2

TRABAJO 1

Dada la ecuacin diferencial

=

Se pide:

a) Justificar si es posible que exista solucin para valores > 1.

b) Comprobar si las funciones y(t) = 1, y(t) = -1 e y(t) = sin(t+C) cumplen la

ecuacin para todo t .

c) Expresar la solucin general de la ecuacin.

Solucin:

a)

Como el arcsen est acotado entre -1 y +1, no existe solucin para |y|>1.

b)

Para

Para

Para

No cumple la ecuacin .

c)

3

TRABAJO 2

Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de elipses:

, siendo c .

Solucin:

Primero derivamos respecto a x ambos miembros de la ecuacin y obtenemos:

Debemos despejar en la ecuacin:

Ahora hacemos el cambio

para encontrar la ecuacin diferencial de las trayectorias

ortogonales:

de manera que ahora

Dividimos el numerador y el denominador de la fraccin por x y, como es una ecuacin

homognea, podemos hacer el cambio

, siendo , de manera que

obtenemos:

Ahora debemos separar las variables con sus respectivos diferenciales e integrar ambas partes

de la ecuacin, sabiendo que :

Al integrar obtenemos:

Por lo que la solucin ser:

4

TRABAJO 3

Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el istopo

plutonio 239. Despus de 15 aos se determina que 0.043% de la cantidad inicial

de plutonio se ha desintegrado. Encontrar la vida media de este istopo si la rapidez

de desintegracin es proporcional a la cantidad restante.

Solucin:

Llamamos R(t) a la cantidad de uranio que queda en el instante t, de manera que (t) es la

cantidad en el momento inicial. Tomamos, segn los datos del problema, t=15 aos.

Como la rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad restante, utilizamos una

constante de proporcional que llamaremos k.

La velocidad de desintegracin ser entonces R(t), de modo que R(t)= k R(t).

R(t=15)=

Llamando R a la cantidad restante, la velocidad con la que desaparezca ser su derivada

respecto al tiempo, entonces obtenemos la ecuacin

en la cual separaremos las variables para integrar, de manera que obtengamos la ecuacin

general.

Tomamos exponenciales a ambos lados de la ecuacin

de manera que la ecuacin general es .

Evaluamos la funcin en t=0 y t=15:

y obtenemos que el valor de la constante de proporcionalidad k es .

Sustituimos los valores hallados en la ecuacin general y queda , y

como queremos calcular el tiempo de semidesintegracin, definimos que

.

5

Ahora con los clculos oportunos se halla el nmero de aos en los que la cantidad inicial se

desintegra:

6

TRABAJO 4

Considerar la ecuacin diferencial lineal no homognea

(1)

siendo las funciones , contnuas en el intervalo I.

Comprobar que si las funciones e son soluciones particulares en I de las

ecuaciones

respectivamente, entonces es solucin particular de (1) en I.

Aplicar el resultado anterior para resolver la ecuacin diferencial:

Solucin:

a) Sustituimos e como soluciones particulares en las ecuaciones:

Para que al sumarlas obtengamos la ecuacin

entonces ha de ser necesariamente , es decir, solucin

particular de la EDOLnH dada.

b)

La ecuacin caracterstica correspondiente es , y sus races son

y , por lo que la solucin general de la ecuacin homognea

asociada ser:

Ahora hay que hallar las solucin particular de la ecuacin, para lo que hacemos:

(1)

(2) +1

En el caso (1), como el segundo miembro de la ecuacin tiene la forma donde

no es una raz de la ecuacin caracterstica, la solucin particular y1 de la ecuacin (1)

7

es de la forma , y debemos calcular cunto vale A sustituyendo la solucin:

En el caso (2) el segundo miembro de la ecuacin es un polinomio y el nmero 0 no es

raz de la ecuacin caracterstica, por lo que la solucin particular y2 de la ecuacin (1)

ser un polinomio de la forma ax+b. Sustitumos en la ecuacin inicial para calcular

cunto valen a y b:

Si tomamos dos valores cualesquiera para x podemos hallar las constantes a y b:

Para x=0

Para x=1

Resolviendo el sistema obtenemos que

y

.

