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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL SURESTE DE
VERACRUZ
MATERIA:
Ecuaciones Diferenciales Aplicadas
DOCENTE:
Anabel clemente Hernández
FACULTAD:
Ing. Mecatrónica
TEMAS:
I. aplicaciones de transformadas y series de Fourier.
II. aplicaciones de función de transferencia y variables de estados.
III. aplicación de la transformada z.
INTEGRANTES DE EQUIPO:
Irving Abel García Bernal
Eduardo Javier Vázquez Gutiérrez
Gerson Madrazo Trujillo
Antonio de Jesús Hernández Ruíz
GRUPO: 801
FECHA DE ENTREGA: 24/03/2015
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN
En muchas áreas de ingeniería se utilizan procesos estocásticos, de control o aleatorios para
construir modelos de sistemas eléctricos, mecánicos, electrónicos, etc.
La construcción de los modelos permite analizar los sistemas para evaluar su desempeño y
proponer mejoras a los mismos, o bien, evaluar el impacto de algunos cambios en su
operación antes de implantarlos. También permiten determinar el conjunto de parámetros
más adecuados para un cierto caso en particular, a fin de que el sistema satisfaga ciertas
especificaciones de diseño.
Muchas ecuaciones de las ciencias se formulan con derivadas parciales y se resuelven, en
ocasiones, descomponiendo la incógnita en series (sumas infinitas). Las series más
interesantes son las de potencias y por supuesto las de Fourier. Dado el carácter periódico
de tales sumas, las series de Fourier se aplican, por ejemplo, donde surgen procesos
oscilantes, como ocurre en las series temporales de naturaleza económica, en electrónica (se
aplican por ejemplo en teoría de señales), en acústica o en óptica. Los problemas teóricos
relacionados con la convergencia de las series de Fourier han impulsado avances
fundamentales en distintos ámbitos de las matemáticas y siguen siendo considerados hoy
como problemas muy difíciles.
La Transformada de Zeta es un modelo matemático similar a la transformada de Fourier
para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de
tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de
señales digitales, como son el análisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de
radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por
computadoras.
DESARROLLO
APLICACIONES DE TRANSFORMADAS Y SERIES DE FOURIER
Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan
famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos
de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades,
y el progreso personal.
La transformada de Laplace es una técnica matemática que forma parte de ciertas
transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la
transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una
integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra
variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver ecuaciones
diferenciales lineales y ecuaciones integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ed
con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un
requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ed. su mayor
ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ed es
una función seccionada.
Cuando se resuelven ed usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación
diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a
la ed y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora
consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión
como transformada.
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f (t) se define
como:
1) La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integración se
considera constante.
2) La transformada de Laplace convierte una función en t en una función en la variable
s.
3) Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
De orden exponencial
Continúa a trozos
Existencia de la Transformada
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de
una función cualquiera:
1) Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo
2) Ser de orden exponencial
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f (t) y g (t) con funciones que
poseen transformada de Laplace.
1) Linealidad
La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que
multiplican.
Versión para la inversa:
2) Primer Teorema de Traslación
Dónde:
La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la
variable s.
Versión para la inversa:
3) Teorema de la transformada de la derivada
La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.
4) Teorema de la transformada de la integral
5) Teorema de la integral de la transformada
Siempre y cuando exista:
6) Teorema de la derivada de la transformada
7) Transformada de la función escalón
Si representa la función escalón unitario entonces:
8) Segundo teorema de Traslación
9) Transformada de una función periódica
Si f (t) es una función periódica con período T:
10) Teorema de la Convolución
Si f * g representa la Convolución entre las funciones f y g entonces:
APLICACIONES DE LAS TRANSFORMADAS
NIVEL EN UN TANQUE
Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento
Convirtiendo ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebráicas
Función de transferencia
CIRCUITO ELÉCTRICO
Aplicando la transformada de Laplace
Combinando las ecuaciones (despejando para I (s)).
SERIES DE FOURIER
La idea básica de las series de Fourier es que toda función periódica de periodo T puede ser
expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos del mismo periodo T. El
problema aparece naturalmente en astronomía, de hecho Neugebauer (1952) descubrió que
los babilonios utilizaron una forma primitiva de las series de Fourier en la predicción de
ciertos eventos celestiales.
La historia moderna de las series de Fourier comenzó con D'Alembert (1747) y su tratado
de las oscilaciones de las cuerdas del violín. El desplazamiento u = u (t; x) de una cuerda de
violín, como una función del tiempo t y de la posición x, es solución de la ecuación
diferencial.
Sujeto a las condiciones iniciales u (t; 0) = u (t; 1) = 0 para t => 0, parcial de u respecto de t
(0; x) = 0 para 0 < x < 1. La solución de este problema es la superposición de dos ondas
viajando en direcciones opuestas a la velocidad 1, como lo expresa la fórmula de
D'Alembert:
En la cual f es una función impar de periodo 2 que se anula en los puntos x = 0;+/-1; +/-2,
… Euler en 1748 propuso que tal solución podrá ser expresada en una serie de la forma:
Y como consecuencia
Las mismas ideas fueron luego expuestas por D. Bernoulli (1753) y Lagrange (1759). La
fórmula.
Para calcular los coeficientes apareció por primera vez en un artículo escrito por Euler en
1777.
La contribución de Fourier comenzó en 1807 con sus estudios del problema del flujo del
calor.
Presentado a la Academie des Sciences en 1811 y publicado en parte como la célebre
Theorie analytique de la chaleur en 1822. Fourier hizo un intento serio por demostrar que
cualquier función diferenciable puede ser expandida en una serie trigonométrica. Una
prueba satisfactoria de este hecho fue dada por Dirichlet en 1829. Riemann también hizo
contribuciones importantes al problema.
Modernamente el análisis de Fourier ha sido impulsado por matemáticos de la talla de
Lebesgue, Hardy, Littlewood, Wiener, Frobenius, Selberg, Weil y Weyl entre otros.
APLICACIÓN DE SERIES DE FURIER A CIRCUITOS ELÉCTRICOS
A un circuito serie RL de parámetros R = 1 Ω, L = 0.01/π H, se le ha aplicado la tensión de
salida de un rectificador de media onda. Si el valor máximo de la tensión rectificada es 10
V y la frecuencia 50 Hz, Calcular la corriente que circula por el circuito, en régimen
permanente.
En primer lugar es necesario descomponer la tensión del generador según la serie
trigonométrica de Fourier. La función para la forma de onda de la figura queda definida de
la siguiente forma:
La función es:
Con un periodo:
Y una pulsación:
Los coeficientes de Fourier son:
Los coeficientes son cada vez más pequeños con forme aumenta n, por tanto tomando un
número reducido de ellos no se cometerá mucho error.
Tomando cinco términos para la serie, la tensión del generador es:
Y la corriente en el circuito es:
El término correspondiente a n=1 es de una función seno (términos de bn), mientras
que el resto corresponden a funciones coseno (términos de an).
CONCLUSIÓN
BIBLIOGRAFÍA