TEORIA DE LAS COMUNICACIONES

Curso 2011

PRACTICA N◦ 3: Comportamiento espectral de comunicaciones digitales.

Revision de conceptos.

a) ¿Por que se produce la interferencia intersımbolo?

b) ¿Por que es perjudicial?

c) ¿Para que sirve el primer criterio de Nyquist? ¿Que dice?

d) ¿Que es y para que sirve un diagrama de ojos?

e) ¿En que casos no es necesario un sistema de recuperacion de reloj (sincronismo de sımbolos)?

Ejercicio 1:

Bosquejar espectros de potencia de transmisiones PAM a 1Mbps (1 Megabit por segundo) enlos siguientes casos:

NRZ binario bipolar.

NRZ binario unipolar.

NRZ cuaternario bipolar.

Manchester (Binario).

AMI con duracion del pulso igual al tiempo de bit (NRZ bipolar).

AMI con duracion de pulso igual a la mitad del tiempo de bit (RZ bipolar).

Binario bipolar con conformacion espectral coseno elevado con factor α = 0,5 distribuidapor igual entre transmisor y receptor.

Idem con α = 1.

Idem 16–ario con coseno elevado α = 1.

NRZ binario bipolar diferencial.

En todos los casos, condiderar bits independientes y equiprobables. Para el ultimo caso, obser-var que si los bits de la fuente son independientes y equiprobables, los bits resultantes de lacodificacion diferencial tambien lo son.

Ejercicio 2:

Un sistema debe transmitir a una velocidad de 9600bps utilizando un canal pasabajos de bandaestrictamente limitada a 2250Hz. Se adopta un sistema PAM con conformacion espectral deltipo coseno elevado repartido por igual entre transmisor y receptor.¿Cuantos niveles tiene que tener la transmision y cual debe ser el factor de roll-off?

Ejercicio 3: Complejo

Un sistema pasabanda cuaternario transmite con envolvente rectangular. La constelacion tienelos sımbolos ubicados en (3a, 2a), (3a,−2a), (−2a, 3a) y (−2a,−3a). Calcule y grafique la densi-dad espectral de potencia de la transmision (utilizando pulsos de amplitud compleja). Observeque obtiene un deltas que podrıa utilizar para recuperar la portadora, ¿que fraccion de la po-tencia total se utiliza en transmitir esta sinusoide piloto? ¿Cual es la degradacion aproximadade este sistema respecto al QPSK?

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Ejercicio 4: Diagramas de ojos.

En las figuras 1, 2 y 3 se muestra:1) Formas de pulso correspondientes a espectros del tipo coseno elevado y los diagramas de ojobinarios correspondientes, para distintos valores de α (0.1, 0.3, 0.5, 0.75 y 1).2) Diagramas de ojos para 2, 4, 8 y 16 niveles correspondientes a α = 0, 5.3) Pulso coseno elevado pasado por canal pasabajos de 1 polo y diagramas de ojo binarioscorrespondientes, para distintas frecuencias de corte (fBAUD, fBAUD/2, fBAUD/4).

Notar que las formas de pulso no son las que se transmiten, sino las resultantes de pasar un pulsotransmitido por el filtro adaptado del receptor. Tanto el pulso transmitido como la respuestaimpulsiva del filtro adaptado corresponden a respuestas en frecuencia de la forma “raız cuadradade coseno elevado”.En las figuras 1 y 2, donde el canal es ideal (sin distorsion), las formas de onda resultantescumplen con el primer criterio de Nyquist y no hay interferencia intersımbolo.En la figura 3 se observa el resultado de pasar el pulso transmitido por un canal con distorsiony luego, en el receptor, por el mismo filtro que en las figuras anteriores.En todos los casos, el sistema esta sin ruido. Las escalas horizontales estan graduadas en unidadesde tiempo de sımbolo.

Con la ayuda de las figuras, y utilizando el criterio de la distorsion pico, responder en formaaproximada a las siguientes preguntas (no interesan valores exactos, sino poder comparar casos):

a) ¿Cuanta degradacion en el desempeno (medida en dB) produce un error de sincronismode bit del 10 % del tiempo de sımbolo en los casos binarios para los distintos factores de“roll–off”?

b) ¿Cuanto es el error de sincronismo de sımbolo (en unidades de T de sımbolo) que produceuna degradacion de 3dB en los casos de 2, 4, 8 y 16 niveles para α = 0,5?

c) ¿Cuanta degradacion se tiene aproximadamente con un canal pasabajos de 1 polo cuyafrecuencia de corte es fC = 1/2T para una transmision binaria de espectro “coseno elevado”con α = 0,5?

