Ejercicios 1 (Teoricos - Oficial)

Lista de Ejercicios: MA-1006: Introduccion Analisis Numerico

Escuela de MatematicasUniversidad de Costa Rica

Juan Pablo Soto Quiros y Oscar [email protected] - [email protected]

1 Introduccion

La lista de ejercicios se seleccionaron de [1], [2] y [3].

2 Conceptos basicos de calculo numerico

2.1 Aproximaciones y errores de redondeo

1. Represente los siguientes numeros en su notacion punto flotante, aplicando corte a 3 dgitossignificativos.

0.6523689 52364.2365

0.0000020035 1.234000569

2. Para cada uno de los valores que se presentan a continuacion, determine el intervalo de valoresrepresentados por redondeo al numero de cifras indicadas en cada caso:

w = 1.325 a 4 cifras. x = 0.00123 a 3 cifras.

y = 15.002 a 5 cifras. z = 0.1 a 1 cifras.

3. Para cada uno de los valores que se presentan a continuacion, determine el intervalo de valoresrepresentados por corte al numero de cifras indicadas en cada caso:

w = 0.00010001 a 5 cifras. x = 15012.06 a 7 cifras.

y = 0.2365 a 4 cifras. z = 0.01 a 1 cifras.

4. Evalue el polinomio y = x3 5x2 + 6x+ 0.55 en x = 2.73. Utilice aritmetica punto flotante concorte al tercer dgitos significativos y calcule el error relativo.

5. El polinomio del ejercicio anterior se puede escribir: y = [(x 5)x+ 6]x+ 0.55. Con esta nuevaformulacion, utilice aritmetica punto flotante con corte al tercer dgitos significativos y calculeel error relativo. Compare con el ejercicio anterior.

1

6. Utilizando aritmetica punto flotante con redondeo al cuarto dgito significativo, calcule el valorde:

pi +

2

512

(e+

5

3

11

)

0.6 + 1ln 2

1e2

+3e

pi + 0.7253

+111

(pi

pi e + 1.267)

11 + 1

1+ 11+59

3 Races de Ecuaciones

3.1 Metodo Grafico

1. Determine el numero de soluciones que poseen las siguientes ecuaciones. Proporcione un intervaloque contenga cada solucion.

cos(x) = x2. ln(x) = x3.

x 2x = 0. ex = sec(x).

3.2 Metodo de Biseccion

2. Pruebe que las siguientes ecuaciones tienen al menos una solucion en los intervalos indicados

ex = x2 en I = [1, 0]. x cos(x) 2x2 + 3x 1 = 0 en I1 = [0.2, 0.3] y I2 = [1.2, 3.3]. (x 2)2 ln(x) = 0 en I1 = [1, 2] y I2 = [e, 4]. 2x cos(2x) (x 2)2 = 0 en I1 = [2, 3] y I2 = [3, 4]. x (ln(x))x = 0 en I = [4, 5].

3. Encuentre intervalos que garanticen, al menos, una solucion para las siguientes ecuaciones

x 3x = 0. 4x2 = ex.

4. Aproxime la solucion de la ecuacion ex = x, con un error relativo normalizado menor a 35%.

5. Encuentre una solucion de la ecuacion x = tan(x), en el intervalo I = [4, 4.5], con un errorrelativo normalizado menor que 103.

6. Use el metodo de la biseccion para encontrar una solucion, con un error relativo normalizadomenor a 105, para las siguientes ecuaciones:

x = 2x en I = [0, 1]. ex x2 = 2 3x en I = [0, 1]. 2x cos(2x) (x+ 1)2 = 0 en I1 = [3,2] y I2 = [1, 0]. x cos(x) + 3x = 2x2 1 en I1 = [0.2, 0.3] y I2 = [1.2, 1.3].

2

7. Encuentre una aproximacion para

3, con un error menor a 104. utilizando el metodo de labiseccion. [Sugerencia: Plantee una ecuacion, cuya solucion sea

3].

8. Si se sabe que f tiene un cero en el intervalo I, determine el numero de iteraciones necesariaspara calcular una aproximacion del cero, para el cual se asegure que el error absoluto real seamenor que , donde

I = [2, 4] y = 104. I = [0, 6] y = 105.

I = [0.2, 0.5] y = 1010. I = [1, 5] y = 103.

