Ejercicios de Algebra Lineal
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Transcript of Ejercicios de Algebra Lineal
1. A. |u|=5 ;θ=2250
b. |v|=3 ;θ=600
Se convierten los vectores polares a vectores rectangulares.
a.
cosθ= x|u|;x=|u|cosθ ; x=5∗cos225 °=−5√2
2
sinθ= x|u|; y=|u|sinθ ; x=5∗sin225 °=−5√2
2
|u|=−5√22
,−5√22
b.
cosθ= x|v|; x=|v|cosθ ; x=3∗cos60 °=3
2
sinθ= x|v|; y=|v|sinθ ; x=3∗sin 60 °=3√3
2
|v|=32,3√32
1.1 2u−6 v
2(−5√22 ,−5√22 )−6 (32 , 3√32 )=( 2∗−5√2
2,2∗−5 √2
2 )−( 6∗32 ,6∗3√32 )=(−5√2 ,−5√2 )−(9 ,9√3 )= (−5√2−9 ,−5√2−9√3 )
1.2 v−u
( 32 , 3√32 )−(−5√22 ,−5√22 )=( 32+ 5√22 ,
3√32
+5√22 )=( 5√2+32
,3√3+5√2
2 )
1.3 6 v−7u
6( 32 , 3√32 )−7(−5√22 ,−5√22 )=( 6∗32 ,
6∗3√32 )−( 7∗−5 √2
2,7∗−5√2
2 )=(9 ,9√3 )−(−35√22,−35√2
2 )=(9+ 35√22 ,9√3+ 35√22 )
2. A
2.1 u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j
∅=arccos( u∗v|u||v|)u∗v=(2,9 )∗(−6,9 )=(2∗−6 )+(9∗9 )=−12+81=69
|u|=√22+92=√85 ;|v|=√(−6 )2+92=3√13
∅=arccos( 69
√85∗3√13 )=46.2188752351313 °2.2 w=−5 i− j y z=−7 i−4 j
∅=arccos( u∗v|u||v|)u∗v=(−5 ,−1 )∗(−7 ,−4 )=(−5∗−7 )+(−1∗−4 )=35+4=39
|u|=√ (−5 )2+(−1 )2=√26 ;|v|=√ (−7 )2+(−4 )2=√65
∅=arccos( 39
√26∗√65 )=18.434948822922°3. A
C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3)
C∗C−1=I
Se debe de buscar la forma de que la matriz original resulte como una matriz diagonal y luego convertirla a identidad, primero que todo ampliando la matriz, y luego convirtiendo los elementos superiores e inferiores a los elementos de la diagonal de la matriz original en 0, proceso conocido como Gauss-Jordan. Para eso se efectúan las operaciones situadas al lado de la matriz, donde;
f 1=fila 1; F1=NuevaFila1
f 2=fila 2; F2=Nueva Fila2
f 3=fila3 ;F3=Nueva Fila3
( 2 8 0 1 0 0−3 0 −1 0 1 08 1 −3 0 0 1)(
32∗f 1+ f 2→F2
−4∗f 1+ f 3→F3)
(2 8 0 1 0 0
0 12 −1 32
1 0
0 −31 −3 −4 0 1)(
−23
∗f 2+ f 1→F1
3112
∗f 2+f 3→F3 )
(2 023
0−23
0
0 12 −132
1 0
0 0−6712
−18
3112
1)( 867
∗f 3+ f 1→F1
−1267
∗f 3+ f 2→F2)
(2 0 0−167
−2467
867
0 12 010267
3667
−1267
0 0−6712
−18
3112
1 )(12∗f 1→F1
112
∗f 2→F2
−1267
∗f 3→F3)
(1 0 0−1134
−1267
467
0 1 017134
367
−167
0 0 13134
−3167
−1267
)Esto nos quiere decir que C-1 nos queda como:
C−1=(−1134
−1267
467
467
367
−167
3134
−3167
−1267
)4.
A=(−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1
)Para hallar la determinante de la matriz A, podemos convertirla a una matriz triangular superior aplicando el método de eliminación Gaussiana.
f 1=fila 1; F1=NuevaFila1
f 2=fila 2; F2=Nueva Fila2
f 3=fila3 ;F3=Nueva Fila3
f 4=fila 4 ; F4=Nueva Fila4
f 5=fila5 ;F5=Nueva Fila5
A=(−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1
)(8∗f 1+f 2→F25∗f 1+ f 3→F3)
A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 6 41 12 60 0 0 1 −20 −1 2 −3 1
)(−2∗f 2+ f 3→F313∗f 2+f 5→F5 )
A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −20 0 27 1 4
)( 27109∗f 3+ f 5→F5)
A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −2
0 0 0−215109
112109
)( 215109∗f 4+ f 5→F5)
A=(−1 0 9 2 10 3 75 12 90 0 −109 −12 −120 0 0 1 −2
0 0 0 0−318109
)Según la formula;
|A|=a11a22 a33…anm
|A|=(−1 )∗3∗(−109 )∗1∗(−318109 )|A|=−954
5.
C=(−2 5 −13 0 −43 1 −5 )
A−1= 1DetA
∗AdjA
Primero que todo hallamos la determinante de la matriz, por el método de los determinantes menores y adjuntos.
|A|=∑ Adjijaij
Donde Adjij es el adjunto o cofactor del elemento ij y aij es el elemento ij
Adjij=(−1 )i+ j(|M ij|)
Donde |Mij| es la determinante del menor de ij.
|A|=Adj11 a11+Adj12a12+Adj13a13
Adj11=(−1 )1+1(|0 −41 −5|)=(1 ) [ (0∗(−5 ) )−(1∗(−4 ) ) ]=4
Adj12=(−1 )1+2(|3 −43 −5|)=(−1 ) [ (3∗(−5 ) )− (3∗(−4 ) ) ]=3
Adj13=(−1 )1+3(|3 03 1|)=(1 ) [ (3∗1 )−(3∗0 ) ]=3
|A|=4∗(−2 )+3∗5+3∗(−1 )=4
AdjA=( Adj11 Adj12 Adj13Adj21 Adj22 Adj23Adj31 Adj32 Adj33
)T
Adj21=(−1 )2+1(|5 −11 −5|)=(−1 ) [ (5∗(−5 ) )− (1∗(−1 ) ) ]=24
Adj22=(−1 )2+2(|−2 −13 −5|)=(1 ) [ ((−2)∗(−5 ) )− (3∗(−1 ) ) ]=13
Adj23= (−1 )2+3(|−2 53 1|)=(−1 ) [ ( (−2 )∗1 )−(3∗5 ) ]=17
Adj31=(−1 )3+1(|5 −10 −4|)=(1 ) [ (5∗(−4 ) )−(0∗(−1 ) ) ]=−20
Adj32=(−1 )3+2(|−2 −13 −4|)=(−1 ) [ ((−2)∗(−4 ) )−(3∗(−1 )) ]=−11
Adj33=(−1 )3+3(|−2 53 0|)= (1 ) [ ((−2)∗0 )−(3∗5 ) ]=−15
AdjA=( 4 3 324 13 17
−20 −11 −15)T
→AdjA=(4 24 −203 13 −113 17 −15)
A−1= 1¿ A∨¿∗AdjA ¿
A−1=14∗(4 24 −203 13 −113 17 −15)
A−1=(1 6 −534
134
−114
34
174
−154
)