Ejemplo de Representación de La Función
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Ejemplo de representación de la función:
f ( x )= x
1+x2
1 Dominio 1+x2=0⟹D=R2 Simetría
f (−x )= −x
1+(−x )2=−f (x)
Simetr í a respecto al origen .3 Puntos de corte a) Puntos de corte con OX (x=0¿: sustituimos el valor de x=0 en la función y calculamos cuánto
vale y :
y= 0
1+02⟹ y=0
Punto de corte con OX :(0 ,0)
b) Puntos de corte con OY( y=0¿: igualamos la función a cero y calculamos el valor de x :x
1+ x2=0⟹ x=0
Punto de corte con OY :(0 ,0)4 Asíntotas a) Asíntota horizontal:
limx⟶∞
x
1+x2=0⟹ y=0
b) Asíntotas verticales: no tiene.c) Asíntotas oblicuas: no tiene.
5 Crecimiento y Decrecimiento
Hacemosla primera derivada y la igualamos a cero :
f ' ( x )= 1−x2
(1+x2 )2⟹ 1−x2
(1+x2 )2=0⟹ x=±1
x (−∞,−1) (−1,1) (1 , ∞)f ' ( x ) −¿ +¿ −¿
↘ ↗ ↘
Creciente :(−1 ,1)Decreciente :(−∞,−1)∪(1 , ∞)
6 Máximos y Mínimos M á ximo(1,
12 )M í nimo (–1 ,−1
2 )7 Concavidad y
ConvexidadHacemosla segunda derivada y laigualamos a cero :
f ' ' ( x )=2 x3−6 x
(1+x2 )3⟹ 2x3−6 x
(1+x2 )3=0⟹ x=0 y x=±√3
x (−∞,−√3) (−√3 ,0) (0 ,√3) (√3 , ∞)f ' ' ( x ) −¿ +¿ −¿ +¿
∩ ∪ ∩ ∪
C ó ncava : (−√3 ,0 )∪(√3 , ∞)Convexa :(−∞,−√3)∪(0 ,√3)
8 Puntos de Inflexión Puntos de inflexi ó n :(−√3 ,
−√34 ) (0 ,0 )(√3 , √3
4 )9 Representación
gráfica
6.4.4 ASÍNTOTASLas asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asíntotas:
6.4.4.1 ASÍNTOTAS HORIZONTALESlim
x →+∞f ( x )=k
ólim
x→−∞f (x)=k
y=k
Ejemplo: Calcular las asíntotas horizontales de la función:
f ( x )=2 x2+3x2−1
limx→ ∞
2x2+3x2−1
=2
La función tiene una asíntota horizontal en y=2
6.4.4.2 ASÍNTOTAS VERTICALESlimx →k
f ( x )=± ∞ x=k
Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.k son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Ejemplo: Calcular las asíntotas verticales de la función:
f ( x )=2 x2+3x2−1
En primer lugar hay que analizar cuál es el punto o los puntos críticos (recordar el dominio).
x2−1=0⟹ x2=1⟹x=±√1⟹x=±1
limx→−1
2 x2+3x2−1
=∞⟹x=−1
limx→+1
2 x2+3x2−1
=∞⟹ x=1
La función tiene una asíntota vertical en x=−1 y otra en x=1
6.4.4.3 ASÍNTOTAS OBLICUASLas asíntotas oblicuas son rectas cuya ecuación cumple:
y=mx+n dondem=lim
x → ∞
f (x )x
¿n=limx→ ∞
[ f (x )−mx ]Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.
Ejemplo: Calcular las asíntotas oblicuas de la función:
f ( x )= x2+2x−2
Primero: Calculamos las asíntotas horizontales.
limx→ ∞
x2+2x−2
=∞⟹
No hay as í ntotas horizontales .Segundo: Calculamos las asíntotas verticales.
x−2=0⟹x=2
limx →2
x2+2x−2
=∞⟹
La funci ó n tiene una as í ntota vertical en x=2Tercero: Calculamos las asíntotas oblicuas porque no hay asíntotas horizontales.
m=limx →2
x2+2x−2
x=lim
x →2
x2+2x2−2 x
=1
n=limx → ∞
( x2+2x−2
−1· x)=limx → ∞
2 x+2x−2
=2
Por tanto, la ecuación de la asíntota oblicua es:y=x+2
6.5 ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
6.5.1 DERIVABILIDAD Y CONTINUIDADSi una función es derivable en un punto x=a, entonces es continua para x=a.El recíproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.