9. Demuestre que la ecuacion dada por

ln(q) + eq = q2 + cos(q)

tiene al menos una solucion en el intervalo ]0, 1]. Utilice el metodo de la Biseccion para aproximardicho cero con un error absoluto real menor que 102.

3.3 Metodo de la Secante

10. Utilice el metodo de la secante para aproximar la solucion de la ecuacion ex = x2, utilizando 8iteraciones, utilizando como condiciones iniciales x1 = 1 y x0 = 3.

11. Utilice el metodo de la secante para aproximar la solucion de la ecuacion ex = x, con un errorrelativo normalizado menor que 1%, utilizando como condiciones iniciales x1 = 0 y x0 = 1.

12. Utilice el metodo de la secante para aproximar la solucion de la ecuacion ex3 = 2x 1, conun error relativo normalizado menor que 1%, utilizando como condiciones iniciales x1 = 0.75 yx0 = 1.

13. Considere la siguiente ecuacion

log(2) + log(11 x2) = 2 log(5 x)

Utilice el metodo de la secante para aproximar las dos soluciones de la ecuacion con error relativonormalizado menor que 0.000001, usando como aproximaciones iniciales x1 = 1 y x0 = 0.Calcule la solucion exacta de la ecuacion y determine el error absoluto y error relativo real decada aproximacion.

3.4 Metodo de la Falsa Posicion (Regula Falsi)

14. Utilice el metodo de la falsa posicion para aproximar una solucion de la ecuacion ex = x2, en elintervalo [2, 0], con un error relativo normalizado menor que 103.

15. Utilice el metodo de la falsa posicion para aproximar una solucion de la ecuacion xex = 10, enel intervalo [1, 2], con un error relativo normalizado menor que 102.

16. Utilice el metodo de la falsa posicion para aproximar una solucion de la ecuacion ex1 = 10,en el intervalo [0.4, 0.7], utilizando 5 iteraciones. Calcule el error relativo normalizado en cadaiteracion.

3

3.5 Metodo de Newton-Raphson

17. Utilice el metodo de Newton-Raphson para calcular una aproximacion de la solucion de laecuacion cos(x) = x tal que el error relativo normalizado sea menor que 0.0001. Utilice comoaproximacion inicial x0 = 3.

18. Pruebe que 2 1 + 1

2 1

12 1

408.

[Sugerencia. Utilice 3 iteraciones del metodo de Newton-Raphson, para resolver la ecuacionx2 = 2]

19. Utilice el metodo de Newton-Raphson para calcular una aproximacion de la solucion de laecuacion cos(x) = x3, utilizando 5 iteraciones y con aproximacion inicial x0 = 3. Se puedeutilizar x0 = 0 como aproximacion inicial?. Justifique su respuesta.

20. Utilice el metodo de Newton-Raphson para calcular una aproximacion de la solucion de laecuacion

0 =1

2+x2

4 x sin(x) cos(2x)

2,

con aproximacion inicial x0 =pi2 y con un error normalizado menor a 10

5.

21. La suma de dos numeros es 20. Si a cada numero se le suma su raz cuadrada, entonces elproducto de estos dos nuevos numeros es 155.55. Determine estos dos numeros, con un errorrelativo menor a 104.

3.6 Varias

22. Considere la ecuacionex + 2x + 2 cos(x) = 6.

Dicha ecuacion tiene una solucion en el intervalo [1, 2]. Utilices los metodos de la biseccion,secante, falsa posicion y Newton-Raphson para aproximar una solucion, utilizando 5 iteraciones.Luego calcule en cada caso el error relativo normalizado y compare resultados. Cual de losmetodos aproximo mejor a la solucion?.

23. Considere la ecuacionln(x 1) + cos(x 1) = 0.

Dicha ecuacion tiene una solucion en el intervalo [1.3, 2]. Utilices los metodos de la biseccion,secante, falsa posicion y Newton-Raphson para aproximar una solucion, utilizando 6 iteraciones.Luego calcule en cada caso el error relativo normalizado y compare resultados. Cual de losmetodos aproximo mejor a la solucion?.

