ejercicios flujo gradualmente variado
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
155
Capitulo 5
FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Determinacin de la profundidad crtica yC.
.m33.0y81.9x50.2
50.1ygB
Qygqy C3 2
2
C3 2
2
C3
2
C
Determinacin de la C de Chzy.
sm64.62C
020.081.9x8C
fg8C
2/1
El caudal segn la ecuacin de Chzy es:
ASRCQAvQ 0H
Determinacin de la pendiente crtica SC. En el caso de flujo crtico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crtica SC; as:
2CCH
2
2
C2
CCCH22
CCCH ARCQSASRCQASRCQ
Problema F.II-5.01 Por un canal rectangular de 2.50 m de ancho fluye un caudal de 1.50 m3/s. El coeficiente de friccin de Darcy es f = 0.020. El canal termina en una cada libre y la pendiente del fondo del canal S0 es igual a la mitad de la pendiente crtica. Determinar:
a. La profundidad crtica. b. El coeficiente C de Chzy. c. La pendiente crtica SC. d. La pendiente del canal S0. e. La profundidad normal yn. f. La n de Manning. g. El tipo de flujo. h. El perfil que se produce aguas arriba de la seccin terminal.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
156
22
2
C2
CC
C2
2
C
33.0x50.233.0x250.2
33.0x50.264.62
50.1Syb
y2byb
C
QS
0032.0SC
Determinacin de la pendiente del canal S0.
0016.0S2
0032.0S 00
Determinacin de la profundidad normal yn.
n2/1
2/1
n
n2/10
2/1H0H yb0016.0y2b
ybCQASRCQASRCQ
n2/1
2/1
n
n y50.20016.0y250.2
y50.264.6250.1
la cual se satisface para yn = 0.42 m. Determinacin de la n de Manning.
014.0n64.62
42.0x250.242.0x50.2
nCy2b
yb
nC
Rn
6/16/1
n
n6/1
H
Determinacin del tipo de flujo. Como yn = 0.42 m > yC = 0.33 m el flujo es subcrtico y se produce un perfil tipo M. Perfil superficial. En la cada, punto B, se produce la profundidad crtica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 y la profundidad del agua aumenta hacia aguas arriba hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A, segn se muestra en el siguiente esquema.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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a. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es suprcrtico. Determinacin de la profundidad crtica yC.
m01.1y52.132yE
32yy
23E CCminCCmin
Determinacin del caudal unitario q.
81.9x01.1qgyqgyqg
qygqy 33C
3C
22
3C3
2
C
ms/m195.3q
3
Determinacin de la profundidad normal.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
n SnqySy
n1qySy
n1q
.m18.1y0016.0
0165.0x195.3y n5/3
2/1n
Problema F.II-5.02 Un canal rectangular de gran anchura, con coeficiente de Manning n = 0.0165 constituido por dos tramos de gran longitud de pendientes S0 1 = 0.0016 y S0 2 = 0.04000 une dos embalses en la forma que se muestra en la figura. Determinar:
a. La profundidad normal yn 1, en el tramo 1. b. La profundidad normal yn 2, en el tramo 2. c. La prfundidad crtica yC. d. El caudal. e. Trazar cualitativamente el perfil superficial.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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como la profundidad normal yn = 1.18 m. > yC = 1.01 m. el flujo es sub crtico por lo tanto la hiptesis es falsa, entonces el flujo es subcrtico. Los valores de la profundidad normal yn, profundidad crtica yC y el caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal uno es subcrtico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal yn, hacia abajo el flujo es uniforme con profundidad normal. Determinacin de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1. La velocidad en el tramo 1 segn la ecuacin de Manning es:
2/110
3/21n1n
2/110
3/2H1n Syn
1vSRn1v
3/2
1n1n2/13/2
1n1n y42.2v0016.0y0165.01v
La energa existente para esa profundidad es:
1n1n
23/21n
1n
21n
1n y30.0y52.181.9x2y42.2
y52.1g2
vyE
la ecuacin anterior se satisface para yn 1 = 1.16 m. El caudal unitario segn la ecuacin de Manning es:
16.1x0016.0x16.1x0165.01qySy
n1q 2/13/21n
2/110
3/21n
ms/m099.3q
3
Determinacin de la profundidad crtica yC es (para ambos canales):
.m99.0y81.9
0999.3yg
qy C32
C3
2
C
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
159
Determinacin de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.
5/3
2/12n
5/3
2/120
2n2n2/1
203/2
2n 0400.00165.0x099.3y
SnqyySy
n1q
yn 2 =0.44 m.
Perfiles superficiales. En el tramo 1, yn 1 = 1.16 m > yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo M. En el tramo 2, yn 1 = 0.44 m < yC = 0.99 m por lo tanto los perfiles que se pueden producir son tipo S.
A la salida del embalse en el punto A se produce la profundidad normal yn 1, y sta permanece constante hacia aguas abajo.
En el punto C se produce la profundidad crtica y hacia aguas arriba se forma un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.
Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil S2 con flujo supercrtico tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn 2
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
160
Desde el punto E hacia aguas arriba se produce un perfil S1 con flujo subcrtico. La manera fsicamente posible para pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico que se forma este en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema.
Determinacin de la profundidad normal yn mediante la ecuacin de Manning.
n2/1
0
3/2
n
n2/10
3/2H ybSy2b
ybn1QASR
n1Q
al sustituir los valores numricos se tiene:
n2/1
3/2
n
n y00.400001.0y200.4
y00.401.0100.5
Problema F.II-5.03 El canal rectangular de ancho 4.00 m. y de gran longitud, mostrado en la figura conduce, en rgimen uniforme, un caudal de 5.00 m3/s. El coeficiente n de Manning es n = 0.01 y la pendiente longitudinal S0 = 0.00001. La profundidad aguas abajo de la compuerta es 0.20 m. Determinar: a. La profundidad normal. b. La energa correspondiente a la profundidad normal. c. La profundidad crtica. d. La energa mnima e. La profundidad aguas arriba de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
161
la ecuacin anterior se satisface para yn = 3.39 m. Determinacin de la energa correspondiente a la profundidad normal.
2
2
2
22
y00.4g2QyE
Ag2QyE
g2vyE
al sustituir los valores numricos se tiene:
.m40.3E39.3x00.481.9x2
00.539.3E 22
Determinacin de la profundidad crtica yC.
.m54.0y81.9
00.400.5
yg
BQ
yg
qy C3
2
C
3
2
C3
2
C
Como yn = 3.93 m > yC = 0.54, m el flujo es subcrtico y los perfiles que ocurren son tipo M. Determinacin de la energa mnima.
2C
2
Cmin2C
2
Cmin
2C
Cmin ybg2QyE
Ag2QyE
g2v
yE
al sustituir los valores numricos se tiene:
.m81.0E54.0x00.481.9x2
00.554.0E min22
min
Determinacin de la profundidad aguas arriba de la compuerta.
