EInferencial Amairany Tarea 2 U291.5

Estadística Inferencial IIngeniería en Gestión Empresarial

Rubrica 2. Problemas de la Estimación de ParámetrosTrabajo Realizar los siguientes ejercicios:

1. Una muestra de cinco medidas del diámetro de una esfera se registraron como

6.33, 6.37, 6.36, 6.32 y 6.37 pulgadas. Determinar los valores estimados de μ y

σ 2.

2. La media y la desviación estándar para los promedios de puntuación de una

muestra aleatoria de 36 estudiantes de los últimos semestres de una carrera

profesional son 8 .6 y 1, respectivamente. Obtenga los intervalos de confianza de

95% y 99% de la media de todo el grupo de estudiantes.

3. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno, como prueba de mercado

durante un mes en las tiendas de una cadena de autoservicio. Si se desea

estimar la suma promedio de ventas con aproximación de ± $100 con 99% de

confianza y se supone que la desviación estándar es de $200. ¿Qué tamaño de

muestra se necesita, suponiendo que las ventas se distribuyen normalmente?

4. En un experimento de laboratorio, 50 estudiantes de ingeniería midieron por

separado el calor específico del aluminio, obteniendo una media de 0.221 calorías

por grado centígrado y por gramo y una desviación estándar de 0.024. ¿Qué

podremos asegurar con una probabilidad de 0.95 con respecto a la posible

magnitud de error, si la media de la muestra se utiliza para estimar el verdadero

calor específico del aluminio?

5. En una muestra aleatoria de 85 soportes para el cigüeñal de un motor de

automóvil, 10 tienen un terminado que es más rugoso de lo que las

especificaciones permiten. Por consiguiente, una estimación puntual la proporción

de soportes en la población que exceden la especificación de rugosidad es

p̂=x /n = 10/85 = 0.12. Calcule un intervalo de confianza del 95% para “p”.

¿Cuán grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza de 95% de

que el error al utilizar p̂ como estimación de “p” sea menor que 0.05?

6. En una muestra aleatoria de 500 familias propietarias de aparatos de televisión en

cierta ciudad, se halló que 340 se suscribieron a HBO. Obtenga un intervalo de

confianza de 95% para estimar la proporción real de familias en la ciudad que se

suscribieron a HBO.

7. De un lote determinado se tomó una muestra aleatoria de 1000 artículos y se

hallaron 12 artículos defectuosos. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para

la proporción de artículos defectuosos en el lote.

8. El contralor de una cadena de tiendas de departamentos quiere determinar la

cantidad promedio que gastan todas las personas con tarjeta de crédito en éstas

Docente: Ing. Gaudencio Antonio Benito


tiendas. Seleccionó una muestra aleatoria de 25 tarjetahabientes que dio como

resultado una media de $750 con una desviación estándar de la muestra de $200.

Él quiere tener una seguridad del 95% de que un intervalo obtenido incluye el

promedio real de la población. Se supone que el gasto con tarjeta de crédito se

distribuye aproximadamente en forma normal.

9. El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4,

9.8, 10.0, 10.2 y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la

media de todos los contenedores si se supone una distribución aproximadamente

normal.

10. Se toma una muestra aleatoria de 12 pernos en un estudio de la dureza de la

cabeza de un tipo de perno. Se realizaron mediciones de tal dureza en cada uno

de los 12 pernos, lo que dio un valor promedio de 48.5, con una desviación

estándar de 1.5. Suponiendo que las mediciones se distribuyen en forma

aproximadamente normal, determine un intervalo de confianza de 90% para la

dureza media de la cabeza del perno.

11. 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria presentaron un

examen de matemáticas. Los muchachos obtuvieron una calificación promedio de

80 con desviación estándar de 5, en tanto que la calificación promedio de las

muchachas fue de 75 con desviación estándar de 3. Encuentre el intervalo de

confianza de 95% para la diferencia de medias μ1−μ2 donde

μ1 es la

puntuación media de todos los muchachos y μ2 la de todas las muchachas.

12. Se compara la resistencia de dos tipos de rosca de tornillo; 50 piezas de cada tipo

de rosca se prueban en condiciones similares, con el siguiente resultado: las

piezas de la marca A tienen una resistencia media a la tensión de 78.3 kg y una

desviación estándar de 5.6 kg, en tanto que las de marca B tienen una resistencia

media a la tensión de 87.2 kg con una desviación estándar de 6.3 kg. Determine

un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las resistencias medias de

las dos poblaciones de roscas μB−μA .

13. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B.

Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizaron 50

experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se

utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio

de gasolina del motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B

es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre

μB−μA . Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para



los motores A y B, respectivamente.

14. Los siguientes son los pesos en kilogramos de 10 paquetes de semillas de pasto

distribuidas por cierta Compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2

y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los

paquetes de semillas de pasto que distribuye ésta Compañía, suponga una

distribución normal.

