UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

SEDE BARBOSA ÁLGEBRA LINEAL I

PROF. DEICY VILLALBA REY

UNIDAD TEMÁTICA: MATRICES Y SISTEMAS ECUACIONES LINEALES

1. Se necesitan ingredientes distintos, A, B y C, para producir determinada sustancia. Pero deben disolverse primero en agua, antes de ponerlos a reaccionar para producir la sustancia. La solución que contiene A con 1.5 gramos por centímetro cúbico (g/cm3), combinada con la solución de B cuya concentración es de 3.6 g/cm3 y con la solución C con 5.3 g/cm3 forma 25.07 g de la sustancia. Si las proporciones de A, B y C en esas soluciones se cambian a 2.5, 4.3, y 2.4 g/cm3, respectivamente (permaneciendo iguales los volúmenes), se obtienen 22.36 g de la sustancia. Por último, si las proporciones se cambian a 2.7, 5.5 y 3.2 g/cm3, respectivamente, se producen 28.14 g de la sustancia. ¿Cuáles son los volúmenes, en centímetros cúbicos, de las soluciones que contienen A, B y C? 2. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que: El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas. El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más del oeste que de infantiles. Hallar el número de películas de cada tipo. 3. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? 4. QuickInk Publisher edita tres calidades de libros: encuadernación rústica, con pasta dura y empastada en piel. Para los rústicos, la empresa gasta en promedio $5 en papel, $2 en ilustraciones y $3 en las pastas. Para los de pasta dura los gastos son $10 en papel, $4 en ilustraciones y $8 en pastas; y para los de lujo empastados en piel, $20 en papel, $12 en ilustraciones y $24 en pastas. Si el presupuesto permite $235000 en papel, $110000 en ilustraciones y $205000 en pastas. ¿Cuántos libros de cada categoría pueden producirse? 5. Una empresaria internacional necesita en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, libras inglesas y marcos alemanes durante cada viaje de negocios. Este año viajó 3 veces. La primera vez cambió un total de $2550 con las siguientes tasas: 100 yenes por dólar, 0.6 libras por dólar y 1.6 marcos por dólar. La segunda vez cambió $2840 en total con las tasas de 125 yenes, 0.5 libras y 1.2 marcos por dólar. La tercera vez, cambió un total de $2800 a 100 yenes, 0.6 libras y 1.2 marcos por dólar. ¿Cuántos yenes, libras y marcos compraron cada vez? 6. El promedio de las temperaturas en las ciudades de Nueva York, Washington D.C. y Boston, fue 88ºF durante cierto día de verano. En Washington D.C. fue 9º mayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades. En Boston fue 9º menor que la temperatura promedio en las otras dos ciudades. ¿Cuál fue la temperatura en cada ciudad?

7. R.S.C.L.S. y Asociados fabrica tres tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar una Ciclón se necesitan 10 horas, otras dos para probar sus componentes y 2 horas más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? 8. Un automóvil sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h y en llano marcha a 80 km/h. Para ir de Aratoca a Barbosa tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de Barbosa a Aratoca, 2 horas y 45 minutos. ¿Cuál es la longitud de camino llano entre Aratoca y Barbosa si sabemos que la distancia entre Aratoca y Barbosa es de 192 km? 9.|Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno posea en ese momento. Cada uno perdió una partida, y al final cada uno tenía $24.000. ¿Cuánto tenía cada jugador al comenzar? 10. El director de una residencia de ancianos espera cuatro ancianos para pasar las vacaciones. Estos necesitan tres tipos de medicamentos distintos. La matriz A = (aij) representa las necesidades diarias de dichos medicamentos (en mg.), siendo i = 1, 2, 3 cada tipo y j = 1, 2, 3, 4 los ancianos. El vector x = (xj ), j = 1, 2, 3, 4 representa el número de días que cada anciano va a permanecer en el asilo.