Ejercicio 5: Interferencia Intersımbolo – Ecualizacion.

En un sistema de transmision binario polar en banda base, la respuesta total h(t), correspondienteal pulso transmitido despues de pasar por el canal y el filtro receptor, tiene la forma mostrada.

a) Representar el diagrama de ojos (a la salida del filtro receptor). Lo que importa apreciaren detalle es la apertura (vertical) del ojo. ¿Cual es el valor pico de la IIS? ¿Cuanto es estaapertura (100 % corresponde a un ojo totalmente abierto)?

b) Antes de la decision se coloca el filtro digital que muestra la figura (es un ecualizador muysencillo puesto despues de la toma de muestras) ¿Cual es ahora el valor pico de la IIS y laapertura del ojo? Nota: si lo prefiere, para este inciso puede considerar un filtro analogicoantes del muestreador en vez de un filtro digital despues de el.

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c) Calcular la mejora (en dB) que se consiguio en el caso (b) con respecto al caso (a) adoptandoel criterio de la distorsion pico. Suponer que las muestras de ruido a la salida del dispositivode toma de muestra son independientes.

d) Repetir los pasos anteriores (a)–(c) pero para un sistema cuaternario.

Ejercicio 6: Mas Ecualizacion.

Un sistema de comunicaciones digitales en banda base, binario antipodal con sımbolos equiprob-ables fue disenado para funcionar sin IIS si la respuesta del canal es plana en el rango defrecuencias de la comunicacion, con una conformacion espectral coseno elevado (α = 0).

Al poner en funcionamiento el sistema, se descubre que la respuesta total del sistema a la salidadel filtro del receptor (y despues del muestreo) es h[n] = δ[n]+0,38δ[n−1]. Se desea implementarun ecualizador de maxima verosimilitud con el algoritmo de Viterbi.

a) Realice un esquema del diagrama de trellis, indicando el valor esperado de los distintosniveles.

b) Suponiendo que recibe como muestras a la salida del filtro del receptor la secuencia:1,53; 0,08; 0,29; 1,24; 0,23; 0,22;−1,17; 1,38; 1,89 . . .Determine mediante el algoritmo de Viterbi los bits que probablemente fueron transmitidos.Considere que las muestras sin interferencia intersımbolo tendrıan valor esperado de ±1.

c) Trace el diagrama de trellis que resultarıa para el canal del ejercicio anterior, con un sistemabinario antipodal.

Ejercicio 7: Efectos de los errores de sincronismo de sımbolo.

El objetivo de este ejercicio es analizar como los errores de sincronismo de sımbolo afectan el de-sempeno de los sistemas de comunicaciones de datos. Para lo que sigue, usaremos el error de tiem-po normalizado, λ = τ/T (que es adimensional), donde τ es el error de sincronismo (diferencia detiempo entre el instante de toma de muestra y el instante optimo). Notar que −1/2 ≤ λ ≤ 1/2.

a) Rever el Ejercicio 8 de la practica 2, donde se observo la degradacion debida a un error desincronismo de bit en transmision en banda base.

b) Trazar el diagrama de ojos para una transmision NRZ. Dar una expresion exacta de la prob-abilidad de error en funcion del error de sincronismo λ. Dar una cota inferior y una superior.(Como en ocasiones anteriores, lo que nos interesa es la cota superior, que corresponde aevaluar el sistema adoptando el criterio de la distorsion pico).

c) ¿Cual es el maximo valor tolerable del error si la degradacion debida a ese efecto no debeser superior a 1dB?