15. Un experimentador quiere verificar la variabilidad de un equipo diseñado para

medir el volumen de una fuente de audiofrecuencia. Tres mediciones

independientes registradas con éste equipo fueron 4.1, 5.2 y 10.2. Estime σ2

con un coeficiente de confianza de 0.90.

16. El departamento de zoología del IPN y el Instituto Tecnológico de Cd. Madero

llevó a cabo un estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo

químico medido en dos estaciones diferentes de cierto río. El ortofósforo se mide

en miligramos por litro. Se reunieron quince muestras de la estación 1 y 12

muestras de la estación 2. Las quince muestras tuvieron una desviación estándar

de 3.07 mg/lt, mientras que las doce muestras de la estación 2 tuvieron una

desviación estándar de 0.80 mg/lt. Suponga que las observaciones vienen de

poblaciones normales con varianzas diferentes. Justifique ésta suposición

mediante la construcción de un intervalo de confianza del 98% para

σ12

σ22

.

17. Una Compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las

operaciones consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con

una aleación de titanio. Pueden emplearse dos procesos de esmerilado y ambos

pueden producir partes que tienen la misma rugosidad superficial promedio. Al

ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el proceso que tenga la menor

variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una muestra de 12

partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de 5.1

micropulgadas, y otra de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una

desviación estándar de 4.7 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de

confianza del 90% para el cociente de las dos varianzas

σ12

σ22

, suponiendo que los

dos procesos sean independientes y que la rugosidad de la superficie está

distribuida de manera normal.

18. Una base de taxis está tratando de decidir la compra de neumáticos de las

marcas A y B para sus vehículos. Para estimar la diferencia entre las dos marcas,

se realiza un experimento empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se



hacen correr hasta su desgaste total. Encontrando una desviación estándar de

5000 y 6100 kilómetros para la marca A y B, respectivamente. Calcule un

intervalo de confianza de 95% para

σ12

σ22

, suponiendo que las poblaciones se

distribuyen en forma aproximadamente normal.

19. En un estudio que se lleva a cabo en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal

de Virginia sobre el desarrollo de ectomycorrhizal, una relación simbiótica entre

las raíces de los árboles y un hongo en la que se transfiere minerales del hongo a

los árboles y azucares de los árboles de los hongos, se plantan en un invernadero

20 robles rojos con el hongo Pisolithus tinctorus. Todos los arbolitos se plantan en

el mismo tipo de suelo y reciben la misma cantidad de luz solar y agua. La mitad

no recibe nitrógeno en el momento de plantarlos para servir como control y la otra

mitad recibe 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO3. Los pesos de los tallos,

que se registran en gramos, al final de 140 días se registran como sigue:

Sin

nitrógeno

Con nitrógeno

0.32 0.26

0.53 0.43

0.28 0.47

0.37 0.49

0.47 0.52

0.43 0.75

0.36 0.79

0.42 0.86

0.38 0.62

0.43 0.46

Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los pesos

medios de los tallos entre los que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368

ppm de nitrógeno. Suponga que las poblaciones están distribuidas normalmente

con varianzas iguales.

20. Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación

para pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar

infecciones graves de vejiga:

Medicamento 1 Medicamento 2

n1=14 n2=16



x1=17 x2=19

s12=1 .5 s1

2=1 .8

Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia μ1−μ2 en el

tiempo promedio de recuperación para los dos medicamentos, suponga

poblaciones normales con varianzas iguales.

Contenido Mostrar las fórmulas utilizadas en cada cálculo de los datos.

Toda fórmula deberá realizarse en el editor de ecuaciones 3.0 que se encuentra en el “menú insertar objeto” de Word.

El trabajo deberá ajustarse bajo los requerimientos del formato “estructura de los trabajos”.

Formarán equipos de 5 personas y solo el jefe del equipo será quien sincronice el trabajo al Dropbox.

ADVERTENCIA: Todo trabajo igual o similar a los demás equipos en automático tendrán 0 pts. para todos los integrantes.

Criterios de calificación

¿Los ejercicios están correctos? 50 pts. 42.5¿Muestran la Técnica de Dowin en cada ejercicio? 20 pts. 20

¿Las fórmulas que utilizaron están hechas en el editor de ecuaciones 3.0?

10 pts. 10

¿Cumple con los requerimientos del formato “estructura de los trabajos”?

05 pts. 05

¿El equipo está formado por 5 integrantes? 03 pts. 03Puntualidad de entrega 10 pts. 10Ortografía 02 pts. 01

TOTAL DE PUNTO OBTENIDOS 91.5Fecha de entrega 22 DE MARZO DEL 2013

INTEGRANTES DEL EQUIPO

NO. NOMBRE DEL ALUMNO NÚMERO DE CONTROL

1 Susana Amairany Damián Arredondo 11IGE059

2 Gelacio Hernández Sandoval 11IGE101

3 Pablo Antonio Hernández Mendoza 11IGE075

4 Alma Yadira Rubio Hernández 11IGE020

5 Karen Melissa Hipólito Lázaro 11IGE025

Nota: queda totalmente prohibido cambiar el formato de esta rúbrica, en caso de hacerlo, de su

calificación final se les disminuirá 40 puntos.