a) Obtener las cantidades totales necesarias de cada producto si

=

5030010

101000

10304020

A

=

28

21

14

7

x

b) Si el costo (en euros) de los medicamentos viene dado por el vector (3, 2, 4), calcular el costo total de los tratamientos. 11. Determine los valores de las corrientes 1I , 2I , 3I , etc. para cada circuito eléctrico dado:

12. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en

gastos adicionales durante su viaje por estos tres países. Calcule el número de días que pasó el viajero en cada país o muestre que los registros deben estar incorrectos debido a que las cantidades gastadas no son compatibles una con otra. 13. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B y 8 unidades del químico C. Las marcas X; Y y Z son atomizadores comerciales que se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A,B y C, en la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los químicos requeridas para el control de la enfermedad? 14. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico. Si la calle que va de C a A estuviera en reparación, ¿cuál será el mínimo tráfico que se podría permitir? ¿Cómo podría obtenerse este mínimo?

15. El agua fluye a través de las tuberías que se muestran en la figura a la izquierda (en miles de metros cúbicos por hora). a. Planteé y solucione el sistema para el flujo de agua representado por ix b. Encuentre la cantidad de agua que fluye por cada tubería

cuando 076 == xx

c. Encuentre la cantidad de agua que fluye por cada tubería cuando 10005 =x y 06 =x

16. El flujo de tráfico (en vehículos por hora) a través de una glorieta se muestra en la figura a la derecha. a. Planteé y solucione el sistema para el flujo vehicular para cada ix b. Encuentre el flujo vehicular cuando una de las vías se encuentra en reparcheo, en particular 04 =x c. Encuentre el flujo vehicular cuando 1004 =x

17. El siguiente diagrama reproduce una red de calles de una sola vía con el flujo de tráfico en las direcciones indicadas. El número de carros está dado como promedio de carros por hora. Asumiendo que el flujo que llega a una intersección es igual al flujo que sale de ella, construya un modelo matemático del flujo de tráfico a. Planteé y solucione el sistema para el flujo vehicular para cada ix b. Encuentre el flujo vehicular cuando 1003 =x 505 =x

506 =x 18. Encuentre el polinomio por el cual pasan los siguientes puntos (-2,3), (-1,5), (0,1), (1,4) y (2,10) 19. Una florista ofrece tres tamaños de arreglos florales. Los arreglos contienen orquídeas, margaritas y crisantemos. Cada arreglo pequeño contiene una orquídea, 3 margaritas, y 3 crisantemos. Cada arreglo mediando contiene 3 orquídeas, 6 margaritas, y 9 crisantemos. Y cada arreglo grande contiene 4 orquídeas, 8 margaritas, y 9 crisantemos. Un día la florista nota que ha empleado un total de 24 orquídeas, 50 margaritas, y 60 crisantemos. ¿Cuántos arreglos grandes habrá hecho? 20. Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura en estado estable de una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa. Suponga que la placa de la figura a la derecha representa una sección transversal perpendicular a la placa. Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas interiores de los nodos de la red. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda. Así por ejemplo T1 = (TCN + T2 + T4 + TCO) /4. Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que TCN = 25o; TCE = 37o; TCS = 10o; TCO = 31º 21. Suponga que la placa de la figura a la derecha representa una sección transversal perpendicular a la placa. Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las temperaturas interiores de los nodos de la red. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más cercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda. Así por ejemplo

( )4

21

bca TTTTT

+++= . Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que

°= 12aT , °= 26bT , °= 32cT , °= 13dT , °= 31eT y °= 10fT

22. Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: cañón, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo cañón necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 más para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por _ultimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la fábrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalación de programas, ¿cuántas computadoras se pueden producir por mes?

