ejercicios de integrales indefinidas (Analisis matematico )
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA AMAZONIA PERUANA
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
TRABAJO PRÁCTICO
TEMA : EJERCICIOS DE TÓPICOS DE CALCULO (Máximo Mitacc-Luis Toro)
CATEDRÁTICO : Lic. MANUEL TUESTA MORENO
INTEGRANTES :
ROJAS GONZALES MIGUEL ANGEL.
HERNANDEZ JAUYA PAUL MARTÍN
NIVEL : II
CICLO : III
IQUITOS –JULIO DEL 2009-PERÚ
EL PRESENTE TRABAJO PRÁCTICO ES UNA COLECCIÓN DE PROBLEMAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS, EXTRAIDAS DEL LIBRO: “TOPICOS DE CALCULO (VOL.II)” DE MAXIMO MITACC-LUIS
TORO, CON SUS RESPECTIVAS SOLUCIONES DESARROLLADOS POR LOS ALUMNOS A CARGO.
Ejercicios Pág. 83
------------------- -----------------------------------------|SOLUCIONARIO|-------------------------------------------------------
1.∫ 4 x2+6x3+3 x
dx
¿∫ 4 x2+6x3+3 x
dx
∙1
x ( x2+1 )= A
x+
B (2 x )+C
x2+3
¿∫ 4 x2
x (x2+3)dx+∫ 6
x (x2+3)dx
1=A ( x2+3 )+(2Bx+C) x
¿4∫ x
( x2+3 )dx+6∫ dx
x ( x2+3 ) 1=A x2+3 A+2B x2+Cx
¿4∫ x
( x2+3 )dx+6[ 1
3∫dxx
−13∫
x
( x2+3 )dx ] 1=x2 ( A+2B )+xC+3 A
¿4∫ x
( x2+3 )dx+2∫ dx
x−2∫ x
( x2+3 )dx A=1
3;C=0 ;B=−1
6
¿2∫ dxx
+2∫ x
( x2+3 )dx x2+3=u
¿2 ln|x|+2∫ xu ( du
2 x ) 2 xdx=du⇒ dx= du2 x
¿ ln|x|2+ ln|u|
¿ ln ( x )2+ln ( x2+3 )
¿ ln [ x2 ( x2+3 ) ]+C
Pág. 84
5.∫ x2+x−1x3−x2−x+1
dx
¿∫ x ( x+1 )−1
(x−1 )2 ( x+1 )dx
¿∫ x ( x+1 )(x−1 )2 ( x+1 )
dx+∫ dx
( x−1 )2 ( x+1 )
∙1
( x−1 )2 ( x+1 )= A
( x−1 )+ B
(x−1 )2+ C
( x+1 )
∙ 1=A ( x−1 ) ( x+1 )+B ( x−1 )+C ( x−1 )2 ∙ 1=A x2−A+Bx+B+C x2−2 Cx+C ∙ 1=x2 ( A+C )+x (B−2C )+(−A+B+C )
A=−14
;B=12
;C=14
¿∫ x
( X−1 )2dx−[−1
4 ∫ dx(x−1 )
+12∫
dx
( X−1 )2+
14∫
dx( x+1 ) ]
¿∫ x
( X−1 )2dx+ 1
4∫dx
( x−1 )−1
2∫dx
( X−1 )2−1
4∫dx
( x+1 ) x−1=u ; x+1=v
x=u+1 dx=dv
¿∫ u+1
u2du+ 1
4∫duu
−12∫
du
u2−1
4∫dvv
dx=du
¿∫ u
u2 du+∫ du
u2 +14
ln|x−1|−12 ( −1
( x−1 ) )−14
ln|x+1|
¿ ln|x−1|− 1( x−1 )
+ 14
ln|x−1|+ 12 ( x−1 )
−14
ln|x+1|
¿− 12 ( x−1 )
+ 54
ln|x−1|−14
ln|x+1|+C
9.∫ 2 x2−3 x−3(x−1 )(x2−2 x+5)
dx=I
∙ x2−2 x+5=(x−1)2+4
I=∫ x2− x−8+x2−2 x+5(x−1 )(x2−2 x+5)
dx
I=∫ x (x−1)( x−1 )(x2−2 x+5)
−8∫ dx(x−1 )(x2−2 x+5)
+∫ (x2−2 x+5)( x−1 )(x2−2 x+5)
dx
I=∫ xdx
x2−2 x+5−8∫ dx