Observaciones:



Susana Amairany Damián Arredondo,[email protected]

Problemas de la Estimación de Parámetros

1. Una muestra de cinco medidas del diámetro de una esfera se registraron como 6.33, 6.37,

6.36, 6.32 y 6.37 pulgadas. Determinar los valores estimados de μ y σ2

.

Datos:

6.33

6.37

6.36,

6.32

6.37

Fórmula 1:

χ=Χ1+Χ2+ χ3 . .. . . χ η

η

Solución:

X=X1+X 2+X3 . . .. Xn

n=6 . 33+6 . 37+6 . 36+6 .32+6 . 37

5=31. 75

5=6 .35



Fórmula 2:

σ 2=∑ χ2−ΝΜ2

Ν

Solución:

σ 2=∑ X 2−NM 2

N=

(31 .75 )2−5 (6 . 35 )2

5=161.29

Conclusión:

Los resultados muestran los valores estimados de μ=6 .35 y σ2=161 . 29para la muestra de las

5 medias del diámetro de una esfera.

2. La media y la desviación estándar para los promedios de puntuación de una muestra aleatoria

de 36 estudiantes de los últimos semestres de una carrera profesional son 8 .6 y 1,

respectivamente. Obtenga los intervalos de confianza de 95% y 99% de la media de todo el

grupo de estudiantes.

Datos:

n=36x=8 .6σ=1

95%α=0 . 05α=1− .95



α2=0 . 025

α2=0 . 025

Fórmula:

x−zα2

σ

√n≤μ≤x+ zα

2

σ

√n x−zα

2

σ

√n≤μ≤x+ zα

2

σ

√n

Soluciones:

8 . 6−1 . 96( 1

√36 )≤μ≤8 . 6+1 . 96( 1

√36 )

8 . 6−2 . 57( 1

√36 )≤μ≤8 . 6+2 .57 ( 1

√36 )

Resultados:

8 .2734≤μ≤8 . 9266 8 .1717≤μ≤9 . 0283

Conclusión:

De acuerdo a los datos obtenidos de 8 .2734≤μ≤8 . 9266 con el intervalos de confianza 95% y

8 .1717≤μ≤9 . 0283 con el intervalo de confianza de 99%, se concluye que de los 36 estudiantes

se toma una puntuación aceptable para el último semestre de su carrera profesional.



3. Se va a vender un nuevo cereal para desayuno, como prueba de mercado durante un mes en

las tiendas de una cadena de autoservicio. Si se desea estimar la suma promedio de ventas

con aproximación de ± $100 con 99% de confianza y se supone que la desviación estándar

es de $200. ¿Qué tamaño de muestra se necesita, suponiendo que las ventas se distribuyen

normalmente?

Datos:

σ=200∈=0 . 01

Fórmula:

Sustitución:

=( (2.57 ) (200 )0. 01 )

2

Resultado:

=2641960000

Conclusión:


. 99 ¿+. 005 ¿¿2. 57 ¿ . 0 . 995 ¿ ¿¿99 %α=. 01

α2=0 .01

2=. 005

α2=

0 .012

=. 005

n=( zα2∗σ

∈ )2


Llegamos a la conclusión que para la correcta estimación de dicho producto (cereal) se debe tener

una muestra de n=2641960000 , para que la prueba de mercado sea segura con un 99% de

confianza.

Incorrecto

4. En un experimento de laboratorio, 50 estudiantes de ingeniería midieron por separado el calor

específico del aluminio, obteniendo una media de 0.221 calorías por grado centígrado y por

gramo y una desviación estándar de 0.024. ¿Qué podremos asegurar con una probabilidad de

0.95 con respecto a la posible magnitud de error, si la media de la muestra se utiliza para

estimar el verdadero calor específico del aluminio?

Datos:

n=50X=0 .221σ=0 . 024

Fórmula:

X−Zα2

σ√n

≤μ≤X+Zα2

σ√n

Solución:

0 .0221−1 .96( 0 . 024

√50 )≤μ≤0 . 0221+1. 96 ( 0 .024

√50 )


95%

α2=0 .025

Z0. 025

=1.96

α2=0 .025

Z0. 025

=1.96


Resultado:

0 .2143≤μ≤0 .2276

Conclusión:

Dado el rango de la muestra que es de 0.21 a 0.22 con un intervalo de confianza del 95%,

podemos asegurar que la diferencia es mínima con respecto a la magnitud de error del calor

específico del aluminio.

Y claro se requiere un intervalo más grande para estimar el verdadero calor específico.