C
2
CB
2
B
2C
C
2B
B ybg2Qy
ybg2Qy
g2v
yg2
vy
al sustituir los valores numricos se tiene:
2
2
2B
2
B 20.0x00.462.1900.520.0
y00.462.1900.5y
la cual se satisface para yB = 2.17 m. (profundidad aguas arriba de la compuerta).
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
162
Como la profundidad aguas arriba de la compuerta es yB = 2.17 m < yn = 3.39 m, entonces hacia aguas arriba se produce un perfil M2 hasta alcanzar la profundidad normal yn en el punto A y continua hacia aguas arriba con la profundidad normal.
Desde el embalse hacia aguas arriba se produce un perfil M1 con un altura de 4.50 m en el punto E, disminuyendo de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn.
Desde el punto C aguas debajo de la compuerta se produce un perfil M3 en flujo supercrtico. La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico, formndose ste en el punto D donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el siguiente esquema:
Problema F.II-5.04 Un canal trapezoidal de gran longitud con ancho en la base b = 4.00 m, taludes laterales en la proporcin 1H : 1V, con coeficiente n de Manning de 0.013 y pendiente longitudinal S0 de 0.0004, conduce agua desde un embalse de grandes dimensiones hasta una seccin terminal de cada libre. Si en el punto medio del canal se coloca una compuerta de admisin inferior que origina una vena de descarga de 60.00 cm. Se pide:
a. La profundidad normal. b. El caudal. c. La profundidad crtica. d. El nmero de Froude. e. La profundidad antes de la compuerta. f. Dibujar cualitativamente los perfiles superficiales.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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a. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es supercrtico. La velocidad crtica es:
C
2C
CC2
2
CC2
2
C3
2
T2A
g2v
T2A
Ag2Q
TA
AgQ1
AgTQ
Determinacin de la profundidad crtica. como la energa disponible es E0 = 3.00 m, entonces:
C
2CC
C0C
C0
2C
C0 ym2b2ymyb
yET2
AyEg2
vyE
al sustituir los valores numricos se obtiene la profundidad crtica yC:
C
2CC
C yx00.1x200.42y00.1y00.4
y00.3 , la cual se satisface para yC = 2.19 m.
Determinacin de la velocidad crtica.
.s/m98.3v81.9x2
v19.200.3
g2v
yE C2
C2
CC0
Determinacin del caudal Q.
.s/m95.53Q19.2x00.119.2x00.4x98.3QAvQ 32CC
Determinacin de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aqulla que satisface la ecuacin de Manning.
ASRn1Q 2/10
3/2H
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
164
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.1y00.40004.000.11y200.4
y00.1y00.4013.0195.53
la cual se satisface para yn = 3.27 m. como yn = 3.27 m. > yC = 2.19 m. el flujo es subcrtico, por lo tanto la hiptesis es falsa, entonces la pendiente es subcrtica. Los valores de la profundad normal yn, profundidad crtica yc y caudal Q determinados anteriormente son falsos. b. Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es subcrtico. En la entrada del canal se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo el flujo es uniforme con profundidad yn. Determinacin de la profundidad normal yn. La velocidad correspondiente a la ecuacin de Manning es:
2/1
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H 0004.000.11y200.4
y00.1y00.4013.01vSR
n1v
La energa existente para esta profundidad es:
g2vyE
2
n
al sustituir el valor de la energa y la expresin de la velocidad se tiene:
g2
0004.000.11y200.4
y00.1y00.4013.01
y00.3
2
2/1
3/2
2n
2nn
n
la ecuacin anterior se satisface para yn = 2.777 m. Determinacin del caudal Q. El caudal correspondiente se puede determinar de dos formas: 1.- Mediante la utilizacin de la ecuacin de Manning.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
165
22/1
3/2
2
2
777.2x00.1777.2x00.40004.000.11777.2x200.4
777.2x00.1777.2x00.4013.01Q
Q = 39.40 m3/s.
2.- Mediante la determinacin de la velocidad a partir de la energa especifica.
.s/m092.2v777.200.381.9x2vg2
v777.200.3
g2v
yE nn2
n2
nn
22nn 777.2x00.1777.2x00.4092.2QymybvQAvQ
Q = 39.37 m3/s.
Determinacin de la profundidad crtica yC.
1y00.1y00.481.9
yx00.1x200.440.391ymyb81.9ym2bQ1
AgTQ
32CC
C2
32CC
C2
3
2
la ecuacin anterior se satisface para yC = 1.82 m.
como yn = 2.78 m > yC = 1.82 m, indica que el flujo es subcrtico y los perfiles son tipo M.
Determinacin del nmero de Froude.
32
2
32nn
n2
3
2
777.2x00.1777.2x00.481.9777.2x00.1x200.440.39F
ymyb81.9
ym2bQFAg
TQF
F = 0.476, lo que indica que el flujo es subcrtico.
Determinacin de la profundidad antes de la compuerta. Si se considera que en la compuerta no hay prdida de energa entonces la energa antes de la compuerta es igual a la energa despus de la compuerta por lo tanto:
22
2
221
2
121 Ag2Qy
Ag2QyEE
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
166
2222
2
22211
2
1ymybg2
Qyymybg2
Qy
al sustituir los valores numricos se tiene:
22
2
2211
2
120.1x00.120.1x00.481.9x2
40.3920.1y00.1y00.481.9x2
40.39y
232.3y00.1y00.481.9x2
40.39y 2211
2
1
2
1122
111 y00.1y00.462.19x232.340.39y00.1y00.462.19y
simplificando y agrupando trminos semejante se obtiene:
036.1552y0y59.10140y37.193y55.93y62.19 2345
el polinomio anterior tiene como solucin:
67645.4;0629.3;54782.2;20001.1;80672.1
el valor de y = 3.06 m corresponde a la altura aguas arriba de la compuerta y el valor de y = 1.20 m corresponde a la altura aguas abajo de la compuerta.
En el punto A (inicio del canal) se produce la profundidad normal, hacia aguas abajo la profundidad del agua es yn.
Aguas abajo de la compuerta la profundidad es de 1.20 m y aguas arriba de la compuerta la profundidad es 3.06 m. (obtenida al igualar la energa de la compuerta con la de aguas debajo de sta). Desde el punto C hacia aguas arriba se produce un perfil M1 hasta alcanzar la profundidad normal en el punto B.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
167
En el punto E por ser una cada libre se produce la profundidad crtica yC, hacia aguas arriba se produce un perfil M2 tendiendo a alcanzar la profundidad normal.
Desde el punto C hacia aguas abajo se produce un perfil M3. El flujo desde el punto C hacia aguas abajo es supercrtico y desde el punto E hacia aguas arriba es subcrtico. La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico formndose ste en el punto D donde se satisfagan las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.
