Tomo IIPlanteo de EcuacionesPlanteo de Ecuaciones TOMO II1Planteo de Ecuaciones TOMO II2Planteo de Ecuaciones TOMO IIOBJETIVOS:Desarrollar en el estudiante la capacidad interpretativa de situaciones contextualizadas a travs de Ejercicios y problemas con enunciados.Ejercitar lacapacidaddeabstraccinpara interpretar y trasformar los datos, de un problema, en un lenguaje matemtico.Lograr una destreza al traducir el lenguaje literario (enunciado) al lenguaje matemtico (ecuacin), mediante el uso de smbolos, variables y operaciones matemticas fundamentales.Elevar lacapacidadcreativaparamodelar nuevos procedimientos o nuevos problemas que involucren la resolucin de una ecuacin.Relacionar matemticamente hechos de nuestra rutina diaria.PRODUCCIN:La contextualizacin de problemas implica utilizar nuestro lenguaje para crear un tramado de palabras y frases que contengan relaciones matemticas. El planteamientodeecuaciones puedeconsiderarsecomounprocesoinverso, donde el alumno debe interpretar el mensaje y encontrar las relaciones que seplanteanen el problema para su posterior resolucin.Desde la poca de los Vedas, los matemticos de la India se interesaron en estas ecuaciones; el primer uso geomtrico de estas se remota a los ShulbaSutras, los cuales fueronescritos entre los ss. VIII y VI a.c. Su estudio fue uno de los favoritos entre los matemticos griegos de Alejandra, siendo Diofanto (entre los aos 200 y 290 a.n.c.) el primer matemtico helenstico que estudi estas ecuaciones. En su principal obralaArithmetica, tratadode 13 libros donde plantea y resuelve 150 problemas de lgebra, se dedica casi exclusivamente a la resolucinexactadeecuacionesdeterminadas eindeterminadaseinvestigaunmtodopara encontrar las soluciones enteras. Por todo ello, a las ecuaciones de primer grado con dos incgnitas se les llama, tambin, ecuaciones diofnticas, ya la rama del anlisis que se dedica a su estudio se conoce hoy en da como anlisis diofntico.Resolver una ecuacin no es adivinar un resultado, es seguir un proceso lgico, basado fundamentalmente enlas propiedades de las operaciones de adicin, multiplicacin, sustraccin, divisin etc. Para hallar el valor de laincgnita; ovariableantesderesolveruna ecuacin cualquiera, nos interesa sobre manera saber formar dichaecuacinque noes otra 3Planteo de Ecuaciones TOMO IIcosaquetraducirunenunciadoabiertodesu forma verbal a su forma simblica .Los problemasmatemticossonmsantiguosque la matemticas, estos se encuentran enunciados en forma de rompecabezas o en lenguaje poticoenlos escritos ms antiguos. Enun papiroEgipcioque data del ao2200A.C. pregunta:Unramode floresy susptima parte dan 19. Qu tan grande es el ramo de flores? En un escrito de la India (1150 A.C.) se tiene el siguiente problema:De un ramo de flores de Loto, la tercera, laquinta y la sexta parte seofrecieronalosDiosesSiva, Vishnu, y,aquel tiempo ,el Sol, respectivamente; un cuarto de1ramo original se le ofreci a Bhavani los seis lotos restantesse le dieron a unvenerablepreceptor, Digarpidamenteel nmero total de flores de Loto . Como puedes apreciar, la mayor parte (por no decir todos) de los problemas que encontramos en nuestros libros no son nuevos como puedes suponer, si nomasbienlos mismos(losantiguos) pero actualizados a nuestra poca. Desde el tiempo de los Griegos , los problemas han estimulado el desarrollo de las Matemticas y han conducido a los matemticos a inventar nuevos mtodos y crear nuevos conceptos. La resolucin de problemas nunca fue un campo de dominio exclusivo de los Matemticos. En todos los tiempos han sido un estimulo intelectual y de diversin para muchos profesionales de otros campos, Los primeros matemticos, quienes fueron los mesopotmicos, que inventaron un notable sistema de numeracin y los mtodos fundamentales del lgebra , considerada como el arte de resolver ecuaciones, Histricamente, se le acredita el desarrollo de la representacin simblica al matemticoyhombre de leyes francsFrancoisVite(1540-1603)alrededor de 1600 ,en su libro In Artememplea vocales para representar las cantidades desconocidas y constantes para las conocidas. Unos aos ms tarde, el sabio y filsofo francs Ren Descartes (1596-1650) utiliza x e y; como variables en la creacin y desarrollo de la geometra analtica.Plantearunaecuacinestraducirellenguaje, escrito (enunciado de un problema) a un lenguajematemticoosimblico(ecuacin). Para la correcta traduccin de un enunciado a una ecuacin, tenga algunas recomendaciones:Leer detenidamente el enunciado del problema hasta interpretar el tratado.Ubicar los datos y la pregunta claramente.Elegir las incgnitas que se desea conocer.Plantear la ecuacin relacionando los datos interpretados.Resolver la ecuacin planteada. Veamos algunos ejemplos de traduccin del lenguaje escrito al lenguaje matemtico.Problema en el Lenguaje LiteralEn el Lenguaje AlgebraicoUn comerciantetenia una cierta cantidad de dinero.xEn el primer da gast S/. 100x = 100Aument luegoa lo que quedaba un tercio de ste.x-100+31(x-100) = 34(x-100)Al da siguiente volvi a gastar S/.100 en telas chompas, con lo cual nuevamente tienelacantidadque tuvo al inicio.34(x-100) 100 = x3700 x 4 = xCual fue la capital inicial?x = 700Tuvo inicialmente S/. 700.004Lenguaje Comn (Enunciado)Lenguaje matemtico (Ecuacin)Resolucin de la ecuacinPlanteo de Ecuaciones TOMO IILenguaje EscritoLenguaje AlgebraicoLa suma de tres nmeros consecutivos es 120x + (x+1)+(x+2)=120El triple de un numero, aumentado en 53x + 5Josy S/. 