valor de P(X 2) Sol. 0.259259.


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4) El tiempo T que una persona necesita para leer cierto libro, sigue la densidad de probabilidad

Encuentre:

a) El tiempo esperado de lectura del libro. Sol. 1.0833.

b) Sol.0.5002. 5) La función de densidad de X está dada por

Si E(x) = 3/5, encuentre el valor de a y b. Sol. a = 3/5, b = 6/5.

6) Una bolsa contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras. Cada una de cuatro personas, A, B, C y D,

en ese orden, saca una bola y no la repone. El primero que la saque blanca recibe $10.

Determinar el valor esperado de A, B, C y D. Sol. $4, $3, $2 y $1.

7) Considera una variable aleatoria discreta X cuya distribución de probabilidad es la siguiente:

x 1 2 3

P(X=x) k 0.45 K

a. Calcula el valor de k. Sol. 0.275.

b. Halla la función de probabilidad.

c. Halla la función de distribución F.

x 1 2 3

P(X=x) 0.275 0.45 0.275

x 1 2 3

P(X=x) 0.275 0.725 1


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PROBABILIDAD /PROBABILIDAD TOTAL / TEOREMA DE BAYES

1) Use los datos de la tabla siguiente, misma que resume los resultados del lamentable

hundimiento del Titanic.

Hombreadulto

Mujeradulta

Niño Niña

Sobrevivió 332 318 29 27Falleció 1360 104 35 18

a) Si uno de los pasajeros del Titanic es elegido al azar, calcular la probabilidad de seleccionar a

alguien que es una Mujer adulta o un hijo (varón o mujer). Sol. 0.2389.

b) Si se hace una selección al azar, calcular la probabilidad de seleccionar un hombre o alguien

que sobrevivió al hundimiento. Sol.0.9294.

c) Calcule la probabilidad de seleccionar un pasajero que falleció. Sol.06824.

2) Suponga que tenemos una caja de fusibles, en ella hay 20 fusibles de los cuales 5 son

defectuosos. Si se seleccionan 2 fusibles al azar y estos son removidos de la caja antes de

hacer la siguiente extracción, ¿cuál es la probabilidad de que:

a. Ambos fusibles sean defectuosos? Sol. 0.0526.

b. Ambos fusibles funcionen? Sol. 0.5526.

c. Un fusible sea defectuoso y el otro no? Sol. 0.3947.

3) Una pequeña ciudad tiene un carro de bomberos y una ambulancia disponible para

emergencias. La probabilidad de que el vehículo de bomberos esté disponible es 0.98 y la

probabilidad de que la ambulancia esté disponible cuando se la necesite es 0.92. En el evento

de un incendio en un edificio, calcule la probabilidad de que tanto el vehículo como la

ambulancia estén disponibles. Sol. 0.9016.

4) Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras, otra contiene 3 bolas blancas y 5 bolas

negras. Si se saca una bola de cada bolsa, hallar la probabilidad de que:

a. Ambas sean blancas. Sol. 1/4.

b. Ambas sean negras. Sol. 5/24.

c. Una sea blanca y la otra negra. Sol. 13/24.

5) A y B juegan 12 partidas de ajedrez, donde A gana 6, B gana 4 y en 2 hacen tablas. Acuerdan

jugar un torneo de 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:

a. A gane las 3 partidas. Sol. 1/8.

b. Hagan tablas en dos partidas. Sol. 15/216 ó 5/72.

c. A y B ganen alternadamente. Sol. 5/36.

d. B gane al menos una partida. Sol. 19/27.


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6) Existen 500 estudiantes que estudian álgebra, física y estadística. Los siguientes números de

estudiantes registrados en las siguientes materias: Algebra 329, Física 186, Estadística 295,

Algebra y Física 83, Algebra y Estadística 217, Física y Estadística 63. ¿Cuál es la probabilidad

de seleccionar aleatoriamente estudiantes que están registrados en:

a. Las tres. Sol. 53/500.

b. Algebra pero no estadística. Sol.112/500. c. Física pero no Algebra. Sol. 103/500.

d. Estadística pero no Física. Sol. 232/500.

e. Algebra o Estadística pero no Física. Sol. 314/500.

f. Algebra pero no Física ni Estadística. Sol. 82/500.

7) En una lotería con mil números. Cada número cuesta 25 centavos y el premio es de 100 pesos.

Calcular cuánto se espera ganar o perder cada vez que se participa en esta lotería. Sol. – 0.15.

8) Al lanzar un dado trucado, los números pares tienen el doble de probabilidad de salir. Hallar la

probabilidad de obtener un número primo. Sol. 5/9.

