Ejemplo 1 - Parte 1 metodo matricial

EJEMPLO 1

Para el prtico que se muestra en la figura encontrar lo siguiente:1. Matriz de rigidez global.2. Desplazamientos y giros en cada nudo.3. Momentos flectores, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.

PORTICOCARGAS

Fig. 16Prtico del ejemplo

DATOS GENERALES:Nmero de nudos = 8Nmero de barras = 10

DATOS DE NUDOS: Coordenadas Restricciones NUDOXYIrxIryIr 106000 236000 366000 403000 533000 600111 730111 860111

DATOS DE MIEMBROS:I = 9.232E-5A = 9.6E-3E = 2E6,L = 3MiembroJKTipo De ElementoINERCIAAREALONGECxCy

164con extremos empotradosIALE01




583con extremos empotradosIA2LE01

647con extremos articuladosIALE1/-1/

745con extremos empotradosIALE1/-1/

815con extremos articuladosIALE10



DATOS DE CARGAS:

Cargas nodales:Nudo 1:Fx = 10TnNudo 4:Fx = 5TnCargas sobre los miembros:Miembro 7:y = -2.5Tn/m2Miembro 9: y = -2.5Tn/m2Miembro 10: y = -2.5Tn/m2

SOLUCIONEncontramos las matrices de rigidez locales [k], de cada miembro con las siguientes frmulas:

Matriz de rigidez para armadurasMatriz de rigidez para miembros con extremos empotrados

Matriz de rigidez local para los miembros 1, 2,3 y 4:Matriz de rigidez local para el miembro 5:

k =k =

Matriz de rigidez local para los miembros 6 y 8:Matriz de rigidez local para los miembros 7, 9 y 10: k = k =

Encontramos las matrices transformacin de coordenadas [R], para cada miembro con la siguiente frmula:Donde:Cx, Cy: son los cosenos directores

Matriz de transformacin de coordenadas para miembros verticales(1, 2, 3, 4, 5)Matriz de transformacin de coordenadas para miembros inclinados(6, 8)Matriz de transformacin de coordenadas para miembros horizontales(7, 9, 10)

En base a estos datos podemos encontrar las matrices de rigidez de los miembros en coordenadas locales, para luego encontrar en la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales; con la siguiente frmula:

[IK] = [IR] T [Ik] [IR]

A continuacin se muestra la matriz de rigidez global de uno de los elementos.

MIEMBROS 1, 2, 3 y 4:[K] = [1,2,3,4R] T [1,2,3,4k] [1,2,3,4R]

[RT][k] [R]

[K] =

MIEMBRO 5: [5K] = [5R] T [5k] [5R]

[K] =

MIEMBROS: 6 y 8:[6,8K] = [6,8R] T [6,8k] [6,8R]

[K] =

MIEMBROS 7, 9 y 10:[7,9,10K] = [7,9,10R] T [7,9,10k] [7,9,10R][K] =

Ahora procederemos a encontrar las matrices de fuerzas de empotramiento perfecto para cada miembro:

Donde el sub-ndice I denota el cdigo del miembro y los sub-ndices J, K denotan los nudos conectivos de dicho miembro (cercano y lejano).

Momentos de empotramiento perfecto:

Reacciones de empotramiento perfecto: Para el ejemplo, slo los miembros 7, 9, y 10 poseen carga distribuida y su matriz de fuerzas de empotramiento perfecto es la siguiente:

Para este caso la matriz de fuerzas es la misma para los elementos 7, 9 y 10, al tener similar geometra, dimensiones y misma condicin de carga.

En base a estos resultados podemos encontrar la matriz de fuerzas de empotramiento perfecto de cada miembro en coordenadas globales, con la siguiente expresin:Donde:[IFF] : Matriz de empotramiento en coordenadas globales [IR] T: : Matriz de transformacin de coordenadas[IfF] : Matriz de empotramiento en coordenadas locales

[IFF] = [IR] T [IfF]

Desarrollando el producto matricial obtenemos:

PASOS PARA ENSAMBLAR LAS MATRICES DE RIGIDEZ, FUERZAS Y DESPLAZAMIENTO DEL PORTICO

Ahora procederemos a resolver la siguiente ecuacin en forma matricial. Donde:[IFF] : Matriz de fuerzas de empotramiento en coordenadas globales {ID} : Matriz de desplazamientos globales [IK] : Matriz de rigidez de miembro en coordenadas globales{IF} : Matriz de fuerzas del miembro en coordenadas globales

{IF}= [IK] {ID}+ {IFF}

Por simplicidad del problema la ecuacin anterior la trabajaremos con sub-matrices, todas las matrices se encuentran en coordenadas globales, esta ecuacin se aplica para cada miembro.

Donde el sub-ndice I denota el cdigo del miembro y los sub-ndices J, K denotan los nudos conectivos de dicho miembro.

1 paso.- Se preparan los casilleros de la matriz de rigidez de NJ x NJ, en este ejemplo la matriz de rigidez es de 8x8 , la dividimos en sub-matrices de 3x3, para cada nudo:

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