EJERCICIO 1La posicin y la aceleracin, en funcin del tiempo, de una masa puntual movindoseunidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuacin diferencial0 tg!! = + t t a t x !"nidades m#s$eterminar la ecuacin del movimiento !posicin en funcin del tiempo de la part%culasi la misma parte del origen con una velocidad de & m's()OL"CI*+E,presando la aceleracin como la derivada segunda de la posicin y reordenando laecuacin tenemos-t t x t x tg!! = + .allemos primero la solucin de la ecuacin /omognea asociada( Es sta-0!! = + t x t xLa ecuacin caracter%stica es-t C t C x icsen cos 0 10 10+ = = = + 1/ora de2emos /allar una solucin particular del pro2lema no /omogneo( t v t v x sen cos 30 1+ =.allemos a/ora v1 y v0-= + = + = = + = + t t v t t vt v t t vttt t v t vt v t vttsen cos cos sen0 sen sen coscossentg cos sen0 sen cos00 100 1cos por a2a4o ysen por arri2a ndo multiplica0 10 1)i a/ora sumamos las dos ecuaciones de este 5ltimo sistema tendremos(t t t vttttttv t t t v t v t vtg sec log sencos1coscoscos 1cossen0 sen sen cos cos sen1ta2las001&1ecuacin primerala enempla6ando Re0 0+ = = == = = + = = Con las funciones v1 y v0 as% o2tenidas podemos escri2ir-( ) ( ) t t t t t t t t t t v t v x cos tg sec log sen cos cos tg sec log sen sen cos 30 1+ = + = + =Con lo cual la solucin general del pro2lema no /omogneo es-( ) t t t t C t C x x xccos tg sec log sen cos 30 1+ + = + =Las condiciones iniciales indican 7ue cuando tes 0 ,x = 0 y v8 &( $e esta manera,podemos escri2ir-0 & 1 0 sen 0 tg 0 sec log 1 0 cos 0 sen0 !0 !0 0 cos 0 tg 0 sec log 0 sen 0 cos0 !0 0 0 11 0 1= = + = + + + = == = + + =C C C C x vC C C xCon estos valores de la constante tenemos, finalmente-( ) t t t t x cos tg sec log sen 0 + = 9ue es la solucin al pro2lema de valores iniciales planteado(EJERCIO 0y''(x) + y(x) = Sin[x] La ecuacin es lineal (tanto "y" como sus derivadas no estn elevadas a potencias), por lo que la solucin general puede expresarse como la suma de la solucin del sistema homogneo asociado y una solucin particular. Veamos el sistema homogneo y''(x) + y(x) = 0 Podemos proponer como solucin: y(x) = A.e^(b.x) con "A"0, "b" constantes. Derivando: y(x) = Ab.e^(b.x) y(x) = Ab.e^(b.x) Reemplazando entonces en la ecuacin: Ab.e^(b.x) + A.e^(b.x) = 0 Es decir, sacando de factor comun A.e^(b.x) A.e^(b.x) * [ b + 1] = 0 como A.e^(b.x) 0 para cualquier valor de "x", entonces [ b + 1] = 0. De ahi sacamos dos valores para "b": b= i y b = -i, con i=-1. En defnitiva, la solucin del sistema homogneo sera una combinacion lineal de estas dos soluciones:y(x)_homogneo = A.e^(i.x) + B.e^(-i.x) con "A,B" constantes complejas. Podemos, tomando parte real e imaginaria, re-escribir esta solucin como: y(x)_homogneo = A.Cos[x] + B.Sen[x] donde ahora "A,B" son (otras) constantes reales. y(x) = A(x).Cos[x] + B(x).Sen[x] Derivando (usando la regla del producto): y(x) = A(x).Cos[x] - A(x).Sen[x] + B(x).Sen[x] + B(x).Cos[x] Volviendo a derivar: y(x) = A(x).Cos[x] - A(x).Sen[x] - A(x).Sen[x] - A(x).Cos[x] + + B(x).Sen[x] + B(x).Cos[x] + B(x).Cos[x] - B(x).Sen[x] Reemplazando en la ecuacion diferencial: ( A(x).Cos[x] -A(x).Sen[x] -A(x).Sen[x] -A(x).Cos[x] +B(x).Sen[x] +B(x).Cos[x] + + B(x).Cos[x] -B(x).Sen[x]) + (A(x).Cos[x] + B(x).Sen[x]) = Sen[x] Donde se han puesto parentesis para mostrar explcitamente las derivadas. Eso se puede emprolijar un poco, operando: (A(x).Cos[x] - 2A(x).Sen[x] -A(x).Cos[x]+B(x).Sen[x] +2B(x).Cos[x] -B(x).Sen[x]) + (A(x).Cos[x] + B(x).Sen[x]) = Sen[x] Separando en funciones trigonomtricas: Cos[x] * ( A(x) + 2B(x) ) + Sen[x] * ( -2A(x) + B(x) ) = Sen[x] Vemos entonces que A(x) + 2B(x) = 0 B(x) - 2A(x) = 1 Integrando la primera ecuacion A(x) + 2B(x) = B(x) - 2A(x) = 1 donde "" es una constantes de integracion. Reemplazando A(x) en la segunda ecuacion: B(x) - 2 + 4B(x) = 1 Es decir: B(x) + 4B(x) = 1+ 2 Que es una ecuacion similar con la que arrancamos, con la diferencia que ahora el termino sin derivar est acompaado de un factor 4 y la parte inhomogenea ahora es constante (1+2). Volviendo a proponer una exponencial, se obtiene (cuentas analogas): B(x)_homogneo = Q.Cos[2x] + W.Sen[2x] con "Q,W" dos constantes de integracion. Para la parte inhomogenea, al ser esta una constante, se ve que B(x)_inhomogeneo= .(1+2) cumple (derivando esto se anula). Luego lasolucin general estar dada por: B(x) = Q.Cos[2x] + W.Sen[2x] + .(1+2) Usando que A(x) + 2B(x) = A(x) = -2Q.Cos[2x] - 2W.Sen[2x] - Integrando: A(x) = -Q.Sen[2x] + W.Cos[2x] - x/2 Obtenidos ya A(x) y B(x), podemos reemplazarlos en y(x) = A(x).Cos[x] + B(x).Sen[x]: y(x) = (-Q.Sen[2x] + W.Cos[2x] - x/2).Cos[x] + (Q.Cos[2x] + W.Sen[2x] + .(1+2)).Sen[x] Distribuyendo: y(x) = -Q.Sen[2x]Cos[x] + W.Cos[2x]Cos[x] - x/2.Cos[x] + Q.Cos[2x]Sen[x] + W.Sen[2x]Sen[x] + .(1+2).Sen[x] Ordenando por constantes Q y W: y(x) = Q * ( -Sen[2x]Cos[x]+Cos[2x]Sen[x] ) + W * ( Cos[2x]Cos[x] + Sen[2x]Sen[x]) - x/2.Cos[x] + .(1+2).Sen[x] Recordando que Sen[a-b] = Sen[a]Cos[b] - Cos[a]Sen[b] y Cos[a-b] = Cos[a]Cos[b] + Sen[a]Sen[b]: y(x) = -Q.Sen[x] + W.Cos[x] - x/2.Cos[x] +(1+2).Sen[x] Donde usamos que Sen[-x] = -Sen[x] y Cos[-x] = Cos[x]. Factorizando las funciones trigonomtricas: y(x) = (+-Q).Sen[x] + W.Cos[x] - x/2.Cos[x] Donde "Q,W" son constantes a determinar con las condiciones iniciales. Podemos renombrar (+-Q) en una sola constante Q (mismo nombre): y(x) = Q.Sen[x] + W.Cos[x] - x/2.Cos[x] Donde se ve explcitamente que los primeros dos trminos coinciden con y(x)_homogneo = A.Cos[x] + B.Sen[x], por lo que el termino - x/2.Cos[x] corresponde a la solucin particular. La expresin de arriba es efectivamente la solucin al sistema completo