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d) Supongamos que el error en la fase del reloj recuperado no es fijo sino que tiene fluctua-ciones en el tiempo (timing jitter), pudiendo ser modelizado como un proceso aleatorio λ(t)estacionario con densidad de probabilidad de primer orden fλ(x) conocida. Ademas, las fluc-tuaciones son suficientemente lentas como para considerar que en la duracion de un sımboloλ(t) no cambia. Tales fluctuaciones son debidas principalmente al ruido, y en segundo lu-gar al hecho de que el comportamiento del sincronizador de bits depende del esquema debits recibido. En estas condiciones, dar una expresion que permita evaluar (por metodosnumericos) la probabilidad de error para NRZ.

La siguiente familia de curvas (tomada de [LIN73]) muestra la probabilidad de error de bitvs. Eb/N0 con σ∆ como parametro.

Comentario: En presencia de ruido estacionario gaussiano, y haciendo ciertas aproximaciones(validas para gran relacion senal/ruido) la teorıa lineal del PLL predice una distribucion fλ(x)del tipo gaussiano. Un analisis teniendo en cuenta los efectos de la teorıa no lineal da unadistribucion mas complicada, pero igualmente tiende a gaussiana cuando la relacion senal/ruidoen el lazo es grande.

Ejercicio 8:

La figura muestra una posible forma de realizar un sincronizador de bit del tipo “early-late”parasistema NRZ binario bipolar. Las llaves Le1 y Le2 son de la rama “early”, y Ll1 y Ll2 son lascorrespondientes a la rama “late”. El VCO opera a una frecuencia que es multiplo de la quese desea obtener, y el bloque que le sigue es un circuito logico secuencial que por division defrecuencia permite obtener, ademas de la senal de reloj, las senales necesarias para manejar lasllaves analogicas y el circuito de muestreo y retencion.

a) Mostrar en un diagrama de tiempos como deben ser las senales generadas por dicho bloque.

b) Mostrar que el comportamiento de este circuito es equivalente al de un PLL con un detectorde fase de ganancia Kd = AT

2πτ[V olts/radian], donde A es la amplitud de la senal, T es la

duracion de bit y τ = RC.

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Ejercicio 9: Comparacion de sistemas (con distinto M).

Comparar los sistemas BPSK, QPSK y 16QAM. Los factores a tener en cuenta son:

el ancho de banda ocupado para una dada velocidad de transmision y un determinado tipode conformacion espectral.

la energıa de bit (media) necesaria para alcanzar una dada probabilidad de error de bit.

Para ello, completar el siguiente cuadro, en el que el sistema BPSK es tomado como referencia.

BPSK QPSK 16QAM

Ancho de banda relativo 1

Eb/N0 relativa necesaria 0dB

Ejercicio 10: Analisis de un equipo de radioenlace digital.

En la pagina de la catedra, junto con la practica, se provee el folleto de un equipo de radioenlacedigital en microondas (RT 26 B de SIAE Microelettronica s.p.a.).

a) Analizar la descripcion tecnica y el diagrama en bloques del equipo.

b) Analizando la mınima separacion entre canales que da el sumario de datos para velocidadestotales de 4480Kbit/s o mas, estimar el exceso de ancho de banda de la conformacionespectral utilizada para los dos sistemas de modulacion (QPSK y 16QAM).

c) Segun los datos tecnicos, a la velocidad de 2Mbit/s (velocidad total 2304Kbps) y utilizandoQPSK diferencial, tıpicamente se requiere recibir una potencia de −96dBm para una tasade error (BER) de 10−3. Hallar, para esa condicion, la relacion Eb/N0 y compararla con laque en teorıa se necesitarıa para obtener la probabilidad de error de 10−3 con el sistema demodulacion utilizado si todo se encontrara en perfectas condiciones (receptor no ruidoso,filtro de entrada al receptor sin perdidas, ausencia total de interferecia intersımbolo, etc.).Utilizar curvas o tablas de la funcion de error complementaria, o bien utilizar la aprox-imacion erfc(x) ≈ e−x2

/√

πx. Suponer que la entrada del receptor se ve atacada por ungenerador cuya temperatura efectiva de ruido es la temperatura ambiente (300Kelvin).Constante de Boltzmann: K = 1,38 × 10−23Joule/Kelvin

d) La degradacion se debe a diferentes factores, a saber:

1) Ruido del receptor.

2) Perdidas del filtro de entrada de RF.

3) Interferecia intersımbolo residual.

4) Jitter residual de portadora.

5) Jitter del reloj recuperado.