Problema F.II-5.05 Un canal rectangular de 3.50 m de ancho y pendiente constante transporta un caudal de 36.00 m3/s, la profundidad normal yn es de 2.00 m. En una seccin de dicho canal la profundidad del agua es de 0.90 m. Determinar si la profundidad aguas abajo de dicha seccin aumentar, disminuir o permanecer constante. Haga esquemas mostrando casos en el que se presente esta situacin e indicar el perfil superficial que se produce.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
168
Determinacin de la profundidad crtica yC.
m21.2y81.9x50.3
00.36ygB
Qygqy C3 2
2
C3 2
2
C3
2
C
yn = 2.00 m < yC = 2.21 m, la pendiente es supercrtica y se formaran perfiles tipo S. Esquema general de los perfiles S.
El punto considerado tiene una profundidad y = 0.90 m < yn = 2.00 m < yC = 2.21 m perteneciente a la zona 3 por lo tanto se produce un perfil S3 el cual aumenta de altura hacia aguas abajo. En el esquema siguiente se presentan dos casos en los cuales pueden ocurrir esta situacin.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
169
Determinacin de la profundidad aguas arriba del resalto y1.
2
222
1
2
2
2
2
122
2
1
ygyq811
yy2
ygv811
yy2F811
yy2
2
1
2
22
21 50.2x81.950.2
00.5811250.2y
ygyq811
2y
y
m65.0y1 Aguas abajo de la compuerta se forma un perfil H3 comenzando con una profundidad de 0.50 m, aumentando de altura hasta alcanzar una profundidad de 0.65 m correspondiente a la profundidad de de aguas arriba del resalto. Desde aguas abajo del canal se forma un perfil H2 aumentando de altura hasta alcanzar la profundidad de 2.50 m correspondiente a la profundidad de aguas abajo del resalto como se indica en el siguiente esquema.
Problema F.II-5.06 Una compuerta vertical descarga un caudal q = 5.00 m3/s/m, hacia un canal horizontal de gran anchura de concreto con un coeficiente de Manning n = 0.015. La profundidad de la vena contraida aguas debajo de la compuerta es de 0.50 m. Las condiciones del flujo aguas abajo obligan a la formacin de un resalto hidrulico con una profundidad y2 = 2.50 m, determinar:
a. La profundidad aguas arriba del resalto. b. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales. c. La distancia aguas debajo de la compuerta donde se formar el resalto
hidrulico.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
170
Determinacin de la distancia xA B.
3/13A
3/13B22
3/4A
3/4B2BA yyqn
1133yy
gn1
43x
3/133/13
223/43/4
2BA 50.065.000.5x015.01
13350.065.0
81.9x015.01
43x
m50.52x BA
Determinacin de la profundidad aguas arriba de la compuerta.
g2yqy
g2yqy
g2v
yg2
vy 2
B
2
B2A
2
A
2B
B
2A
A
m22.2y81.9x2x90.0
00.590.081.9x2xy
00.5y A22
2A
2
A
A 30.00 m aguas debajo de la compuerta se produce un resalto hidrulico formndose un perfil H3 hasta alcanzar una altura y1.
Problema F.II-5.07 Por un canal horizontal de gran anchura fluye un caudal de 5.00 m3/s/m, con rugosidad n de Manning n = 0.015. En un cierto punto se encuentra una compuerta que origina una vena de descarga de 0.90 m. Si a 30.00 m aguas abajo de la compuerta se produce un resalto hidrulico, determinar:
a. La profundidad aguas arriba de la compuerta. b. La profundidad 30.00 m aguas debajo de la compuerta. c. La profundidad secuente del resalto. d. La longitud desde el resalto hasta la seccin terminal de cada libre. e. Hacer un esquema indicando los perfiles superficiales.
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PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
171
Determinacin de la profundidad 30.00 m aguas abajo de la compuerta en el perfil H3.
3/13B
3/13122
3/4B
3/4121B yyqn
1133yy
gn1
43x
3/133/13
1223/43/4
12 90.0y00.5x015.01
13390.0y
81.9x015.01
4300.30
la cual se satisface para y1 = 1.00 m Determinacin de la profundidad recuente del resalto y2.
2
111
2
2
1
1
1
221
1
2
ygyq811
yy2
ygv
811yy2
F811yy2
2
2
2
11
12 00.1x81.900.1
00.5811200.1y
ygyq811
2y
y
m81.1y2
En la cada en el punto C se produce la profundidad crtica yC y hacia aguas arriba se produce un perfil H2 hasta alcanzar la profundidad de 1.81 m. Determinacin de la profundidad crtica yC.
m37.1y81.9
00.5yg
qy C32
C3
2
C
Determinacin de la distancia x2 C.
3/132
3/13C22
3/42
3/4C2C2 yyqn
1133yy
gn1
43x
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
172
3/133/13
223/43/4
2C2 81.137.100.5x015.01
13381.137.1
81.9x015.01
43x
m60.143x C2
Determinacin de la profundidad normal yn.
n2/1
0
2/1
n
n2/10
2/1H ybSy2b
ybn1QASR
n1Q
n2/1
2/1
n
n y00.80015.0y200.8
y00.8025.0100.11
la ecuacin anterior se satisface para yn = 1.02 m. Determinacin de la profundidad crtica yC. La condicin de flujo crtico es:
3/1
2
2
C
3/1
2
2
C3
23
C3C
2
3
2
bgQy
bgQy
bgbQy1
ybgbQ1
AgTQ
Problema F.II-5.08 Un canal rectangular de 8.00 m de ancho conduce un caudal de 11.00 m3/s con una pendiente longitudinal S0 = 0.0015 y un coeficiente n de Manning de 0.025. En la seccin terminal del canal se encuentra un dique que eleva la profundidad del agua hasta 1.70 m. Para estas condiciones determinar:
a. La profundidad normal yn. b. La profundidad crtica yC.c. Tipo de perfil que se produce. d. Calcular el perfil superficial mediante el mtodo de la funcin de Bresee
hasta 200.00 m aguas arriba del dique. e. Dibujar el perfil superficial.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
173
.m58.0y00.8x81.9
00.11y C3/1
2
2
C
o tambin para canales rectangulares:
.m58.0y81.9x00.8
00.11ygb
Qyg
qy C3 22
C3 2
2
C3
2
C
como yn = 1.02 m > yC = 0.58 m la pendiente es subcrtica y los perfiles son tipo M. como y = 1.70 m > yn = 1.02 m > yC = 0.58 m, el perfil que se produce hacia aguas arriba es un perfil M1. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.
3
n
C
0
n
yy
1zSyx
Para el presente caso, al sustituir los valores numricos se tiene:
82.0z00.680x02.158.01z
0015.002.1x
3
Tabla para el clculo del perfil M1
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al origen
(m) 1.70 1.67 0.1972 * 1025.64 0.00 1.65 1.62 0.2116 9.83.61 42.03 1.61 1.58 0.2246 949.16 76.48 1.55 1.52 0.2466 896.10 129.54 1.52 1.49 0.2591 868.73 156.91 1.50 1.47 0.2680 850.16 175.48 1.47 1.44 0.2824 821.73 203.91
El valor de *1972.0 fue obtenido por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
174
Determinacin de la profundidad crtica yC.