23. Determine la función cuadrática que pasa por los puntos P(1; 4), Q(-1; 2), y R(2; 3). 24. Un mercader cafetero vende bolsas de tres mezclas de café: mezcla de la casa, mezcla especial y mezcla elite. Estas mezclas se obtienen combinando grano mexicano, grano colombiano y grano etíope. Para una bolsa de mezcla de la casa requiere 300 g de mexicano y 200 g de colombiano. Para una bolsa de mezcla especial requiere 300 g de mexicano, 100 g de colombiano y 100 g de etíope. Para una bolsa de mezcla elite requiere 100 g de mexicano, 300 g de colombiano y 100 g de etíope. El comerciante dispone de 29 kg de grano mexicano, 20 kg de grano colombiano, y 6 kg de grano etíope. Determina cuántas bolsas de cada mezcla se pueden preparar si tiene que utilizarse todo el grano disponible. Reporta sólo las bolsas de la mezcla elite. Sugerencia: Primero maneje todo en gramos y después divida las ecuaciones entre 100 antes de resolver. 25. La compañía LegoMex produce tres tipos de productos: R, S y T. Estos se producen ensamblando 3 tipos de componentes básicos: A, B y C. Para ensamblar un producto R requiere 2 As, 3 Bs y 4 Cs. Para ensamblar un producto S requiere 4 As, 3 Bs y 2 Cs. Para ensamblar un producto T requiere 10 As, 9 Bs y 8 Cs. Suponga que debe utilizarse en su totalidad 36 As, 33 Bs y 30 Cs. Por cada ensamble del tipo R la compañía a gana 4 dólares, por un ensamble tipo S gana 8 dólares, y por uno tipo T gana 16 dólares. Determina cuál es la combinación que proporciona una mayor ganancia, así como la ganancia total obtenida.

26. Calcula las constantes A, B y C que cumplen: ( )( ) ( ) ( )22

2

4242

328

x

CBx

x

A

xx

xx

+

++

+=

++

−+

27. Sean las matrices

−=

11

21

03

A

−=

20

14B

=

513

241C

−=

423

101

251

D

−=

314

211

316

E

Calcular cuando se pueda: 3C- D, (AB)C, A(BC), ED, DE, (4B)C + CA y 2BCA +

28. Encontrar las operaciones elementales que llevan la matriz

=

301

210

321

A a la forma escalonada

canónica. 29 Hallar una matriz P tal que APB = C donde

−

−=

21

32

41

A

−=

110

002B

−

−

−

=

004

116

668

C

30. Calcula x, y, z, t para que se cumpla que:

=

−

20

15.

10

12

tz

yx

31. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Utiliza diferentes métodos en su solución

a.

−=++

−=++

=−+

1233

12

22

zyx

zyx

zyx

b.

=++

=+−

=+

=++

975

7433

432

3

cba

cba

ca

cba

c.

=++

=++−

=++

75

33

22

zyx

zyx

zyx

d.

=+−−

=++−

=+−

=+−

0225

05

02

02

wzyx

wzyx

zyx

wyx

e.

=+−−

=++−

=+−

=+−

0225

245

112

92

wzyx

wzyx

zyx

wyx

f.

=−++

−=−−+

=−+−

=+++

2

1

02

1

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

32. Determinar si la matriz

−−=

241

131

313

A es invertible. En caso afirmativo calcular su inversa.

33. Dado el sistema de ecuaciones

−=++

=−+−

=++

324

23

1033

zyx

zyx

zyx

halla su solución empleando (si existe) la inversa de la matriz asociada al sistema. 34. Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene:

=

987

654

321

A

=

421

210

321

B

=

002

121

311

C

35. Comprueba que la matriz inversa de B es B-1:

=

013

100

205

B

−

−

=−

010

156

53

052´5

1

1B

36. Cuál es la afirmación correcta sobre las soluciones al sistema de ecuaciones

=+−

=+−

−=−−−

423

943

30646

zyx

yx

zyx

A. Que el sistema es inconsistente. B. Que tiene solución única. C. Que tiene un número infinito de soluciones. 37. Determine la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos P(0,1), Q(-1,1), y R(1,0).