Ejemplo 1: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la
función: f ( x )={1 si x<0x si x ≥0
En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim
x→ 0−¿ 1=1¿¿
limx→ 0+¿ x=0¿
¿
La función no es continua y por tanto, tampoco es derivable.
Ejemplo 2: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la
función: f ( x )={0 si x<0x si x ≥0
En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim
x→ 0−¿ 0=0¿¿
limx→0+¿ x=0¿
¿
La función es continua. Por tanto, podemos estudiar la derivabilidad.
limx→0−¿ 0−0
h= lim
x→ 0−¿0=0 ¿¿¿
¿
limx→0+¿ 0+h−0
h= lim
x→0+¿ hh= lim
x →0+¿ 1=1¿¿¿
¿ ¿
¿
Como no coinciden las derivadas laterales, la función no es derivable en x=0.
Ejemplo 3: Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función: f ( x )=x2 en x=0.
En primer lugar estudiamos la continuidad en x=0f (0 )=0lim
x→0−¿ x2=0¿¿
limx→ 0+¿ x2=0¿
¿
La función es continua en x=0. Por tanto, podemos estudiar la derivabilidad.
f ' ( x )=limh →0
(0+h )2−02
h=lim
h →0
h2
h=lim
h →0h=0
En x=0, la función es continua y derivable.
6.5.2 INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO
6.5.2.1 CRECIMIENTOSi f es derivable en a:
f esestrictamente creciente en a⟹ f ' (a )>0
6.5.2.2 DECRECIMIENTOSi f es derivable en a:
f esestrictamente decreciente en a⟹ f ' (a )<0
6.5.2.3 CÁLCULO DE LOS INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTOEl proceso de cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento sigue siempre el mismo proceso. Vamos a estudiarlo con un ejemplo:
Ejemplo 1: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de: f ( x )=x3−3x+2Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función
f ' ( x )=3x2−32. Obtener las raíces de la derivada primera. Para
ello, hacemos f ' ( x )=0 .
3 x2−3=0⟹ {x=−1x=1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f ' ( x )>0es creciente .Si f ' ( x )<0es decreciente .
Del intervalo (−∞,−1) tomamos x=−2, por ejemplo.
f ' (−2 )=3·(−2)2−3=9>0Del intervalo (−1 ,1) tomamos x=0, por ejemplo.
f ' (0 )=3 ·(0)2−3=−3<0Del intervalo (1 , ∞) tomamos x=2, por ejemplo.
f ' (2 )=3 ·(2)2−3=9>0
5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:Intervalo de crecimiento: (−∞,−1)∪(1 , ∞) Intervalo de decrecimiento: (−1 ,1)
Ejemplo 2: Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:
f ( x )= x3
( x−1 )2
Dominio( x−1 )2=0⟹ x=1⟹D=R−{1 }
Derivar la función
f ' ( x )= x3−3 x2
( x−1 )3
Igualar a cero la derivada primera
x3−3x2
( x−1 )3=0⟹ {x=0
x=3Formar intervalos abiertos y estudiarlos
La función es creciente en: (−∞ ,0 )∪(0 ,1)∪(3 , ∞) La función es decreciente en: (1 ,3)
6.5.3 EXTREMOS RELATIVOS O LOCALESSi f es derivable en a, a es un extremo relativo o local si:
1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a ) ≠0.
6.5.3.1 MÁXIMOS LOCALESSi f y f ' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple:
1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a )<0.
