Problemas pag. 87 Libro Metodos Cuantitativos

1. Los ejemplos siguientes son experimentos con sus variables aleatorias asociadas. En cada caso identifique que los valores que la variable aleatoria puede asumir y establezca si la variable aleatoria es discreta o continua:

Experimento Variable aleatoria(x) Respuestaa. Responder un examen de 20 preguntas

Número de preguntas que se responde correctamente

Discreta

b. Observar los automóviles que llegan

Cantidad de automóviles que llegan a una caseta de peaje la caseta de peaje durante 1 hora

Discreta

c. Auditar 50 devoluciones de impuestos

Número de devoluciones que contienen errores

Discreta

d. Observar el trabajo de un empleado

Número de horas improductivas durante 8 horas

Continua

e. Pesar un embarque de productos

Peso del embarque Continua

2. La tabla siguiente muestra una distribución de probabilidad parcial para las utilidades proyectadas de MRA Company (en miles de dólares) para el primer año de operación (el valor negativo denota una pérdida):

X Fx-100 .10

0 .2050 .30

100 .25150 .10

2000 ?

a. Determine el valor faltante de f(200). ¿Cuál es su interpretación de este valor? R= .05 b. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA sea rentable? R= .70 c. ¿Cuál es la probabilidad de que MRA gane al menos $100,000? R=.40

3. Se reunieron datos sobre el número de salas de operaciones en uso en el Hospital General de Tampa durante un periodo de 20 días. En 3 de los días sólo se usó una sala de operaciones, en 5 días se usaron dos, en 8 días se usaron tres y en 4 días se usaron todas.

a. Utilice el método de frecuencia relativa para elaborar una distribución de probabilidad para el número de salas de operaciones en uso en cualquier día. b. Elabore una gráfica de la distribución de probabilidad. c. Muestre que su distribución de probabilidad satisface los requisitos de una distribución de probabilidad discreta válida.

Respuestas

Hospital

Probabilities & Payoffs Table:Salas f(x) Dias

1 0.15 32 0.25 53 0.4 84 0.2 4

Statistics for: DiasExpected Monetary Value 5.7

4. Enseguida se muestra una distribución de probabilidad para la variable aleatoria x.

X F(x)3 .256 .509 .25

a. Calcule E(x), el valor esperado de x.

b. Calcule 2, la varianza de x.

c. Calcule , la desviación estándar de x

Respuesta

f(x) x E(x) VarianzaE1 0.25 3 0.75 2.5E2 0.5 6 3 0E3 0.25 9 2.25 2.5

Statistics for: x Varianza Desviación estándarExpected Monetary Value 6 4.5 2.12

Problema de Vendedor al mayoreo

5.3 Veamos el caso de un vendedor al mayoreo de frutas y legumbres que comercia con frambuesas. Este producto tiene una vida útil muy limitada: si no se vende el dia que llega, ya no tiene valor. Una caja de frambuesas cuesta $20 y el vendedor recibe $50 por ella. Este no puede

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especificar el numero decajas que un cliente pedirá en cualquier dia dado, pero su análisis de registros pasados ha producido la información presentamos en la tabla 5-6.

Tabla 5-6 Ventas diarias Numero de días de ventas

Probabilidad de ventas de cada cantidad

Ventas durante 100 dias.

10 15 .1511 20 .2012 40 .413 25 25

Definicion de los tipos de pérdidas

El vendedor al mayoreo ha sufrido dos tipos de perdidas: 1) pérdidas por obsolocenia, ocacionadas por tener en existencia demasiada fruta en un dia y tener que tirarla al siguiente, y 2) pérdida de oportunidad, ocacionada por no tener en existencia el producto al momento en que un cliente solicita.

La tabla 5-7 es una tabla de perdidas condicionales. Cada valor en ella esta condicionado a un numero especifico de cajas que se encuentran en existencia y a un numero especifico de solicitudes. Los valores que tienen en la tabla incluyen no solamente las perdidas por la fruta descompuesta, si no también las que derivan de los ingresos perdidos cuando el vendedor no es capaz de suministrar un pedido.