.m47.0y81.9
00.1ygqy C3
2
C3
2
C
Determinacin de la pendiente crtica SC. En el caso de flujo crtico la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC y la pendiente correspondiente se denomina pendiente crtica SC; as:
3C
2
2
C2
CCC22
CCC yCqSySyCqySyCq
Problema F.II-5.09 Por un canal de gran anchura fluye un caudal de 1.00 m3/s/m.El coeficiente de friccin de Chzy es C = 55.00 m1/2/s y la pendiente del canal es igual a un cuarto de la pendiente crtica. El canal termina en una cada libre, determinar:
a. La profundidad crtica yC.b. La pendiente crtica. c. La pendiente del canal. d. La profundidad normal. e. El tipo de pendiente. f. El tipo de perfil que se produce en el canal. g. Calcular mediante el mtodo de la funcin de Bresse la distancia en la cual
la profundidad del agua alcanza el 95 % de la profundidad normal.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
175
32
2
C3C
2
2
C 47.0x00.5500.1S
yCqS
00318.0SC
Determinacin de la pendiente del canal S0.
000796.0S4
00318.0S 00
La pendiente del canal es subcrtica ya que S0 = 0.000796 < SC = 0.00318. Los posibles perfiles superficiales deben ser tipo M. Determinacin de la profundidad normal yn.
3/2
2/10
nn2/1
02/1
nn0n SCqyySyCqySyCq
.m74.0y000796.0x00.5500.1y
SCqy n
3/2
2/1n
3/2
2/10
n
La profundidad instantnea es y = 0.95 yn y = 0.95 x 0.74 y = 0.70 m. como yn = 0.74 m > y = 0.70 m > yC = 0.47 m se produce un perfil M2.
Determinacin de la distancia hasta la cual se produce una profundidad de 0.70 m. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.
3
n
C
0
n
yy
1zSy
x
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
176
Para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:
74.0z00.930x74.047.01z
000796.074.0x
3
Tabla de clculo del perfil M2
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al origen
(m) 0.47 0.64 0.6897 120.55 120.55 0.70 0.95 1.4670 -126.09 -126.09
La distancia desde la cada libre donde ocurre la profundidad crtica yC = 0.47 m hasta donde ocurre la profundidad y = 0.70 m es: L = 120.55 ( 126.09) = 246.64 m Determinacin de la profundidad crtica yC.
m37.1y81.9
00.5yg
qy C32
C3
2
C
Problema F.II-5.10 En cierta seccin (a) de un canal muy ancho de pendiente S0 = 0.004, de rugosidad n de Manning n = 0.014, la profundidad es de 0.53 m y el caudal es de 5.00 m3/s/m. El canal termina abruptamente en una cada libre, 90.00 m aguas debajo de la seccin (a). Determinar:
a. La profundidad crtica yC.b. La profundidad normal yn. c. Tipo de pendiente. d. Tipo de perfil que se produce. e. Calcular el perfil superficial mediante el mtodo de la funcin de Bresse
tomando incrementos y = 5 cm. f. La profundidad en la seccin terminal de cada libre.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
177
Determinacin de la profundidad normal yn.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
n SnqySy
n1qySy
n1q
.m06.1y004.0
014.0x00.5y n
5/3
2/1n
como yC = 1.37 m > yn = 1.06 m, el perfil que se produce es tipo S. como y = 0.53 m < yn = 1.06 m < yC = 1.37 m, el perfil que se produce hacia aguas abajo es S3
Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.
3
n
C
0
n
yy
1zSy
x
para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:
159.1z00.265x06.137.11z
004.006.1x
3
Tabla de clculo del perfil S3
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al origen
(m) 0.53 0.50 0.5168 291.23 0.00 0.58 0.55 0.5754 * 322.47 31.24 0.63 0.59 0.6245 * 348.15 56.92 0.68 0.64 0.6897 381.43 90.20
Los valores * fueron obtenidos por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
178
La profundidad del agua en la cada libre es de aproximadamente 0.68 m.
Determinacin de la profundidad crtica yC.
m54.1y81.9
00.6yg
qy C32
C3
2
C
Problema F.II-5.11 Bajo una compuerta sale un caudal q = 6.00 m3/s/m. La vena contrada tiene un espesor de 0.50 m. El canal donde ocurre la descarga es rectangular de gran anchura, la pendiente longitudinal es de 0.0001 y la rugosidad de Manning de 0.015. El canal desemboca, a una distancia de 570.00 m aguas debajo de la compuerta en un embalse cuya superficie libre est a 1.80 m respecto al fondo del canal. Calcular y dibujar el perfil resultante usando el mtodo de la funcin de Bresse. Si se produce un resalto hidrulico determinar su ubicacin.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
179
Determinacin de la profundidad normal yn.
5/3
2/10
n2/1
03/5
nn2/1
03/2
n SnqySy
n1qySy
n1q
.m74.3y0001.0
015.0x00.6y n5/3
2/1n
como yn = 3.74 m > yC = 1.54 m los perfiles que se producen son del tipo M. Aguas abajo de la compuerta en el punto A, la profundidad es y = 0.50 m < yC = 1.54 < yn = 3.74 m; el perfil que se produce hacia aguas abajo es M3. El flujo aguas abajo de la compuerta es supercrtico. Clculo de perfil superficial M3 mediante la funcin de Bresse.
3
n
C
0
n
yy
1zSy
x
para el presente caso, al sustituir los valores numricos se tiene:
9302.0z00.37400x74.354.11z
0001.074.3x
3
Tabla de clculo del perfil M3
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al origen
(m) 0.500 0.1337 0.1337 * 349 0 0.748 0.20 0.2004 508 159 0.935 0.25 0.2510 617 268 1.122 0.30 0.3021 710 361 1.496 0.40 0.4066 814 465
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
180
El valor de *137.0 fue obtenido por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.
En la seccin terminal del canal en el punto C, en la desembocadura, l a p r o f u nd i da d yn = 3.74 m > y = 1.80 m > yC = 1.54 m, el flujo es subcrtico y el perfil que se produce en M2. Clculo del perfil superficial M2 mediante la funcin de Bresse.
9302.0z00.37400x
Tabla de clculo del perfil M2
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al origen
(m) 1.80 0.4813 0.4950 * 839 0 1.87 0.50 0.5168 720 119 1.94 0.52 0.5399 665 174 2.02 0.54 0.5634 595 244 2.16 0.58 0.6120 400 439
El valor de *4950.0 fue obtenido por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
181
Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.
2
111
221
1
2
ygyq811
yy2F811
yy2
31
21
231
2
1
2
y81.900.6x811
2y
yygq8811
yy2
Tabla de clculo de las profundidades secuentes del resalto
Profundidad aguas arriba y1 (m) Profundidad aguas abajo y2 (m)
31
21
2 y81.900.6x811
2yy
0.50 3.58 0.748 2.78 0.935 2.37 1.122 2.06 1.496 1.59
La manera fsicamente posible de pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico es a travs de un resalto hidrulico formndose ste en el punto B donde se satisfacen las profundidades secuentes o conjugadas, como se muestra en el esquema siguiente.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
182
El resalto se encuentra ubicado donde la curva de profundidades secuentes del resalto se corta con la curva M2 de la superficie del agua. Un grfico a escala muestra que ese punto de corte se encuentra aproximadamente a 370 m aguas abajo de la compuerta como se muestra en le esquema anterior.