6.5.3.2 MÍNIMOS LOCALESSi f y f ' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple:
1. Si f ' ( a )=0.2. Si f ' ' (a )>0.
6.5.3.3 CÁLCULO DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejemplo: Estudiar los máximos y mínimos de la siguiente función: f ( x )=x3−3x+2. Para hallar sus extremos locales, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
f ' ( x )=0f ' ( x )=3 x2−3
3 x2−3=0⟹3 x2=3⟹ x2=1⟹ {x=−1x=1
2. Realizamos la segunda derivada y calculamos el signo que toman en ella los ceros de la derivada primera y si:
Si f ' ' ( x )>0, tendremos un mínimo.
Si f ' ' ( x )<0, tendremos un máximo.
f ' ' ( x )=6 xf ' ' (−1 )=6 · (−1 )=−6<0⟹M á ximof ' ' (1 )=6 ·1=6>0⟹M í nimo
3. Calculamos la imagen (en la función original) de los extremos relativos.
f (−1 )=(−1 )3−3 · (−1 )+2=4Por tanto:
f (1 )=13−3 ·1+2=0 {M á ximo :(−1 ,4)M í nimo :(1 ,0)
6.5.4 CONCAVIDAD Y CONVEXIDADSi f y f ' son derivables en a:
{f ' ' ( a )>0⟹ f es c ó ncava en af ' ' ( a )<0⟹ f es convexaen a
Tomaremos siempre el criterio que el valle tiene forma cóncava y la montaña forma convexa.
6.5.4.1 INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Ejemplo 1: Estudiar los de concavidad y convexidad de la función: f ( x )=x3−3x+2.Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f ' ' ( x )=6 x6 x=0⟹ x=0
2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la segunda derivada y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).
3. Tomamos un valor de cada intervalo y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.
Si f ' ' (a )>0⟹ f es c ó ncava en aSi f ' ' (a )<0⟹ f es convexa en a
Del intervalo (−∞ ,0 ) tomamos x=−1, por ejemplo:
f ' ' (−1 )=6 · (−1 )=−6<0⟹Convex aDel intervalo (0 , ∞ ) tomamos x=1, por ejemplo:
f ' ' (1 )=6 · (1 )=6>0⟹C ó ncav a
4. Escribimos los intervalos.Concavidad :(0 , ∞)Convexidad :(−∞ ,0)
Ejemplo 2: Estudiar los de concavidad y convexidad de la
función: f ( x )= x3
( x−1 )2
Dominio:( x−1 )2=0⟹ x=1⟹D=R−{1 }Hallar la derivada primera:
f ' ( x )= x3−3 x2
( x−1 )3
Hallar la derivada segunda:
f ' ' (x )= 6 x
( x−1 )4
Igualamos la segunda derivada a cero:6 x
( x−1 )4=0⟹6 x=0⟹ x=0
Estudiamos los intervalos y lo que ocurre en ellos:x (−∞,0) (0 ,1) (1 , ∞)
f ' ' (x ) −¿ +¿ +¿∩ ∪ ∪
Escribimos los intervalos:C ó ncava :(0 ,1)∪(1 , ∞)Convexa :(−∞,0)
6.5.5 PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS)En los puntos de inflexión, la función no es cóncava ni convexa sino que hay un cambio de concavidad a convexidad o viceversa.Si f y f ' son derivables en a:
{a es un punto de inflexi ó n⟹ f ' ' (a )=0f ' ' ' (a)≠0
6.5.5.1 ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN
Ejemplo: Calcular los puntos de inflexión de:
f ( x )=x3−3x+2.Para hallar los puntos de inflexión, seguiremos los siguientes pasos:
1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces.
f ' ' ( x )=6 x6 x=0⟹ x=0
2. Realizamos la derivada tercera y calculamos el signo que toman en ella los ceros de la derivada segunda y si f ' ' ' (a)≠0 tendremos un punto de inflexión.
f ' ' ' ( x )=6≠0Tenemos un punto de inflexi ó n en x=0
3. Calculamos la imagen (en la función original) del punto de inflexión.
f (0 )=03−3 ·0+2=2Por tanto, el punto de inflexión es: (0 ,2 )