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Ejercicios de Funciones Vectoriales

1.

Determine los vectores velocidad y de posicin de una partcula que tiene aceleracin()=(0,0,10) /, velocidad inicial (0)=(1,1,0) / y posicininicial (0)=(0,0,0).

Solucin:

Integramos, respecto de , la aceleracin:()= ()

()= (0,0,10)()=(, , 10 + )

Como (0)=(1,1,0), se tiene:(0)=(,,10(0) + )=(1,1,0)

Entonces: = 1, = 1 y = 0.La velocidad de la partcula, es:

()=(1,1,10)/Integramos, nuevamente:

()= () = ( + , + , 5 + )Como (0)=(0,0,0), se tiene:

(0)=(,,)=(0,0,0)=> = = = 0Por lo tanto:

()=(,,5), 2. Halle la longitud de la curva : ()= (, sin cos , cos + sin ), 0

.Solucin:

La longitud de la curva , se obtiene de: = ()

Donde ()= (2, cos cos + sin , sin + sin + cos t) = ()= (2, sin , cos t) => () =(2)+ ( sin )+(cos)=

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=4+ ((sin)+ (cos )) =5 Por lo tanto:

= () = 5 =

unidades de longitud.

3. Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justifique su

respuesta con el desarrollo apropiado.

a) Si ( ) 4 3cos 3senr t t i t j t k , entonces la curvatura de la curva ( )r t

en todo punto es5

3k

( ) 4 3cos 3senr t t i t j t k ( ) 4 3sen 3cosr t i t j t k

( ) 0 3cos 3senr t i t j t k

2 2 2( ) 4 9sen 9cos 5r t t t

( ) ( ) 9 12sen 12cosr t r t i t j t k

2 22( ) ( ) 9 12sen 12cos 15r t r t t t

La curvatura se calcula mediante:

3 3

( ) ( ) 15 3

5 25( )

r t r t K

r t

Por tanto la proposicin es falsa.

b) La longitud de arco de la curva ( ) ,1 sen ,cosr t t t t con t0 , es

2

( ) ,1 sen , cosr t t t t

( ) 1, cos , senr t t t

2 22( ) 1 cos sen 2r t t t

Para determinar la longitud de arco empleamos la frmula:0 0

( ) 2 2r t dt dt

; los que

indica que la proposicin es verdadera.

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4. Dada la curva definida por:3

21 12 , ,2 6 6

tx t y t z En el punto donde esta corta

al plano YZdetermine:

a.

El vector tangente unitario.

b. El vector binormal unitario.

c. La ecuacin del plano normal.

321 1( ) 2, ,

2 6 6

tr t t t

La curva corta al plano YZ en x= 0, es decir t = 2, por lo que el punto por donde cortala curva al plano es:

0

13 4(2) 0, ,6 3P r

2

( ) 1, , ; (2) 1, 2, 2 ; (2) 32

tr t t r r

( ) 0,1, ; (2) 0,1, 2r t t r

(2) (2) 2 2 1 ; (2) (2) 3r r i j k r r

Con estos clculos podemos responder a las preguntas:

a)

2 1 2 2 , ,

3 3 32

rT

r

b) (2) (2) 2 2 1

2 , ,(2) (2) 3 3 3

r rB

r r

c) El plano normal a la curva en el punto 013 4

(2) 0, ,6 3

P r

se calcula mediante la

relacin:

013 4

0 1 0 2 2 06 3

T P P x y z

Simplificando se obtiene la ecuacin buscada:2 2 7 0x y z

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5. Halle los vectores , ,T N B y la curvatura para la curva: 2 32

, ,3

r t t t t

en el punto

21, ,13

(Ejercicio 33,pag 856[IV edicin], sec 13.3)

6. En qu punto de la curva3 4, 3 ,x t y t z t el plano normal es paralelo al plano

6 6 8 1x y z . (Ejercicio 39 pag. 856[IV edicin], sec 13.3)

Nota: El plano normal a una curva en el punto

0 0 0 0 0 0 0, , , ,P x y z x t y t z t de la curva, es el plano que pasa por estepunto y es perpendicular al vector tangente 0T t

7. Halle la curvatura de la elipse 3cos , 4senx t y t en los puntos 3,0 y 0,4 .

(Ejercicio 12, pag 868[IV edicin], sec 13.4)

8. Calcule la longitud de la curva 2 t tr t t i e j e k , para 0,1t (Ejercicio 3,

pag. 855[IV edicin], sec 13.3)

9. Dada la curva definida por 2 2 21 3 2 , 2 2 5 ,1r t t t t t t con t a. Demuestre que esta curva es plana

b. Halle el plano donde esta se encuentra.

Solucin

a)

3 4 , 2 10 , 2

4,10, 2

0,0,0

r t t t t

r t

r t

La torsin es:

Teniendo en cuenta que 22 2

4 6 38 0r t r t

se tiene

0,0,00

r t r t r t r t r t t

r t r t r t r t

b)

El plano que contiene a la curva plana es el plano Osculante. Para hallarlo calculamosel vector binormal

4,6,38B r t r t Notemos que el vector Binormales constante para todo valor de t, hecho que confirma que

la torsin es nula.Para construir la ecuacin del plano que contiene a la curva podemos emplear cualquier

punto0P de la curva. En particular si tomamos 0t tenemos que:

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0 0 1, 2,1P r La ecuacin del plano osculante se escribe entonces en la forma:

1 0 2 0 3 0 0B x x B y y B z z

4 1 6 2 38 1 0x y z 4 6 38 54 0x y z

2 3 19 27 0x y z