Determinacin de la profundidad crtica yC es (para ambos canales):
.m37.1y81.9
00.5ygqy C3
2
C3
2
C
Determinacin de la profundidad normal yn 1 para el tramo 1.
5/3
2/11n
5/3
2/110
1n1n2/1
103/2
1n 0328.002.0x00.5y
SnqyySy
n1q
yn 2 = 0.70 m.
Problema F.II-5.12 Un canal de gran anchura est formado por dos tramos como se muestra en la figura. La pendiente del tramo 1 es S0 = 0.0328 y del tramo 2 es S0 2 = 0.0025, el coeficiente n de Manning de ambos canales es n = 0.020 y el caudal unitario q = 5.00 m3/s/m. Dibujar cualitativamente el perfil superficial y de producirse un resalto hidrulico determinar si ste se produce aguas arriba o aguas abajo del punto A y a que distancia se formar.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
183
Determinacin de la profundidad normal yn 2 para el tramo 2.
5/3
2/12n
5/3
2/120
2n2n2/1
203/2
2n 0025.002.0x00.5y
SnqyySy
n1q
yn 2 =1.52 m.
En este caso se pueden presentar dos posibilidades: Posibilidad I En el tramo 2, la profundidad normal yn 2 se mantiene hasta el punto A y hacia aguas arriba. En el tramo 1, se forma un perfil S1 generando un resalto hidrulico donde se satisfacen las profundidades secuentes del resalto. Posibilidad II En el tramo 1 la profundidad normal yn 1 se mantiene hasta el punto A y hacia agua abajo en el tramo 2 se forma un perfil M3 formndose un resalto hidrulico donde se satisfagan las profundidades secuentes del resalto.
Tomando como hiptesis la posibilidad I. La profundidad y1 del resalto hidrulico es yn 1 = y1 = 0.70 m, entonces la profundidad y2 del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
184
2
111
221
1
2
ygyq811
yy2
F811yy2
3
2
231
2
1
2
70.0x81.900.5x811
270.0y
ygq8811
yy2
La profundidad y2 del resalto resulta igual a 2.37 m, lo cual no es fsicamente posible ya que el perfil S1, el cual comienza con una profundidad de 1.52 m y disminuye de profundidad hacia aguas arriba. Esta hiptesis es falsa y la valida es la posibilidad II. Tomando como hiptesis la posibilidad II. La profundidad y2 del resalto hidrulico es yn 2 = y2 = 1.52 m, entonces la profundidad y1 del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.
2
222
122
2
1
ygyq811
yy2
F811yy2
3
2
132
2
2
1
52.1x81.900.5x811
252.1y
ygq8811
yy2
La profundidad y1 del resalto resulta igual a 1.22 m, lo cual s es fsicamente posible ya que el perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m y aumenta de profundidad hacia aguas abajo. Esta hiptesis es cierta. El perfil M3 comienza con una profundidad de 0.70 m en el punto A y termina con una profundidad de 1.22 en el punto B donde se forma el resalto. Determinacin de la distancia donde se forma el resalto hidrulico. Clculo del perfil superficial mediante la funcin de Bresse.
3
n
C
0
n
yy
1zSy
x
para el presente caso al sustituir los valores numricos se tiene:
2678.0z00.608x52.137.11z
0025.052.1x
3
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
185
Tabla de clculo del perfil M3
y (m) ny
yz x (m)
Distancia al punto A
(m) 0.70 0.46 0.472 * 202.83 0 1.22 0.80 0.9505 331.64 128.81
El valor de *772.0 fue obtenido por interpolacin lineal en la tabla de la funcin de Bresse.
Seccin de aproximacin 1 - 1.
Problema F.II-5.13 Un canal trapezoidal con ancho en la base b = 6.00 m, taludes laterales con m = 2.00 y coeficiente de Manning n = 0.015 conduce un caudal de 50.00 m3/s con una profundidad normal yn = 2.00 m. La construccin de un puente requiere de la construccin de una pila de 2.00 m de dimetro. Si la pila es hidrodinmica y no ofrece resistencia al flujo, determinar:
a. Si se modifica la profundidad aguas arriba de la pila y por qu. b. En caso afirmativo calcular la nueva profundidad. c. Qu tipo de perfil se produce aguas arriba de la pila. d. A cuntos metros aguas arriba de la pila se produce el 101 % de la
profundidad normal yn 1. (realice el clculo mediante un solo paso)
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
186
Determinacin de la energa existente en la seccin de aproximacin antes de colocar la pila.
g2ymyb
QyEg2A
QyEg2
vyE 22
111
2
112
2
11
21
11
m32.2E81.9x200.2x00.200.2x00.6
00.5000.2E 1222
1
Determinacin de la profundidad crtica yC 1 en la seccin de aproximacin.
1y00.2y00.681.9
y00.2x200.600.501
ymybg
ym2bQ1
AgTQ
321C1C
1C2
321C1C1
1C12
3
2
La ecuacin anterior se satisface para yC1 = 1.59 m. Seccin donde es colocar la pila 2 - 2.
Determinacin de la profundidad crtica yC 2 en la seccin 2.
1y00.2y00.481.9
y00.2x200.400.501
ymybg
ym2bQ1
AgTQ
322C2C
2C2
322C2C2
2C22
3
2
La ecuacin anterior se satisface para yC2 = 1.86 m. Determinacin de la energa mnima en la seccin 2 2
m48.2E81.9x286.1x00.286.1x00.4
00.5086.1E min222
min
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
187
La energa mnima necesaria para que el agua pase a travs de la pila es Emin = 2.48 m, pero la energa disponible en la seccin 1 -1 es E1 = 2.32 m la cual es menor que la mnima. Por lo tanto el agua aumenta de altura en la seccin de aproximacin para adquirir la suficiente energa para poder pasar. Esta nueva energa en la seccin 1 -1 debe ser igual a la mnima; es decir, E1N = 2.48 m.
m48.281.9x2y00.2y00.6
00.50y 22N1N1
2
N1
La ecuacin anterior tiene cinco races, dos complejas, una negativa y dos positivas, el valor de y1N = 2.25 m corresponde a la condicin de flujo sub crtico. Como la profundidad aguas arriba de la pila es y = 2.25 m > yn1 = 2.00 m > yC1 = 1.59 m, entonces se produce un perfil M1, disminuyendo de profundidad hacia aguas arriba tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn1. Determinacin de la pendiente S0 del canal.
