Ejercicios Metodos de Elementos Finitos

Prob.1

Facultad de Ingeniería U.M.S.ACarrera: MEC-ELMMétodos Numéricos MEC-130 Matemática Aplicada MEC-212

Docente: Pastor Leandro Barrón Leitón

Autor:Martin Laguna AltamiranoMÉTODOS VARIACIONALES DE APROXIMACIÓN

Para el siguiente problema de valor de frontera:

3

3

1

2 0 1 4

11 ; 4

4x

d dux xu x

dx dx

dux udx

Hallar una solución con seis parametros médiante los metodos estudiados: Galerkin, Petrov-Galerkin, Minimos Cuadrados y Colocación.

1. Introducir los siguientes datos extraidos del PVF: 1 0 2 0, , , , , , , ,x u x Q a x c x f x n incremento

x1u0x2Q0vavcvf

PARAMETROSINCREMENTO

=

41

4

1-1

x3

x26

0.2

2. Determinamos las funciones de aproximación: 0( ) , ( ) 1ix x i

«0=17

4- x

f1

f2

f3

f4

f5

f6

=

x2 - 2 x - 8

x3 - 3 x - 52

x4 - 4 x - 240

x5 - 5 x - 1004

x6 - 6 x - 4072

x7 - 7 x - 16 356

3. Escribimos la función de aproximación u(x):

u x =

-x + x 2-2 x -8 k1+ x 3-3 x -52 k2+ x 4-4 x -240 k3+ x 5-5 x -1004 k4+ x 6-6 x -4072 k5+ x 7-7 x -16356 k6+17

4

4. Determinamos la función Resto-Residuo: ; ; ; ;

du d du d dua x a x c x u f x R x a x c x u f x

dx dx dx dx dx

* dua xdx

* *d du

a xdx dx

*c x u

f x

=

x 3 2 x -2 k1 + 3 x 2 -3 k2 + 4 x 3 -4 k3 + 5 x 4 -5 k4 + 6 x 5 -6 k5 + 7 x 6 -7 k6 - 142 k6 x 5 +30 k5 x 4 +20 k4 x 3 + 12 k3 x 2 +6 k2 x +2 k1 x 3 +3 2 x -2 k1 + 3 x 2 -3 k2 + 4 x 3 -4 k3 + 5 x 4 -5 k4 + 6 x 5 -6 k5 + 7 x 6 -7 k6 - 1 x 2

-x -x + x 2 -2 x -8 k1 + x 3 -3 x -52 k2 + x 4 -4 x -240 k3 + x 5 -5 x - 1004 k4 + x 6 -6 x -4072 k5 + x 7 -7 x - 16356 k6 +17

4

2

Resto-Residuo=62 k6 x 8 +47 k5 x 7 +34 k4 x 6 +23 k3 x 5 -8 k3 x 2 - 10 k4 x 2 - 12 k5 x 2 -

14 k6 x 2 -2 x 2 + 7 x 2 -4 x +8 k1 x +2 7 x 3 -3 x +26 k2 x +240 k3 x + 1004 k4 x +4072 k5 x + 16356 k6 x -17 x