Queda definida entonces la solucin particular de la ecuacin inicial, que ser la suma

de las soluciones particulares y1, y2 e y3, es decir:

c) La solucin general de la ecuacin diferencial es:

8

TRABAJO 5

Dado el sistema lineal homogneo:

[SH]

y la funcin matricial:

tal que

Solucin:

1.

a) Para que sea matriz fundamental del sistema, su determinante Wronskiano ha de ser

distinto de cero. Lo comprobamos:

Queda justificado que la matriz s es matriz fundamental del sistema [SH] en [t1,t2] para

cualesquiera valores t1,t2 , es decir, la afirmacin es verdadera.

b) Para comprobar si el sistema es equivalente a una ecuacin de segundo orden de

coeficientes constantes, debemos poder encontrar dos soluciones y1 e y2 que sean

linealmente independientes. La matriz fundamental del sistema, en este caso debe

cumplir esta propiedad:

donde e son las derivadas respecto a x de e .

Verificamos si nuestra matriz se ajusta a esta condicin:

ha de ser la derivada de

ha de ser la derivada de

Como no se cumple ninguna de las dos condiciones necesarias, esta afirmacin es falsa.

c) De nuevo hacemos el determinante de Wronski y observamos si es distinto de cero, en este

caso para cualquiera de los valores que puedan tomar a y b.

9

Tras hacer las operaciones necesarias, vemos que si el determinante sera nulo,

as que podemos concluir que esta afirmacin es falsa.

d) Para saber si la funcin

es solucin del sistema dado, debemos comprobar

que sustituyendo en el mismo se cumpla la igualdad.

Para ello necesitamos conocer la matriz , que podemos calcular pues conocemos la

relacin que guarda con , que es

Sustituimos en la expresin y encontramos :

donde

Ahora ya podemos comprobar si es solucin, verificando que se cumpla:

Vemos que se cumple la igualdad, as que la afirmacin es cierta.

2.

Dado el sistema , sabemos que la solucin general que buscamos ser la

suma de la solucin del sistema homogneo ms una solucin particular.

La solucin homog. ser donde es un vector de constantes

.

La solucin particular debemos encontrarla mediante la siguiente relacin:

En primer lugar, calculamos la inversa de la matriz

10

Si reemplazamos las incgnitas de la ecuacin de por nuestros datos, obtenemos:

Una vez hallada la particular, determinamos la solucin general esperada:

3.

Como tenemos la solucin general del sistema lineal, calcular la solucin que cumpla que

podemos hacerlo imponiendo que y que

Dada esta igualdad, determinamos que , por lo que la solucin del sistema que

cumple estas condiciones ser:

11

TRABAJO 6 La transformada inversa de Laplace o antitransformada de Laplace de la funcin F (s) definida para s > es aquella funcin f(t) con t 0 tal que F(s) = [f(s)]. La notacin que se suele utilizar es F(t) = -1 [F](t), i.e. F(s) = [f](s), s > lo que significa que [f](s) = F(s), s > . Teniendo en cuenta el concepto anterior de la antitransformada de Laplace resolver el siguiente PVI:

Solucin:

Nuestro problema (PVI) es ( y(t)) - (y(t)) = (1) ; con y(0) = 0,

Adems por el teorema de derivacin de un objeto sabemos que ( f (t) )= s F(s) f(0),

por tanto aplicado a nuestro problema :

(y(t))= s Y(s) y(0)= s Y(s)-0

y(t) = s Y(s)

Tambin sabemos que la transformada de Laplace de 1, (1)= 1/s,

Entonces la ecuacin operacional queda de la siguiente forma:

s Y(s) Y(s) = 1/s

Despejamos Y(s):

Y(s)(s-1)= 1/s ;

Y(s)=

Ahora aplicamos la antitransformada de Laplace para obtener y(t):

y(t)= -1(Y(s))= -1(

)

12

Buscamos en la tabla de transformaciones de Laplace y encontramos:

F(s)=

f(t)=

(eat ebt)

En nuestro caso, a=0 y b=1, por tanto:

y(t)=

(e0t et)= et -1

13

TRABAJO 7

Usar el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden para obtener una aproximacin de

y(1.5) para la solucin del PVI:

Usar h= 0.1.