3/10
3/422
0
2
3/2
3/2
0
2
3/2H
02/1
03/2
H APnQS
AAPnQS
ARnQSASR
n1Q
3/102111
3/42
1122
0ymyb
m1y2bnQS
000954.0S00.2x00.200.2x00.6
00.2100.2x200.6015.000.50S 03/102
3/4222
0
A continuacin se muestran en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial. Calcular el perfil hasta y = 1.01 y1 y = 1.01 x 2.00 y = 2.02 m
Tabla para el clculo del perfil M1 mediante el mtodo paso a paso
y A P 3/4HR g2v2
E E S x104 S
x104 SS0
x104 x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
2.25 23.63 16.06 1.67 0.23 2.48 - 6.0795 - -
2.02 20.28 15.03 1.49 0.31 2.33 0.15 9.1845 7.63201 1.90798 786.17
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
188
La ecuacin de continuidad indica que
1212
12221121 q00.4
00.5qqbb
qbqbqQQ
Energa especifica en la seccin 2. Como en la seccin 2 la altura del agua es la profundidad crtica yC2, entonces la energa especfica en la seccin 2 es la energa mnima; es decir,
3/1
3/22
23
22
22C2 81.9q
23E
gq
23Ey
23E
3/1
3/21
3/2
3/2
23/1
3/2
1
23/1
3/22
2 81.9q
45
23E
81.9
q45
23E
81.9q
23E
Problema F.II-5.14 Un canal rectangular de ancho b1 = 5.00 m, pendiente longitudinal S0 = 0.001, coeficiente de Manning n = 0.014, reduce su ancho a b2 = 4.00 m. La reduccin produce la profundidad crtica yC2, e inmediatamente aguas arriba de ella la profundidad es de 4.00 m. Si el flujo uniforme aguas abajo de la reduccin es crtico. Se pide:
a. El caudal. b. Dibujar cualitativamente el perfil superficial que se forma. c. Calcular en un solo paso, la distancia desde la reduccin hacia aguas arriba
hasta donde la profundidad sea igual al 95 % de la profundidad normal.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
189
Energa especifica en la seccin 1.
81.9x2x00.4q00.4E
g2yqyE
g2vyE 2
21
121
21
11
21
11
Como no existe prdida de energa entre las secciones 1 y 2 entonces
3/1
3/21
3/2
3/2
2
21
21 81.9q
45
23
81.9x2x00.4q00.4EE
la ecuacin anterior se satisface para q1 = 13.3 m3/s/m. El caudal total Q es: s/m50.66Q00.5x3.13QbqQ 311
El caudal unitario q2 es: m/s/m63.16q3.1345qq
45q 32212
La profundidad crtica yC1 es: m62.2y81.93.13y
gq
y 1C32
1C3
21
1C
La profundidad crtica yC2 es: m04.3y81.963.16y
gq
y 1C32
1C3
22
2C
Determinacin de la profundidad normal yn1 en el tramo 1.
1n12/1
0
3/2
1n1
1n12/10
3/2H ybSy2b
ybn1QASR
n1Q
1n2/1
3/2
1n
1n y00.5001.0y200.5
y00.5014.0150.66
la ecuacin anterior se satisface para yn1 = 4.33 m. Por ser en el tramo 2 el flujo uniforme crtico la profundidad yn2 = yC2 = 3.04 m Como yn1 = 4.33 m > y = 4.11 m > yc1 = 2.62 m, el perfil que se produce es M2
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
190
Clculo del perfil superficial.
SSEEx
0
12
A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el clculo del perfil M2 mediante el mtodo paso a paso
y A P 3/4HR g2v2
E E S S SS0 x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
4.00 20.00 13.00 1.776 0.563 4.563 - 0.00122 - -
4.11 20.55 13.22 1.801 0.534 4.644 0.081 0.00114 0.001180 -0.00018 450
1m45tg
1m
Problema F.II-5.15 Por un canal trapezoidal con ancho en la base b = 3.00 m y taludes laterales con un ngulo de inclinacin respecto a la horizontal de 45 fluye un caudal de 15.00 m3/s. El coeficiente de n de Manning es n = 0.015 y la pendiente longitudinal S0 = 0.001. El canal termina en una cada libre. Calcular y dibujar el perfil superficial. Tome incrementos de la profundidad de y = 10.00 cm.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
191
Determinacin de la profundidad crtica yC.
La profundidad crtica es aqulla que satisface la siguiente ecuacin:
100.11y2y00.381.9
y00.1x200.300.151
m1y2ybg
ym2bQ1
AgTQ
32
CC
C2
32
CC
C2
3
2
la ecuacin anterior se satisface para yC = 1.19 m
Determinacin de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aqulla profundidad que satisface la ecuacin de Manning.
2nn
2/10
3/2
2n
2nn2/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymybn1QASR
n1Q
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.1y00.3001.000.11y200.3
y00.1y00.3015.0100.15
la ecuacin anterior se satisface para yn = 1.58 m
yn = 1.58 m > yC = 1.19 m, la pendiente es suave y se produce un perfil tipo M, en la cada se
produce la profundidad crtica yC, la altura del agua aumenta hacia aguas arriba tendiendo a
alcanzar la profundidad normal yn formndose un perfil M2.
Esquema del perfil superficial.
Clculo del perfil superficial.
SSEE
x0
12
A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
192
Tabla para el clculo del perfil M2 mediante el mtodo paso a paso
y A P 3/4HR g2v2
E E S S S-S0 x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
1.19 4.99 6.37 0.72 0.46 1.65 - 0.00282 - -
1.29 5.53 6.65 0.78 0.38 1.67 -0.02 0.00215 0.00249 -0.0015 13.33
1.39 6.10 6.93 0.84 0.31 1.70 -0.03 0.00163 0.00189 -0.0009 33.33
1.49 6.69 7.22 0.90 0.26 1.75 -0.05 0.00128 0.00146 -0.0005 100.00
1.55 7.05 7.39 0.94 0.23 1.78 -0.03 0.00108 0.00118 -0.0002 150.00
1.57 7.17 7.44 0.95 0.22 1.79 -0.01 0.00102 0.00105 -0.00005 200.00
m66.496
Determinacin del caudal.
C
32CC
3
3
2
ym2bymybg
QTAgQ1
AgTQ
s/m26.39Q50.1x00.2x200.5
50.1x00.250.1x00.581.9Q 332
Problema F.II-5.16 Un canal trapezoidal con ancho en la base de b = 5.00 m, con taludes laterales m = 2.00 y rugosidad de Manning n = 0.025 conduce agua en flujo crtico a una profundidad de 1.50 m. En determinada seccin su pendiente disminuye en uno por mil. Se pide:
a. El caudal. b. Hacer un esquema cualitativo del perfil superficial. c. Hacer los clculos del perfil superficial de un solo paso para determinar la
distancia x entre los lmites de variacin de y.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
193
Determinacin de la pendiente crtica S0 C en el tramo 1. La pendiente crtica es aqulla que satisface la ecuacin de Manning cuando la profundidad normal yn es igual a la profundidad crtica yC.