( x−1 )[ ( x−1 )2+4 ]+∫ dx
(x−1)
∙ x−1=u → x=u+1
∙ dx=du
I=∫ (u+1)u2+4
du−8∫ dxu (u2+4 )
+∫ duu
I=∫ u du
u2+4+∫ du
u2+4−8∫ du
u (u2+4)+∫ du
u
1
u(u2+4 )= A
u+
B (2u )+c
u2+4
∙ 1=A (u2+4 )+(2 Bu+c )u 4 A=1→ A=14
∙ 1=A u2+4 A+2 B u2+uC C=0
∙ 1=u2 ( A+2B )+uC+4 A A+2 b=0 → B=−18
I=∫ u du
u2+4+∫ du
u2+4−8[ 1
4∫duu
−14∫
u du
u2+4]+∫ du
u
I=∫ u du
u2+4+∫ du
u2+4−2∫ du
u−2∫ udu
u2+4¿¿+∫ du
u
I=3∫ u du
u2+4−∫ du
u+∫ du
u2+4
∙ u2+4=t → t=u2+4=(x−1)2+4=x2−2 x+5
∙ 2udu=dt ∙ u=(x−1)
∙ du= dt2 u
I=3∫ ut( du
2 u)−∫ du
u+∫ du
u2+4
I=32
ln|t|−ln|u|+ 12
arctg( u2 )+c
I=32
ln|x2−2 x+5|−ln|x−1|+ 12
arctg ( x−12 )+c
Pág.85-------------------------------------
13.∫ 2 x
x4+x2+1dx=I
I=2∫ 4 xdx
4 ( x4+x2+1 )
I=2∫ 4 x dx
4 x4+4 x2+1+3
I=2∫ 4 x dx
(2 x2+1)2+3
u=2 x2+1
du=4 xdu
dx= du4 x
I=2∫ 4 xdu
(u2+3 ) 4 x
I=2∫ du
u2+3=2∫ du
u2+(√3)2 =2( 1
√3arctg( u
√3 ))+c
I= 2√3
arctg ( 2x2+1√3 )+c
17.∫ dx
x8+x6=I
I=∫ dxx6( x2+1)
=∫ x6+1−x6
x6( x2+1)=∫ (x6+1)dx
x6(x2+1)−∫ x6 dx
x6(x2+1)
I=∫ ( x2+1 ) (x4−x2+1)dx
x6(x2+1)−∫ dx
(x2+1)
I=∫ dx
x2−∫ dx
x4+∫ dx
x6−∫ dx
x2+1
I=−1x
+ 1
3 x3− 1
5 x5−arctg x+c
21 .∫dx
x ( x9+1 )3 ⋅ x9+1=t → x9=t−1 ⇒ 9x8 .dx=dt → dx=
dt
9 x8
I=∫dt9x8
x . t3 ⇒ I=
19∫ dt
x9 t3 ⇒ I==
19∫dt
( t−1 )t3
¿ 1=At
+B
t2+C
t3+D( t−1 )
1=At2( t−1)+Bt ( t−1 )+C (t−1 )+Dt3
1=At3−At2+Bt2−Bt+Ct−C+Dt3
1=t3 ( A+D)+t2( B−A )+t (C−B )+(−C )
A+D=0 B−A=0 C−B=0 −C=1−1+D=0 B=A C=B C=−1D=1 A=−1 B=−1
I=19 [−∫ dt
t−∫ dt
t2−∫dt
t3+∫ dt
t−1 ]I=1
9 [−ln|x9+1|+1
( x9+1 )+1
2( x9+1 )2+ ln|x9|]
I=9 ln|x|9
−19
ln|x9+1|+19( x9+1)
+118 (x9+1)2
I=ln|x|−19
ln|x9+1|+1
9( x9+1)+1
18( x9+1)2+C
Pág.86
25 .∫ x4 √Senx+√Senx+Cosx( x4+1) . Cosx
. dx=I
I=∫ ( x4+1)(√Senx )+Cosx
( x4+1) .Cosx.dx ⇒ I=∫ ( x4+1)(√Senx )
( x4+1) .Cosx. dx +∫Cosx
( x4+1 ).Cosx. dx
I=∫√SenxCosx
.dx+∫ dxx 4+1
⇓ ⇓ I1 I2
I 1=∫ √SenxCosx
. dx ⇒ I1=∫ √Senx .Cosx1−Sen2 x
. dx ⋅ u2=Senx → Cosx .dx=2u . du
I 1=√u2 . 2u
1−u4.du ⇒ I1=∫2u2
1-u 4. du ⇒ I1=∫ 2u2
(1-u2)(1+u2)du
¿ Aplicar una identidad :
2u
a2 -u2= 1
a-u− 1
a+u
I 1=∫ [ 1
1−u2−
1
1+u2 ] .du ⇒ I1=∫ du
1-u2−∫du
1+u2 ⇒ I1=
12
Ln|u+1u−1
|−arctgu
I 1=12
Ln| √Senx+1√Senx−1
|−arctg (√Senx )
I 2=∫ dx
x 4+1 ⇒ ⋅ x4+1=x 4+2x2+1-2x2=(x2+1)2−(√2 x )2
=(x2+1−√2 x )( x2+1+√2 x )
