Instituto Politcnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica

Ingeniera Aeronutica

Dinmica Estructural

Ejemplo de Clculo Numrico de la integral de Duhamel con MATLAB

Jos Ivn Carrillo Lima

Objetivo Visualizar los valores de la respuesta dinmica para diferentes valores de tiempo de una excitacin aplicada a una torre, haciendo uso de MATLAB.Marco tericoLa vibracin armnica es un caso muy especial de vibraciones forzadas, pero no es ni muy cerca el tipo de vibracin que encontramos con frecuencia en la realidad de los sistemas estructurales.En los sistemas reales la fuente de excitacin por lo general presenta un comportamiento catico (caso ssmico) u otra forma que no es sinusoidal.Por ello es necesario un mtodo de carcter general para encontrar la respuesta de un sistema dinmico ante una excitacin cualquiera. Para el desarrollo de este mtodo recordemos el concepto de impulso, que se relaciona con cargas aplicadas en perodos de tiempo muy cortos y que modifican la cantidad de movimiento del sistema.

Fig.1 Variacin de una fuerza en el tiempoSi consideramos un impulso aplicado al sistema en el tiempo en un intervalo corto de tiempo del sistema altera su cantidad de movimiento cambiando su velocidad.La cantidad de movimiento se relaciona con la fuerza por medio de la siguiente ecuacin:

Ntese que en esta ecuacin de movimiento no aparece el trmino ku , debido a que, como el impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo la estructura no alcanza a reaccionar.El incremento de velocidad es entonces:

El impulso aplicado genera una pequea vibracin libre considerada solo para esta excitacin.

En vista de que la carga desaparece en un instante infinitesimal podemos considerar que se producen vibraciones libres por la aplicacin de cada uno de los impulsos.Donde las condiciones iniciales pueden obtenerse a partir del cambio de velocidad y posicin del sistema.

Tomando condiciones iniciales:

Tenemos la siguiente ecuacin:

En un sistema lineal podemos aplicar el concepto de superposicin y obtener la respuesta completa sumando todos los impulsos:

Esta solucin se conoce con el nombre de Integral de Duhamel.Solucin numrica de la Integral de DuhamelEn la prctica pocas situaciones presentan un comportamiento que pueda permitir una representacin por medio de una expresin analtica explcita que facilite el clculo de la integral de Duhamel. Por esto es necesario recurrir a mtodos numricos para el clculo indirecto de la integral que representan el impulso de las fuerzas.Los mtodos de clculos aproximados de integrales ms usados son el mtodo de los trapecios y el mtodo de Simpson.Un mtodo alternativo para el clculo de la integral de Duhamel se basa en obtener la solucin analtica exacta de esta integral para la funcin de la excitacin suponiendo que est representada por segmentos lineales sucesivos. Este mtodo no introduce aproximaciones numricas en la integracin, aparte de las inherentes al error de redondeo, siendo, en este sentido, un mtodo exacto.Para aplicar este mtodo, se supone que la funcin de la excitacin puede ser representada aproximadamente por una funcin de segmentos lineales, como se muestra en la figura.

Fig 2 Funcin de excitacin representada por segmentos linealesPara determinar la historia completa de la respuesta es ms conveniente expresar las siguientes integrales

Donde y representan valores de las integrales en la ecuaciones anteriores en el instante . Suponiendo que la funcin de la fuerza , pueda aproximarse mediante una funcin de segmentos lineales, podemos escribir:

En la cual

La aplicacin de la ecuacin anterior y la integracin previa dan:

Ejemplo ilustrativoUna vez determinadas las ecuaciones pasaremos a usarla en un ejemploDetermine la respuesta dinmica de una torre sometida a la fuerza producida por una explosin en su vecindad. La idealizacin de la estructura y de la carga debida a la explosin se muestra en la figura siguiente. Ignore la amortiguacin en el sistema

Ahora utilizaremos el programa de MATLAB para ingresar los datos y que nos de la solucin de los coeficientes A Y B y a partir de estos sustituirlos en la ecuacin

Y el programa queda de la siguiente forma:clcclear allk=100000;m=100;w=sqrt(k/m);t=[0,0.02,0.04,0.06];c=[0,0.6324,1.2649,1.8974] A1= (120000/(w.*w*t(2))*(cos(c(2))- cos(0)+ w*(t(2))*sin(c(2))))B1= (120000/(w.*w*t(2)))*(sin(c(2))- w*t(2)*cos(c(2))) A2=A1+120000*((sin(c(3))-sin(c(2)))/(w))B2=B1+120000*((cos(c(2))-cos(c(3)))/w) A3=A2+ (120000-(t(3)*(-120000/0.02)))*((sin(c(4))-sin(c(3)))/w)+( ((-120000)/((w.*w)*0.02))*( cos(c(4))-cos(c(3))+ w*(0.06*sin(c(4))-0.04*sin(c(3)))))B3=B2+ (120000-(t(3)*(-120000/0.02)))*((cos(c(3))-cos(c(4)))/w)+( ((-120000)/((w.*w)*0.02))*( sin(c(4))-sin(c(3))- (w*(0.06*cos(c(4))-0.04*cos(c(3)))))) x1=(A1*sin(c(2))-B1*cos(c(2)))/(100*w)x2=(A2*sin(c(3))-B2*cos(c(3)))/(100*w)x2=(A3*sin(c(4))-B3*cos(c(4)))/(100*w)

Estos son los resultados de los coeficientes y de los desplazamientos

A1 = 1.0827e+03B1 = 485.6195A2 = 2.4582e+03B2 = 2.4037e+03A3 = 2.5715e+03B3 = 3.5851e+03y1 = 0.0785y2 = 0.5124y3 = 1.1339Y los valores de la respuesta para cada tiempo son las siguientes:Para el t= 0 Y= 0Para t= 0.020 es y= 0.078Para t=0.040 es y=0.512Para t=0.060 es y= 1.134ConclusinSe determin la respuesta dinmica por medio del clculo numrico de la integral de Duhamel con ayuda de matlab. Es necesaria la implementacin de un ciclo for para que las operaciones sean iterativas y el programa las realice por s mismo, para ello se tendr que agregar dicho bucle en el cdigo anterior para llegar a una mejora del mismo. Pero se comprob que con este mtodo no es necesario realizar los mtodos de integracin de trapecios ni de Simpson 3/4.BibliografaPaz Mario.Dinmica Estructural Teora y Clculo. Editorial Revert S.A .Espaa. 2009