4 Sistema de ecuaciones lineales

4.1 Eliminacion Gaussiana

1. Calcule la solucion de lo siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

4

(a) x1 x2 + 3x4 = 2

3x1 3x2 + x3 = 1x1 + x2 = 3

(b) x1 x2 + 2x3 x4 = 8

2x2 x3 + x4 = 6x3 x4 = 4

2x4 = 4

(c) x1 + x2 + 3x4 = 4

2x1 + x2 x3 + x4 = 13x1 x2 x3 + 2x4 = 3x1 + 2x2 + 3x3 x4 = 4

(d) x1 12x2 + x3 = 4

2x1 x2 x3 + x4 = 5x1 + x2 = 2

x1 12x2 + x3 + x4 = 5

2. Considere el siguiente sistema de ecuaciones:{2x1 6ax2 = 33ax1 x2 = 3

2

Calcule valores para a, de tal manera que el sistema tenga solucion unica.

3. Utilizando el metodo de eliminacion Gaussiana y aritmetica punto flotante con corte al tercerdgito significativo, encuentre una aproximacion a la solucion de los siguientes sistemas:

(a) {0.03x1 + 58.9x2 = 59.25.31x1 6.10x2 = 47.0

Solucion Exacta: (10, 1)t

(b) {58.9x1 + 0.03x2 = 59.26.10x1 + 5.31x2 = 47.0

Solucion Exacta: (1, 10)t

4. Metodo eliminacion Gauss-Jordan: El metodo de eliminacion Gauss-Jordan es una variacionde la eliminacion de Gauss. La principal diferencia consiste en que cuando una incognita se elim-ina, en el metodo de Gauss-Jordan esta es eliminada de todas las ecuaciones en lugar de hacerlosolo en las subsecuentes. Es decir, en su representacion matricial, la matriz de coeficientes sereduce a una matriz identidad. Ejemplo: Para el sistema(

2 11 4

)(x1x2

)=

(21

)Realizando operaciones sobre filas, el sistema se puede reducir a:(

1 00 1

)(x1x2

)=

(10

)De donde se obtiene que la solucion es (1, 0)t.

Utilice el sistema de eliminacion Gauss-Jordan para resolver los siguientes sistemas:

(a) 2x1 + x2 x3 = 1

5x1 + 2x2 + 2x3 = 43x1 + x2 + x3 = 5

(b) x1 + x2 x3 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 = 23x1 + 4x2 + x3 = 1

5

4.2 Factorizacion LU

5. Se sabe que una factorizacion de la forma LU de la la matriz A es 60 30 2030 20 1520 15 12

= L 60 30 200 5 5

0 0 13

(a) Calcule la matriz L.

(b) Utilizando el metodo de factorizacion LU, resuelva el siguiente sistema:60x1 + 30x2 + 20x3 = 130x1 + 20x2 + 15x3 = 220x1 + 15x2 + 12x3 = 3

6. Resuelva el siguiente sistema utilizando el metodo de factorizacion LU

(a) 2x1 + 3x2 + 4x3 = 6

4x1 + 5x2 + 10x3 = 164x1 + 8x2 + 2x3 = 2

(b) 2x1 3x2 + x3 = 3

4x1 + 9x2 + 2x3 = 46x1 12x2 2x3 = 2

4.3 Inversion de matrices

7. Determine si los siguientes sistemas tienen solucion unica, y de tener solucion unica, utilice elmetodo de inversion de matrices

(a) 2x1 3x2 + x3 = 3

4x1 + 9x2 + 2x3 = 46x1 12x2 2x3 = 2

(b) x1 + x2 + x3 = 4

2x1 + 2x2 + x3 = 6x1 + x2 + 2x3 = 6

(c) x1 + x2 x3 = 3

6x1 + 2x2 + 2x3 = 23x1 + 4x2 + x3 = 1

(d) 2x1 + x2 x3 = 1

5x1 + 2x2 + 2x3 = 43x1 + x2 + x3 = 5

4.4 Metodos Iterativos

8. Utilice los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel, y aproxime la solucion de los siguientes sistemas,calculando 2 iteraciones. Determine el error absoluto en cada caso.

(a) 3x1 x2 + x3 = 1

3x1 + 6x2 + 2x3 = 03x1 + 3x2 + 7x3 = 4

(b) 10x1 x2 = 9

x1 + 10x2 2x3 = 72x2 + 10x3 = 6

6

5 Interpolacion Numerica

5.1 Diferencias Divididas

1. Considere los datos de la siguiente tabla

x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5

P (x) 2 8 14 15 8 2

(a) Determine el polinomio de interpolacion de menor grado P (x) que pasa por los datosmencionados anteriormente, utilizando el metodo de diferencias divididas.

