Ejercicios de ria - matap.dmae.upm.es · Estadística Ejercicio 3 EIAE (UPM) Formamos números de 4...

Estadística

EIAE (UPM)

Ejer i ios de

ombinatoria

Estadística– p. 1

Estadística

EIAE (UPM)Ejercicio 1

Formamos números de 4 cifras distintas con los dígitos{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número sea par.

CP:C1

7C2

6C3

5C4

4 = 7× 6× 5× 4 =7!

3!= V7,4

CF:C1

6C2

5C3

4par3 = 3× 6× 5× 4 = 3×

6!

3!= 3× V6,3

P =3× 6× 5× 4

7× 6× 5× 4=

3

7


Estadística


Formamos números de 4 cifras, no necesariamente distintas,con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el númerosea par.

CP:C1

7C2

7C3

7C4

7 = 74 = V R7,4

CF:C1

7C2

7C3

7par3 = 3× 73 = 3× V R7,3

P =3× 73

74=

3

7


Estadística


Formamos números de 4 cifras distintas con los dígitos{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el número sea mayor oigual que 2500.

CP:C1

7C2

6C3

5C4

4 = 7× 6× 5× 4 =7!

3!= V7,4

CF:2

15,6,7

3C3

5C4

4 = 3× 5× 4+

>2

5C2

6C3

5C4

4 = 5× 6× 5× 4

P =3× 5× 4 + 5× 6× 5× 4

7× 6× 5× 4=

11

14


Estadística


Formamos números de 4 cifras, no necesariamente distintas,con los dígitos {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Probabilidad de que el númerosea mayor o igual que 2500.

CP:C1

7C2

7C3

7C4

7 = 74 = V R7,4

CF:2

15,6,7

3C3

7C4

7 = 3× 72

+>2

5C2

7C3

7C4

7 = 5× 73

P =3× 72 + 5× 73

74=

38

49Estadística– p. 5

Estadística


Sentamos a 6 personas en 6 sillas puestas en fila. Probabilidadde que Pepe y Juan se sienten juntos.

CP:S1

6S2

5S3

4S4

3S5

2S6

1 = 6× 5× 4× 3× 2× 1 = 6! = P6

CF:Pepe

1Juan1

S3

4S4

3S5

2S6

1 = 4× 3× 2× 1 = 4! = P4

S1

4Pepe

1Juan1

S4

3S5

2S6

1 = 4× 3× 2× 1 = 4! = P4...Total = 4!× 5× 2

P =4× 3× 2× 5× 2

6× 5× 4× 3× 2=

1

3


Estadística


Sentamos a 6 personas en 6 sillas puestas en fila. Probabilidadde que Pepe y Juan no se sienten juntos.

CP:S1

6S2

5S3

4S4

3S5

2S6

1 = 6! = P6

CF:Pepe

1No Juan4

S3

4S4

3S5

2S6

1 = 4× 4!

No Juan4

Pepe

1No Juan3

S4

3S5

2S6

1 = 4× 3× 3!

Total = (4× 4!)× 2 + (4× 3× 3!)× 4

P =(4× 4!)× 2 + (4× 3× 3!)× 4

6!=

2

3


Estadística


Sentamos a 6 personas en 6 sillas formando un círculo. Proba-bilidad de que Pepe y Juan se sienten juntos.

A

1

2

34

51

CP = 5!

Pepe

1

12

3

41Juan

Pepe

1

23

4

11 Juan

CF = 2× 4!

P =2× 4!

5!=

2

5Estadística– p. 8

Estadística


Sentamos a 6 personas en 6 sillas formando un círculo. Proba-bilidad de que Pepe y Juan no se sienten juntos.

A

1

2

34

51

CP = 5!

Pepe

3

1

23

41 No JuanNo Juan CF = 3× 4!

P =3× 4!

5!=

3

5


Estadística


Se lanzan 3 dados. Probabilidad de que salga un dos.

CP:D1

6D2

6D3

6 = 63 = V R6,3

CF:21

no 25

no 25 = 52 =⇒ (52)× 3

P =3× 52

63


Estadística


Se lanzan 5 dados. Probabilidad de que salgan tres doses.

CP:D1

6D2

6D3

6D4

6D5

6 = 65 = V R6,5

CF:21

21

21

no 25

no 25 = 52 =⇒ (52)× PR5

3,2 = 52 ×5!

3!× 2!

P =10× 52

65


Estadística


En un grupo de r ≤ 365 personas. Probabilidad de que nadiecumpla años el mismo día.

CP:P1

365P2

365P3

365 · · ·Pr

365 = 365r = V R365,r

CF:P1

365P2

364P3

363 · · ·Pr

365− (r − 1) =365!

(365− r)!= V365,r

P =365!/(365− r)!

365r


Estadística


De una baraja española (40 cartas) se extraen 5 cartas.

(a) Probabilidad de que salga el as de oros.

P =

(

1

1

)(

39

4

)

(

40

5

) =39!

4! 35!

5! 35!