5. En una muestra aleatoria de 85 soportes para el cigüeñal de un motor de automóvil, 10 tienen

un terminado que es más rugoso de lo que las especificaciones permiten. Por consiguiente,

una estimación puntual la proporción de soportes en la población que exceden la

especificación de rugosidad es p̂=x /n = 10/85 = 0.12. Calcule un intervalo de confianza del

95% para “p”. ¿Cuán grande debe ser la muestra si se desea tener una confianza de 95% de

que el error al utilizar p̂ como estimación de “p” sea menor que 0.05?

Datos:

n=85x=1095 %

p̂=. 12q=1− p̂q=1−. 12q=0 .88

α /2=0 . 025−zα /2=−1. 96

α /2=0 . 025zα /2=1.96


95 %α=0 . 05


. 95+0 .025=0. 975

Formula:

p̂−zα /2 √ p̂ q̂n n<p< p̂+zμ2 √ p̂ q̂n

Sustitución:

( . 12 )−1 .96 √ ( .12 ) (0 .88 )85

< p< ( .12 )+1 . 96√ ( . 12 ) (0 .88 )85

Resultado:

0 .0509< p<0 . 1890

Conclusión:

De 0.0509 a 0.1890 es el parámetro de confianza con un 95% de una estimación puntual de

proporción de soportes en la población para un motor de automóvil por ello este parámetro excede

con las especificaciones lo cual hay que realizar un ajuste en este proceso.

Calculación de la muestra:

Datos:


. 99 ¿+. 025 ¿¿1 . 96 ¿. 0 . 975 ¿ ¿¿95 %α=. 05


i .c=95 %

∈=0 . 05

Fórmula

n=( zα2

∈ )2

P(1−P )

Sustitución:

=( 1. 960 .05 )

2

( . 95 )(1−. 95)

Resultado:

=72 . 9904¿73

Conclusión:

Como conclusión tenemos que las proporciones de soporte tendrá un tamaño de muestra de 72.9904

¿73 , utilizando la estimación puntual y el intervalo de confianza de un 95%.

Incorrecto Ustedes debieron haber tomado la probabilidad de 0.12 ok.

6. En una muestra aleatoria de 500 familias propietarias de aparatos de televisión en cierta

ciudad, se halló que 340 se suscribieron a HBO. Obtenga un intervalo de confianza de 95%

para estimar la proporción real de familias en la ciudad que se suscribieron a HBO.


α2=

0 .052

=.025α

2=

0 .052

=.025


Datos:

n=500X=340

p̂=340 fam500 fam

=0 .68

P̂=1−P̂=1−0 .68=0 .32

Fórmula:

p̂−zα /2 √ p̂ q̂n < p< p̂+zα /2√ p̂ q̂nSustitución:

0 .68−1 .96√( 0.68 )(032)500

¿¿

Resultado

=0.64¿¿

Conclusión:

Dentro de los parámetro 0.64 - 0.72 se encuentra la proporción real de las familias en la ciudad,

esto significa que la mayor parte de las familias están suscritas a HBO a través de un intervalo

de confianza de 95%.


95 %¿=0 .05

¿ /2=0 .025z¿/2=1.96

¿ /2=0 .025−z¿/2=−1. 96


7. De un lote determinado se tomó una muestra aleatoria de 1000 artículos y se hallaron 12

artículos defectuosos. Obtenga un intervalo de confianza de 99% para la proporción de

artículos defectuosos en el lote.

Datos:

n=1000x=1

p¿

=xn

p¿

=121000

=0 .012

q¿

=1−p¿

q¿

=1−0. 012=0 .988

α=1− .99α=0 . 01

α

2=0 .005

α

2=0 .005

Fórmula:

p¿

−zα2√ p

¿

q¿

n< p< p

¿

+ zα2√ p

¿

q¿

n

Sustitución:



0 .012−2 .57 √(0 . 012)(0 . 988 )1000

< p<0 .012+2 .57√ (0 . 012)(0 . 988)1000

Resultado:

0 .003150< p<0 .02084

Conclusión:

De acuerdo a los datos obtenidos que son 0 .003150< p<0 .02084 del problema con un

intervalo de confianza de 99 % , se concluye que de la muestra aleatoria los artículos que se

encuentran defectuosos son pocas de ellas.

8. El contralor de una cadena de tiendas de departamentos quiere determinar la cantidad

promedio que gastan todas las personas con tarjeta de crédito en éstas tiendas. Seleccionó

una muestra aleatoria de 25 tarjetahabientes que dio como resultado una media de $750 con

una desviación estándar de la muestra de $200. Él quiere tener una seguridad del 95% de que

un intervalo obtenido incluye el promedio real de la población. Se supone que el gasto con

tarjeta de crédito se distribuye aproximadamente en forma normal-



Datos:

α /2=0 . 025t 0.025

α /2=0 . 025t0.025

Fórmula:

X−tα /2 .S

√n¿¿

Sustitución:


talignl¿ 0.025 ¿V=24 ¿¿ }2 .064n=25X=750S=200

V=n−1V=25−1=24

95 %α=1− .95=0 . 05


750−2.064 (200

√25 )¿¿

¿¿

Resultado:

667 . 44¿¿¿

¿

Conclusión:

Con los resultados obtenidos se puede asegurar, que el rango de la cantidad de todas las personas

que usan tarjeta de crédito esta dado de 667.44 a 832.56 con un intervalo de confianza del 95%.