(b) Calcule f(3)


x 2 3 4 5 6 7

P (x) = y 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 1.1429

Si P (x) es el polinomio de grado 5 que pasa por lo puntos, determinar el valor de x que corre-sponde a P (x) = 0.85 (Sugerencia: Determine el polinomio Q tal que Q(y) = x)

3. Determine un polinomio de interpolacion, Pn(x) (n es el grado del polinomio), para aproximarlas siguientes funciones, en el intervalo I:

(a) f(x) =x

x2 + 1, I = [2, 5], n = 3.

(b) g(x) = logx(arcsin(x)), I = [0.3, 0.8], n = 5.

(c) h(x) = ex2, I = [1, 3], n = 4.

(d) j(x) = x6 2x4 + x2 1, I = [2, 2], n = 3.4. Para los valores siguientes

E 40 60 80 100 120

P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93

donde E son los voltios y P los kilovatios en una curva de perdida en el nucleo para un motorelectrico.

(a) Elaborar una tabla de diferencias divididas.

(b) Calcular el polinomio de interpolacion de utilizando el metodo de diferencias divididas deNewton de segundo grado para E = 80; 100; 120. Utilizarlo para estimar el valor de Pcorrespondiente a E = 90 voltios. [Sugerencia: No realizar la tabla de diferencias, sinoayudarse de la tabla realizada en la parte anterior].

(c) Calcular el error actual.

6 Interpolacion de Lagrange

5. Para las siguientes funciones f(x), sea x0 = 0, x1 = 0.6 y x2 = 0.9. Construya el polinomio deinterpolacion de grado 1 y grado 2, para aproximar f(0.45), utilizando el metodo de interpolacionde Lagrange. Ademas, calcule el error exacto.

7

(a) f(x) = cos(x)

(b) f(x) = ln(x+ 1)

(c) f(x) =x+ 1

(d) f(x) = tan(x)


x 1.6 2 2.5 3.2 4 4.5

P (x) 2 8 14 15 8 2

(a) Determine el polinomio de interpolacion de menor grado P (x) que pasa por los datosmencionados anteriormente, utilizando el metodo de Lagrange.

(b) Calcule f(3.5)

7. Para los valores siguientes

E 40 60 80 100 120

P 0.63 1.36 2.18 3.00 3.93

donde E son los voltios y P los kilovatios en una curva de perdida en el nucleo para un mo-tor electrico. Calcular el polinomio de interpolacion de Lagrange para estimar el valor de Pcorrespondiente a E = 90 voltios. Ademas, calcule el error actual.

6.1 Mnimos Cuadrados

8. En la siguiente tabla, R es la resistencia de una bobina en ohms y T la temperatura de la bobinaen grados centgrados. Por el metodo de mnimos cuadrados, determinar el mejor polinomiolineal que represente la funcion dada.

T 10.5 29.5 42.7 60 75.51 91.1

R 10.4 11 11.3 11.7 12.2 12.7

9. Considere la funcion f(x) = cos(x2) en el intervalo [2, 5]. Si se utilizando los puntos x0 = 2,x1 = 3, x2 = 3.5, x3 = 4, x4 = 4.25, x5 = 4.75 y x6 = 5, determine:

(a) El polinomio de grado 1, P1(x), utilizando el metodo de mnimos cuadrados.

(b) Aproxime el valor de f(3.75) utilizando P1(x). Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

(c) El polinomio de grado 2, P2(x), utilizando el metodo de mnimos cuadrados.

(d) Aproxime el valor de f(3.75) utilizando P2(x). Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

(e) Cual de los dos polinomios aproxima mejor el valor de f(3.75)? [Sugerencia: Calcule elerror relativo de cada aproximacion]

10. Hallar la funcion del tipo g(x) = ax+

b

xque mejor se ajuste, mediante el criterio de los mnimos

cuadrados, a los datos (1, 2), (2, 4), (3, 0).

11. Hallar la funcion del tipo g(x) = ax 1 + bx que mejor se ajuste, mediante el criterio de los

mnimos cuadrados, a los datos (1, 2), (0,3), (2, 1). Aproxime el valor de g(1) y calcule elerror total y el error cuadratico medio.