40 mas que RayJosy Ray1 + 40 xEl triple de un numero aumentado en 23(x + 2)El objetivo de este captulo es ayudarle a transformar un problema verncular en una expresin algebraica (ecuacin).La parte ms difcil al resolver un problema de aplicacin suele ser su traduccin en una ecuacin.Por tal motivo antes de resolver algunos problemas, practicaremos la traduccin del problema a su representacin algebraica.PLANTEO DE ECUACIONESUnodelos motivos ms interesantes delas matemticas, consiste en el arte de interpretar (traducir) unproblemaenel lenguajeliteral (vernculo) a un lenguaje matemtico, con ayuda de smbolos, variables y operaciones fundamentalesEste motivo se denomina Arte de plantear, ecuaciones :Leer cuidadosamente el texto del problema hasta comprender de que setrata.Ubicar los datos y la pregunta.Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va ha trabajar.Relacionar los datos con las variables para plantear una o mas ecuaciones que al resolver nos den la solucin del problema.Veamos a continuacin algunos ejemplos de traduccin parcial de un problema.Lenguaje Castellano (Enunciado)Lenguaje Matemtico (Simbolgica)Un numero disminuido en 7x 7Mi edad es 2 veces tu edadTu: xYo: 2x (2 veces)Mi edad es 2 vecesTu: x5Lenguaje Literal Vernacular Lenguaje Literal Vernacular Lenguaje Matemtico Lenguaje MatemticoTraduccinLeerInterpretarSimbolizarPlanteo de Ecuaciones TOMO IImas que la tuyaYo: x + 2x = 3x(dos veces ms)El triple de un numero aumentado en 53x + 5El triple, de un numero aumentado en 53(x + 5)La suma de los 3 nmeros consecutivos x + (x+1) + (x + 2) (x 1) + x + (x + 1)El exceso de A sobre B es 5A B = 5A es excedido por B en 5B A = 5La suma de dos nmeros es 131x + y = 13 xy (13 - x)A es a B como 3 es a 553BA A=3k;B=5kPor cada 3 varones hay 7 niasVarones: 3kNias: 7kQu parte de A es B?ABQu tanto por ciento de A es B?AB x 1007 menos 3 veces un numero7 3x7 menos 3 veces un numero3x 7A es 9 mas que B A B = 9La mitad de x es tanto como el quntuple de y 2x = 5yPlantear una ecuacin significa representar mediante igualdades las condiciones o relaciones que existen entre las incgnitas y los datos del problema.Plantear una EcuacinENUNCIADO EXPRESIN MATEMTICA(Forma Verbal) (Forma Simblica)EnunciadoExpresin MatemticaEl triple de un nmero sus equivalentes. 3 veces un nmero. 3x2 veces ms que un nmero.3xEl cudruple de lo que tengo, disminuido en 54x 5El cudruple de lo que tengo, disminuido en 54(x - 5)La suma de dos nmeros es 20Si uno es x, entonces el otro ser:20 xA es 2 veces B A es el doble de B B es la mitad de AA 2B A: 2xB xA es 2 veces ms que BA es 3 veces BA = B + 2BA = 3B6Planteo de Ecuaciones TOMO IIEN GENERAL:n veces mas n + 1 vecesA excede a B en 3; o sus equivalentes:A es mayor que B en 3; el exceso de A sobre B es 3; B es excedido por A en 3; la diferencia entre A y B es 3.A B = 3A: x + 3B: xAes a B como 2 es a 3; A es a 2 como B es a 3; la relacin entre A y B es 2/3; por cada 2 de A hay 3 de B32BAA: 2kB: 3k5 menos 3 veces un numero. 5 3x5 menos de 3 veces un numero3x 5El producto de 3 nmeros consecutivos.x(x+1)(x+2) (x+1)x(x+1)Un numero imparSea ten un entero cualquier, entonces 2x 8a par y ( 2x + 1) es un nmero ImparTres impares consecutivosLa diferencia entre dos nmeros impares consecutivos es 2.Sea ( 2x + 1) el Impar ms pequeo entonces, 108 nmeros pedidos sern:(2x+3) y (2x + 5)La edad de Juan es el doble que la de Luis y la de ste es el triple que la de Ricardo. Expresar cada una de estas edades en funcin do una de ollasSea edad de Ricardo = xLa de Luis ser = 3xY la de Juan = 6xUna fraccin cuyoSea x el numerador es Igual a cuatro veces el denominador menos 3 unidadesdenominador. El numerador ser:4x 3 y la fraccin: x3 x 4 RECUERDAENUNCIADO SMBOLOSLa suma de tres nmeros consecutivos es 70x+(x+1)+(x+2) = 70La edad de Lenin es dos veces la edad de BryanLenin Brayan2x aos x aosLa edad de Jos es dos veces ms que la edad de Juan.Jos Juan3x aos x aosYo tengo la mitad de lo que tu tienes y l tiene el triple de lo que tu tienes.YO TU ELx 2x 6xEl triple de un nmero, aumentado en 10Sea x el numero3x + 10El triple, de un nmero aumentado en 10Sea x el numero3(x + 10)El exceso de Asobre B es 50A B = 50En una reunin hay tanto hombres como el doble del nmero de mujeres.Hombres Mujeres2x xHa comprado tantas camisas como soles cuesta cada una.Compro: x camisasc/u cuesta: S/. xAny tiene S/. 50 ms que Lela.Any Lela7Planteo de Ecuaciones TOMO IIS/. (x+50) S/. xAhora les toca a ustedes.1) Traducir al lenguaje simblico los siguientes enunciados:Enunciado VerbalLenguaje Simblico1) El triple de un numero, aumentado en siete veces el numero2) A 36 le quitas 2x y nos da la tercera parte de 123) El dobledesuedad dentro de tres aos es 20.4) La altura de un edificio ms su cuarta parte es 250m.5) La edad de Rosa hace5aos, menos su edad hace 12.6) Los 2/3del numero de hojas de un libro, agregadoen18nos da 58.7) 70 se fracciona en tres partes tal que cada uno es el doble de la anterior.8) 60sedivideendos partes, tal que una es 12 mas que la otra.9) 140 se descompone proporcionalmentea tres, cuatro y siete.10) Un numero es 30 mas que otro y su suma es 120PLANTEO Y RESOLUCIN DE PROBLEMASA continuacin se Indican algunas recomendaciones para resolver un problema:Lea el problema con cuidado.De ser posible, haga un dibujo que le ayude a visualizar el problema.Determine la cantidad que se debe encontrar, elija una letra para representar a esta cantidad desconocida. Escriba con exactitudloquerepresenta(significa). Si hay ms de una cantidad desconocida represente todas las otras en trminos de la primera.Escriba el problema como una ecuacin.Despeje la incgnita de la ecuacin.Responda a la o las preguntas planteadas.RECUERDE! Leer bien el enunciado y entenderlo. Ubicar la Incgnita y representarla. Traducirel enunciadodel problema, parte por parte. Teniendo la ecuacin planteada, resolverla. Comprobar el resultado.Ahora debes conocer el equivalente matemticode frases muy comunes.