3/10
3/422
0
2
3/2
3/2
0
2
3/2H
02/1
03/2
H APnQS
AAPnQS
ARnQSASR
n1Q
3/102111
3/42
1122
0ymyb
m1y2bnQS
0065.0S50.1x00.250.1x00.5
00.2150.1x200.5025.026.39S C03/102
3/4222
C0
Determinacin de la pendiente crtica S0 en el tramo 2.
0055.0S001.00035.0S001.0SS 2020C020
Determinacin de la profundidad normal en el tramo 2.
22n2n1
2/10
3/2
22n1
22n2n12/1
03/2
H ymybSm1y2b
ymybn1QASR
n1Q
22n2n
2/1
3/2
22n
22n2n y00.2y00.50055.000.21y200.5
y00.2y00.5025.0126.39
la ecuacin anterior se satisface para yn1 = 1.57 m. En el tramo 2, en el punto de cambio de pendiente, el agua tiene una profundidad de 1.57 m, hacia aguas arriba se produce un perfil C1 hasta alcanzar la profundidad de 1.50 m en el punto 1
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
194
Clculo del perfil superficial.
SSEE
x0
12
A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el clculo del perfil C1 mediante un solo paso.
y A P 3/4HR g2v2
E E S S SS0 x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
1.57 12.78 12.02 1.09 0.481 2.051 - 0.00541 -
1.50 12.00 11.71 1.03 0.546 2.046 0.005 0.00650 0.00596 0.00054 9.25
Problema F.II-5.17 Un canal rectangular de ancho b = 3.00 m y de gran longitud, es alimentado desde un embalse, como se muestra en la figura. Al final del canal se encuentra una presa de 50.00 m de alto hasta la cresta del aliviadero, el cual deja caer sus aguas a un ro. Si la profundidad del agua sobre la cresta es la profundidad crtica yC, el coeficiente de Manninag es n = 0.013 y la pendiente del canal es S0 = 0.0067, se pide:
a. La profundidad crtica yC. b. La profundidad normal yn. c. El caudal Q. d. El tipo de perfil superficial. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Determinar las profundidades recuentes del resalto hidrulico si este se
produce. g. Calcular mediante el mtodo paso a paso el perfil superficial calculado
cinco puntos hasta donde la profundidad del agua sea ocho veces la profundidad crtica.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
195
Si se considera como hiptesis que la pendiente del canal es supercrtica (yC > yn) entonces:
m00.6y00.932yE
32y CCminC
Determinacin del caudal.
81.9x00.5x00.6QgbyQgb
Qygb
Qy 2323C22
3C3 2
2
C
m/s/m03.46q00.5
16.230qbQqm/s/m16.230Q 33
Determinacin de la profundidad normal yn
La profundidad normal yn es aqulla que satisface la ecuacin de Manning.
ASRn1Q 2/10
3/2H
n2/1
3/2
n
n y00.50067.0y200.5
y00.5013.0116.230
la cual se satisface para yn = 5.16 m. como yC = 6.00 m > yn = 5.16 m la hiptesis es correcta.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
196
Perfiles superficiales.
Desde la presa, con una altura de 56.00 m y hacia aguas arriba se produce un perfil S1 disminuyendo de profundidad como se indica en la siguiente figura.
En la entrada del canal, en el embalse, se produce la profundidad crtica yC y hacia aguas abajo se produce un perfil S2 disminuyendo de profundidad, tendiendo a alcanzar la profundidad normal yn, como se indica en la siguiente figura.
Para pasar de flujo supercrtico a flujo subcrtico se tiene que formar un resalto hidrulico.
Si se considera como hiptesis que la profundidad y1 del resalto es yn = 5.16 m entonces la profundidad secuente del resalto es: Determinacin de las profundidades secuentes del resalto.
2
111
221
1
2
ygyq811
yy2
F811yy2
3
2
231
2
1
2
16.5x81.903.46x811
216.5y
ygq8811
yy2
y2 = 6.93 m
lo cual es fsicamente posible ya que el perfil S1 disminuye de profundidad hasta alcanzar esta altura en el resalto hidrulico.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
197
Esquema y clculo del perfil superficial.
SSEEx
0
12
A continuacin, se muestran forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el clculo del perfil S1 mediante el mtodo paso a paso
y A P 3/4HR g2v2 E E S x 10-5
S x 10-5
S-S0 x 10-5
x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
56 280 117 6.868 0.034 56.034 - 1.64 - - 0.00
54 270 113 6.817 0.037 54.037 1.997 1.80 1.72 68.28 298.53
52 260 109 6.762 0.040 52.040 1.997 1.96 1.88 668.12 298.90
50 250 105 6.705 0.043 50.043 1.997 2.13 2.05 667.95 298.97
48 240 101 6.643 0.047 48.047 1.996 2.35 2.24 667.76 298.91
m61.1195
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
198
Considerando como hiptesis que el flujo en el canal es supercrtico. La velocidad crtica es:
C
2C
CC2
2
CC2
2
C3
2
T2A
g2v
T2A
Ag2Q
TA
AgQ1
AgTQ
Determinacin de la profundidad crtica. como la energa disponible es E0 = 2.40 m entonces:
C
2CC
C0C
C0
2C
C0 ym2b2ymyb
yET2
AyEg2
vyE
al sustituir los valores numricos se obtiene la profundidad crtica yC:
C
2CC
C yx00.2x200.62y00.2y00.6
y40.2 , la cual se satisface para yC = 1.76 m.
Determinacin de la velocidad crtica.
.s/m54.3v81.9x2
v76.140.2
g2v
yE C2
C2
CC0
Determinacin del caudal Q
Problema F.II-5.18 Un embalse descarga sus aguas hacia un canal trapezoidal de gran longitud, taludes laterales con m = 2.00, ancho de la base b = 6.00 m, coeficiente n de Manning n = 0.014 y pendiente longitudinal S0 = 0.005. El nivel de embalse se encuentra a 2.40 m sobre en fondo del canal en la seccin de entrada. Se pide:
a. La profundidad crtica yC.b. El caudal Q. c. La profundidad normal yn. d. El tipo de perfil que se produce. e. Dibujar cualitativamente el perfil superficial. f. Calcular la distancia mnima desde la entrada del canal a la que se puede
ubicar una compuerta suponiendo que produce una profundidad de 2.10 m aguas arriba de ella sin que se modifique el caudal calculado en el punto b.
g. Dibujar el nuevo perfil superficial.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
199
.s/m31.59Q76.1x00.276.1x00.6x54.3QAvQ 32CC
Determinacin de la profundidad normal yn.
La profundidad normal yn es aqulla que satisface la ecuacin de Manning.