I 2=∫ dx
( x2+1−√2 x )( x2+1+√2 x )
⋅ 1x4+1
=A (2x+√2 )+B
( x2+√2 x+1 )+
C(2x−√2 )+ D
( x2−√2x+1)
1
x 4+1=
[ A (2x+√2)+B ] [ x2−√2x+1 ]+[C (2x−√2 )+D ] [x2+√2 x+1 ]( x2+√2 x+1 )( x2−√2 x+1)
1=[ A (2x+√2)+B ] [x2−√2 x +1 ]+[C (2x−√2 )+ D ] [x2+√2 x+1 ]1=x3(2A+2C)+x2(2√2C−2√2 A+√2 A−√2C+B+ D )+x (2A+2C−2A−2C−√2 B+√2 D )+( √2 A+B−√2C+ D ) ⇓ ⇓ ⇓ ⇓
2A+2C=0 √2(C−A )+B+D=0 √2(D−B )=0 √2( A−C )+B+ D=1
⋅ A=√28
, B=14
, C=−√28
y D=14
I 2=√28∫ 2 x+√2
x2+√2x+1. dx+ 1
4∫ dx
x2+√2 x+1−√2
8∫ 2x−√2
x2−√2x+1+ 1
4∫ dx
x2−√2 x+1
I 2=√28
Ln| x2+√2 x+1x2−√2 x+1
|+ √24
arctg (√2 x+1 )−√24
arctg(√2x−1)
Rpta ⇒ I= I1 + I2
I =12
Ln|√Senx+1
√Senx−1|−arctg( √Senx )+√2
8Ln|x
2+√2 x+1
x2−√2 x+1|+√2
4arctg (√2 x+1)
−√24
arctg( √2 x−1)+C
Pág. 101
2 . ∫ √ x dx
x + x4
5
=∫ x1
2 dx
x ( x−1
5 + 1) Fracciones :
12
,-15
. M.C . M=(2, 5 )=10
=∫ ( t10)
12 .10 t 9 dt
t 10 [( t 10)−1
5 + 1 ]
x=t10
dx= 10t9 dt
=10∫ t5 . t9dtt10( t -2+1)
=10∫ t14 dt
t10( 1
t2 +1 )
=10∫ t14 dt
t10( 1+t2
t2 )
=10∫ t14 dtt8 (1+t2)
= 10∫ t6 dt1+ t2
= 10∫( t4− t4
1+t2)dt
= 10∫ t4dt − 10∫ t4
1+ t2dt =10∫ t4 dt − 10∫( t2− t2
1 + t2)dt
= 10∫ t4 dt − 10∫ t2 dt + 10∫ t2 dt1 + t 2
=10∫ t4 dt−10∫ t2 dt + 10∫(1 − 1
1 + t2)dt
= 10∫ t4dt − 10∫ t2 dt + 10∫ dt − 10∫dt
1 + t2 =2 t5−103
t3+ 10t − 10[ 1
1arctg . t
1]+ C
Rpta = 2x1
2−103
x3
10+10 x1
10−10 arctgx1
10+C
6 . ¿∫dx
(x+1 )3
4− (x+1 )5
4
⋅ M.C .M=( 34
,54 )=4 ¿ x+1=t 4 ⇒ 4t3 dt=dx ¿¿∫ ¿
I=∫4t 3 dtt3−t5
⇒ I=∫ 4 t3 dtt3(1−t2 )
⇒ I=4∫dt1−t2
I=4ln|t +1t−1
| ⇒ I=4ln|4√ x+1+14√ x+1−1
|+C
Pág. 102
1 8.∫ dx
x2√ x2−2 x+4=I
¿ x=1t
→ t=1x
¿dx=−dtt2
I=∫−dtt2
(1t )2√(1t )
2
−2(1t )+4
=−∫dtt2
1t2 √1
t2−2
t+4
=−∫ dt
√1t2
−2t
+4
=−∫ tdt
t √1t2
−2t
+4
I=−∫ tdt
√ t2
t2−2t2
t+4 t2
=−∫ tdt
√1−2 t+4 t2
¿u=1−2 t+4 t2→du=(−2+8 t )dt
I=−18∫ (−2+8 t+2 ) dt
√1−2t +4 t2=−1
8∫ (−2+8 t ) dt
√1−2t +4 t2⏟I1
−14∫dt
√1−2 t+4 t 2⏟I2
I 1 =∫ (−2+8 t ) dt
√1−2t +4 t2=∫du
√u=2√u=2√1−2t +4 t 2
I 2 =∫ dt
√1−2t +4 t2=∫ dt
√(2t−12 )
2
+(√34 )
2=ln (2t−
12
+√1−2t +4 t2)
⇒ I=−18
(2√1−2 t+4 t2 )−14 (ln(2t−
12
+√1−2t +4 t2))⇒ I=−
14 √1−2(1x )+4(1
x )2
−14
ln(2(1x )−1
2+√1−2(1x )+4 (1x )
2)∴ I=−1
4 √1−2x
+4x2 −1
4ln (2
x−1
2+√1−2
x+4
x2 )+c
22 . ∫ dx
( x−2 )√ x2−4 x+1=I
¿ x=1t
→ x=1t
+2→t=1x−2