( + )Sumar, agregar, aumentar el total,Se ganan, dentro de n aosUna herencia se reparte8EXCESOEXCEDEEXCEDIDOPlanteo de Ecuaciones TOMO IIUn nmero se fraccionaSe descompone en a partes( )Quitar, disminuir,Descontar,Perder,Hace n aosEl exceso de 10 sobre 6( )El producto de tres nmeros... los factor s...Dos veces = el doble = 2xTres veces = el triple = 3xCuatro veces = el cudruple = 4x n veces=n ple=nx( / )El cociente de dos nmeros...Dos nmeros son entre sDos nmeros son como...Dos nmeros estn en la relacin de...Dos nmeros son proporcionales a...Un medio de = la mitad... = xUn tercio de = la tercera parte... = 1/3xUn cuarto de = la cuarta parte... = 1/4xUn n avo = la n sima parte... = x/n( = )Es igual a; se obtiene; nos da; es tanto como; equivale; en la misma medidaNmeros ConsecutivosEjemplo:Simplemente Pares ImparesConsecutivos Consecutivos Consecutivos+1 +1 +1 +2+2+2 +2+2+27 ; 8 ; 9 , 20; 22; 24; 31, 33, 35,Forma general:x, x+1, x+2 Simplementex-1, x, x+1 ConsecutivosPares consecutivosForma x, x+2, x + 4General x-2, x, x + 2 (x par)Impares consecutivosx, x+2, x + 4x-2, x, x + 2 (x impar)EJEMPLO:Lasuma detresnmerosconsecutivos es33. Cul es el mayor?RESOLUCIN:* Sean los consecutivos: x 1, x, x + 1 Mayor* Su suma: x l + x + x + 1 = 33 3x = 33 x = 11* El mayor es: x + 1 = 12EXCESO:Es la cantidadadicional que un ente tiene respecto a otro. Es lo que sobrepasa, lo que supera, lo extra, lo adems.EXCEDE: Es la cantidad mayor.EXCEDIDO: Es la cantidad menor.9Planteo de Ecuaciones TOMO IICul es el exceso en I, II y II?Quin excede? Quin es excedido?Para hablar de exceso siempre hay que comparardosomscantidades, el excesose plantea de tres formas equivalentes.Cantidad Mayor - Cantidad Menor = ExcesoCantidad Mayor - Exceso = Cantidad MenorCantidad Menor + Exceso = Cantidad MayorEJEMPLO:80 excede a 60 en 2x. Hallar x :RESOLUCIN:80 - 60 = 2x 20 = 2x x = 10SIGAMOS REPASANDO!ENUNCIADOS:Siete sumado al doble de un nmero. La suma del doble de un nmero ms siete.El doble de un nmero aumentado en siete.Siete ms el doble de un nmero.REPRESENTACIN: 2x+7ENUNCIADOS:Tres menos que el doble de un nmero.El doble de un nmero, disminuido en tres.La diferencia del doble de un nmero y tres.Tres restado del doble de un nmeroREPRESENTACIN: 2x 3ENUNCIADOSREPRESENTACINDos nmeros difieren en tres x ; x + 3Un nmero es el quntuplo de otrox ; 5xLa suma de dos nmeros es 18 x; 18 xEl triple de un nmero x ; 3xTres veces mayor x; 3xTres veces ms x; 4xENUNCIADOSREPRESENTACINDos nmeros proporcionales a 4 y 5A= 4x;B=5xDos nmeros en relacin de 4 a 5Dos nmeros son como 4 es a 5La relacin de dos nmeros es 4/5Larazndedos nmeros es 4/5TAMBIN: 54BA; 5B4A;5A = 4BENUNCIADOSREPRESENTACINA excede a B en 7.A B = 7;A = x + 7;B = xB es excedido por A en 7.El exceso de A sobre B es 7.A es mayor que B en 7.B es menor que A en 7.La diferencia entre A y B es 7.10Planteo de Ecuaciones TOMO IIENUNCIADOSREPRESENTA-CINA es el triple de B. A= 3BA = 3xyB = xNota:m veces ms< >m +1 vecesA es tres veces BAes tres veces mayor que BA es dos veces ms que BB es un tercio de A ENUNCIADOSUn nmero mltiplo de 7 7x, 7n, 7kUn nmero par (mltiplo de 2) 2x, 2n, 2kTres nmeros pares consecutivos. 2x,2x+2, 2x+4(losnmerospares aumentan o disminuyen de 2 en 2) 2x, 2x 2, 2x 4 Dos pares que preceden a 2x. 2x 2, 2x 4 Un nmero impar. 2x + 1 2x 1Tres nmeros impares consecutivos. 2x + l, 2x + 3, 2x + 5(Los nmeros impares aumentan de 2 en 2) o tambin 2x l, 2x 3, 2x 5.Tres nmeros consecutivos.x, x + 1 , x + 2 x , x l, x 2El cuadrado de la suma de dos nmeros A y B. (A + B)2

La suma de los cuadrados de los nmeros A y B A2 + B2El cubo de la suma de los nmeros. A y B (A + B)3

La suma de los cubos de los nmeros A y B A3 + B3La inversa de un nmero x 1/xEl reciproco de x 1/xLa suma de las recprocas de X e Y y1x1+La suma de los inversos de las reciprocas de X e Y x + yEl doble de un nmero, ms 7. 2x+ 7El doble, de un nmero ms 7. 2(x + 7)ALGO QUE RECORDAR:PALABRA SIGNIFICADOVeces ProductoDe, del, de losProductoComo ...es a...en relacinProporcinProporcinEs, en, sea, tiene, tendr, equivale tanto comoIgualdadRazn, relacinCocienteNOTA:11Planteo de Ecuaciones TOMO IIEn los problemas verbales la palabraes significaesigualayserepresentaconun signo de igualdad ( = ).Los siguientes son problemas traducidos a ecuaciones.Ocho ms el doble de un nmero es 14Ecuacin: 2x + 8 = 14.Un nmero disminuido en 2es3ms que su doble.Ecuacin: x 2 = 2x + 3.Tresvecesun nmero,disminuidoen 5 es cuatro veces el nmero aumentado en 2Ecuacin: 3x 5 = 4x + 2.Tres veces la diferencia de un nmero y tres es cuatro menos que seis veces el nmero.Ecuacin: 3(x 3) = 6x 412Planteo de Ecuaciones TOMO IIEscribir cada problema como una ecuacin.01.- Un nmero es seis menos que el doble de otro, su suma es 18.02.- Un nmero es cinco veces otro, la suma es 9603.- Lasumadedosenterosconsecutivoses 47.04.- Una quinta parte de la suma de un nmero y 10 es 150.05.- Un nmero es 3 ms que seis veces otro , el producto es 40806.- Un nmero aumentado en 10% es 2207.- El costodeunavideograbadoraconun descuento del 120% es de 120 dlares08.- El costo de un automsel Impuestodel 7% es 13 600 dlares09.- Maratiene6aos ms queDaniel. La suma de sus edades es 4810.- El productodeunnmeroydel mismo nmero ms un 5% es de 12011.- Untren recorre a8 km menosdeldoble que otro. La distancia total recorrida por ambos es de 1000 km.12.- Jaime gast2/3de loquenogast, si tena 1000 dlares.13.- Mara pierde un quinto de lo que no pierde, si al inicio tena 600 soles.14.- Si A es a 2 como B es a 3, adems A + B = 95015.