8

6.2 Regresion

12. Determine la recta logartmica y = a ln(x) + b para la siguiente tabla

xk 29 50 74 103 118

yk 1.6 23.5 38.0 46.4 48.9

13. Considere los valores de la siguiente tabla:

xk 6.9 12.9 19.8 26.7 35.1

yk 21.4 15.7 12.1 8.5 5.2

(a) Encuentre la curva f(x) = aebx usando mnimos cuadrados.

(b) Calcule el error total y el error cuadratico medio.

(c) Aproxime el valor x = 16.


xk 1 2 3 4 5

yk -0.5 2.5 1.6 8 5.5

Determine el modelo de regresion y =ax

x+ bque mejor ajuste los datos de la tabla anterior.

[Sugerencia: utilice la propiedad de los logaritmos ln(m/n) = ln(m) ln(n) y trabaje con elrecproco de y]

15. Considere los siguientes datos:

xk -1 0 1 2

yk 0 -0.25 0.25 0.35

(a) Determine un modelo de regresion lineal. Calcule el error total y el error cuadratico medio.

(b) Determine un modelo de regresion cuadratico. Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

(c) Determine un modelo de regresion exponencial. Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

(d) Determine un modelo de regresion logartmico. Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

(e) Determine un modelo de regresion de potencia. Calcule el error total y el error cuadraticomedio.

7 Derivacion Numerica

1. Determine una aproximacion para f (2) utilizando las tres formulas vistas en clase. Use h =0.001. Calcule el error en cada caso, donde f es la funcion definido como:

9

(a) f(x) = ln(x).

(b) f(x) = e2x.

(c) f(x) = cos(x).

(d) f(x) = sin(5x).

2. Un automovil se desplaza por una carretera recta, desde un punto A a un punto B. En esterecorrido se tomaron las siguientes datos de la distancia recorrida por el automovil luego depasar por el punto A y dirigirse hacia B.

Tiempo (seg.) 3 3 9 12

Distancia (m.) 10 16 35 40

Determine la velocidad aproximada del automovil en t = 3, t = 6 y t = 9.

3. Un automovil recorre una pista en 65 segundos. La distancia recorrida por el auto se determinacada 5 segundos del recorrido. Los datos se representa en la siguiente tabla:

Tiempo Distancia

0 05 5410 11515 17520 25025 33030 40035 46040 51645 56650 62855 69860 77465 844

Calcule la velocidad (utilizando la primer diferencia finita centrada) y la aceleracion del au-tomovil cada 5 segundos durante el recorrido.

8 Integracion Numerica

8.1 Regla del Trapecio

1. Considere la funcion f y considere el intervalo I = [a, b]. Sabiendo que f es integrable en I, use

la regla del trapecio para aproximar ba f(x)dx, tal que

(a) f(x) = ln(x), I = [1, 5].

(b) f(x) = 0.5x, I = [2, 2].(c) f(x) = cos(x), I = [0, 2].

(d) f(x) = sin(5x), I = [1, 2].

Calcule el error absoluto en cada caso.


la regla compuesta del trapecio para aproximar ba f(x)dx, tal que

10

(a) f(x) = ln(x), I = [2,1], con 5 puntos.(b) f(x) = 2x, I = [3, 3], con 3 puntos.(c) f(x) = cos(2x), I = [0, 2], con 7 puntos.(d) f(x) = sin(x), I = [1, 2], con 10 puntos.


3. Considere la funcion f definida por f(x) = ex2 y considere el intervalo [0, 4]. Sabiendo que fes integrable en [0, 4], use la regla compuesta del trapecio para aproximar 4

0f(x)dx

utilizando

(a) 3 puntos.

(b) 4 puntos.

(c) 7 puntos.

(d) 10 puntos.

4. Considere la funcion f definida por f(x) = cos(x)+ln(x) y considere el intervalo [1, 5]. Sabiendoque f es integrable en [1, 5], use la regla compuesta del trapecio para aproximar 5

1f(x)dx

utilizando

(a) 3 puntos.

(b) 5 puntos.

(c) 8 puntos.

(d) 11 puntos.

8.2 Regla de Simpson


la regla de Simpson para aproximar ba f(x)dx, tal que

(a) f(x) = ln(x), I = [1, 5].

(b) f(x) = 0.5x, I = [2, 2].(c) f(x) = cos(x), I = [0, 2].