¿dx=−dtt2
I=−∫dtt2
1t √(1t +2)
2
−4 (1t +2)+1
=−∫ dt
t √1t2
+4t
+4−4t
−8+1
I=−∫dt
t √1
t2−3
=−∫ dt
√t2(1t2−3)
=−∫ dt
√1−3 t2=−∫dt
√3(13 −t2)=−1
√3∫ dt
√√13
2
−t2
I=−1√3
arcSen(t1√3 )=−1√3
arcSen(1x−21√3
)=−1√3
arcSen(√3x−2 )
∴ I=−1
√3arcSen (√3
x−2 )+c
34 . ∫ ( 3√ x+1 )1/2
3√xdx=I
I=∫ x−1/3 (1+x1/3)1 /2dx
¿1+x1/3=t2→13
x−2/3 dx=2 tdt→dx=6 t
x−2/3dt
I=∫ x−1/3 (t2)1/26 t
x−2/3dt=6∫ x−1/3 t2dt=6∫ ( t2−1 ) t2dt=6∫ t4dt−6∫ t2dt
I=65
t5−63
t3
∴ I=65
(1+x1/3 )5/2−2 (1+x1/3)3/2
+c
Pág. 105
38.∫ dx
x2 ( 1+x2 )32
¿∫ x−2 ( 1+ x2 )−32 dx 1+x2=t 2 x2⇒ t=
(1+x2 )12
x
¿−∫ (t 2−1 ) ( t2 x2)−32 tdt
x−3t 2=x−2+1⇒ dx=−tdt
x−3
¿−∫ (t 2−1 ) t−3 t dt
¿−∫ (1−t−2 ) dt
¿−(∫dt−∫ t−2 )
¿−t+(−1t )
¿−(1+x2 )
12
x− x
(1+ x2 )12
+C
42.∫ √1+x13
x23
dx
¿∫ x−23 (1+x
13 )
12dx 1+x
13=t 2⇒ t=( 1+ 3√x )
12
¿∫ x−23 ( t2 )
12 6 tdt
x−23
13
x−23 dx=2 tdt⇒ dx=6 tdt
x−2
3
¿6∫ t 2dt
¿6( t 3
3 )¿2 t3=2[(1+ 3√x )
12 ]
3
=2 (1+ 3√ x )32+C
46.∫ x5+2 x2
(1+x3 )3/2 dx=I
I=∫ x5+2 x2
(1+x3 )−3
2
I=∫ x5(1+x3 )−3
2 dx+2∫ x2 (1+x3 )−3
2dx 1+x3=t2 ⇒ t=√1+x3⇒ x3=t2−1
I=∫ x5( t2 )−3
22 tdt3 x2
+2∫ x2( t2 )−3
22 tdt3 x2
3 x2dx=2 tdt ⇒dx=2tdt3 x2
I=23∫ x3 t−2dt+2(2
3)∫ t−2 dt
I=23 ∫( t2−1) t−2dt+
43 ∫ t−2 dt
I=23∫dt−2
3∫ t−2dt +4
3∫ t−2 dt
I=23
t+23∫ t−2 dt
I=23
√1+x3−2
3√1+x3+C
Pág. 110
3.∫ dx2+senx
=I
z=tg( x2 )dx= 2dz
1+z2
senx= 2 z
1+ z2
I=∫2 dz
1+ z2
2+ 2 z1+z2
I=∫2 dz
1+z2
2+2 z2+2 z1+z2
=∫ 2dz2 z2+2 z+2
=∫ dzz2+z+1
I=∫ dz
(z+ 12)
2
−( 12 )
2
+1
=∫ dz
(z+ 12)
2
+√ 34
2
I=1
√ 34
arctg ( z+12
√ 34
)= 2
√3arctg ( 2 z+1
√3 )= 2
√3arctg( 2 tg( x
2 )+1
√3)+c
7.∫ dx
sen2 4 x+tg2 4 x=I
t=tg4x ⇒4x=arctg t
4dx=dt1+t2
⇒ dx=dt4(1+t2 )
sen4x=t
√1+t2
cos4x=1
√1+t2
I=14∫
dt
1+t2
( t
√1+t2 )2
+( t
√1+ t2 )2
( 1
√1+ t2 )2
I=14∫
dt
1+ t2
t2
1+t2+
t2
1+t2
11+t2
= 14∫dt
t2+t2+t4= 1
4∫dt
t4+2t2
I=14∫
dt
t 2 (2+t 2)
1
t2 (2+ t2 )= A
t+ B
t2+ Ct+D
2+t2=
A [t ( 2+ t2 ) ]+B (2+t2)+t2 (Ct+D )
t2 (2+t2)
1=A [ t (2+t2 )]+B (2+t2)+t2 (Ct+ D)
1=2 At+ At 3+Bt 2+2 B+Ct 3+Dt 2
1=t3 ( A+C )+t2 (B+ D)+t (2 A )+2B
A+C=0 ⇒ C=0B+D=0 ⇒ D=−1/22 A=0 ⇒ A=02B=1 ⇒ B=1/2
I=14∫ [ 0
t+
12
t2+
0 t−12
2+t2 ] dt
I=14∫ [ 1
2
t2+
−12
2+t2 ]dt
I=18∫
dt
t2−1
8∫dt
2+t2=1
8∫ t−2 dt−18∫
dt
t2+√22
I=18 [ t−1
−1 ]−18 [ 1
√2arctg( t