4+2

2 1Parcial.nb

Método Galerkin

1. Para el método de Galerkin se condiciona :

2

1

; 0

x

i i i

x

w x R x

Galerkin:residuo despues de realizar las integrales

15993 k1

10+

53514 k2

5+

14918229 k3

280+

3371481 k4

14+

10444437 k5

10+

243817722 k6

55-

24669

80 0

53514 k1

5+

1444797 k2

20+

2538540 k3

7+

231235209 k4

140+

793211373 k5

110+

153905427 k6

5-

20277

10 0

14918229 k1

280+

2538540 k2

7+

25700085 k3

14+

648689823 k4

77+

1036742571 k5

28+

2066572764 k6

13-

2778921

280 0

3371481 k1

14+

231235209 k2

140+

648689823 k3

77+

545071617 k4

14+

15668348697 k5

91+

20810462193 k6

28-

1237311

28 0

10444437 k1

10+

793211373 k2

110+

1036742571 k3

28+

15668348697 k4

91+

10719308259 k5

14+

33211850931 k6

10-

42382791

224 0

243817722 k1

55+

153905427 k2

5+

2066572764 k3

13+

20810462193 k4

28+

33211850931 k5

10+

115747454115 k6

8-

3177819

4 0

2. Acontinuación se muestra el sistema de ecuaciones en forma matricial:

15993

10

53514

5

14918229

280

3371481

14

10444437

10

243817722

5553514

5

1444797

20

2538540

7

231235209

140

793211373

110

153905427

514918229

280

2538540

7

25700085

14

648689823

77

1036742571

28

2066572764

133371481

14

231235209

140

648689823

77

545071617

14

15668348697

91

20810462193

2810444437

10

793211373

110

1036742571

28

15668348697

91

10719308259

14

33211850931

10243817722

55

153905427

5

2066572764

13

20810462193

28

33211850931

10

115747454115

8

.

k1

k2

k3

k4

k5

k6

==

24669

8020277

102778921

2801237311

2842382791

2243177819

4

3. Ahora podemos resolver el sistema matricial para determinar las constantes ik :

k1 Ø583527950844139216663

88977322913991904952, k2 Ø -

163530419701251620215

44488661456995952476, k3 Ø

8069390827621192355

6355523065285136068,

k4 Ø -3366788887462146575

12711046130570272136, k5 Ø

778229684962754453

25422092261140544272, k6 Ø -

33482069298701309

22244330728497976238

4. La solución aproximada se obtiene remplazando los coeficientes ik en u:

uGx =1

177954645827983809904-267856554389610472 x 7+5447607794739281171 x 6-

47135044424470052050 x 5+225942943173393385940 x 4-654121678805006480860 x 3+

1 167055901688278433326 x 2- 1248608614248452931208 x +729868433094676314524

5. Evaluamos la solución aproximada en un intervalo: 1 2,x x x incremento

1Parcial.nb 3

valor de x valor evaluado en uGalerkinx1. 1.001281.2 0.8334221.4 0.7137171.6 0.6247311.8 0.555722. 0.5002872.2 0.4546722.4 0.416582.6 0.3844482.8 0.3570573. 0.3333813.2 0.31263.4 0.2941463.6 0.2777173.8 0.2631414. 0.25

6. Graficamos la solución aproximada:

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Galerkin

4 1Parcial.nb

Método Petrov-Galerkin

1. Para el método de Petrov-Galerkin se condiciona :

2

1

1 ; 0

x

i

i i

x

w x w R x

Petrov-Galerkin:residuo despues de realizar las integrales

-1689 k1

4-

15642 k2

5-

34659 k3

2-

608262 k4

7-

3322449 k5

8- 1928250 k6+

543

8 0

-6726 k1

5-

20529 k2

2-

408519 k3

7-

1 195881 k4

4- 1453716 k5-

13687497 k6

2+

807

4 0

-44691 k1

10-

174267 k2

5-

8083053 k3

40- 1052277 k4-

51854373 k5

10-

1357424613 k6

55+

51051

80 0

-76449 k1

5-

2424609 k2

20-713565 k3-

18818742 k4

5-

1031032971 k5

55-

900191601 k6

10+

42141

20 0

-2992719 k1

56-

3004578 k2

7-

35795187 k3

14-

1049204694 k4

77-

1916930781 k5

28-

4305442158 k6

13+

2008239

280 0

-2657829 k1

14-

43135569 k2

28-

713487708 k3

77-

1394492793 k4

28-

45874241775 k5

182-

34354626597 k6

28+

174759

7 0


-1689

4-

15642

5-

34659

2-

608262

7-

3322449

8-1928250

-6726

5-

20529

2-

408519

7-

1 195881

4-1453716 -

13687497

2

-44691

10-

174267

5-

8083053

40-1052277 -

51854373

10-

1357424613

55

-76449

5-

2424609

20-713565 -

18818742

5-

1031032971

55-

900191601

10

-2992719

56-

3004578

7-

35795187

14-

1049204694

77-

1916930781

28-

4305442158

13

-2657829

14-

43135569

28-

713487708

77-

1394492793

28-

45874241775

182-

34354626597

28

.

