Ejercicios de Cálculo

Vectorial

Vectores en el plano

1. Encuentre las componentes de ; en donde, y . Ilustre geométricamente las operaciones vectoriales indicadas.

𝑣=72𝑖−12𝑗

3. Demuestre la desigualdad del triángulo usando los vectores y .

𝑢−𝑣=(−4 , 4 )

5. Encuentre las componentes del vector si forma un ángulo de con la parte positiva del eje y tiene magnitud .

𝑣1=0.7 𝑣2=0.7

Coordenadas y vectores

en el espacio

1. Encuentre las longitudes del triángulo con vértices y determine si se trata de un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles o ninguno de los dos.

1. Encuentre las longitudes del triángulo con vértices y determine si se trata de un triángulo rectángulo, un triángulo isósceles o ninguno de los dos.

𝑑𝐴𝐵=3

𝑑𝐴𝐶=3𝑑𝐵𝐶=5.65

Se trata de un triángulo isósceles; debido que, dos de sus lados son iguales.

3. Encuentre , donde , , y .

𝑧=(−3 ,4 ,20 )

5. Encuentre un vector unitario:a) En la dirección de b) En la dirección opuesta a

�̂�=⟨ 3√38 , 2√38 , −5√38 ⟩−�̂�=⟨− 3

√38,−

2

√38,5

√38 ⟩

5. Encuentre un vector unitario:a) En la dirección de b) En la dirección opuesta a

COMPROBACIÓN:

‖�̂�‖=1

7. Escriba las componentes del vector que se encuentra en el plano , tiene magnitud 5 y forma un ángulo de con el lado positivo del eje . Bosqueje el vector.

Producto Escalar

1. Dado los vectores y , encuentre:a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

a) 𝑢 ∙𝑣=9

b)

c)

d)

e)

𝑢 ∙𝑢=169

‖𝑢‖2=169

(𝑢 ∙𝑣 )𝑣=(−27 ,18 )

𝑢 ∙ (2𝑣 )=(−30+48 )𝑢 ∙ (2𝑣 )=18

3. Encuentre el ángulo entre y .

𝜃=10.89

5. Determine si y son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos.

𝜃=90 y son ortogonales; debido que forman un ángulo de .

7. Para los vectores y , encuentre:a) La componente del vector a lo largo de .b) La componente del vector ortogonal a .

a)

b)

Producto Vectorial

1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .

1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .

Demostración

Para :

y son ortogonales.

1. Si y , encuentre y demuestre que es ortogonal tanto a como a .

Demostración

Para :

y son ortogonales.

3. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son .

3. Encuentre el área del triángulo cuyos vértices son .

5. Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes y .

Rectas y Planos en el

Espacio

1. Encuentre un conjunto de a) Ecuaciones paramétricas b) Ecuaciones simétricas  De la recta que pasa por el punto y es paralela a . Exprese los números directores como enteros.

a) Ecuaciones Paramétricas

𝑧=3

𝑦=3 𝑡

𝑥=6 𝑡+2

1. Encuentre un conjunto de a) Ecuaciones paramétricas b) Ecuaciones simétricas  De la recta que pasa por el punto y es paralela a . Exprese los números directores como enteros.

a) Ecuaciones Simétricas

0=𝑧−3

𝑡=𝑦3

𝑡=𝑥+26

3. Determine si las rectas

Se intersectan, si es así, encuentre el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección.

5. Encuentre una ecuación para el plano que pasa por el punto y contiene la recta dada por:

𝑃 (2 ,2 ,1)

𝑡=𝑥2

𝑥=2 𝑡+0

𝑡=𝑦−4−1 𝑦=−𝑡+4

𝑡=𝑧 𝑧=𝑡+0

�⃗�=(2 ,−1 ,1)

𝑃1=(0 ,4 ,0)

�⃗�=�⃗� 𝑃1=(0−2 ,4−2 ,0−1 )

5. Encuentre una ecuación para el plano que pasa por el punto y contiene la recta dada por:

�⃗� 𝑥 �⃗�=�⃗�=| 𝑖 𝑗 𝑘2 −1 1−2 2 −1|= (1−2 )𝑖− (−2+2 ) 𝑗+(4−2 )𝑘

= (-1, 0, 2)

Ecuación del Plano

𝑎1 (𝑥−𝑥1 )+𝑎2 ( 𝑦−𝑦1 )+𝑎3 (𝑧−𝑧1 )=0−1 (𝑥−2 )+0 (𝑦−2 )+2 (𝑧−1 )=0

−𝑥+2+2 𝑧−2=0

−𝑥+2 𝑧=0

7. Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos y .

𝑥−3 𝑦+6 𝑧=4 �⃗�= (1 ,−3 ,6 )

5 𝑥+𝑦−𝑧=4 �⃗�=(5 ,1 ,−1 )

�⃗� 𝑥 �⃗�=�⃗�=|𝑖 𝑗 𝑘1 −3 65 1 −1|=(3−6 )𝑖− (−1−30 ) 𝑗+(1+15 )𝑘

𝑣=(−3 𝑖+31 𝑗+16𝑘 )

𝑆𝑖 𝑧=0

𝑥−3 𝑦=45 𝑥+𝑦=4

𝑥−3 𝑦=043 (5 𝑥+𝑦=0 4 )

15 𝑥+3 𝑦=12𝑥−3 𝑦=0416 𝑥=16𝑥=1

𝑦=4−𝑥−3

𝑦=4−(1)−3

𝑦=−1

∴𝑃 (1 ,−1,0 )

7. Encuentre un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos y .

𝑣=(−3 𝑖+31 𝑗+16𝑘 )

𝑃 (1,−1 ,0 )

Ecuaciones Paramétricas

𝑥−𝑥1=𝑡 𝑎1

𝑦− 𝑦1=𝑡 𝑎2

𝑧−𝑧 1=𝑡 𝑎3

𝑥−1=𝑡 (−3 )

𝑦+1=𝑡 (31 )

𝑧−0=𝑡(16)

𝑥=−3 𝑡+1

𝑦=31 𝑡−1

𝑧=16 𝑡

9. Encuentre la distancia entre las dos rectas

�⃗�= ⟨3 ,−1 ,1 ⟩𝑃1(0 ,2 ,−1)

�⃗�=⟨4 ,1 ,−3 ⟩𝑃2(1 ,−2 ,−3)

�⃗�1𝑃2=(1−0 ) 𝑖+(−2−2 ) 𝑗+(−3+1 )𝑘=𝑖−4 𝑗−2𝑘

�⃗�1𝑃2 𝑥�⃗�=|𝑖 𝑗 𝑘1 −4 −23 −1 1 |=−6 𝑖−7 𝑗+11𝑘

�⃗�1𝑃2 𝑥�⃗�=−6 𝑖−7 𝑗+11𝑘

9. Encuentre la distancia entre las dos rectas

𝑑=‖⃗𝑃1𝑃2 𝑥�⃗�‖

‖�⃗�‖=√(−6)2+(−7)2+(11)2

√(3)2+(−1)2+(1)2=√36+49+121

√9+1+1=√206

√11

𝑑=√206√11