√2 )]I=− 1
8 t− 1
8√2arctg ( t
√2 )I=−
18 [1
t−
1
√2arctg ( t
√2 )]I=−
18 [ctg 4 x+
1
√2arctg( tg 4 x
√2 )]+c
11.∫ 1+tgx1−tgx
dx
tgx=t ;dx= dt
1+t 2
I=∫( 1+t1−t )( dt
1+t 2 )=∫ (1+t)(1−t )(1+t 2)
I= 1+t(1−t )(1+t2)
= A1+t
+ Bt+C
1+ t2
⟹ A+ A t2+Bt+C−B t2−Ct(1−t )(1+ t2)
A+B=1; B−C=1 ; A−B=0 A−C=1 A+C=1 𝐴=1; 𝐵=1; 𝐶=0I=∫ dt
1−t+∫ tdt
1+ t2⟹u=t−1⟹du=dt parael primer caso∫ dt
1−t
Para el segundo caso: u=t2⟹du=2 tdt y como v=u+1⟹dv=du
I=−∫ duu
+12∫
du1+u
⟹ I=−∫ duu
+ 12∫
dvv
I=− ln|u|+12
ln|v|+c
I=− ln|tgx+1|+ln|tg2+1|+c
Pág. 112
14 . ∫ x2dx
√1+x3+√(1+x3 )2=I
I=∫ x2 dx
√1+x3+√(1+ x3 )2
1+x3=t2→2t . dt=3 x2 dx
dx=2t . dt
3x2
I=∫x2 2t . dt
3 x2
√t2+( t2 )3
2
=23∫ t . dt
√ t2 +t3=2
3∫ t . dt
√t 2(1+ t )
23∫
t .dtt √1+ t
=23∫
dt
√1+t
Z=1+t →dz=dt
I=23∫
dz
√z=2
3[2√z ]= 4
3√z=4
3√1+t
I=43
√1+√1+x3+C
Pág. 113
19.∫ x−3√ x−2
x2−3√ ( x−2 )2
dx=I
I=∫ (x−3√ x−2 )(x−3√ x−2 ) (x+ 3√ x−2 )
dx
I=∫ dx
x+ 3√x−2
x−2=t3 → dx=3 t2 . dt
x=t 3+2→ t=3√ x−2
I=∫ 3 t 2 dt
(t3+2 )+ 3√t 3=∫ 3t 2 dt
t 3+t+2
u=t3+t +2
u=(t3+1 ) dx
I=∫ (3 t2+1−1 ) dt
t3+t +2=∫ (3 t2+1 ) dt
t 3+ t+2−∫ dt
t 3+t+2
I 1=∫( 3t 2+1 ) dt
t3+t +2=∫ du
u=ln|u|=ln|t 3+ t+2|
I 2=∫ dt
t 3+t+2=∫ dt
(t 3+1 )+(t+1 )
t 3+1=(t+1 ) (t 2−t +1 )
I 2=∫ dt
(t +1 ) (t2−t+1 )+ ( t+1 )=∫ dt
( t+1 ) (t 2−t+2 )
1
( t+1 ) (t 2−t+2 )= A
( t +1 )+ Bt+C
t 2−t+2=
A (t 2−t +2 )+( t+1 ) ( Bt+C )(t+1 ) (t 2−t +2 )
1=A (t 2−t +2 )+(t +1 ) (Bt+C )
1=A t 2−At+ A+B t 2+Ct+bt+c
1=t 2 ( A+B )+ t (−A+B+C )+(2 A+c )
→ A+B=0……… …….. ( ¿ )
→−A+B+C=0………¿
→ 2 A+C=1…… ………(¿∗¿)
( ¿ )+ (¿∗¿ )
A+B=02 A+C=1
3 A+B+C=1……………(1)
(1 ) y¿
3 A+B+C=1−(−A+B+C)=0
4 A=1
A=14
∎Hallo B :
A+B=0→ B=−14
∎HalloC :
2 A+C=1→C=1−12
→ C=12
I 2=∫ dt
(t +1 ) (t2−t+2 )=∫ [ 1
4( t +1 )
+
−14
t+ 12
t 2−t+2 ] dt
I 2=∫ [ 14
(t+1 )+
−14
t
t2−t +2+
12
t 2−t+2 ]dt
I 2=14∫
dtt +1
−14∫
tdt
t 2−t+2+ 1
2∫dt
t2−t+2
a=∫ dtt+1
=ln|t +1|
b=∫ tdt
t 2−t +2=1
2∫(2 t−1+1 )
t 2−t+2dt=1
2∫(2 t−1 )t 2−t+2⏟
b1
+ 12∫
dt
t2−t +2⏟b2
b1=∫ (2 t−1 )t 2−t +2
dt=ln|t2−t +2|+c
b2=∫ dt
t 2−t +2=∫ dt
(t−12 )
2
+√ 74
2=1
√ 74
arc tan( t−12
√ 74
)b2=
2
√7arc tan( 2t−1
√7 )b=
12
ln|t 2−t+2|+12 [ 2
√7arc tan [2 t−1
√7 ]]b=1
2ln|t 2−t+2|+ 1
√7arc tan [ 2 t−1
√7 ]
c=∫ dt
t 2−t+2=∫ dt
( t−12 )