k1

k2

k3

k4

k5

k6

==

-543

8

-807

4

-51051

80

-42141

20

-2008239

280

-174759

7


k1 Ø156255447473206189

23341239508169753, k2 Ø -

87599484332391437

23341239508169753, k3 Ø

301409431202519563

233412395081697530,

k4 Ø -6240271663155761

23341239508169753, k5 Ø

3567483426462527

116706197540848765, k6 Ø -

173083456196794

116706197540848765


uPGx =1

466824790163395060

-692333824787176 x 7+14269933705850108 x 6- 124805433263115220 x 5+602818862405039126 x 4-

1751989686647828740 x 3+3125108949464123780 x 2-3329095177914327220 x +1931367475124234765


1Parcial.nb 5

valor de x valor evaluado en uPetrov-Galerkinx1. 1.000341.2 0.8327541.4 0.7135251.6 0.624911.8 0.5560532. 0.5005742.2 0.4547982.4 0.416532.6 0.3842912.8 0.3568963. 0.3333073.2 0.3126423.4 0.2942543.6 0.2777863.8 0.2631014. 0.25


1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Petrov-Galerkin

6 1Parcial.nb

Método Minimos-Cuadrados

1. Para el método de Minimos cuadrados se condiciona :

2

1

; 0

x

i i

i x

w R x w R xk

Minimos cuadrados:residuo despues de realizar las integrales

-499569 k1

5-

15826311 k2

20-

325746999 k3

70-

122644464 k4

5-

6716069631 k5

55-

64477855053 k6

110+

69054

5 0

-15826311 k1

20-

31668948 k2

5-

5266441827 k3

140-

2199970089 k4

11-

10029459987 k5

10-

3463761911076 k6

715+

856593

8 0

-325746999 k1

70-

5266441827 k2

140-

86821142139 k3

385-

33846704271 k4

28-

5555279394981 k5

910-

45683988977493 k6

1540+

43226613

70 0

-122644464 k1

5-

2199970089 k2

11-

33846704271 k3

28-

84849759966 k4

13-

232189518240 k5

7-

8913437860113 k6

55+

358555503

112 0

-6716069631 k1

55-

10029459987 k2

10-

5555279394981 k3

910-

232189518240 k4

7-

847494937881 k5

5-

366130317455217 k6

440+

314371107

20 0

-64477855053 k1

110-

3463761911076 k2

715-

45683988977493 k3

1540-

8913437860113 k4

55-

366130317455217 k5

440-

3835617313804236 k6

935+

32819743503

440 0


-499569

5-

15826311

20-

325746999

70-

122644464

5-

6716069631

55-

64477855053

110

-15826311

20-

31668948

5-

5266441827

140-

2199970089

11-

10029459987

10-

3463761911076

715

-325746999

70-

5266441827

140-

86821142139

385-

33846704271

28-

5555279394981

910-

45683988977493

1540

-122644464

5-

2199970089

11-

33846704271

28-

84849759966

13-

232189518240

7-

8913437860113

55

-6716069631

55-

10029459987

10-

5555279394981

910-

232189518240

7-

847494937881

5-

366130317455217

440

-64477855053

110-

3463761911076

715-

45683988977493

1540-

8913437860113

55-

366130317455217

440-

3835617313804236

935

.

k1

k2

k3

k4

k5

k6

==

-69054

5

-856593

8

-43226613

70

-358555503

112

-314371107

20

-32819743503

440


k1 Ø 223463064146982776903971579168989935047 42369919144591492119415606301629034564,k2 Ø -57900821461585260128754426286825947649 21184959572295746059707803150814517282,

k3 Ø 5291594317584199412373945598901676703 6052845592084498874202229471661290652,k4 Ø -256190550034094263354039411466512418 1513211398021124718550557367915322663,k5 Ø 55130525869886748062005399132313291 3026422796042249437101114735830645326,

k6 Ø -8859524272723377967784150226273959 10592479786147873029853901575407258641


uMCx =-35438097090893511871136600905095836 x 7+771827362178414472868075587852386074 x 6-