6) Propagacion de errores debida a la codificacion diferencial y a la pseudoaleatorizacion.

Del sumario de datos se obtiene directamente la figura de ruido del receptor, que tieneen cuenta los dos primeros efectos. ¿Cuanta degradacion provocan los demas efectos enconjunto?

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e) Responder al punto anterior cuando el sistema utilizado es 16QAM. Observar que no esnecesario rehacer los calculos: puede utilizarse el resultado hallado en el Ejercicio 2 alcomparar QPSK con 16QAM. ¿Como explica la diferencia entre este resultado y el delpunto anterior?

Observar que el desempeno es practicamente el mismo a todas las velocidades, puesto que acada duplicacion de la velocidad de transmision se requieren 3dB mas de potencia recibida (esdecir que la relacion Eb/N0 para una tasa de error de 10−3 se mantiene constante para un dadosistema a las distintas velocidades en que puede operar el equipo).

Abreviaturas utilizadas en el diagrama:IF: Intermediate Frequency.

PLA: Power Linear Amplifier.

LNA: Low Noise Amplifier.

TCXO: Temperature Compensated Crystal Oscilator.

I.R.M.: Image Rejection Mixer.

Ejercicio 11: Espectro Expandido. Se desea aplicar la tecnica de espectro expandido a unasenal BPSK, con conformacion de pulso NRZ, frecuencia de portadora de fo = 300MHz y tasade bits Rb = 10Kbps. La secuencia pseudoaleatoria de codigo para la expansion de frecuenciatiene un tiempo de chip tc = 9,775171ns (1023 chips en cada bit de datos). La senal se transmitecon un potencia de PT = 2W y en el canal sufre una atenuacion de 40dB, y se suma ruido blancoGaussiano con una densidad espectral de potencia No = 1nW/Hz.

a) Dibujar la densidad espectral de potencia que se obtendrıa en la antena del receptor si nose utilizara la tecnica de espectro expandido y la recibida al utilizar dicha tecnica. Graficartambien la densidad espectral del ruido presente en la antena.

b) Suponga que se suma una senal sinusoidal interferente de frecuencia fo y potencia (en laantena del receptor) de PI = 1mW . Agregue esta senal en el grafico de densidad espectralde potencia. ¿Cual es la relacion potencia de senal a potencia de interferencia en este puntodel receptor?

c) La senal es demodulada y multiplicada por la misma secuencia pseudoaleatoria que enel receptor (suponga sincronizacion perfecta). Dibuje la densidad espectral de potencialuego de realizar estas operaciones. Determine la relacion senal-ruido y la relacion senal-interferencia si se filtra la senal recibida con un filtro pasabajos que solo deja pasar el primerlobulo del espectro. ¿Que ganancia de procesamiento se logra?

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Observar como a medida que se reduce el ancho de banda (α disminuye) se producen los siguientesefectos: el pulso se “dispersa” en el tiempo; los cruces por cero del diagrama de ojos se dispersan y elojo se cierra en el sentido horizontal.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α=0.1

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α=0.3

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α=0.5

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α=0.75

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−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

α=1.0

Figura 1: Formas de pulso correspondientes a espectros del tipo “coseno elevado” y diagramas deojos respectivos para distintos valores del factor de “roll–off”α.

Observar el acercamiento de los niveles y el cierre horizontal del ojo a medida que aumenta su numero.

Figura 2: Diagramas de ojos para 2, 4, 8 y 16 niveles.Conformacion espectral del tipo “coseno elevado”. Factor de “roll–off”: α = 0,5.

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Observar el retardo del pulso debido al atraso de fase del canal, que crece al disminuir la frecuencia decorte. En todos los casos, el instante optimo de toma de muestra es cuando el “ojo” tiene la maximaapertura. La asimetrıa del pulso y del diagrama de ojos se deben a la caracterıstica de fase no linealde la transferencia total, este efecto se hace mas notorio al reducirse la frecuencia de corte.

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f−3dB

=1/T

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f−3dB

=1/2T

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f−3dB

=1/4T

Figura 3: Efecto sobre la forma del pulso y sobre el diagrama de ojos de un canal pasabajosde un polo para distintos valores de la frecuencia de corte.

Confomacion espectral tipo “coseno elevado”. Factor de “roll–off”: α = 0,5.

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