- Ricardo tiene tres veces ms que Roberto, si RicardoledaaRoberto60soles, ambos tendran igual cantidad.13Planteo de Ecuaciones TOMO IICMO ADIVINAR EL NUMERO PENSADO POR ALGUIEN?Piensa un nmero, multiplicado por 6, smale 7, rstale el doble del nmero que pensaste y dime el resultado.Te ensear a hacerlo matemticamente y nunca fallars, para esto ordenamos el trabajo como sigueDatos referenciales dictados por el adivinadorRepresentacin simblica del adivinadorPiensa en un numero xMultiplcalo por 6 6xSmale 7 al resultado 6x + 7Rstale el doble del numero pensado6x + 7 2xDime el resultado,RESPUESTA 396x + 7 2x = 39El numero que pensaste es 8x = 8Ejercicios ResueltosEJERCICIO 1:Calcular dos nmeros sabiendo que su suma es igual a 21 y que uno de ellos es igual al doble del otro.RESOLUCIN:* Sean los nmeros: x y 2x* Luego: x + 2x = 21 3x = 21* Por lo tanto: x = 7 Los nmeros pedidos son 7 y 14.EJERCICIO 2:Calcular dos nmeros sabiendo que su suma es 37 y que si se divide el mayor por el menor, el cociente vale 3 y el resto 5.RESOLUCIN:* Sea x el nmero mayor, entonces el menor ser: 37 x, Ahora como: D = dq + r* Luego: x = 3(37 x) + 5* resolviendo: x = 29* Luego los nmeros son: 29 y 8EJERCICIO 3:QuedadtieneChistian, si sabemosqueal cuadruplicar yagregarle 44obtendremos su sxtuplo disminuido en 4 aos?14Me dio 39Ah! entonces pensaste en el numero 8Si, efectivamente pens en el numero 8. Cmo haces para hallar el nmero pensado?Vers! Es muy fcil!Planteo de Ecuaciones TOMO IIRESOLUCIN:Qu edad tiene Chistian?xSi sabemos que al cuadruplicar4xY agregarle 4x +44 aos 4x + 44Obtendremos 4x + 44 =Su sptuplo 4x + 44 = 6xDisminuido 4x + 44 = 6x En 4 aos 4x + 44 = 6x 4Despejando: 48 = 2xRPTA: x = 24EJERCICIO 4:Hallar la longitud de un puente si sabemos que el sxtuplodedichalongituddisminuidoen 300metroses equivalenteal triplededicha longitud disminuido en 60 metros.RESOLUCIN:Hallar la longitud del puentexSi sabemos que el sptuplo de ella6xDisminuido 6x En 300 metros 6x 300Equivale a 6x 300 =Al triple de dicha longitud6x 300 = 3xDisminuido en 60 metros6x 300 = 3x 60Despejando: 3x = 240RPTA: x = 80EJERCICIO 5:Cul es el nmero que al aumentarle el doble de a + b nos da el quntuplo de a 2b?RESOLUCIN:Sea el numero xQue al aumentarle x +El doble de a + b x + 2(a+b)Nos da x + 2(a+b) =El quntuplo de a 2bx + 2(a+b) = 5(a2b)Despejando:RPTA: x = 3a 126 EJERCICIO 6:Cuanto tengo de dinero, si cuando me regalan 10000 soles poseo los 9/7 de lo que tenia inicialmente?RESOLUCIN:Cunto tengo de dinero?xSi cuando me regalan 10000x + 100015Planteo de Ecuaciones TOMO IIPoseo x + 10000 =Los 9/7 de lo que tenia inicialmentex + 10000 = 9x/7Despejando: 10000 = 9x/7RPTA: x = 14000EJERCICIO 7: Compro cierto nmero de caramelos y reparto entre mis sobrinos del modo siguiente : A Luis latercerapartedeltotal, aEduardolaquinta parte, a Gustavo los 2/15 del total y a Mnica los 10 restantes Cuntos caramelos compr?RESOLUCIN:Compro cierto # de caramelosMCM(3;5;15) = 15xA Luis la tercera parteLuis: 5xA Eduardo la quinta parteEduardo: 3xA Gustavo los 2/15 del totalGustavo: 2xA Mnica los 10 restantesMnica: 10Cuntos caramelos compr?5x+3x+2x+10 = 15xDespejando: 15x = 30RPTA: x =2EJERCICIO 8:Hallar el nmero de hojas de un libro si sabemos que si arrancamos 25 quedarn la mitad de hojas si el libro tuviera 50 hojas ms.RESOLUCIN:El nmero de hojas de un librox Si arrancamos 25 hojasx 25 Quedara x 25 =La mitad de hojas x 25 = Si el libro tuviera 50 hojas msx 25 = (x + 50)2x 50 = x + 50RPTA: x = 100EJERCICIO 9 :Si ganara $.300, tendra el triple de lo que me quedara si hubiera perdido $.300 Cunto tengo?RESOLUCIN:Tengo xSi ganara x + 300Tendra x + 300 =el triple de lo que me quedara si hubiera perdidox + 300 = 3(x - 300)Despejando:RPTA: x = 600EJERCICIO 10Por un trabajo a Campos se le pag $.10 ms queaSalarrayn, aGrigoletoel dobledelo que recibi Salarrayn y a Salas el triple, de lo que recibi Salarrayn y Campos juntos. Si el pago total que se hizo fue $.540 Cunto recibi Grigoleto?RESOLUCIN:* Primero se representa a: Salarrayn16Planteo de Ecuaciones TOMO IISalarrayn : x Campos : x + 10Grigoleto : 2x Salas: 3(x + x + 10)*Luegolasumadetodos debeser igual a $.540x + x +10 + 2x + 3(x + x + 10) = 540 4x + 10 + 6x + 30 = 540 10x = 540 x = 50RPTA: 2(50)= 100EJERCICIO 11:Se sabe que en un campeonato, Benavente meti cinco goles ms que Herrera. Los goles de Cuba excedieron en dos a los de Benavente y fue excedido por un gol de Paredes, quien a suvezhizolamismacantidaddegolesque Castaeda. Si hubo un total de 53 goles Cuntos goles meti Paredes?RESOLUCIN:* Los goles de Herrera son la incgnita principal, por lo tanto:Herrera hizo xBenavente meti Cinco goles ms que Herrerax + 5Los goles de Cuba excedieron en dos a los de Benaventex + 7fue excedido por un gol de Paredesx + 8Si hubiera 53 goles Total = 531x + x + 5 + x + 7 + x + 8 + x + 8 = 53 5x + 28 = 53 5x = 25 x = 5RPTA: 5 + B = 13EJERCICIO 13: Rybert tiene160solesenmonedasde2y5 soles. Sabiendo que en total tiene 50 monedas, Calcular el nmero de monedas de 5 soles.RESOLUCIN:N de monedas de 5 soles = xN de monedas de 2 soles = 50 - x* Luego: 5x + 2(50 x) = 160* Resolviendo: x = 20 Existen 20 monedas de 5 solesEJERCICIO 14:En una bolsa hay 230 pesetas en monedas de 5; 25y50pesetas, sabiendoqueel nmerode monedas de 25 es igual al doble del de 50, y queel nmerodemonedasde5esigual al doble del de 25 menos 2. Calcular el nmero de monedas de cada clase.RESOLUCIN:N de MonedasValor en PesetasMonedas de 50 x 50xMonedas de 25 2x 50xMonedas de 5 4x 2 20x 10Luego: 50x + 50x + 20x 10 = 230* Resolviendo: x = 2* Por tanto hay 2 monedas de 50, 4 de 25 y 6 pesetas de 5.17xPlanteo de Ecuaciones TOMO IIPLANTEO DE INECUACIONESAl igual que el planteo de las ecuaciones, consiste en leer, interpretar, simbolizar y finalmente transformar el lenguaje literal al lenguaje matemtico, que en este captulo son lasinecuaciones; acontinuacinlosprrafos ms comunes del planteo de las desigualdades.ENUNCIADODESIGUALDAD INECUACINUn nmero es menor que 7, pero es mayor que 3x < 7 x > 3 3 < x < 7Cierta cantidad no es mayor que 10x < 10 x = 10x 10Eldoble demi edades menor que tu edad disminuida en 7 aos2x < y 7"Un nmero esta comprendidoentre 7y 217 < x < 21La suma de nuestras