2
+√ 74
2 =1
√ 74
act tan( t−12
√ 74
)c= 2
√7arc tan( 2 t−1
√7 )→I 2=
14
ln|t+1|−14 [1
2ln|t 2−t+1|+ 1
√7arc tan( 2t−1
√7 )]+ 12 [ 2
√7arc tan( 2t−1
√7 )]→ I 2=
14
ln|t+1|−18
ln|t 2−t +2|− 14 √7
arc tan( 2 t−1
√7 )+ 1
√7arc tan( 2t−1
√7 )→ I=ln|t3+t +2|− 1
4ln|t+1|+ 1
8ln|t2−t +2|+ 1
4 √7arc tan( 2 t−1
√7 )− 1
√7arc tan( 2 t−1
√7 )→ I= ln|t3+ t+2|−1
4ln|t +1|+1
8ln|t2−t+2|+1
4 √7arc tan(2t−1
√7 )−1
√7arc tan(2t−1
√7 )+c
I=ln|x−2+ 3√x−2+2|−14
ln|3√x−2+1|+18
ln|( x−2 )2/3−( x−2)1/3+2|
+14 √7
arc tan(2 3√x−2−1√7 )−1
√7arctan (2 3√x−2−1
√7 )+c
I=ln|x+ 3√ x−2|−14
ln|3√x−2+1|+18
ln|(x−2 )2/3−( x−2)1 /3+2|+14√7
arc tan(2 3√x−2−1√7 )
−1
√7arctan (2 3√x−2−1
√7 )+c
23.∫ √ xx−a
dx=I
I=∫ x
√x−a√xdx=∫ x . dx
√x2−ax
u=x2−ax
du=(2x−a)dx
I=12∫
[2 x−a+a ] dx
√x2−ax=1
2∫(2 x−a )dx
√x2−ax⏟I1
+ a2∫
dx
√ x2−ax⏟I2
I 1=∫ (2 x−a)dx
√x2−ax=∫ du
√u=[2√u ]=2√x2−ax
I 2=∫ dx
√x2−ax=∫ dx
√(x−a2)
2
−( a2)
2
u2=x−a2
d u2=dx
I 2=∫ du
√u22−( a
2)
2=ln|u2+√u2
2−( a2)
2|=ln|x−a2+√ x2−ax|
I=12
(2√ x2−ax )+ a2
ln|x−a2+√x2−ax|
∴∫√ xx−a
dx=√ x2−ax+ a2
ln|x−a2+√x2−ax|+c
27 .∫ arcSen√2 x√1−2 x
dx
¿u=arcSen√2 x
du=
12(2 x )−1/2. 2 . dx
√1−(√2 x )2=
dx
√2 x √1−2 x
¿dv= dx
√1−2 x ⇒ v=∫ dx
√1−2 x⏟I 1
⇒ I 1=∫ dx
√1−2 x
¿1−2 x=u1→du1=−2dx→dx1=du−2
I 1=∫du−2
√u=−
12∫
du
√u=−
12
[2√u ]=−√1−2 x → v=−√1−2x
⇒∫ arcSen√2 x√1−2 x
dx=arcSen√2 x . [−√1−2 x ]−∫ [−√1−2 x dx ]√2 x .√1−2 x
=arcSen√2 x .√1−2 x+∫ dx
√2 x⏟I 2
I 2=∫ dx
√2 x
¿2 x=u2→du2=2 dx→dx=du2
2
I 2 =∫du2
√u2
=12∫
du
√u2
=12 [2√u2 ]=√u2=√2 x
⇒∫ arcSen√2 x√1−2 x
dx=−arcSen√2 x .√1−2 x+√2 x+c
Pág. 114
31.∫ sen2 xdxa+b cos2 x
=I
t=tgx → x=arctg (t)
dx=−dt
t 2
senx= t
√1+t 2;cosx= 1
√1+t 2
I=∫ sen2 x .dxa+bcos2 x
I=∫t2
1+t 2 (–dtt 2 )
a+ b1+ t2
=−∫t2 dt
t2 (1+t2 )(1+t 2) a+b
1+t2
=−∫ dt
( 1+ t2 ) a+b
I=−∫ dt
a t 2+a+b=−∫ dt
(√a t )2+√a+b2
z=√a t⟶dz=√a dt
⟹ I=−1√a
∫ √a dt
(√a t )2+√a+b2=
−1√a
∫ dz
( z )2+√a+b2
⟹ I=−1
√a [ 1
√a+barctg( z
√a+b )]= −1
√a2b+abarctg( √a t
√a+b )⟹ I= −1
√a2b+abarctg(√a tgx
√a+b )+c
Pág. 115
39 .∫ √ 4−x2+x
dx=I
I=∫ 4−x
√2+x √4−xdx
I=∫ 4−x(2+x )( 4−x )
dx=∫ 4−x
√8−2 x+4 x− x2dx
I=∫ 4−x
√8+2 x−x2
¿8+2 x−x2=−[ x2−2 x−8 ]=[ (x−1 )2−1−8 ]=[ (x−1 )2−9 ]=9−( x−1 )2=32−( x−1 )2
I=4∫ dx
√32−( x−1 )2⏟I1
−∫ xdx
