ejerccios AE2

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ”

FACULTAD DE INGENIERIA CIVILANALISIS ESTRUTURAL II

2DO PARCIAL

CAPITULO V

PROBLEMA PROPUESTO N°06Pra la estructura plana mostrada en la figura, se quiere obtener una exxpresion de a forma F3=KL*u3 ( El subindice 3 se refiere al GDL 3 indicado en la figura) . Con tal fin, obtenga primero la matriz de rigidez de la estructura con los 3 grados de libertad ( usando expresiones condensadas para las rigideces de las vigas) y simplifique las expresiones K*u=F teniendo en cuenta que F1=F2=0 (por las condiciones especiales del caso estudiado) u1=u2, En lo posible, escriba las expresiones en terminos de la rigidez relativa: γ=(EIv/L)/(EIc/h).

SOLUCION :

1. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LOS ELEMENTOS

ELEMENTO 01:

K1

0

0

0

0

6E IvL

0

0

0

0

E

ELEMENTO 02:

K2

0

0

0

0

6E IvL

0

0

0

0

E

ELEMENTO 03:

K3

6E IvL

0

0

0

0

0

0

0

0

E

ELEMENTO 04:



2DO PARCIAL

K4

6E IvL

0

0

0

0

0

0

0

0

E

ELEMENTO 05:

K5

0

0

0

0

3E IvL

3E Ivh L

0

3E Ivh L

3E Iv

h2L

E

MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA:

K K1 K2 K3 K4 K5

12 E IvL

0

0

0

12 E IvL

3 E Iv L

3 E Iv L h

0

3 E Iv L h

3 E Iv

L h2

K

2. VECTOR DE DESPLAZAMIENTO DEL SISTEMA: u

POR DATO u1=u2u

U

U

U3

U

3. VECTOR DE FUERZAS EXTERNAS: f

POR DATO F1=F2=0 f

0

0

F3

F3

.......................1

SE SABE f=K*u :



PROBLEMA 04 En la estructura de la figura, EI de las vigas es tres veces el EI de las columnas. Note las rotulas en A y C suponga que pueden despreciarse los efectos de las deformaciones de corte y las deformaciones axiales (lo que significa que no hay componentes de traslación en B), considerando P = 50 KN y W=36KN/m.

a) Escriba la matriz de rigidez y las fuerzas de empotramiento en el elemento AB, con dos grados de libertad, correspondientes a los giros A y B.

b) F (ab) = F0(AB) + k (ab)*u(AB) haga una condensación estática basándose en la condición M(AB)=0

c) Para el elemento BC obtenga también una expresión de la forma F(AC) = F0(BC) + k (BC)*u(BC) , con un solo grado de libertad, correspondiente al giro en B, repitiendo los hechos en los puntos

d) Determine la rigidez del elemento DB (el apoyo D es un empotramiento).e) Ensamble la ecuación de equilibrio en B y obtenga el giro en ese nudo.f) Determine los momentos flectores en los extremos de cada elemento.g) Dibuje el diagrama de momentos flectores (indicando los valores + y –

más importantes)

2DO PARCIAL

f K u

12 E Iv UL

U12 E Iv

L

3 E Iv L

3 E Iv U3

L h

3 E Iv U L h

3 E Iv U3

L h2

K uK u ..................2

IGUALANDO 1 Y 2:

RESULTA: KL=F3/U3

KL

6EIv

L h2

1 2 4 1

6 EIv 2 1( )

L h2 4 1( )

EIv



2DO PARCIAL

a ) MATRIZ DE RIGIDEZ Y LAS FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO EN EL ELEMENTO AB, CON DOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL) CORRESPONDIENTES A LOS GIROS A Y B.

LAB 6EI 1

ELEMENTO AB

1( ) 2( )

KAB

4 3EI

LAB

2 3EI

LAB

2 3EI

LAB

4 3EI

LAB

1( )KAB

2

1

1

2

2( )

b ) CONDENSACION ESTATICA CUANDO MAB = 0

fAB( )

f0K u

b .1 ) Fuerza de empotramiento del ELEMENTO ABW

A B

6.0000

W 36

LAB 6

MoABW LAB( )

212

foAB

W LAB( )2

12

W LAB( )2

12

108

108

MoBAW LAB( )

212



MBA u1

2 3EI

LAB

4 3EI

LAB

2

W LAB( )2

12

4 3EI

LAB

foAB1 u

MBA3 u22

162

2DO PARCIAL

b .2 ) Condensacio estatica del ELEMENTO AB

fAB foAB KAB u u

fABMAB

MBA

MAB

uu1

u2

u1

fAB foAB KAB u u

MAB

MBA

W LAB( )2

12

W LAB( )2

12

4 3EI

LAB

2 3EI

LAB

2 3EI

LAB

4 3EI

LAB

u0

u1

2 u1 u2 108

u1 2 u2 108

W LAB( )2

u0

u1u1 u1

u2u2Si MAB = 0 MAB 0

MAB 2 u0

u1

foAB0

uMBA u

02u

1 foAB

1 u

0 2 u0

u1

foAB0

0

MBA

u1

2 3EI

LAB

W LAB( )

212

4 3EI

LAB

2u

1

foAB1

u

u0

u1

2 3EI

LAB

W LAB( )