edades sobrepasa los 100 aosx + y > 100Mi edad al cuadrado no es menor que16, pero no alcanza los 144 aos.x2 16 x2 < 1 16 x2 < 144NOTA:Hay que tener en cuenta el sentido de las desigualdades, tratando siempre de transformar todos los datos en un solo sentido.EJEMPLO 1:Rallar un nmero entero y positivo que sumado con 11 resulte mayor que el triple de l, disminuido en 7 y que sumado con 5 resulte menor que el doble de l, disminuido en 2.A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 12RESOLUCIN:Sea x el nmero entero.Primer Dato:x + 11 > 3x 7 18 > 2x 9 > x (I)Segundo Dato:x + 5 < 2x 2 7 < x (II)De (I) y (II): 7 < x < 9x (7; 9)7 8 9Pero como x es entero,* Luego: x = 8RPTA: "C"EJEMPLO 2:Unapersonafabricaunnmerodeterminado de sillas. Si duplica su produccin y vende 60, le quedan ms de 24. Luego fabrica 10 ms y vende 28. Tendr entonces menos de 10 sillas. Seale cuntas sillas se fabricaron.A) 43 B) 45 C) 88D) 53 E) 96RESOLUCIN:* Si x es el # de sillas producido:18Planteo de Ecuaciones TOMO II2x = el # duplicado, primeramente 2x 60 > 24 x > 42 (I)* Luego:[(2x 60) + 10] 28 < 10 x < 44 (II)*De(I) y(II), considerandoel nicovalor entero:42 8400 (Debida a que se va a ganar) n > 21 (I) Pero si se vendiera a S/. 380 se obtendra: 380n < 840 (Debido a que se va a perder) n < 22,1 (II) De (I) y (II) :21x Debe ser impar* Se deduce que x =3, entonces dej de contestar la primera.RPTA: APROBLEMA 88:Considere los tres menores nmeros naturales consecutivosdetrescifras, cuyasumaesun cuadradoperfecto. Lamenorcifradel mayor de estos tres nmeros es:A) 1 B) 0 C) 4D) 2 E) 3RESOLUCIN:* Sean los naturales de 3 cifras:N 1; N y N + 1, su suma es:3xN = K23x 62 Mnimo* Luego: N + 1 = 109La menor cifra es cero.RPTA: BPROBLEMA 89:Cuntasestacassenecesitanparacercar un terrenodeforma cuadrada, cuyareaes de 9025 m2, si las estacas se colocan cada 10 m? A) 38 B) 35 C) 34D) 30 E) 36RESOLUCIN:* Para calcular el nmero de estacas hay que calcular el permetro del cuadrado:*Luego, comolas estacas se colocancada 10m. se tiene:# De estacas= Permetro Separacin entre estaca y estaca 104 95 = 38RPTA: APROBLEMA 90:A una fiesta asistieron 56 personas entre damas caballeros, endicha reuninse observque Anita, bail con 9 caballeros, Betty bail con 10 caballeros, Carmen bail con 11 caballeros y as sucesivamente hasta llegar a Zulema que eslaltimadama, quienbailcontodoslos caballerosasistentesalareunin. Segnesto indicar qu proposiciones dadas a continuacin son verdaderas:I) Zulema bailo con 30 caballerosII)Asistieron 24 mujeresIII)Asistieron 34 hombresIV)El nmero de caballeros excede al nmero de mujeres en 8. A) Slo IV B) II y IVC) Slo IID) I y IV E) I y IIRESOLUCIN :54Planteo de Ecuaciones TOMO II* Como la 1ra. bail con 9, la 2da. con 10 y as sucesivamentelaltimadamacontodos los caballeros, esto significa que la diferencia entre el nmero de varones y damas es :9 1 = 10 2= = V D= 8Luego: V + D= 56 V D= 82V=64V= 32 YD = 24 (varones)(damas) Entonces:I) F II) V III) F IV) VRPTA: "B"PROBLEMA 91:Al multiplicar dos nmeros reales positivos unode, loscualesessuperior al otroen16 unidades, un escolar err disminuyendo en 3 la cifra de las decenas yen5la cifra de las unidades de dicho producto. Sin embargo realiz bien la comprobacin para lo cual divide el producto obtenido por el menor de los factores obteniendo 41 en el cociente y 19 en el resto. Hallar la suma de los factores.A) 76 B) 60 C) 70D) 78 E) 80RESOLUCIN: Al disminuir 3 en las decenas de un nmero, es lo mismo que quitarle 3(10) = 30 al nmero, anloga mente si disminuimos 5 a las unidades, ser lo mismo que quitar 5(1) = 5 al nmero. En el problema, sean los factores x y (x+ 16), entonces el producto real ser: x(x + 16) y el errado ser: x(x + 16) 30 5 =x(x + 16) 35Que al verificarlo se tendr:x2 + 16x 35x19 41 Por el algoritmo de la divisin se obtiene:x2 + 16x 35 = 41x + 19 x2 25x 54 = 0 (x 27) (x + 2) = 0 x = 27 Piden la suma de factores.x + x + 16 = 2x + 16 = 2(27) + 16 = 70RPTA: "C"PROBLEMA 92 :Uncamioneropidi$596por el trasladode 6m3de mineral y otro, $476 por 4m3. Resultandocarosydesigualeslosprecios, se les aumentigualpara losdos,enel importe total y en la cantidad de piedra, siendo el nmero de soles aumentado igual al nmero de m3 aumentados. Aceptada esta condicin result que dos camioneros cobraron la misma cantidad por m3 transportado. Cunto cobr en total cada uno?A) 200; 300 B) 400; 600 C) 600; 50D) 600; 480 E) 400; 320RESOLUCIN:* Suponiendo que sea x lo que se aumento en el monto total y la cantidad de piedra, entonces los precios por m3 ser.3 3) 4 (. / ) 475 () 6 (. / ) 596 (m xS xym xS x++++* Pero segn enunciado, estos son iguales:212044766596++++xxxx= 6055Planteo de Ecuaciones TOMO IIAplicando propiedades de razones y proporciones xx++6596 = 60 596 + x = 360 + 60x236 = 59x x = 4* Piden los montos totales que sern:596 + 4 = 600 y476 + 4 = 480RPTA: "D"PROBLEMA 93 :Al contar n bolas de colores, algunas rojas y el resto negras, se encontr que 49 de las primeras 50contadas eranrojas. De ah en adelante, 7 de cada8 contadas eran rojas. Si en total el 90% o ms de las bolas contadas eran rojas, el valor mximo de n es:A) 225 B) 210 C) 200D) 180 E) 175RESOLUCIN:50 # rojas = 49# Total = nDe bolasn 50 # rojas = 87(n 50) # roja. 10090(n) 49 + 87(n 50)10090(n)Resolviendo: n 210 n mximo = 210RPTA: "E"PROBLEMA 94 :En un gallinero haba cierto nmero de gallinas. Se duplic el nmero y se vendieron 27 quedando menos de 54. Despus se triplico el nmero de gallinas que haba al principio y se vendieron 78 quedando ms de 39. Cuntas gallinas haban al principio?A) 41 B) 42 C) 40D) 38 E) 39RESOLUCIN:x : nmero de gallinas (inicio) 2x 27 < 54 2x < 81 x < 40,5 (I) 3x 78 > 39 3x > 117 x > 39 (II) * De (I) y (II): x = 40RPTA: "C"PROBLEMA 95 :Hallar el conjunto de nmeros enteros tal que