√8+2 x−x2⏟I2
I 1=∫ dx
√32−( x−1 )2 → u1=x−1→du1=dx
I 1=∫ dx
√32−u12
=arcSenu1
3=arcSen( x−1
3 )
I 2=∫ xdx
√8+2 x−x2 → u2=8+2 x−x2→du2= (2−2 x )dx
I 2=−12∫
(2−2 x−2 ) dx
√8+2 x−x2=−1
2∫(2−2 x )dx
√8+2x−x2⏟a
+ 22∫
dx
√8+2x− x2⏟b
a=∫ (2−2 x ) dx
√8+2 x−x2=∫ du
√u2
=2√u2=2√8+2 x−x2
b=∫ dx
√8+2x−x2=∫ dx
√32−( x−1 )2=arcSen( x−1
3 )I 2=−1
2(2√8+2x−x2 )+arcSen( x−1
3 )
=−√8+2x−x2+arcSen( x−1
3 )⇒ I=4arcSen( x−1
3 )−[−√8+2 x−x2+arcSen( x−13 )]
⇒ I=4arcSen( x−13 )+√8+2x−x2−arcSen( x−1
3 )I=3arcSen( x−1
2 )+√8+2 x−x2+c
43.∫ e2 x
3√1+exdx=I
¿1+ex=u ⇒ ex=u−1 ⇒ ex dx=du → dx=du
ex
I=∫ e2x
u1
3
.duex ⇒ I=∫ ex
u1
3
. du ⇒ I=∫ u−1
u1
3
. du ⇒ I=∫ u
u1
3
.du−∫ du
u1
3
I=∫u2
3 du−∫u−1
3 du ⇒ I=35
u5
3−32
u2
3 ⇒ I= 310
u2
3 (2u−5 ) ⇒ I= 310
(2 u−5 )(u )2
3
I= 310
(2(1+ex)−5 ) (1+e x )2
3
I= 310
(2ex−3 ) (1+e x )2
3+C
Pág. 116
47.∫ dx
x4+a2 x2+a4=I
x4+a2x2+a4=( x2+ax+a2) ( x2−ax+a2 ) → identidad de Argand
1
x4+a2 x2+a4= Ax+B
x2+ax+a2+ Cx+D
x2−ax+a2
=
( Ax+B ) ( x2−ax+a2 )+(Cx+D ) ( x2+ax+a2)( x2+ax+a2 ) ( x2−ax+a2)
1=Ax3 aAx2+a2 Ax+Bx2−aBx−a2B+Cx3+aCx2+a2Cx+Dx2−aDx+a2 D
1=x3 ( A+C )+x2 (−aA+B+aC+D )+x (−aB+a2C+aD )+(−a2 B+a2 D )
A+C=0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(1 )−aA+B+(aC+D )=0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(2 )−aB+a2 C+aD=0→−B+ (aC+D )=0→ (aC+D )=B−−−−(3 )
−a2B+a2 D=1→(−B+D )=1
a2−−−−−−−−−−−−−−−−−(4 )
−aA+B+B=−aA+2 B=0→2 B=aA−−−(2 ) y (3 )
HALLO C :reemplazo ( 4 ) en (3 )(−B+D )+aC=01a2
=−aC
¿C=−1a3
HALLO A : reemplazo C en (1 )A+C=0A=−C
¿ A=1
a3
HALLO B : reemplazo A en ((2) y (3))2 B=aA
2 B=a1a3
2 B=1a2
¿ B=12 a2
HALLO D : reemplazo B en ( 4 )
−B+D=1
a2
D=1
a2+1
2a2
D=2+1
2a2
¿ D=3
2a3
I=∫ [ 1
a3x+
1
2a2
x2+ax+a2+
−1
a3x+
3
2a3
x2−ax+a2 ]I= 1
a3∫x
x2+ax+a2+ 1
2 a3∫dx
x2+ax+a2− 1
a3∫xdx
x2−ax+a2+ 3
2 a3∫dx
x2+ax+a2
I=1
a3 [ 12∫
(2 x+a−a )dx
x2+ax+a2−
12∫
(2 x−a+a )dx
x2−ax+a2 ]⏟I¿
+[ 1
2 a2∫dx
x2 +ax+a2 +3
2 a3∫dx
x2−ax+a2 ]⏟I**
I (¿ )=1
2 a3 [∫ 2 x+a
x2+ax+a2−a∫ dx
x2+ax+a2−∫ (2 x−a ) dx
x2−ax−a2−a∫ dx
x2−ax+a2 ]¿ x2+ax+a2=(x+ a
2 )2
+√ 3 a2
4
2
=(x+ a2 )
2
+(√3 a2 )
2
¿ x2−ax+a2=( x−a2 )
2
+(√3 a2 )
2
I (¿ )=1
2a3 [ ln|x2+ax+a2|−a1
(√3 a2 )
arctg( x+ a2
√3 a2
)−ln|x2−ax+a2|− a√3 a
2