40!=

5

40=

1

8= 0.125


Estadística



(b) Probabilidad de que salga un as.

P =

(

4

1

)(

36

4

)

(

40

5

) =4!

1! 3!

36!

4! 32!

5! 35!

40!=

6545

18278≃ 0.358


Estadística



(c) Probabilidad de que no salga ningún as.

P =

(

36

5

)

(

40

5

) =36!

5! 31!

5! 35!

40!=

5236

9139≃ 0.573


Estadística



(d) Probabilidad de que salga al menos un as.

P = 1− P(no salga ningún as) = 1−5236

9139≃ 0.427


Estadística



(a) Probabilidad de que salgan 2 bastos y 3 espadas.

P =

(

10

2

)(

10

3

)

(

40

5

)


Estadística



(b) Probabilidad de que salgan dos bastos.

P =

(

10

2

)(

30

3

)

(

40

5

)


Estadística



(c) Probabilidad de que salga 1 as, 2 sotas y 2 caballos.

P =

(

4

1

)(

4

2

)(

4

2

)

(

40

5

)


Estadística


Colocamos 5 bolas en 7 cajas.

(a) Probabilidad de que todas las bolas estén en la misma caja.

CP:B1

7B2

7B3

7B4

7B5

7 = 75

CF:B1

1B2

1B3

1B4

1B5

1 = 1 =⇒ 1×

(

7

1

)

P =7

75=

1

74


Estadística


Colocamos 5 bolas en 7 cajas.

(b) Probabilidad de que 3 bolas caigan en una caja determina-da.

CP:B1

7B2

7B3

7B4

7B5

7 = 75

CF:B1

1B2

1B3

1B4

6B5

6 = 62 −→ 62 ×

(

5

3

)

P =

62 ×

(

5

3

)

75=

360

16807


Estadística


De una baraja francesa (52 cartas) se reparten todas entre 4jugadores. Probabilidad de que cada jugador tenga un as.

CP PR52

13,13,13,13 =52!

13! 13! 13! 13!

CF PR48

12,12,12,12 4! =48!

12! 12! 12! 12!︸︷︷︸

Reparto los no-as

4!


Estadística


De una baraja francesa (52 cartas) se extraen 5 cartas.

(a) Probabilidad de que los 5 números sean distintos.

Un as + un dos + un tres + un cuatro + un cinco(

4

1

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

Elijo 5 números para hacer la combinación

(

13

5

)

P =

45 ×

(

13

5

)

(

52

5

) =1317888

2598960≃ 0.507


Estadística



(b) Probabilidad de obtener una pareja.

Pareja de ases + un dos + un tres + un cuatro

(

4

2

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

Elijo un número para la pareja y tres para las otras cartas.

(

13

1

)

×

(

12

3

)

P =

43 × 13××

(

4

2

)

×

(

12

3

)

(

52

5

) =1098240

2598960≃ 0.422


Estadística



(c) Probabilidad de obtener dobles parejas.

Pareja de ases + pareja de doses + un tres

(

4

2

)

×

(

4

2

)

×

(

4

1

)

Elijo dos números para las parejas y uno para la otracarta.

(

13

2

)

×

(

11

1

)

P =

4× 11×

(

4

2

)

×

(

4

2

)

×

(

13

2

)

(

52

5

) =123552

2598960≃ 0.0475


Estadística



(d) Probabilidad de obtener un trío.

Trío de ases + un dos + un tres(

4

3

)

×

(

4

1

)

×

(

4

1

)

Elijo un número para el trío y dos para las otras cartas.

(

13

1

)

×

(

12

2

)

P =

42 × 13×

(

4

3

)

×

(

12

2

)

(

52

5

) =54912

2598960≃ 0.0211


Estadística



(e) Probabilidad de obtener full (trío + pareja)

Trío de ases y pareja de damas.

(

4

3

)

×

(

4

2

)

Elijo un número para el trío y otro para la pareja.

(

13

1

)

×

(

12

1

)

P =

13× 12×

(

4

3

)

×

(

4

2

)

(

52

5

) =3744

2598960≃ 0.00144


Estadística



(f) Probabilidad de obtener póquer (4 cartas del mismonúmero).

Póquer de ases + un dos

(

4

4

)

×

(

4

1

)

Elijo un número para el póquer y otra para la otra carta.

(

13

1

)

×

(

12

1

)

P =4× 13× 12

(

52

5

) =624

2598960≃ 0.000240


Estadística


En una apuesta de la lotería primitiva.

(a) Probabilidad acertar los 6 números.

P =

(

6

6

)

(

49

6

) =1

13983816≃ 7.15× 10−8


Estadística


En una apuesta de la lotería primitiva.

(b) Probabilidad acertar 5 números y el complementario.

P =

(

6

5

)

×

(

1

1

)

(

49

6

) =6

13983816≃ 4.29× 10−7

(c) Probabilidad acertar sólo 5 números.

P =

(

6

5

)

×

(

42

1

)

(

49

6

) =252

13983816≃ 1.80× 10−5


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