Ejercicios de Circulo de Mohr

Procedimientos y convenciones:

En plano físico:

- Graficar estado tensional del punto en un elemento cuadrado (tensiones

normales y de corte) según convención de signos (eje horizontal y vertical

siguiendo el orden menor a mayor)

- Las tensiones de tracción son positivas y de compresión negativas

- Sentido positivo de ángulos desde eje menor a mayor (ej: x2 a x3)

- La dirección de máxima tensión (sin corte en el plano) será cercana a la indicada

por la tensiones de corte, la cual será atraída por tensiones normales de tracción

y alejada por tensiones de compresión (utilizar esta estimación a priori para

verificar resultado)

En círculo de Mohr:

- Ejes de tensiones normales y de corte

- Graficar el primer punto (punto 0, con su valor de tensión normal y de corte)

- Graficar el (punto P, con su valor de tensión normal y para la tensión de corte

cambiar el signo)

- La dirección en el círculo de Mohr desde punto 0 a punto P define la dirección

del eje correspondiente al punto P en el plano físico (ej: si el punto 0

corresponde a 11σ y el punto P corresponde a 33σ , entonces la dirección 0P

corresponde al eje 3x en el plano físico)

- Encontrar valores de tensión media (centro de círculo) y radio, luego de tensión

normal máxima y mínima, de corte máxima

- El valor del ángulo desde el polo es la mitad de ángulo desde centro de círculo

(por geometría)

- Sentido de ángulos es al revés del plano real (si en circulo de Mohr es horario en

plano real será antihorario)

En plano físico:

- Trazar la dirección de tensión máxima (partir desde el eje de referencia y tener

en cuenta sentido opuesto a circulo de Mohr) y verificar que concuerde con la

dirección estimada a priori

- El plano físico de rotura es perpendicular a la dirección de falla que se determinó

mediante el círculo de Mohr (ej: criterio de Mohr-Coulomb).

Ejemplo 1:

ij

0 0 0

0 10 40

0 40 20

σ = −

Eje 1x es principal porque no tiene

tensiones de corte

22 33m

10 205

2 2

σ + σ − +σ = = =

( ) ( )2 22 2

23 22 mR 40 10 5 42.72= σ + σ − σ = + − − =

max m R 42.72 5 47.72σ = σ + = + =

( )max

1 2.40a tan 34.72º

2 20 10

ϕ = = − − −

(Signo negativo por convención)

( )

( )max max

max

0 0

sen 0.569

cos 0.822

ν = − ϕ = ϕ

Verificación:

2 2

ij i j 10x0.569 2x40x0.569x0.822 20x0.822 47.72ννσ = σ ν ν = − + + =

El valor de la tensión normal para el plano definido por el versor maxν corresponde al

calculado con el círculo de Morh

( ) ( )ij i j

1 0 0 0

t 0 0 10x0.569 40x0.822 1 40x0.569 20x0.822 0 27.18

0 0 1 39.22

ν

σ = σ ν = + − + + + =

1 2 2

2 2 2 42.72ν ν ν ν

σ = σ + σ + σ =

2 2

s0

ν ν ννσ = σ − σ =

El valor de la tensión de corte para el plano definido por el versor maxν es nulo

Ejemplo 2:

ij

30 5 0

5 10 0

0 0 20

−

σ = − −

Eje 3x es principal porque no tiene tensiones de corte

11 22m

30 1020

2 2

σ + σ +σ = = =

( ) ( )2 22 2

12 11 mR 5 30 20 11.18= σ + σ − σ = + − =

max m R 20 11.18 31.18σ = σ + = + =

( )max

1 1 20 1090 90 a tan 76.71º

2 2 5

− ϕ = + α = + =

(Signo positivo por convención)

( )

( )max

max max

sen 0.9732

cos 0.2298

0 0

− ϕ −

ν = ϕ =

Ejemplo 3:

ij

15 0 10

0 25 0

10 0 35

− −

σ = − −

Eje 2x es principal porque no tiene tensiones de corte

11 33m

15 3525

2 2

σ + σ − −σ = = = −

( ) ( ) ( )( )22 22

13 11 mR 10 15 25 14.14= σ + σ − σ = − + − − − =

max m R 25 14.14 10.86σ = σ + = − + = −

( )max

1 1 35 2590 90 a tan 67.5º

2 2 10

− ϕ = + α = + =

(Signo positivo por convención)

( )

( )max

max

max

sin 0.924

0 0

cos 0.383

σ

− ϕ −

ν = = ϕ

Ejercicios:

- Verificar que la dirección definida por el versor maxν de una tensión normal

igual al círculo de Mohr.

- Calcular el tensor de tensiones rotando los ejes 1x y

3x el ángulo calculado y

verificar que no aparezcan tensiones de corte en el tensor de tensiones (ejes

principales)