Cuando el numero de cajas en existencia en un dia cualquiera es igual al numero de cajas solicitadas no ocurre ninguno de estos dos tipos de perdida. En tales casos, el vendedor vende todo lo que tiene almacenado y no sufre perdidas. Esta situación se indica con el cero en negrita que aparece en la columna correspondiente. Las cifras que se encuentren por encima de un cero cualquiera representan las perdidas sufridas al tener que tirar la fruta. En este ejemplo, el numero de cajas almacenadas es mayor al de cajas solicitadas. Por ejemplo si el vendedor tiene en existencia 12 cajas, percibe una solicitud de 10 cajas, pierde $40(o $20 por caja no vendida ese mismo dia).

Los valores que se encuentran debajo de los ceros en negrita representan las perdidas de oportunidad derivadas de pedidos que no se pueden cumplir. Si un cierto dia, el vendedor tiene en existenia solamente 10 cajas y le solicitan 11, esté sufre una perdida de oportunidad de $30 por la caja que le falto.

Tabla 5-7 Posibles peticiones de frambuesas

Opciones de existencias

10 11 12 13

Tabla de perdidas condicionales

10 $0 $20 $40 $6011 $30 0 $20 $4012 $60 $30 0 $2013 $90 $60 $30 $0

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Calculo de pérdidas esperadas

Mediante el análisis de cada una de las opciones de almacenamiento posibles podemos calcular la perdida esperada. Hacemos esto pensando cada una de las cuatro cifras de perdidas que aparecen en la tabla 5-7 con las probabilidades que vienen en la tabla 5-6. Para la opción de almacenamiento de 10 cajas de fruta, la perdida esperada se calcula como lo indicamos en la tabla 5-8.

Las perdidas condicionales de la tabla 5-8 se tomaron de la primera columna de la tabla 5-7, para la existencia de 10 cajas de frambuesas. En la cuarta columna de la tabla 5-8 se nos muestra que si tienen en existencia 10 cajas diarias, a lo largo de un periodo grande, la pérdida promedio o pérdida esperada será de $52.5 por dia. No hay garantías de que la pérdida del dia siguiente sea exactamente de $52.50.

Las Tablas de la 5-9 a la 5-11 muestran los cálculos de la perdida esperada resultante de decidirse por el almacenamiento de 11, 12 y 13 cajas.

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Tabla 5-8 Posibles solicitudes

Perdida condicional

Probabilidad de que se tengan esas solicitudes

Perdida esperada

Perdida esperada al tener en existencia 10 cajas

10 $0 .15 $011 30 .20 612 60 .4 2413 90 .25 22.50

Total= 1. 52.5Tabla 5-9 Posibles

solicitudesPerdida condicional

Probabilidad de que se tengan esas solicitudes

Perdida esperada

Perdida esperada al tener en existencia 11 cajas

10 $20 .15 $311 0 .20 012 30 .4 1213 60 .25 15

Total= 1. $30Tabla 5-10 Posibles

solicitudesPerdida condicional

Probabilidad de que se tengan esas solicitudes

Perdida esperada

Perdida esperada al tener en existencia 12 cajas

10 $40 .15 $611 20 .20 412 0 .4 013 30 .25 7.5

Total= 1. $17.5

Solucion del problema en PHSTAT

Problema Frambuesas

Probabilities & Opportunity Losses:P 10 11 12 13

10 0.15 0 20 40 6011 0.2 30 0 20 4012 0.4 60 30 0 2013 0.25 90 60 30 0

10 11 12 13Expected Opportunity Loss 52.5 30 17.5 25

EVPI

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Tabla 5-11 Posibles solicitudes

Perdida condicional

Probabilidad de que se tengan esas solicitudes

Perdida esperada

Perdida esperada al tener en existencia 13 cajas

10 $60 .15 $911 40 .20 812 20 .4 813 0 .25 0

Total= 1. $25