9. El contenido de 7 contenedores similares de ácido sulfúrico son 9.8, 10.2, 10.4, 9.8, 10.0, 10.2

y 9.6 litros. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la media de todos los

contenedores si se supone una distribución aproximadamente normal.



Datosn=79 .8, 10 .2, 10 . 4, 9 . 8, 10. 0, 10 .2 y 9.6

x=x1+x2+. . .. .. . xnn

x=9 .8+10 . 2+10.4+9 . 8+10+10 . 2+9 .67

x=707

=10

2 .447

α=1− .95α=0 . 05

Fórmula 1:

S=√∑( x−x )2

n−1

( x−x )2


v=n−1v=7−1=6

α2=0 .025

v=6

α2=0 .025

α2=0 .025


S=√ 0 .486

=0 .2828

v=n−1v=7−1

α2=0 .025 2 . 447

v=6

Fórmula 2:

x−tα2

S

√n<μ<x+tα

2

S

√n

Sustitución:

10−2. 4470 . 2828

√7<μ<10+2.447

0 . 2828

√7

Resultado:

9 .7384<μ<10 . 2615



Conclusión:

De acuerdo a los datos obtenidos 9 .7384<μ<10 . 2615 con un intervalo de confianza de 95%

se concluye que la mayor parte de la media de los contenedores si son similares al ácido sulfúrico.

10. Se toma una muestra aleatoria de 12 pernos en un estudio de la dureza de la cabeza de un

tipo de perno. Se realizaron mediciones de tal dureza en cada uno de los 12 pernos, lo que dio

un valor promedio de 48.5, con una desviación estándar de 1.5. Suponiendo que las

mediciones se distribuyen en forma aproximadamente normal, determine un intervalo de

confianza de 90% para la dureza media de la cabeza del perno.

Datos:

n=12X=48 .5σ=1 .5

Fórmula:

X−t α2

S

√n≤μ≤X+t α

2

S

√n


α2=0 .01

2=0 . 05

t0.05=1 . 796

α2=0 .01

2=0 .05

−t0.05=1 . 796

90%

V=n−1=12−1=11


Sustitución:

48 . 5−1 . 796( 1. 5

√n )≤μ≤48 .5+1 .796 ( 1.5

√n )

Resultado:

47 . 7224≤μ≤49 .2776

Conclusión:

Obteniendo los resultados nuestro rango de la dureza de los 12 pernos se encuentra entre 47.7224

a 49.2776, lo cual demuestra con un intervalo de confianza del 90% que la diferencia de dureza

entre los pernos es mínima.

11. 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria presentaron un examen de

matemáticas. Los muchachos obtuvieron una calificación promedio de 80 con desviación

estándar de 5, en tanto que la calificación promedio de las muchachas fue de 75 con

desviación estándar de 3. Encuentre el intervalo de confianza de 95% para la diferencia de

medias μ1−μ2 donde

μ1 es la puntuación media de todos los muchachos y μ2 la de todas

las muchachas.

Datos:



n1=35 n2=36x1=80 x2=75σ 1=5 σ 2=3

α=1− .95α=0 . 05

α2=0 . 025

α2=0 . 025

Fórmula:

(x1−x2)−zα2(√σ 1

2

n1

+σ 2

2

n2)<μ1−μ2<(x1−x2) ´+zα

2(√σ 1

2

n1

+σ 2

2

n2)

Sustitución:

(80−75)−1.96(√52

35+3

2

36 )<μ1−μ2<(80−75 )+1 .96 (√52

35+3

2

36 )

Resultado:

3 .0753<μ1−μ2<6 . 9246

Conclusión:


z=1 . 96


De los 35 muchachos y 36 muchachas del tercer año de secundaria que presentaron el examen

de matemáticas sus calificaciones están dadas 3 .0753<μ1−μ2<6 . 9246

en un intervalo de

confianza de 90%, por lo que se comprueba que existe una gran diferencia entre las calificaciones

de los hombres y las mujeres.

12. Se compara la resistencia de dos tipos de rosca de tornillo; 50 piezas de cada tipo de rosca se

prueban en condiciones similares, con el siguiente resultado: las piezas de la marca A tienen

una resistencia media a la tensión de 78.3 kg y una desviación estándar de 5.6 kg, en tanto

que las de marca B tienen una resistencia media a la tensión de 87.2 kg con una desviación

estándar de 6.3 kg. Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las

resistencias medias de las dos poblaciones de roscas μB−μA .