Teniendo en cuenta que el valor real de y(1.5) es 3.4904, calcular el error cometido al

tomar como aproximacin numrica la dada por el mtodo de Runge-Kutta y valorar

si es necesario tomar un paso menor.

Solucin:

El mtodo de Runge-Kutta es un mtodo iterativo para la resolucin de ecuaciones

diferenciales. En su definicin se usarn 4 variables auxiliares:

K1 = (xi , yi)

K2 = (xi+

, yi+

)

K3 = (xi+

, yi+

)

K4 = (xi+h , yi+k3 h)

Que se sustituirn en:

yi+1= yi +

(k1 +2 k2+2 k3+ k4) ;

En la primera iteracin tomamos los valores iniciales dados x0=1, y0= 1.

Debemos calcular las k sustituyendo los valores de xi e yi en cada caso, por tanto:

k1= 211=2

k2 = (1+

, 1 + 0.1)= 2.31

k3 = (1+0.05, 1+

0.1)= 2.34255

k4 = (1+0.1, 1+2.342550.1)= 2.715361

y1=1+

(2+22.31+22.34255+2.715361)= 1.23366435

Segunda iteracin: x1=1+h=1+1+0.1=1.1 , y1=1.23366435

k1=21.11.23366435=2.71406

k2= (1.1+0.05, 1.23366435+

0.1)= 3.149545086

k3= (1.1+0.05, 1.23366435+

0.1)= 3.19962569

k4= (1.1+0.1, 1.23366435+3.199625690.1)=3.7287046

14

y2=1.23366435+

(2.71406+23.149545086+23.19962569+3.7287046)=1.55268278

Tercera iteracin: x2=1.2 , y2=1.552682786

k1=21.21. 552682786= 3.726438686

k2= (1.2+0.05, 1.552682786+

0.1)= 4.347511801

k3= (1.2+0.05, 1.552682786+

0.1)= 4.4251459

k4= (1.2+0.1, 1.552682786+4.42514590.1)= 5.187513188

y3=1.552682786+

(3.726438686+24.347511801+24.4251459+5.187513188)= =1.99367

Cuarta iteracin: x3= 1.3 , y3=1.99367

k1=21.31.99367=5.183543492

k2= (1.3+0.05, 1.99367 +

0.1)=6.082687371

k3= (1.3+0.05, 1.99367 +

0.1)= 6.2040718

k4= (1.3+0.1, 1.99367 +6.20407180.1)= 7.31941604

y4= 1.99367+

(5.183543492+26.082687371+26.2040718+7.31941604)= =2.611611299

Quinta iteracin: x4=1.4 , y4= 2.611611299

k1=21.42.611611299= 7.312511637

k2= (1.4+0.05, 2.611611299+

0.1)= 8.63398695

k3= (1.4+0.05, 2.611611299+

0.1)= 8.8256008

k4= (1.4+0.1, 2.611611299 + 8.82560080.1)= 10.48251416

y5= 2.611611299+

(7.312511637+28.63398695+28.8256008+10.48251416)= =3.490181321

x5=1.5 , y5= 3.490181321

La aproximacin de y(1.5) se acerca al valor real 3,4904.

Ahora procedemos a calcular el error cometido:

Para calcular el error tras cinco iteraciones hacemos:

15

Realizando operaciones con el programa de clculo Mxima, obtenemos que el error cometido

es de .

Teniendo en cuenta que el error es del orden de , es decir, bastante pequeo, no

necesitaramos tomar un paso menor.

16

TRABAJO 8

Desarrollar

en serie de Fourier.

Analizar si existe convergencia de la serie de Fourier. En el caso de que exista indicar

a qu valor o valores converge.

Solucin:

El periodo de la funcin es y su frecuencia

.

En primer lugar hallamos los coeficientes de Fourier:

Resolvemos las dos integrales aparte:

Luego

Ahora calculamos :

17

Resolvemos las dos integrales aparte:

Luego

Ahora determinamos la serie S(x):

En cuanto a la convergencia, la funcin es continua a trozos, es decir, slo es

discontinua en un nmero finito de puntos, por lo que es convergente. Estudiamos esa

convergencia en un punto x, y para ello calculamos la semisuma de las valoraciones en el

entorno de x:

siendo la funcin inicial.

La funcin converge a

en x=0.