(d) f(x) = sin(5x), I = [1, 2].



la regla compuesta de Simpson para aproximar ba f(x)dx, tal que

(a) f(x) = ln(x), I = [2,1], con 5 puntos.(b) f(x) = 2x, I = [3, 3], con 7 puntos.(c) f(x) = cos(2x), I = [0, 2], con 9 puntos.(d) f(x) = sin(x), I = [1, 2], con 11 puntos.


11

7. Considere la funcion f definida por f(x) = sin(2x)2x y considere el intervalo [1, 4]. Sabiendo que fes integrable en [1, 4], use la regla compuesta de Simpson para aproximar 4

1f(x)dx

utilizando

(a) 5 puntos.

(b) 7 puntos.

(c) 9 puntos.

(d) 11 puntos.

8. Considere la funcion f definida por f(x) = sin(x)+ln(x) y considere el intervalo [1, 5]. Sabiendoque f es integrable en [1, 5], use la regla compuesta de Simpson para aproximar 5

1f(x)dx

utilizando

(a) 5 puntos.

(b) 9 puntos.

(c) 11 puntos.

(d) 13 puntos.

8.3 Regla de Boole


la regla de Boole para aproximar ba f(x)dx, tal que

(a) f(x) = ln(x), I = [1, 5].

(b) f(x) = 0.5x, I = [2, 2].(c) f(x) = cos(x), I = [0, 2].

(d) f(x) = sin(5x), I = [1, 2].


10. Considere la funcion f definida por f(x) = sin(2x)2x y considere el intervalo [1, 4]. Sabiendo que f

es integrable en [1, 4], use la regla de Boole para aproximar 41 f(x)dx.

11. Considere la funcion f definida por f(x) = sin(x)+ln(x) y considere el intervalo [1, 5]. Sabiendoque f es integrable en [1, 5], use la regla de Boole para aproximar

51 f(x)dx.

8.4 Varios

12. Aproxime ba f(x)dx utilizando la regla del Trapecio, la regla de Simpson y la regla de Boole.

Calcule el error en cada caso. Compare resultados.

(a) f(x) = log1/2(x), I = [2, 4].

(b) f(x) = 0.5x, I = [2, 2].(c) f(x) = cos(x), I = [1, 2].

(d) f(x) = sin(x), I = [2, 2].(e) f(x) = 1x , I = [3,1].(f) f(x) = ex, I = [1, 5].

13. Aproxime ba f(x)dx utilizando la regla de compuesta del Trapecio y la regla compuesta de

Simpson utilizando 5 puntos. Calcule el error en cada caso. Compare resultados.

12

(a) f(x) = log1/2(x), I = [2, 4].

(b) f(x) = 0.5x, I = [2, 2].(c) f(x) = cos(x), I = [1, 2].

(d) f(x) = sin(x), I = [2, 2].(e) f(x) = 1x , I = [3,1].(f) f(x) = ex, I = [1, 5].

14. Aproxime las siguientes integrales utilizando la regla del Trapecio, la regla del Trapecio com-puesto con 5 puntos, la regla de Simpson, regla compuesta de Simpson con 5 puntos y la reglade Boole. Compare resultados con el valor real.

(a)

10.5x4dx

(b)

1.51

cos(x)

x2 + 1dx

(c)

20

ln(x+ 2) 2xdx

(d)

20xxdx

8.5 Cuadraturas de Gauss

15. Aplique la formula de Gauss para calcular una aproximacion de la siguientes integrales.

(a)

11

2

3x 5dx

(b)

31

x

x2 + 1dx

(c)

10

ln(x+ 2) 2xdx

(d)

32

0.13x9 3x5 + x3dx

16. La formula de la cuadratura de Gauss utilizando 3 puntos viene dada por la formula 11f(x)dx 1

3f(1) + 4

3f(0) +

1

3f(1)

Aplique la formula de Gauss de 3 puntos para calcular una aproximacion de la siguientes inte-grales.

(a)

11

2

3x 5dx

(b)

31

x

x2 + 1dx

(c)

10

ln(x+ 2) 2xdx

(d)

32

0.13x9 3x5 + x3dx

9 Solucion numerica de ecuaciones diferenciales ordinarias

9.1 Metodo de Euler y Metodo Predictor-Corrector

1. Aplique el metodo de Euler para aproximar las soluciones a los siguientes problemas de valorinicial.

(a)

{y = xe3x 2yy(0) = 1

en el intervalo [0, 1], y h = 0.5.