suduplomscincoesmayoroigual quesu mitad disminuida en 7 y que su tercio menos 7 es mayor o igual que su cudruplo ms 15.A) (-6, -7, -8) B) (7) C) (6, 7, 8)D) E) (-7)RESOLUCIN:* Sea x el nmero que cumple las condiciones:2x + 5 2x 7 x - 8(I)3x 7 4x + 15 x - 6(II)* Y como x es entero de (I) y (II): x = {-6, -7, -8}RPTA: "A"56Planteo de Ecuaciones TOMO IIPROBLEMA 96:Enuntablerorectangular de"p"filasy"q" columnas estn escritos todos los nmeros enteros desde el 1 hasta el pq, en orden creciente; comenzandoconel 1enlacasilla superior izquierda y terminando con pq, en la casilla inferior derecha. Se sabe que 95 est en latercerafila, 987estenlafilaveintiunoy 1999 est en la ltima fila. Hallar: p + q.A) 87 B) 90 C) 88D) 91 E) 89RESOLUCIN:* En la primera fila estarn los nmeros de 1 a q; en la segunda fila los nmeros de (q + 1) a (2q); en la tercera fila, los de (2q + 1) a (3q) 2q + l 95 3q; resolviendo:31,6 q 47 (I)* Anlogamente para la fila 21:20q + 1 987 21q; resolviendo:147 q 49.3(II) De (I) y (II): q = 47 Para la ltima fila: (p l)q + 1 1999 < pq 47(p 1)+1 1999 1999 47p;* Resolviendo: p = 43 p + q = 43 + 47 = 90RPTA: "B"PROBLEMA 97:Dados 3nmeros enteros yconsecutivos, la tercera parte del menor menos 10 es mayor que 14, la cuarta parte del mayor ms 10 es menor que 29. Hallar la suma de las cifras del nmero menor.A) 12 B) 10 C) 18D) 11 E) 15RESOLUCIN:Sean los nmeros: n l ; n y n + 1* 31(n 1) 10 > 14 n > 73* 41 (n + 1) +10 < 29 n < 75* Luego: n = 74* El menor es: n 1 = 73* Suma de cifras = 7 + 3 = 10RPTA: "B"PROBLEMA 98 :Un matrimonio dispone de 32 soles para ir al cine con sus hijos. Si compra las entradas de 5 soleslefaltaradineroysi adquierelasde4 soles le sobrara dinero. Cuntos hijos tiene el matrimonio?A) 5 hijos B) 4 hijos C) 6 hijos,D) 7 hijos E) 8 hijosRESOLUCIN: * sea x: nmero de personas* Primero: 5x > 32x > 6,4(I)* Luego: 4x < 32x < 8(II)* De (I) y (II): x = 7 Total de personas sern 7 y los hijos slo: 7 2= 5RPTA: "A"57Planteo de Ecuaciones TOMO IIRepresentar los enunciados usando las variables necesariasENUNCIADO REPRESENTACIN(1) Un nmero desconocido.(2) El triple de un nmero.(3) El doble ms la quinta parte de un nmero.(4) Una cantidad aumentada en 20.(5) Un nmero disminuido en 60.(6) 60 disminuido en un nmero.(7) Seis veces, el nmero de lpices.(8) Mi edad dentro de 5 aos.(9) La edad de Luis hace 13 aos.(10) El exceso de 10 sobre 5.(11) Un nmero excede a otro en 8.(12) 30 soles se reparten entre 3 hermanos(13) "A" es excedido por "B" en 10.(14) Mi edad y tu edad estn en la relacin de 2 a 3.(15) Tres nmeros son proporcionales a 3; 4 y 5 respectivamente.(16) El triple de un nmero ms el doble de su consecutivo.(17) El ctuplo de tu edad.(18) Nueve veces mi fortuna.(19) El dcuplo de mi edad.(20) El triple de la cuarta parte del duplo de su mitad.(21) La mitad del triple de un nmero, aumentado en a.(22) x disminuido en 8.(23) 8 disminuido en x.(24) De 80 le restas la mitad del nmero.(25) La ensirna parte de un nmero.(26) Cuatro veces la edad de Timoteo.(27) El duplo de un nmero, aumentado en 13.(28) El duplo de un nmero: disminuido en 13.(29) El quntuplo de un nmero disminuido en 6.(30) La inversa de mi edad hace 8 aos.(31) El recproco de la suma de las inversas de a y b (32) l cuadrado de un nmero disminuido en 2.(33) La mitad de la altura de una torre ms su cuarta parte.(34) El exceso de a sobre b(35) El triple de tu edad ms el doble de la ma(36) Los 3/5 de la diferencia de nuestras edades(37) a excede a b en 2.(38) Un nmero aumentado en su duplo da 4(39) Al triple de tu dinero le descuento a y an le queda b.(40) x es excedida por y en 8.(41) Al cudruplo de un nmero, menos 3 equivale a su mitad.(42) Un nmero aumentado en sus 3/4 es a.(43) Un nmero disminuido en sus 7/10 es b.(44) Tu edad es n veces mi edad b58Planteo de Ecuaciones TOMO II01.- Cul es el nmero, cuyo dcuplo aumentadoen480esequivalenteasuduplo aumentado en 3280?A) 450 B) 550 C) 350 D)250 E) N.A.02.- Cul es el nmero, cuyo triple aumentado en 450 es equivalente a su dcuplo disminuido en 600?A) 150 B) 160 C) 180 D) 320 E)N.A.03.- Cul es el nmero, cuyo quntuplo agregado en 150 unidades es equivalente a ocho veces dicho nmero?A) 30 B) 52 C) 55 D) 50 E) N.A.04.- Lasumadetresnmeros, es200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar el mayor nmero. A) 104 B) 67 C) 99 D) 180 E) 3405.- Trescestoscontienen575manzanas. El primer cestotiene10manzanas ms que el segundoy15ms que el tercero. Cuntas manzanas hay en el 2do cesto?A) 185 B) 180 C) 190 D) 200 E) 25406.- Dividir: 454entres partes sabiendo que la menor es 15 unidades menor que la del medio y 70unidades menor que la mayor: Hallar la menor.A) 105 B) 115 C) 95 D) 123 E) 13807.- Repartir 310 dlares entre tres personas demodoquelasegundareciba20 menos que la primera y 40 ms que la tercera; Hallar lo que le corresponde al segundo.A) 110 B) 130 C) 70 D) 90 E) 12008.- La suma de las edades de tres personas es 88 aos, la mayor tiene 20 aos ms que la menoryladel medio18aosmenosquela mayor. Hallar la edad del menor.A) 16 B) 18 C) 22 D) 24 E) 4209.- Dividir 642 en dos partes tales que una excede a la otra en 36. Hallar uno de los nmeros.A) 339 B) 330 C) 309 D) 306 E) 50310.- LaedaddeAes el dobledeladeB; ambas edades suman 36 aos; hallar la edad de "B".A) 12 B) 24 C) 18 D) 36 E) 1411.- Repartir: 180dlaresentreA, ByCde modo que la parte de "A" sea la mitad de la de "B" y un tercio de la de C. Hallar lo que le toca a "B"A) 30 B) 60 C) 40 D) 80 E) 12012.- La edad de Pedro es el triple de la de Juan y ambas edades suman 40 aos. Hallar ambas edades.A) 30, 40 B) 20, 10 C) 30, 10D) 40, 10 E) 15, 2513.- En un hotel de 2 pisos hay 48 habitaciones. Si lashabitacionesdel segundo piso son la mitad de las del primero. Cuntas habitaciones hay en el primer piso?A) 42 B) 18 C) 32 D) 36 E) 2414.