212

4 3EI

LAB

1

c ) PARA EL ELEMENTO BC LO MISMO DE a ) Y b )

EI 1

LBC 5

2( ) 3( )

2( )

KBC

4 3EI

LBC

2 3EI

LBC

2 3EI

LBC

4 3EI

LBC

KBC

12

5

6

5

6

5

12

5

3( )



2DO PARCIAL

c . 1) Fuerzas de Empotramiento del ELEMENTO BC

B C

2 3

MoBC MoCB

a 2P 50

b 3LBC 5

MoBCP a b

2

LBC( )2

foBC

P a b2

LBC( )2

P b a2

LBC( )2

36

24

MoCBP b a

2

LBC( )2

c .2) Condensacion Estatica del ELEMENTO BC

fBC foBC KCB u u

fABMBC

MCB

MBC

uu1

u2

u1

fBC foBC KCB u u

MBC

MCB

P a b2

LBC( )2

P b a2

LBC( )2

4 3EI

LBC

2 3EI

LBC

2 3EI

LBC

4 3EI

LBC

u0

u1

12 u15

6 u25

36

6 u15

12 u25

24

P a b2

u0

u1u1 u1

u2u2Si MCB = 0 MCB 0



2DO PARCIAL

3.00002.0000

50KN

MCB 2 3EI

LBC

u0

4 3EI

LBC

u1

foBC1

u

0 2 3EI

LBC

u0

4 3EI

LBC

u1

foBC1

0

u0

4 3EI

LBC

u1

foBC1

2 3EI

LBC

1

MBC 4 3EI

LBC

u0

2 3EI

LBC

u1

foBC0

u

MBC 4 3EI

LBC

4 3

EI

LBC

u1

foBC1

2 3EI

LBC

2 3EI

LBC

u1

foBC0

u

MBC u1

4 3EI

LBC

4 3EI

LBC

2 3EI

LBC

2 3

EI

LBC

foBC1

2 3EI

LBC

foBC0 uu

MBC 5618 u25

d ) MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO BD

H 4 EI 1

0( ) 2( ) 0( ) 2( )

0( )

KBC

4EI

H

2EI

H

2EI

H

4EI

H

KBC

1

1

2

1

2

1

2( )d . 1 ) Matriz de Rigidez DE LA ESTRUCTURA

Ke

4 3EI

LAB

2 3EI

LAB

0

2 3EI

LAB

4 3EI

LAB

4 3EI

LBC

4EI

H

2 3EI

LBC

0

2 3EI

LBC

4 3EI

LBC



2DO PARCIAL

Ke

2

1

0

1

27

5

6

5

0

6

5

12

5

e ) EMSAMBLE LA ECUACION DE EQUILIBRIO DE MOMENTOS EN B Y OBTENGA EL GIRO EN ESE NUDO.

e .1) Matriz de rigidez de equilibrio de Momentos en B

Elemento 1:

6.0000

A B

1 2

2( )

k1 4 3EI

LAB

2( )

k1 2( )

Elemento 2:

5.0000

B C

2 3

2( )

k2 4 3EI

LBC

2( )

k212

5

Elemento 3:

4.0000

2 B

D0( ) 2( )k3

4EI

H

2EI

H

2EI

H

4EI

H

k3

1

1

2

1

2

1

e .2) Matriz de rigidez de la ESTRUCTURA

1 2

3

KE 4 3EI

LAB

4 3EI

LBC

4EI

H

fn 0( )

KE27

5

e .4) Vector de Fuerzas de Empotramiento del Sistema

e .3) Vector de Fuerzas Externas en los nudos



2DO PARCIAL

Elemento 1:M0BA

W LAB( )2

8

6.0000

A B

1 2

M0BA 162

fo1 M0BA( )

2( )

M0BA fo1 162( ) 2( )

W 50 a 2 b 3 LBC 5Elemento 2:

5.0000

B C

2 3

M0BCW a b LBC b( )

a LBC( )2

M0BC 48

fo2 M0BC( )

2( )

M0BC fo2 48( ) 2( )

fo fo1 fo2

fo 114( )

e .5) Vector de Fuerzas Externas del Sistema

f fn fo

f 114( )

e .6) Vector de Desplazamiento del Sistema

KE U fU

Uf

KE

U190

9

e .7) Vector de Fuerzas Internas de los Elementos

fe foe

keU k

ELEMENTO 1

36 KN/mA B

6.0000

V1 V2

f1 fo1 k1 U

f11078

9

Mo 0Mo1078

936 6 3 6 V2

V2

1078

936 6 3

6 V2

3455

27Fv 0Fv

V1 36 6 V2V1

2377

27



2DO PARCIAL

ELEMENTO 2

f2 fo2 k2 U

f2296

3

3.00002.0000

50KNB C

V1 V2

Mo 0Mo

f2 V1 5 50 3

V1o50 3 f2( )

5 V1o

154

15

Fv 0FvV2o P V1o V2o

596

15

ELEMENTO 3

2

0

B

D

4.0000

V1

V2

f3

95

9

190

9

Mo 0Mo

V11of3

1

4 V11o

95

18Fv 0Fv

V22o V11oV22o

95

18



2DO PARCIAL

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