(b)

{y = 1 + (x y)2y(2) = 1


13

(c)

{y = 1 + yxy(1) = 2


(d)

{y = cos(2x) + sin(2x)y(0) = 1

en el intervalo [0, 1], utilizando 5 puntos.

(e)

{y = yx y

2

x2

y(1) = 1en el intervalo [1, 2], utilizando 11 puntos.

(f)

{y = (y + 1)(y + 3)y(0) = 2 en el intervalo [0, 2], con h = 0.2

(g)

{y = 5y + 5x2 + 2xy(0) = 0.2

en el intervalo [0, 1], con h = 0.1

2. Mejore la aproximacion de cada uno de los ejercicios del punto anterior aplicando el metodoPredictor-Corrector. Luego, calcule el error relativo normalizado de cada nueva aproximacion.

3. Dado el problema de valor inicial {y = 2xy + x

2ex

y(1) = 0

en el intervalo [1, 2], cuya solucion exacta es y(x) = x2(ex e).(a) Use el metodo de Euler con h = 0.1, para aproximar la solucion y compararla con los valores

reales de y. Calcule el error relativo de cada aproximacion.

(b) Use las respuestas obtenidas en la parte anterior, para realizar un modelo lineal con losdatos obtenidos. Luego calcule y(1.04) y y(1.97).

(c) Use el metodo Predictor-Corrector con h = 0.1, para aproximar la solucion y compararlacon los valores reales de y. Calcule el error relativo de cada aproximacion.

(d) Use las respuestas obtenidas en la parte anterior, para realizar un modelo lineal con losdatos obtenidos. Luego calcule y(1.04) y y(1.97).

9.2 Metodos Runge-Kutta

item Aplique los metodos de Runge-Kutta de orden 2 y 4 para aproximar las soluciones a lossiguientes problemas de valor inicial.

(a)

{y = xe3x 2yy(0) = 1


(b)

{y = 1 + (x y)2y(2) = 1


(c)

{y = 1 + yxy(1) = 2


(d)

{y = cos(2x) + sin(2x)y(0) = 1


14

(e)

{y = yx y

2

x2


(f)


(g)

{y = 5y + 5x2 + 2xy(0) = 0.2


4. Use las respuestas obtenidas en la parte anterior, para realizar un modelo lineal con los datosobtenidos.

5. Dado el problema de valor inicial {y = y + x+ 1y(0) = 1

en el intervalo [0, 1], cuya solucion exacta es y(x) = x+ ex.

(a) Use los metodos de Runge-Kutta con h = 0.1, para aproximar la solucion y compararla conlos valores reales de y. Calcule el error relativo de cada aproximacion.


9.3 Metodos de Adam-Bashforth

6. Aplique los metodos de Adam-Bashforth de paso 2 y 3 para aproximar las soluciones a lossiguientes problemas de valor inicial. Utilice el metodo de Euler para obtener las aproximacionesde y1 y y2, segun corresponda el caso.

(a)

{y = xe3x 2yy(0) = 1


(b)

{y = 1 + (x y)2y(2) = 1


(c)

{y = 1 + yxy(1) = 2


(d)

{y = cos(2x) + sin(2x)y(0) = 1


(e)

{y = yx y

2

x2


(f)


(g)

{y = 5y + 5x2 + 2xy(0) = 0.2


15

7. Use las respuestas obtenidas en la parte anterior, para realizar un modelo lineal con los datosobtenidos.

8. Dado el problema de valor inicial {y = y + x+ 1y(0) = 1

en el intervalo [0, 1], cuya solucion exacta es y(x) = x+ ex.

(a) Use el metodo de Adam-Bashforth de paso 2 con h = 0.1, para aproximar la solucion ycompararla con los valores reales de y. Calcule el error relativo de cada aproximacion.Utilice el metodo de Runge-Kutta de orden 4 para aproximar el valor de y1.


Referencias

[1] S.C. Chapra and R.P. Canale. Numerical methods for engineers. McGraw-Hill Higher Education,2005.

[2] R.L. Burden and J.D. Faires. Numerical Analysis. Cengage Learning, 2010.

[3] J. Chavarra. Introduccion a los Metodos Numericos. Notas, 2012.

16

Ejercicios 1 (Teoricos - Oficial)

Documents

Transcript of Ejercicios 1 (Teoricos - Oficial)