- Repartir: $300entreA, ByCdemodo que la parte de "B" sea el doble que la de A y la de C el triple de la de "A".Hallar la cantidad que le toca a "A".A) 40 B) 50 C) 100 D) 150 E) 10515.- Repartir $133 entre A; B Y e de modo que la parte de A sea la mitad de la de "B" y la deCel dobledelade"B". Hallarloquele corresponde a C.A) 64 B) 86 C) 48D) 56 E) 76 59Planteo de Ecuaciones TOMO II16.- El mayor dedosnmeroses6vecesel menor y ambos nmeros suman 147. Hallar los nmeros.A) 137; 10 B) 123; 24 C) 126; 21D) 117; 30 E) 100; 4717.- Dividir el nmero850entrespartesde modo que la primera sea el cuarto de la segunda y el quinto de la tercera; hallar uno de los nmeros.A) 340 B) 87 C) 86 D) 427 E) 34518.- La edad de Mara es el triple de la de Rosa ms quinceaos yambas edades suman59 aos. Hallar la edad de RosaA) 13 B) 48 C) 17 D) 15 E) 1119.- Ungrupo de soldados estn divididosen dos guarniciones, laoctavapartedeellosal cuadradoseencuentrantrotandoenlapista, mientras que los otros 12 juegan fulbito. Hallar la mayor cantidad de soldados.A) 56 B) 64 C) 32 D) 48 E) 820.- Erik se dirige al mercado y compra la misma cantidad en dinero de pltanos, naranjas y manzanas, comprando un total de 55 frutas. El preciodeunanaranjaexcedeenS/. 1al precio de un pltano, el precio de una manzana excede en S/. 1 al precio de una naranja. Si el nmero de naranjas excede al nmero de manzanasentantospltanoscomosepueden comprar con S/. 5. Calcular el nmero de manzanas.A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 221.- Una estudiante se va de vacaciones por un cierto nmero de das, tiempo donde experimenta20maanasotardesconlluvia, 10 maanas despejadas y 12 tardes despejadas. Adems se sabe que cuando llova en la maana la tarde era despejada. Hallar el tiempo que duro las vacaciones de la estudiante.A) 26 B) 52 C) 20 D) 30 E) 3222.- Sabiendoque25conejossehancomido en 12 das el pasto de una chacra de 5 m2 y que 27 conejos se han comido en 15 das 6 m2. Se quiere saber cuntos conejos igualmente comelonessenecesitanparahacer acabar en 12 das el pasto de una chacra de 8 m2. Se sabe que el pasto en la chacra est a la misma altura y crece en forma uniforme?A) 90 B) 100 C) 120 D) 40 E) 19823.- Un profesor tena una determina cantidad de dinero, de su esfuerzo en tan digna labor. El primer mes gast 100 soles y aument a lo que quedaba un tercio de este resto. El mes siguiente volvi a gastar 100 soles y aument la cantidad restante un tercio d ellas. El tercer mes gast otra vez 100 soles y agreg la tercerapartedeloquequedaba. Si el dinero que al final le quedo es una vez ms de lo que tena al inicio. Hallar Cul fue su dinero inicial?A) S/. 1480 B) S/. 1500 C) S/. 1400D) S/. 2380 E) S/. 200024.- Un alumno pide en una librera 4 lpices y nlapiceros. Si sesabequeel costodelos lpices cuesta una vez ms el costode los lapiceros. El vendedor se confunde el pedido y le entrega n lpices y 4 lapiceros, dicho error lo llev a pagar la mitad ms de lo que debi pagar. Hallar nA) 12 B) 18 C) 14 D) 16 E) 1025.- El lechero matemtico, resolva la siguiente interrogante. Si tengo 100 recipientes de 7 litros y 100 recipientes de 10 litros. Hallar Cul es el mximo nmero de recipientes de 7 litros que debemos utilizar para obtener 19 litros en otro recipiente que tiene una capacidad de ms de 700 litros?A) 91 B) 93 C) 97 D) 98 E) 10060Planteo de Ecuaciones TOMO II01.- Sabiendo que en un rebao, el nmero de ovejas ms bueyes es 30, el debueyes ms vacas es 50, el de vacas ms cabras es 70 y el devacasmsovejases40, podemosafirmar que el nmero de bueyes ms cabras es:A) 55 B) 50 C) 60 D) 45 E) 6502.- El permetrodeuncamporectangulares 628 m. El largo del campo excede al ancho en 6 m, Cul es el largo?A) 1,80 B) 160 C) 185D) 145 E) 15403.- Tres nmeros son tales que el segundo es seis unidades menor que tres veces el primero yel terceroes dos veces ms que 213del segundo. Si lasumadelos tres nmeros es 172, calcule el mayor de tales nmeros.A) 90 B) 94 C) 102 D) 92 E) 9804.- Lo que ganan un ingeniero y su ayudante se factura en S/. 60 y S/. 20 por horas, respectivamente. Uncliente de estos recibi una factura por S/. 580 por determinado trabajo.Si el ayudantetrabaj 5 horas menos que el ingeniero, Cuntas horas trabaj el ingeniero?A) 10 B) 9,5 C) 7,5 D) 8,5 E) 3,505.- Entre Lucho y Hctor tienen 150' canicas; si Luchopierde36de ellas ante Hctor, el doble de las que le quedan equivalen al triple de las que ahora tiene Hctor. Dar como respuesta el producto de las cifras de la cantidad de canicas que tiene Hctor.A) 8 B) 18 C) 10 D) 20 E) 4206.- Si la cantidad de das transcurridos en lo que va de un ao normal excede en 2 a los 318de los das que quedanpor transcurrir, qu fecha es?A) 11 de abril B) 13 de abril C) 10 de abrilD) 12 de abril E) 23 de abril07.- Se compr "b" objetos a "b + 2" dlares cadauno, ysobr"3b1"dlares. Si cada objetocostar2dlaresmsmesobrara60 dlares al comprar la misma cantidad de stos. Cul es el precio de estos objetos?A) 61 dlares B) 60 dlares C) 63 dlares D) 58 dlares E) 62 dlares08.- Toms, Julio y Javier tienen 108 duraznos. El ltimo le dice al primero:Si yotedieralacuartapartedemi total,tendramos las mismas cantidades.Interviene el primero:Julio, si te doy la mitad de mitotal, tendras lo mismo que Javier. Cuntos duraznos tiene Toms?A) 36 B) 44 C) 25 D) 12 E) 2409.- Dos nmeros (A y B) estn en relacin de "m"a "n". Si se aumenta A en"n" unidades, cunto esloquese debe aumentar a B para mantener a razn inicial?A) m2B) nmC) m3D) mn2E) nm310.- Enunagranjasetienepavos, gallinasy patos. Sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves, sin contar los patos tenemos 4 aves. Luego el nmero de gallinas es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 511.