9) En cierto sector, los grupos de ingresos bajos, medios y altos constituyen el 20%, 55% y 25% de

la población respectivamente. Se sabe además que el 80% del grupo de bajos recursos, el 30%

de los grupos medios, y el 10% de los grupos altos, se oponen a un proyecto de ley.

a. Si se selecciona al azar un individuo de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que

se oponga al proyecto de ley? Sol. 0.35.

b. Si la persona seleccionada se opuso al proyecto de ley, ¿cuál es la probabilidad de que

sea del grupo de bajos ingresos? Sol. 0.4571.


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COMBINATORIAS

1) A Un investigador medico necesita 6 personas para probar la efectividad de una medicina

experimental. Si se presentaron 13 voluntarios, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar 6

personas? Sol. 1716.

2) Cincuenta personas compran una rifa. Tres tickets ganadores se seleccionan al azar. Si el

primer premio es de $1000, el Segundo es de $500, y el tercero es de $100, ¿de cuántas

formas diferentes se pueden otorgar los premios? Sol.117600.

3) Baskin-Robbins ofrece 31 sabores diferentes de helado. Uno de ellos se presenta en la forma

de un cono con tres diferentes sabores, cada uno distinto. ¿Cuántos distintos conos de tres

sabores son posibles, asumiendo sabores diferentes? Sol. 4495.

4) Usted va a comprarse un nuevo vehículo. Las posibles marcas son: Ford, GM, Honda, el

tamaño de los vehículos es: compacto, SUV, y los colores disponibles son: blanco, rojo, negro y

verde. ¿De cuántas formas diferentes usted puede seleccionar un vehículo? Sol. 24.

5) El código de acceso del sistema de seguridad de un vehículo consiste de 4 dígitos. ¿Cuántos

códigos son posibles si:

a. Cada dígito se puede utilizar una vez? Sol. 5040.

b. Cada dígito puede repetirse? Sol. 10000.

c. Cada dígito puede repetirse, pero el primer dígito no puede ser ni 0 ni 1? Sol. 8000.

6) ¿Cuántas placas se pueden elaborar si la placa consiste de:

a. Seis letras del alfabeto que pueden repetirse? Sol . 308915776. b . Seis letras del alfabeto que no pueden repetirse? Sol. 165765600.

c. Seis letras del alfabeto que pueden repetirse pero la primera letra no puede ser ni A, B,C, ni D? Sol. 261,390,272.

7) ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 10 personas alrededor de una mesa

circular? Sol . 362880.

8) El código de acceso de una puerta de garaje consiste de tres dígitos. Cada dígito puede

repetirse.

a. Encuentre el número posible de códigos de acceso. Sol. 1000.

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente el código de acceso

correcto en el primer intento? Sol . 1/1000.

c. ¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar el código de acceso correcto en el

primer intento? Sol . 999/1000.

9) Un código de acceso consiste de una letra seguida por cuatro dígitos. Cualquier letra

puede ser usada, el primer dígito no puede ser 0 y el último dígito tiene que ser par.

a. Encuentre el número posible de códigos de accesos. Sol . 117000.

b. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar aleatoriamente el código de acceso

correcto en el primer intento?Sol . 1/117000.

c. ¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar el código de acceso correcto en el

primer intento? Sol . 116999/117000.

10) Cinco hombres y cuatro mujeres van a hacer una fila, de modo que las mujeres ocupen los

lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse? Sol.2880.

11) ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras 0, 1, 2, ….., 9:

a. Permitiendo repeticiones. Sol. 9000.

b. Sin repeticiones. Sol.4536.


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c. Si el último dígito ha de ser cero no se permiten repeticiones. Sol. 504.

12) Cinco fichas rojas, dos blancas y 3 azules se colocan en fila. Las de un color no son distinguibles

entre sí. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles? Sol. 2520.

13) ¿De cuántas formas se puede formar una comisión de 5 miembros con 9 personas? Sol. 126.

14) Un Presidente y un Tesorero van a ser elegidos de un club de estudiantes que consiste de 50

personas. ¿Cuántas diferentes opciones de oficiales son posible sia. No hay restricciones. Sol.2450.

b. “A” servirá sólo si es elegido Presidente. Sol.2401.

c. “B” & “C” servirán únicamente juntos o no servirán en lo absoluto. Sol. 2258.

d. “D” & “E” no servirán juntos. Sol.2448.

15) Un joven le pide a su madre que le consiga 5 juegos de video de su colección de 10 shooters y

5 juegos de deportes. ¿De cuántas formas distintas su madre puede darle 3 shooters y 2

juegos de deportes? Sol. 1200 formas.

16) ¿Cuántos arreglos diferentes de letras se pueden formar a partir de la palabra INFINITY ? Sol.

3360.

17) Cuatro libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química han de ser colocados en

una repisa. ¿Cuántas colocaciones distintas son posibles si:

a. Los libros de cada materia han de estar juntos? Sol. 207360.

b. Sólo los libros de matemáticas tienen que estar juntos? Sol. 8709120.

Ejercicios Para El Examen Final de Estadística

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