Datos:

50

50

2

1

n

n

σ 1=5 . 6kg .σ 2=6 . 3kg .

X1=78 . 3kg .X 2=87 . 2kg .

.95+.025=.975

Fórmula:


α /2=. 025z=1 . 96

−α /2=. 025−z=1 . 96

95%α=0 .05


( x1−x

2)−Zα 2√ σ12

n1

+σ2

2

n2

¿¿¿

Estimación puntual:

( x̄A− x̄B )=( x1−x2)¿87 . 2−78 . 3¿8 .9

Sustitución:

8 .9−1 .96√31. 3650

+39 .6950

<μ1−μ2<8 .9+1.96√31.3650

+39 .6950

Resultado:

6 .5635<μ1−μ2< 11.2364

Conclusión:

La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A; y estos dos tipos de

roscas se encuentran de los parámetros 6.5635 a 11.2364 con un intervalo de confianza del 95%.



13. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el

rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizaron 50 experimentos con el motor tipo A

y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen

constantes. El rendimiento promedio de gasolina del motor A es de 36 millas por galón y el

promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96%

sobre μB−μA . Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los

motores A y B, respectivamente.

Datos:

X A=36σ=6σ 2=36

X B=36σ=8σ 2=64

Estimación puntual

(XB−X A =X1−X2 )

=42−36=6

Fórmula:


An= 50

Bn= 75

0 .96+0 . 02=0 . 98

α2=0 .04

2=0. 02

Z0. 02=2 .05

α2=0 .04

2=0 .02

−Z0.02=2 .05

96%


(X1−X2)−Zα2 √ σ1

2

n1

+σ2

2

n2

¿ μ1−μ2¿ ( X1−X2 )+Zα2 √ σ1

2

n1

+σ 2

2

n2

Sustitución:

6−2.05√3650

+6475

<μ1−μ2<6+2 .05√3650

+6475

Resultado:

3 .4286<μ1−μ2<8 .5713

Conclusión:

Obtenido el rango entre los motores A y B siendo este de 3.4286 a 8.5713 con un intervalo de

confianza del 96%. Podemos asegurar que existe una diferencia considerable entre el rendimiento

de gasolina de millas por galón entre ambos motores.

14. Los siguientes son los pesos en kilogramos de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas

por cierta Compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un

intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que

distribuye ésta Compañía, suponga una distribución normal.

Datos:



46.4 46.1 45.8 47 46.1

45.9 45.8 46.9 45.2 46.

S2=

n∑i=1

n

X i2−(∑i=1

X i)2

n (n−1 )

∑ =21273 .12

S2=10 (21273 .12 )−212705. 4410 (9 )

¿0 .2862

Fórmula:

(n−1 ) S2

X α2

2 ¿σ2 ¿(n−1 )S2

X1−α

2

2

Sustitución:

9 (0 .2862 )19 . 023

<σ 2<9 (0. 2862 )

2.700

Resultado:


X1−α

2

X 0. 975

¿2 .700

X α2

X 0.025

¿19 . 023

95%

V=n−1=10−1=9


0 .1354<σ2<0 .954

Conclusión:

Contiene la diferencia de los promedios variables de dos muestras de kg. Con el intervalo de

confianza de 95% que se encuentra entre los parámetros de 0.1354 a 0.954.

15. Un experimentador quiere verificar la variabilidad de un equipo diseñado para medir el volumen

de una fuente de audiofrecuencia. Tres mediciones independientes registradas con éste equipo

fueron 4.1, 5.2 y 10.2. Estime σ2

con un coeficiente de confianza de 0.90.

Datos:

n=3

S2=n∑i=1

nx1

2−(∑x=1

nx1 )

2

∑ x1

1

∑ x12

4 . 1= 16 . 81

5 .2= 27 .04

10 . 2= 104 .04

19 . 5147 . 89


90 %α=0 . 1

x α2=0 . 05

x 0. 05=5 . 991

x 1−α2=−0.05

x 0. 95=0. 103


Fórmula:

(n−1)S2

x2α /2

<σ2<(n−1)S2

x2α /2

Sustitución:

(3−1 )(10 .57 )2

5.991<σ2<

(3−1 )(10 .57 )2

0.103

Resultado:

3 .5286<σ2<205 .2427

Conclusión:

Se puede decir que la variabilidad del equipo diseñado para medir el volumen de la fuente de

audiofrecuencia se encuentra entre 3.5286 y 205.2427 lo cual indica que existe una diferencia

considerable dentro del intervalo de confianza del 90%.

16. El departamento de zoología del IPN y el Instituto Tecnológico de Cd. Madero llevó a cabo un

estudio para estimar la diferencia en la cantidad de ortofósforo químico medido en dos



estaciones diferentes de cierto río. El ortofósforo se mide en miligramos por litro. Se reunieron

quince muestras de la estación 1 y 12 muestras de la estación 2. Las quince muestras tuvieron

una desviación estándar de 3.07 mg/lt, mientras que las doce muestras de la estación 2

tuvieron una desviación estándar de 0.80 mg/lt. Suponga que las observaciones vienen de

poblaciones normales con varianzas diferentes. Justifique ésta suposición mediante la

construcción de un intervalo de confianza del 98% para

σ12

σ22

.