7173335400954639373913103521062347704 x 5+37041160223089395886617619192311736921 x 4-

115801642923170520257508852573651895298 x 3+223463064146982776903971579168989935047 x 2-

258571980050064104085847663403367073520 x + 162947861438672144932237806920514106081 42369919144591492119415606301629034564


1Parcial.nb 7

valor de x valor evaluado en uMinimos Cuadradosx1. 1.006411.2 0.837381.4 0.7158461.6 0.6256211.8 0.5561412. 0.5007262.2 0.4552552.4 0.4171932.6 0.3849182.8 0.3572953. 0.3334363.2 0.3126093.4 0.2942223.6 0.2778393.8 0.2631724. 0.25


1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Minimos-Cuadrados

8 1Parcial.nb

Método Colocación1. Para el método de Colocación se condiciona :

1 20 2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0i iR x donde x x x entonces evaluamos

Colocación :residuo despues de realizar las integrales

56. k1+304. k2+ 1184. k3+4144. k4+14112. k5+48528. k6-14.5 072.776 k1+413.318 k2+ 1674.62 k3+6015.32 k4+20623.8 k5+69938.5 k6-17.03 092.928 k1+554.726 k2+2361.32 k3+8849.5 k4+31260.1 k5+107420. k6-19.72 0116.792 k1+734.406 k2+3302.64 k3+ 13045.9 k4+48255.6 k5+ 171904. k6-22.57 0144.704 k1+959.078 k2+4567.66 k3+ 19117.1 k4+74724.3 k5+279924. k6-25.58 0177. k1+1236. k2+6237. k3+27708. k4+ 114897. k5+455724. k6-28.75 0


56. 304. 1184. 4144. 14112. 48528.72.776 413.318 1674.62 6015.32 20623.8 69938.592.928 554.726 2361.32 8849.5 31260.1 107420.116.792 734.406 3302.64 13045.9 48255.6 171904.144.704 959.078 4567.66 19117.1 74724.3 279924.

177. 1236. 6237. 27708. 114897. 455724.

.

k1

k2

k3

k4

k5

k6

==

14.517.0319.7222.5725.5828.75


k1 Ø 4.56519, k2 Ø -2.35041, k3 Ø 0.768121, k4 Ø -0.155891, k5 Ø 0.0179812, k6 Ø -0.000903004


uCx =-0.000903004 1. x -4.93556 1. x 2-8.43781 x +20.6083 1. x 2-4.98822 x +11.8157 1. x 2- 1.55105 x +3.37718


valor de x valor evaluado en uColocaciónx1. 1.035411.2 0.8642591.4 0.7383331.6 0.6434361.8 0.5700062. 0.5116952.2 0.46432.4 0.4250172.6 0.3919252.8 0.3636653. 0.3392513.2 0.3179443.4 0.299153.6 0.2822593.8 0.2663974. 0.25


1Parcial.nb 9

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.4

0.6

0.8

1.0

Colocación

10 1Parcial.nb

Solución Analítica

1. Resolvemos la siguiente ecuación diferencial:

2

1 2

1 0 0

0

;x x

d dua x c x u f x x x x

dx dx

duu x u q

dx

uexacta= c1 x-1+ 2 + c2 x-1- 2 + 1

x

2. Determinamos las constantes: 1C y 2

C con las condiciones iniciales del problema:

c1 Ø 0, c2 Ø 0

3. Remplazando las constantes en la solución: u x

uExactax= 1

x

4. Evaluamos la solución Exacta en un intervalo: 1 2,x x x incremento

valor de x valor evaluado en uExactax1. 1.

1.2 0.833333

1.4 0.714286

1.6 0.625

1.8 0.555556

2. 0.5

2.2 0.454545

2.4 0.416667

2.6 0.384615

2.8 0.357143

3. 0.333333

3.2 0.3125

3.4 0.294118

3.6 0.277778

3.8 0.263158

4. 0.25

5. Graficamos la solución Exacta:

1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Exacta

1Parcial.nb 11

Ejercicios Metodos de Elementos Finitos

Documents

Transcript of Ejercicios Metodos de Elementos Finitos