UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTEROFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍASCARRERA: Profesorado en MatemáticaASIGNATURA: Geometría Euclidiana UNIDAD 3: Isomorfismo de Grupos AÑO: 2012

GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS nº 3

ACTIVIDADES:

1) Sea A el conjunto de los elementos de una sucesión geométrica cuyo primer término es 1 y cuya razón es 3. Sea B el conjunto de los elementos de una sucesión aritmética cuyo primer término es 0 y cuya razón es 1. Complete la siguiente tabla que representa a una función f : A B, y realice luego lo que se indica a continuación: f(3.9)=

f(3) + f(9) =

Concluya: …………………………. ¿Sucede lo mismo con otros elementos?

Generalice: ………………………….. Pruebe dicha generalización.

2) Analice la siguiente definición de isomorfismo de grupos:

3) Pruebe que los siguientes grupos son isomorfos:2.1) El grupo de las rotaciones del cuadrado que lo dejan invariante, algebrizado con la composición, y el: a) de las raíces cuartas de la unidad con la multiplicación usual. (en C). b) grupo aditivo de las clases residuales módulo 4. 2.2) El grupo de las rotaciones congruentes del triángulo equilátero con la composi- ción, y el grupo aditivo de las clases residuales módulo 3.2.3) El grupo de las isometrías del triángulo equilátero y el de las funciones biyectivas definidas en el conjunto A = {1, 2, 3}, ambos algebrizados con la composición.2.4) El grupo de las isometrías del triángulo isósceles con la composición, y el de las raíces cuadradas de la unidad con la multiplicación usual. ¿Existe algún grupo de 2 elementos que no sea isomorfo con el de las isometrías del triángulo isósceles con la composición? Justifique.

3) Demuestre que: No existe isomorfismo entre el grupo de las isometrías del rectángulo con la composición, y el de las raíces cuartas de la unidad con la

Sean (G,) y (G´,o) dos grupos y f : G G´f es un isomorfismo si y sólo si f es biyectiva y g , h G: f(gh) = f(g) o f(h)

A B

1 0

… …

… …

multiplicación usual (en C).

4) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?4.1) Si dos grupos son isomorfos, entonces tienen el mismo número de elementos.4.2) Si dos grupos tienen el mismo número de elementos, entonces son isomorfos.