UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVARDept. Formación General y Ciencias Básicas

MATEMÁTICAS IIIProf.: David Coronado

Práctica 1Matrices - Determinantes - Sistemas de

ecuaciones

1. Calcular AB si

a) A =

(2 3−1 2

)y B =

(4 10 6

)b) A =

(1 −11 1

)y B =

(−1 0

2 3

)c) A =

(−4 5 1

0 4 2

)y

B =

3 −1 15 6 40 1 2

d) A =

(1 4 −23 0 4

)y B =

(0 12 3

)e) A =

(1 4 0 2

)y

B =

3 −62 41 0−2 3

f ) A =

(3 2 1 −2−6 4 0 3

)y B =

1402

2. Hallar, si existe, la inversa de la matriz dada.

a) A =

(3 22 1

)b) A =

(0 11 0

)

c) A =

1 1 10 2 35 5 1

d) A =

3 2 10 2 20 0 −1

e) A =

1 6 2−2 3 5

7 12 −4

f ) A =

−2 −1 4−1 0 519 −7 3

g) A =

1 1 1 11 2 −1 21 −1 2 11 3 3 2

h) A =

(2 3−1 4

)i) A =

(−1 2

2 −4

)

j ) A =

−1 2 04 1 −32 5 −3

k) A =

2 0 4−1 3 1

0 1 2

3. Calcule los siguientes determinantes.

a)

∣∣∣∣∣∣−2 3 1

4 6 50 2 1

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣−1 0 6

0 2 41 2 −3

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣−1 1 0

2 1 41 5 6

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣∣∣2 0 3 10 1 4 20 0 1 51 2 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣e)

∣∣∣∣∣∣∣∣−2 0 0 7

1 2 −1 43 0 −1 54 2 3 0

∣∣∣∣∣∣∣∣4. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = −6. Calcular:

1

2

a)

∣∣∣∣∣∣d e fg h id e f

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣3a 3b 3c−d −e −f4g 4h 4i

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣a+ g b+ h c+ i

d e fg h i

∣∣∣∣∣∣d)

∣∣∣∣∣∣−3a −3b −3cd e f

g − 4d h− 4e i− 4f

∣∣∣∣∣∣5. Sabiendo que

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣ = 8. Calcular:

a)

∣∣∣∣∣∣g h id e fa b c

∣∣∣∣∣∣b)

∣∣∣∣∣∣−3a −3b −3c

2d 2e 2f5g 5h 5i

∣∣∣∣∣∣c)

∣∣∣∣∣∣2a− 3d 2b− 3e 2c− 3f

g h id e f

∣∣∣∣∣∣6. Demuestre que si A,B y C son matrices in-

vertibles. Entonces ABC es invertible. ¾Cuáles su inversa?

7. Muestre que la matriz

(3 4−2 −3

)es su

propia inversa.

8. Encuentre la inversa de las siguientes ma-trices. Recuerde que i =

√−1 por lo tanto,

i2 = 1, i3 = −i, i4 = 1.

a) A =

(i 21 −i

)b) B =

(1− i 0

0 1 + i

)

c) C =

1 i 0−i 0 10 1 + i 1− i

9. Demuestre que para todo real θ la matrizdada es invertible y encuentre su inversa sen θ cos θ 0

cos θ − sen θ 00 0 1

.

10. Demuestre (en una línea) que la matriz A noes invertible para

A =

1 0 0−2 0 0

4 6 1

11. Resuelva los siguientes sistemas de ecua-

ciones:

a)

x +y +8z = 3

3x +6z = 3x +y +9z = 3

b)

x +y +8z = 3

3x +6z = 32x +2y +16z = 6

c)

x +y +8z = 3

3x +6z = 34x +y +14z = 3

d)

{2x −y = 34x +5y = 7

e)

{3x +6y −7z = 02x −y +3z = 1

f )

4x −y +z −w = −73x +y −5z +6w = 82x −y +z = 9

12. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones,primero escriba el sistema en forma matri-cial Ax = b. Segundo, encuentre A−1. �nal-mente, multiplique A−1 por b para obtenerel vector solución.

a)

{x −3y = 4

2x +5y = 7

b)

x +2y = 3

2x +y −z = −13x +y +z = 7