Datos:

n1=15S1=3 .07mg /lt .n2=12

S2=0 . 80mg / lt .

V1=14

V2=11

f α /2( v1 , v2 )1f 0. 01(14 ,11)

=1430

=0. 23

f α /2( v2 , v1 )f 0. 02(11 ,14 )=3 .87

Para encontrar los grados de libertad:


98%α=0 . 02

V1

V1 10 11 12

14 3.94 3 .87 3.80

V2

V2 12 13 14 15

11 4.40 4 .30 4.25

98%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 0298%α=0 . 02


4 . 40−4 . 253

=0. 05

f 0.01(14 ,11)=4 .25+0. 05=4 . 30

3 .94−3.802

=0 .07

f 0.01(11 ,14 )=3 .80+0 .07=3 .87

Fórmula:

S12

S22

.1

f α /2 (v1 , v2).<σ 1

2

σ 22<S1

2

S22f α /2( v1 , v2 )

Solución:

(3 . 07)2

(0 . 80)2.(0 .23 )<

σ12

σ22<(3 .07 )2

(0 .80 )2(3 . 87 )

Resultado:

3 .3870<σ1

2

σ22<56 .9911

Conclusión:



Se puede concluir que la diferencia de los promedios reales de ortofósforo de estas dos muestras

reales de los lugares del departamento de zoología determinó con un nivel de confianza del 98%.

Con

σ12

σ22

en un intervalo de 3 .3870 a 56 . 9911 con una diferencia bastante grande.

17. Una Compañía fabrica propulsores para uso en motores de turbina. Una de las operaciones

consiste en esmerilar el terminado de una superficie particular con una aleación de titanio.

Pueden emplearse dos procesos de esmerilado y ambos pueden producir partes que tienen la

misma rugosidad superficial promedio. Al ingeniero de manufactura le gustaría seleccionar el

proceso que tenga la menor variabilidad en la rugosidad de la superficie. Para ello toma una

muestra de 12 partes del primer proceso, la cual tiene una desviación estándar de 5.1

micropulgadas, y otra de 15 partes del segundo proceso, la cual tiene una desviación estándar

de 4.7 micropulgadas. Se desea encontrar un intervalo de confianza del 90% para el cociente

de las dos varianzas

σ12

σ22

, suponiendo que los dos procesos sean independientes y que la

rugosidad de la superficie está distribuida de manera normal.

Datos:


n1 = 12 2. 79−2 .72

3=0 .023

= 15

S1 = 5.1 S2 = 4.7

V 1=11

V 2=14

α /2=0 .102

=0. 05

90 %α=1


Para encontrar los grados de libertad:

Formula

S12

S22× 1f α /2 (V 1 ,V 2)

<σ1

2

σ 22<S1

2

S22× 1f α /2 (V 2,V 12)

Formula

S12

S22× 1f α /2 (V 1 ,V 2)

<σ1

2

σ 22<S1

2

S22× 1f α /2 (V 2,V 12)


V2 V1

14

10 11 12

2.60 2.53

V1 V2

11

10 11 12

2.79 2.72

f α /2 (v1 , v2)f . 02 (11 ,14 )=2. 743

f α /2 (v1 , v2)12 .53

=0 .3952

2. 79−2 . 723

=0 .0232. 60−2.53

2=0 . 035

F 0 .05 (11,14 )= 2.53+0 .035=2.565 F 0 .023 (14,11)= 2 .72+0 . 023= 2 .743 .


Solución:

(5.1)2

(4 .7 )2∗(0 .38 )<

σ12

σ22<

(5.1 )2

( 4 .7 )2∗(2 .743 )

Resultado:

0.4474 <

σ12

σ22

< 3.229

Conclusión:

Podemos concluir que el proceso de esmerilado en la rugosidad de la superficie va desde 0.4474

a 3.229 micro pulgadas con un intervalo de confianza del 90% lo cual indica que sería mejor utilizar

la segunda opción.

18. Una base de taxis está tratando de decidir la compra de neumáticos de las marcas A y B para

sus vehículos. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se realiza un experimento

empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se hacen correr hasta su desgaste total.

Encontrando una desviación estándar de 5000 y 6100 kilómetros para la marca A y B,

respectivamente. Calcule un intervalo de confianza de 95% para

σ12

σ22

, suponiendo que las

poblaciones se distribuyen en forma aproximadamente normal.