- Se tiene una fotografa cuyo marco se muestra en la figura, sus dimensiones exteriores son 12 cm y 15 cm. Si se quiere un marco de igual grosor, cul es ste cuando la parte ocupada 61Planteo de Ecuaciones TOMO IIA) 1cm B) 2cm C) 2,5 cmD) 3cm E) 3,5 cm12.- Unniofuecon36solesparacomprar pelotas, peroal llegarasudestinoseenter que cada pelota costaba 1 sol menos de lo que crea, de donde dedujo que con el mismo dinero que llevaba poda comprar 3 ms de lo que pens. Cuntas pelotas compr?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 1313.- A un anciano le preguntan la edad de su hijoydice:"Tienetantassemanascomominietodas". Lepreguntanpor laedaddesu nieto, dice:"Tienetantos meses, como yo aos"; yal preguntrsele suedadresponde: "Los tres juntos, sumamosexactamente 100 aos". Calculeladiferenciaentrelasedades del hijo y del nieto.A) 60 B) 30 C) 35 D) 25 E) 514.- Enlaventademanzanasrebajunsol por docena, esto significa que el cliente recibir una manzana ms por cada sol. Cunto costaba cada manzana?A) 0,25 B) 0,40 C) 0,3 D) 0,28 E) 0,215.- Lorena gasta SI. 120 en dos cremas y 5 esmaltes para uas. Si ella comprar-a 5 cremas y 10 esmaltes similares a los primeros, el gasto sera de S/. 275. Determine el costo de 3 esmaltes.A) S/. 15 B) S/. 60 C) S/. 24D) S/. 30 E) S/. 3616.- Luchito tiene 103 soles y con ellos va a comprar plumones para pizarra. Los hay de dos tipos: unos de 3 soles y otros de 8 soles. Cul es la mxima cantidad de plumones que podr comprar?A) 32 B) 33 C) 30 D) 31 E) 3517.- En el matrimonio de Kerry se compraron 2 gaseosas por cada 5 cervezas. En plena reuninseconsumieron6cervezaspor cada gaseosa. Al final sobraron140gaseosaspero ninguna cerveza. Cuntas cajas de cerveza se compraron al inicio? Considerar que cada caja trae 12 unidades?A) 48 B) 52 C) 40 D) 45 E) 5018.- Cincoseoras, cadaunaacompaadade una hija, compraron diversos metros de tela en una tienda. Cada tina de las 10 personas compr tantos metros de tela como soles pag por cadametro.Ademsse observa que cada seora gast 405soles ms que surespectiva hija. Cuntos metros comprlaseoraque gast menos?A) 24 B) 25 C) 21 D) 27 E) 2219.- Si agrupara los discos que tengo en grupos de 10 unidades resultaran2grupos menos que si los ordenara en grupos de 9 unidades. Cuntos discos debo comprar como mnimo para que el total resulte ser un nmero cuadrado perfecto?A) 15 B) 18 C) 20 D) 16 E) 2120.- Se tiene un terreno de forma rectangular. Si tuviera 5 metros ms en cada dimensin, su rea se duplicara. Perosi tuviera 2metros menos en cada dimensin su rea disminuira en46m2. Calculeel readel terrenoydar como respuesta la suma de sus cifras.A) 7 B) 6 C) 9 D) 8 E) 1001.- Dar los valores de verdad:( ) 311 5 0 ; se tiene:I) ab > 0 II) bc > 0 III) ac > 0Cules son verdaderas?A) I B) I y III C) TodasD) II E) III07.- Si a, b, c y d son nmeros reales tales que a < b < c < d, entonces necesariamenteA) d b > c a B) d b < c a C) d c > b aD) d b > d c 08.- Entre los cazadores A, B y C renen ms de 8 perros, B piensa en adquirir 8 perros ms, con lo cual tendr ms perros que entre A y C. Se sabe que B tiene menos perros que C y los queestetienenollegana5. Cuntosperros tienen A, B y C respectivamente?A) 4, 3 y 2 B) 4, 2 y 3 C) 2,3 y 4D) 3, 2 y 4 E) 3, 4 y 209.- Una persona fabrica un nmero determinado de mesas, si se duplica su produccin y vende 60, le quedan ms de 26. Luego si baja su produccin a la tercera parte y vende S, tendr entonces menos de 10 mesas. Seale cuntas mesas se fabricaron.A) 41 B) 44 C) 46 D) 38 E) 3610.- Unescolar tenaunacantidaddesellos. Le regalaron un lbum para sellos. Si l pega 20 sellos en cada pgina, el lbum es insuficiente, perosi pega 23sellos encada pgina, por lo menos una pgina quedar vaca. Si al nio le regalan un lbum absolutamenteigual, encadapginadel cual estuvieran pegados 21 sellos, l tendra un total de 500 sellos. Cuntas pginas tiene el lbum?A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 1311.- Cuandonacpaptenamsde20aos, hace10aosel dobledemi edaderamayor que la de l; si tengo menos de 33 aos. Qu edad tiene l?A) 53 B) 52 C) 51 D) 50 E) 4912.- Si a un nmero de 3 cifras mltiplo de 11, se le resta 396 unidades se obtiene otro mayor que el mismonmeroinvertido. Se pide el valor de la cifra de las decenas, sabiendo que la suma de sus cifras extremas es superior a 12.A) 6 B) 7 C) 8 D) 2 E) 413.- En un juego de Damas, uno de los dos jugadores ha ganado ms de la tercera parte de las fichas que se juegan, adems el otro 63Planteo de Ecuaciones TOMO IIjugador tiene varias fichas ms ganadas que el primero. Si todava no terminan de jugar. Cuntas fichas quedan en el juego?A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 614.- Uncarpinterohizounciertonmerode mesas; vende 49 y le quedan por vender ms de la mitad. Hace despus 9 mesas y vende 20 quedndole menos de 41mesas por vender. Cuntas mesas ha hecho sabiendo que inicialmente fabric un nmero par de mesas?A) 107 B) 102 C) 100 D) 109 E) 10315.- Se tienen un cierto nmero de monedas; si sehacenmontones deasietenosepueden completar 8deaquellos; ysi sehacendea seis, se completan 9 y queda un sobrante Cul es el nmero de monedas?A) 77 B) 66 C) 55 D) 44 E) 3316.- Un propietario vendi en un ao la tercera partedesucasa, al aosiguientevendila quinta parte de las que primeramente tena y 5 ms, y al ao siguiente vendi la cuarta parte de las que primeramente tena y 3 ms. En el primer ao vendi menos casas que en el tercero. Cuntascasastenaestepropietario antes de vender ninguna?A) 36 B) 37 C) 39 D) 47 E) 27CLAVES DE LA PRIMERA PRACTICA1) C 2) B 3) C 4) D 5) A 6) D 7) A 8) E 9) D 10) C11) B 12) A 13) B 14) C 15) D 16) D 17) E 18) C 19) D 20) BCLAVES DE LA SEGUNDA PRACTICA1) B 2) C 3) B 4) A 5) C 6) D 7) D 8) C 9) B 10) D11) * 12) A 13) D 14) B 15) D 16) C 17) C 18) A 19) B 20) C64Planteo de Ecuaciones TOMO II65Planteo de Ecuaciones TOMO II66Planteo de Ecuaciones TOMO II67