PROBLEMA 1 PROBABILIDADES

En el almacén de explosivos para la voladura de un área de la mina San José el cual tiene que despachar 60 pedidos lo más antes que pueda y transportarlos con total seguridad al área determinada, y se sabe que 5 de ellos son de una cierta mercancía A. Si se complementan los 60 pedidos al azar, ¿cual es la probabilidad de que el primero y el cuarto pedido sean de la mercancía A y de que simultáneamente no lo sean el segundo y el tercero? ¿Cuál es la probabilidad de que en los cuatro primeros pedidos a complementar haya al menos dos pedidos de la mercancía A?

SOLUCION

Vamos a representar por A el suceso consistente en que un pedido determinado que se esté despachando sea de la mercancía A, y por A el suceso complementario consistente en que no sea de la mercancía A. 

Como la probabilidad de que un pedido determinado se refiera a una clase de mercancía determinada (sea A ó A) está influida por el número de pedidos de la misma clase que se hayan despachado antes, este problema ilustra la ley general de la probabilidad compuesta, expresada en la Ley general de la probabilidad compuesta : 

P(A∩B∩C∩⋯∩M∩N)=

=P(A)⋅P(B/A)⋅P(C/A∩B)⋅⋅⋅P(N/A∩B∩C∩⋯∩M)

Una buena forma de considerar el problema es imaginar un mazo de 60 cartas, todas iguales, excepto que 5 de ellas están señaladas con A y 55 señaladas con A. La acción de cumplimentar los pedidos se puede asociar a la de sacar cartas de un mazo bien barajado, de forma que todas las cartas que se pueden sacar en una prueba determinada tienen las mismas probabilidades de ser elegidas. 

El suceso de que los pedidos primero y cuarto sean de la mercancía A y el segundo y tercero no, corresponde a sacar la sucesión de cartas A ,A , A, A. Como hay 5 cartas señaladas con A, la probabilidad de que la primera carta sea una A es 5/60. En la segunda prueba hay 59 cartas en la baraja, y 55 de ellas están señaladas con A. Luego la probabilidad condicionada de que la segunda carta sea una A es 55/59. En la tercera prueba quedan 58 cartas, y 54 de ellas están señaladas con A. Luego, la probabilidad condicionada de que la tercera carta sea una A es 54/58. Finalmente, en la cuarta prueba quedan 57 cartas, de las cuales 4 están señaladas con A, luego la probabilidad de que la cuarta carta sea una A es 4/57. Por tanto, multiplicando estas probabilidades de acuerdo con el teorema que expresa la ley general de la probabilidad compuesta, obtenemos : 

P(A,Aˉ,Aˉ,A)=(5/60)⋅(55/59)⋅(54/58)⋅(4/57)=0,0051

Si llamamos E al suceso de que al menos dos pedidos de los cuatro primeros a cumplimentar sean de la mercancía A, su probabilidad es igual a 1 - P(E), siendo E el suceso de que los primeros cuatro pedidos contengan menos de dos pedidos de la mercancía A, es decir, cero ó uno. Pero la probabilidad de que ninguno de los pedidos sea de la mercancía A está dada por: 

P(Aˉ,Aˉ,Aˉ,Aˉ)=(55/60)⋅(54/59)⋅(53/58)⋅(52/57)=0,6994

Como el suceso de que uno de los pedidos sea de la mercancía A puede ocurrir de cuatro formas mutuamente excluyentes, su probabilidad total es : 

P(1)=P(A,Aˉ,Aˉ,Aˉ)+P(Aˉ,A,Aˉ,Aˉ)+P(Aˉ,Aˉ,A,Aˉ)+P(Aˉ,Aˉ,Aˉ,A)=

=(5/60)⋅(54/59)⋅(54/58)⋅(53/57)+(55/60)⋅(5/59)⋅(54/58)⋅(53/57)++(55/60)(54/59)(5/58)(53/57)+(55/60)(5/59)(54/58)(5/57)=0,2690

Por todo ello tendremos : 

P(Eˉ)=P(0)+P(1)=0,6994+0,2690=0,9684y la probabilidad buscada es : 

P(E) = 1 - P(E) = 1 - 0,9684 = 0.00316

PROBLEMA 2

La minera Cerro Verde desea no solo explotar el cobre y venderlo como materia prima, y es por ellos que se desea fabricar alambres para su posterior venta y asi generar mejores ganancias y dar mayor empleo a sus trabajadores. Pero para poder lograr los resultados que se desean se tienen que hacer varias pruebas e hipótesis. Calculando la probabilidad de imperfecciones que tengan. Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.

(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.

(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre

SOLUCIÓN:

(a) Determine la probabilidad de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

Entonces E(x)=2.3 imperfecciones y

P(x=2)= e -2.3 3*3 2 = 0.265 2!

(b) Determine la probabilidad de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.Sea que X denote el número de imperfecciones en 5 milímetro de alambre. Entonces, X tiene una distribución Poisson con

E(x)=5mmx2.3 imperfecciones/mm= 11,5 imperfecciones.

Por lo tanto,

P(x=10)= e-11.5 /10! = 0.113

(c) Determine la probabilidad de al menos una imperfección en 2mm de alambre. Sea que x denote el número de imperfecciones en 2 milímetros de alambra. Entonces, X tiene una distribución de Poisson con E(x)=2mmx2.3imperdecciones/mm=4.6imperfecciones

Por lo tanto,

P(x ≥ 1)=1-P(x=0)=1-e-4.6 =0.9899