Datos:

n1=12 n2=12s1=5000 s2=6100

v1=n−1 v1=12−1=11v2=n−1 v2=12−1=11

α=1− .95α=0 . 05

1f α

2

(v1 , v2)

1f 0. 025(11 ,11 )

f α2

(v1 , v2)

f 0. 025 /11 ,11)

Interpolación

v2 10 11 12

11 3 . 53 3 . 43

3 .53−3 . 432

=0 .05

3 .43+0 . 05=3 . 48

Fórmula

s12

s12∗ 1f α

2

(v1 , v2)<σ1

2

σ22<s1

2

s12∗f α

2

( v2 , v1 )

Sustitución:



(5000 )2

(6100 )2 ( 13 . 48 )< σ1

2

σ22<(5000 )2

(6100 )2(3 .48 )

Resultado:

0 .1930<σ1

2

σ22<2 .3380

Conclusión:

Para la base de taxis le es más conveniente comprar el tipo de neumático B porque su nivel de

vida es mejor considerable al neumático tipo A, y se comprueba con los datos

0 .1930<σ1

2

σ22<2 .3380

con un nivel de confianza de 95%.

Incorrecto

19. En un estudio que se lleva a cabo en el Instituto Politécnico y Universidad Estatal de Virginia

sobre el desarrollo de ectomycorrhizal, una relación simbiótica entre las raíces de los árboles y

un hongo en la que se transfiere minerales del hongo a los árboles y azucares de los árboles

de los hongos, se plantan en un invernadero 20 robles rojos con el hongo Pisolithus tinctorus.

Todos los arbolitos se plantan en el mismo tipo de suelo y reciben la misma cantidad de luz

solar y agua. La mitad no recibe nitrógeno en el momento de plantarlos para servir como

control y la otra mitad recibe 368 ppm de nitrógeno en forma de NaNO3. Los pesos de los

tallos, que se registran en gramos, al final de 140 días se registran como sigue:

Sin Con nitrógeno



nitrógeno

0.32 0.26

0.53 0.43

0.28 0.47

0.37 0.49

0.47 0.52

0.43 0.75

0.36 0.79

0.42 0.86

0.38 0.62

0.43 0.46

Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en los pesos medios de los tallos

entre los que no recibieron nitrógeno y los que recibieron 368 ppm de nitrógeno. Suponga que las

poblaciones están distribuidas normalmente con varianzas iguales.



Sin nitrogeno

Con nitrogeno

0.32 0.26 0.06 0.0510760.53 0.43 0.1 0.0707560.28 0.47 -0.19 0.0005760.37 0.49 -0.12 0.0021160.47 0.52 -0.05 0.0134560.43 0.75 -0.32 0.0237160.36 0.79 -0.43 0.0696960.42 0.86 -0.44 0.0750760.38 0.62 -0.24 0.0054760.43 0.46 -0.03 0.018496

-0.166 0.33044

id

d

2dd i

Sd=√∑ (d i−d )2

n−1

Sd=√ 0 . 330449

=0 . 19159

V=n−1=10−1=9

Fórmula:

X−t α2

Sd

√n≤μ≤X+t α

2

Sd

√n

Sustitución:

−0 .166−2 . 262( 0. 19159

√10 )≤μ≤−0.166+2 . 262( 0. 19159

√10 )


α2=0 . 05

2=0 . 025

t 0. 025=2. 262

α2=0 . 05

2=0 .025

−t0. 025=2.262

9%5


Resultado:

−0 .3031≤μ≤−0 .0289

Conclusión:

Se puede asegurar que existe una diferencia observable entre los tallos que recibieron 368 ppm de

nitrógeno y los que no, estando la diferencia entre -0.3031 a -0.0289 con un intervalo de confianza

del 95%.

20. Los siguientes datos, registrados en días, representan el tiempo de recuperación para

pacientes que se tratan al azar con uno de los medicamentos para curar infecciones graves de

vejiga:

Medicamento 1 Medicamento 2

n1=14 n2=16

x1=17 x2=19

s12=1 .5 s1

2=1 .8



Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia μ1−μ2 en el tiempo promedio de

recuperación para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.

Datos:

n1=14x̄1=17

S12=1 .5

n1=16x̄2=19

S12=1 .8

V=14+16−2V=28

α /2=0 . 005V=28 = 2.763

α /2=0 .005

α /2=0 . 005

Fórmula:

( X̄1− X̄2)−tα /2√ S12

n1

+S2

2

n2

<μ1−μ2<( X̄1−X̄2 )+tα /2√ S12

n1

+S2

2

n2

Solución:


99%

α=0 . 01


(16−14 )−2. 763√ 1 .5141

+ 1.816

<μ1−μ<2(16−14 )+2. 763√ 1 .5141

+ 1. 816

Resultado:

0 .7050<μ1−μ2<3 .2949

Conclusión:

Podemos concluir que de 0.70 a 3.29 existe una diferencia de los dos tipos de medicamentos con

en el tiempo en que tarda en recuperarse los pacientes con un intervalo de confianza del 99% lo

cual muestra que hay una diferencia entre los medicamentos considerable.


EInferencial Amairany Tarea 2 U291.5

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