38. Cuál es la afirmación correcta sobre las soluciones al sistema de ecuaciones

−=−−

=+−−

=+−−

=+−−

6622

301382

18942

53

zyx

zyx

zyx

zyx

A. Que el sistema es inconsistente. B. Que tiene solución única. C. Que tiene un número infinito de soluciones. 39. Encuentra dos matrices A y B de dimensión 2x2 que cumplan:

=+

02

412 BA

−=−

01

21BA

40. Dadas las matrices

−=

103

121A y

−

−=

012

104B comprueba que:

a. ( ) tttBABA +=+ b. ( ) tt

AA 33 =

41. Una matriz cuadrada se llama ortogonal cuando su inversa coincide con su transpuesta. Calcula x e

y para que esta matriz sea ortogonal:

−=

100

053

053

y

x

A

42. Dado el sistema de ecuaciones

+=++

−=+−−

=−+

=++

4

332

222

0142

5432

531

153

31

xxxx

xxx

xxx

xx

determinar:

a. La matriz asociada al sistema. b. El vector columna de términos independientes. c. La matriz aumentada. d. El sistema homogéneo asociado.

43. Dado el sistema de ecuaciones

=++

=++

=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

, si ninguno de los números aij son cero,

relacione cada resultado del efecto: a) Sustituir en la ecuación 3 la variable x1 despejada de la ecuación 2. b) Sustituir en la ecuación 1 la variable x3 despejada de la ecuación 2. c) Sustituir en la ecuación 3 la variable x2 despejada de la ecuación 1. d) Sustituir en la ecuación 2 la variable x3 despejada de la ecuación 3. e) Sustituir en la ecuación 1 la variable x2 despejada de la ecuación 2. Con la operación entre las ecuaciones:

1) 2

21

3133 Fa

aFF −← 2) 2

21

1111 Fa

aFF −←

3) 1

12

3233 Fa

aFF −←

4)

2

22

1211 Fa

aFF −← 5)

2

23

1311 Fa

aFF −←

6) 3

33

2322 Fa

aFF −←

44. Determina el orden de los valores x, y y z para que se cumpla que:

−

=

−

−

−−

=

14170

19230

7111

11

56

54

130

140

331

z

y

x

A

45. Si

−−

−−=

13

14A

−

−=

14

13B

−

−=

22

23C

−

−=

77

911D halle X para que se cumpla la

siguiente ecuación: ( ) DCBXAt =− 3

46. En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras. a) Escribe una matriz que describa el número y el tamaño de las ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana. b) Calcula la matriz que expresa el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda. 47. Para los estudiantes de álgebra Lineal I, voy a dar un breve pero importante consejo para poder aprobar la materia: 1,9,10,22,24,43,16,37,53,24,36,56,16,28,44,37,17,34,21,18,20,25,18,31,1,20, 20 Para que este mensaje sea accesible a todos, solamente comentar que el mensaje ha sido encriptado basándose en el remplazo de cada letra por el número que le corresponde a su posición en el alfabeto español (A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V X Y Z) y representamos un espacio por 0,

mediante la matriz

=

210

110

101

M .

Ayuda a tus compañeros y desencripta el mensaje. 48. Considerar el siguiente diagrama de una malla de calles de un sentido con vehículos que entran y salen de las intersecciones. La intersección k se denota [k]. Las flechas a lo largo de las calles indican la dirección del flujo de tráfico. Sea xi = número de vehículos/h que circulan por la calle i. Suponiendo que el tráfico que entra a una intersección también sale, establezca un sistema de ecuaciones que describa el diagrama del flujo de tráfico. a. Resolver el sistema. Habrá un número infinito de soluciones. Escriba las soluciones respecto a las variables que son las naturales para elegirse de manera arbitraria. b. Suponer que la calle de [1] a [3] necesita cerrarse; es decir, x3=0. ¿Puede cerrarse también la calle de [1] a [4] (x5=0) sin cambiar los sentidos del tránsito? Si no se puede cerrar, ¿cuál es la cantidad más pequeña de vehículos que puede admitir esta calle (de [1] a [4])?