arctg ( x−a2
√3a2
)]I∗¿= 1
2a2 [ 1√32
aarctg ( x+ a
2√3 a
2)]+ 3
2a3 [ 1√3a
2
arctg ( x−a2
√3 a2
)]I=I(¿)+ I ¿ ¿
I= 1
2 a3ln|x2−ax+a2|− 1
√3 a3arctg( 2 x+a
√3 a ) −1
2 a3ln|x2−ax+a2|− 1
√3 a3arctg( 2 x−a
√3 a ) +1
√3 a3arctg ( x+a
√3 a )+ 3
√3 a4arctg( x−a
√3 a )+c
51. ∫√1−cos xdx=I
I=∫√1−Cosx dx ⋅ 2Sen2( x2 )=1−cos x ⇒ cos( x
2 )=√ 1−cos x2
I=∫√2Sen2( x2 )dx ⇒ I=∫√2 Sen( x
2 )dx ⇒ I=√2∫Sen ( x2 )dx
¿ x2=u ⇒
dx2
=du ⇒ dx=2 du
I=√2∫2Senu . du ⇒ I=2√2∫Senu . du ⇒ I=2√2 (−cosu )
I=2√2(−cos ( x2 )) ⇒ I=−2√2(√ 1−cos x
2 ) ⇒ I=−2√2(√1−cos x√2 )
∴ I=−2√1−cos x+C
55.∫ x eax dx(1+ax )2
=I
Integracion por partes¿u=xeax→du=( eax+axeax ) dx=eax (1+ax )dx
dv=dx
(1+ax )2→∫ dv=∫dx
(1+ax )2→v=−1
a (1+ax )
I =−xeax
a (1+ax )−∫ [−1
a (1+ax ) ] [eax (1+ax ) ]dx
I =−xeax
a (1+ax )+∫eax
adx
⏟I1
→ I1 =∫eax
adx
¿u1=ax→du1 =adx→dx=du1
a
→ I1 =∫eu1
a¿
du1
a=∫ e
u1
a2du1 =
1
a2 ∫ eu1 du1 =
eu1
a2=eax
a2
⇒ I=−xeax
a (1+ax )+
eax
a2
⇒ I=eax(−xa (1+ax )
+1a2 )=eax (−a2 x+a+a2 x
a3 (1+ax ) )=eax (aa3 (1+ax ) )=eax
a2 (1+ax )
∴ I=eax
a2 (1+ax )+c
59.∫ ctgh−1( xa )dx=I
I=∫ctgh−1(xa )dx
¿u=arcCtgh(xa )→du=−dx
a(x2
a2−1)
¿dv=dx→v=x
I=∫ctgh−1(xa )dx=xarcCtg( x
a)+∫ xdx
a (x2
a2−1)
=xarcCtg( xa
)+a∫ xdx
( x2−a2)⏟I 1
I 1 =∫ xdx( x2−a2)
u1 =x2−a2→du1 =2 xdx
=12∫
2 xdx
( x2−a2 )=1
2∫du1
u1
=12
ln (u1 )=12
ln|x2−a2|
⇒ I=x . arcCtgh( xa
)+a2
ln|x2−a2|+c
∴∫ ctgh−1(xa )dx=x . ctgh−1( x
a)+a
2ln|x2−a2|+c
Pág. 118
71.∫ 3√ sen2 x
cos14 xdx=I
t=tgx→dx=dt
1+ t2
senx=t
√1+t2, cos x=1
1+t2
I=∫ 3√ t2
1+t2
1
(1+t2)7⋅dt
1+t2=3√ t2
11
(1+t2)6⋅dt
1+t2=
3√ t2 (1+t2)6
1+t2dt
I=(1+t2)2 3√t2
(1+t2)dt=∫ (1+t2 )t2/3dt=∫ t2/3dt +∫ t8/3
I=35
t5/3+311
t11/3=355
t5 /3 (5 t2+11)
I=355
3√ tg5 x (5 tg2 x+11)+c
75.∫ e x ( x2−8 )( x−2 )2
dx=I
u=ex ( x2−8 )
du=( x2−8 ) ex+ex(2 x )
du=ex (x2−8+2 x )
du=ex [(x+1)2−32 ]=ex [ ( x−2 )(x+4)]
dv= dx
(x−2)2
v= −1(x−2)
I=−ex ( x2−8 )
(x−2)−∫ [ −1
x−2 ] [ex (x−2)(x+4)]
I=−ex ( x2−8 )
( x−2 )−∫ex ( x+4 )⏟
I1
I 1=u= (x+4 )
du=dx
dv=ex dx
v=ex
I=−ex ( x2−8 )
( x−2 )+( x+4 )e x−∫ ex dx
I=−ex ( x2−8 )
( x−2 )+( x+4 )e x−ex
I=ex (−( x2+8 )
x−2+x+4−1)
I=ex ¿
I=ex (−x2+8+x2+3x−2x−6(x−2)
)
I=ex ( x2+2 )(x−2)
+c
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------