ASRn1Q 2/10
3/2H
2nn
2/1
3/2
2n
2nn y00.2y00.6005.000.21y200.6
y00.2y00.6014.0131.59
la cual se satisface para yn = 1.36 m. como yn = 1.36 m. < yC = 1.76 m, el flujo es supercrtico por lo tanto la hiptesis es verdadera, entonces la pendiente es supercrtica y los perfiles son del tipo S. El perfil superficial que se produce se muestra en el siguiente esquema:
Si se mueve la compuerta hacia aguas arriba, hacia la entrada del canal, el resalto comienza a retroceder hasta que el perfil S1 alcanza la entrada del canal con una profundidad de 1.76 m, si la compuerta continua movindose hacia aguas arriba la salida se ahoga y comienza a disminuir el caudal. Por lo tanto el lmite del caudal uniforme se produce cuando S1 alcanza 1.76 m en la entrada del canal. El esquema que muestra la situacin descrita anteriormente se muestra en la figura siguiente:
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
200
Clculo del perfil superficial.
SSEE
x0
12
A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
Tabla para el clculo del perfil S1 mediante el mtodo paso a paso
y A P 3/4HR g2v2
E E S x 10-3 S
x 10-3 S-S0
x 10-3 x
(m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m) (m)
2.10 21.42 15.39 1.55 0.40 2.50 - 0.992 - - -
2.00 20.00 14.94 1.48 0.46 2.46 0.04 1.20 1.096 3.904 10.25
1.90 18.62 14.49 1.40 0.53 2.43 0.03 1.45 1.330 3.670 8.17
1.80 17.28 14.04 1.32 0.62 2.42 0.01 1.80 1.630 3.37 2.97
1.76 16.89 13.91 1.30 0.65 2.419 0.001 1.92 1.860 3.140 0.32
m71.21
Problema F.II-5.19 Un canal rectangular de ancho b = 1.50 m tiene un desnivel de 1.00 m en una longitud horizontal de 1600.00 m. La profundidad normal yn es de 0.70 m, cuando el caudal Q es de 0.65 m3/s. En una determinada seccin se interpone una compuerta con lo que la profundidad aguas arriba de la compuerta aumenta a 1.00 m. Determinar:
a. La profundidad crtica yC.b. El coeficiente n de Manning. c. El tipo de perfil superficial que se forma. d. La profundidad del agua, de un solo paso, a 685.00 m aguas arriba de la
compuerta.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
201
Determinacin de la profundidad crtica yC.
m27.0y81.9x50.1
65.0ygb
Qygqy C3 2
2
C3 2
2
C3
2
C
Determinacin del coeficiente n de Manning. La pendiente del canal S0 es:
00063.0S1600
00.1SLzS 000
3/2
3/52/102/1
0
3/22/1
03/2
H PQAS
nASPA
n1QASR
n1Q
0205.0n70.0x250.165.0
70.0x50.100063.0ny2bQybS
n 3/23/52/1
3/2
3/52/10
como y = 1.00 m > yn = 0.70 m > yC = 0.27 m la pendiente es subcrtica y el perfil es tipo M1 y el esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:
Clculo del perfil superficial.
xSSEESSEE
x 0210
12
A continuacin se muestra en forma tabulada los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
202
Tabla para el clculo del perfil M1 mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas.
x y A P 3/4HR g2v 2 E S (10-4)
S (10-4)
S-S0 (10-4)
E
(m) (m) (m2) (m) (m4/3) (m) (m) (m)
1.00 1.50 3.50 0.3231 0.0096 1.0096 2.442 -- -- 1.0096
685 0.75 1.125 3.00 0.2704 0.0170 0.7670 0.519 3.81 2.43 0.857
685 0.84 1.26 3.18 0.2910 0.0136 0.8530 3.843 3.14 3.11 0.815
685 0.80 1.20 3.10 0.2821 0.0149 0.8149 4.370 3.41 2.84 0.832
685 0.817 1.226 3.134 0.2861 0.0143 0.8310 4.130 3.29 2.96 0.825
685 0.810 1.215 3.120 0.2845 0.0146 0.8250 4.220 3.33 2.92 0.827
La profundidad a 685.00 m aguas arriba de la compuerta es y = 0.81 m.
Problema F.II-5.20 Un canal rectangular de gran anchura y gran longitud conduce un caudal unitario q = 1.50 m3/s/m, con una pendiente longitudinal S0 = 0.0001. El fondo tiene una rugosidad de Manning n = 0.020. El canal termina en una cada libre. Determinar:
a. La profundidad crtica yC-b. La profundidad normal yn. c. El tipo de perfil que se produce. d. La profundidad a 20.00 m de la cada. e. La profundidad a 40.00 m de la cada.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
203
Determinacin de la profundidad crtica yC.
m61.0y81.9
50.1yg
qy C32
C3
2
C
Determinacin de la profundidad normal yn.
m93.1y0001.0
020.0x50.1yS
nqyySyn1q n
5/3
2/1n
5/3
2/10
nn2/1
03/2
n
como yn = 1.93 m > yC = 0.61 m la pendiente es subcrtica y el perfil es tipo M, el canal termina en una cada libre donde se produce la profundidad crtica yC. Hacia aguas arriba el perfil aumenta de altura tendiendo a alcanzar la profundidad normal formndose un perfil M2. El esquema correspondiente se muestra en la siguiente figura:
Clculo del perfil superficial.
xSSEESSEE
x 0210
12
A continuacin se muestran, en forma tabulada, los clculos realizados con el fin de determinar el perfil superficial.
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO GRADUALMENTE VARIADO _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
204
Tabla para el clculo del perfil M2 mediante el mtodo de aproximaciones sucesivas.
x y g2
v 2 E S (10-4) S
(10-4) S-S0
(10-4) E
(m) (m) (m) (m) (m)
0.621 0.309 0.918 46.25 0.918
20 0.700 0.234 0.934 29.55 37.90 - -36.90 0.992
20 0.758 0.200 0.958 22.66 34.46 - 33.46 0.985
20 0.758 0.186 0.971 20.17 33.21 - -32.21 0.982
20 0.796 0.181 0.977 19.26 32.76 - -31.76 0.982
20 0.800 0.181 0.981 18.94 32.60 -31.60 0.981
20 1.000 0.115 1.115 9.00 13.97 - -12.97 1.011
20 0.896 0.143 1.039 12.98 15.96 - -14.96 1.011
20 0.868 0.152 1.020 14.42 16.68 - -15.68 1.012
20 0.860 0.155 1.015 14.87 16.91 - 15.91 1.013
-
PROBLEMAS DE MECANICA DE LOS FLUIDOS FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
205
Capitulo 6
FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
Las expresiones de u y v son:
x32uy
yx3y2-x31uy
u
y33vx
yx3y2-x31vx
v
para que exista funcin potencial el flujo debe ser irrotacional. Para que el flujo sea irrotacional se debe cumplir:
00y
x32x
y33yu
xv
entonces el flujo es irrotancional, por lo tanto existe funcin potencial. Determinacin de la funcin potencial:
yfy
yf2x3x2x32
xu
x
2
C2y3y3yfy33yfvyfv
y
2
C2y3y3
2x3x2yf
2x3x2
222
Cy3x22y3
2x3 22
Problema F.II-6.01 La funcin de corriente para flujo bidimensional es: yx3y2x31 . Hallar la funcin potencial.