Ecuaciones paramΓ©tricas
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Transcript of Ecuaciones paramΓ©tricas
π¬πππππππππ πππππΓ©ππππππ
β π«ππππππ π ππ πππππ πππππΓ©πππππ
ππππ ππ’ππ£π ππππ πππ π₯ = π(π‘), π π¦ = π(π‘), ππ ππππππππ‘π ππ ππ (π₯, π¦) ππ :
ππ¦
ππ₯=
ππ¦ππ‘ππ₯ππ‘
, πππ ππ₯
ππ‘β 0
ππ ππ πππ‘πππ£πππ [π, π], π π’ ππππππ‘π’π ππ
β π³πππππππ π π ππππ ππ πππππ πππππΓ©πππππ
ππππ ππ’ππ£π ππππ πππ π₯ = π(π‘), π π¦ = π(π‘), ππ ππ πππ‘πππ£πππ [π, π],
π π’ ππππππ‘π’π ππ ππππ π£ππππ ππππ πππ:
πΏ = β« β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2π
π
ππ‘
β π¨πππ π π πππ ππππππππππ π π ππππππππΓ³π
ππππ ππ’ππ£π ππππ πππ π₯ = π(π‘), π π¦ = π(π‘) ππ ππ πππ‘πππ£πππ [π, π], ππ Γ‘πππ πΊ ππ ππ
π π’ππππππππ ππ πππ£πππ’ππΓ³π πππ‘πππππ π£ππππ ππππ πππ πππ :
π = 2Ο β« π(π‘)β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2π
π
ππ‘ πππ ππ πππ£πππ’ππΓ³π π₯; π(π‘) β₯ 0
π = 2Ο β« π(π‘)β(ππ₯
ππ‘)
2
+ (ππ¦
ππ‘)
2π
π
ππ‘ πππ ππ πππ£πππ’ππΓ³π π¦; π(π‘) β₯ 0
πͺππππ ππππ ππ πππππππ
πΏππ πππππππππππ πππππππ (π, Ρ³)ππ π’π ππ’ππ‘π ππ π‘Γ‘π ππππππππππππ πππ π π’π πππππππππππ
ππππ‘ππππ’πππππ (π₯, π¦)πππ:
π₯ = π β cos(Ρ³) π¦ = π β π ππ(Ρ³)
π‘π (Ρ³) =π¦
π₯ π2 = π₯2 + π¦2
π«ππππππ π ππ πππππ πππππ
πΓ π ππ π’ππ ππ’πππΓ³π πππππ£ππππ ππ Ρ³, ππ ππππππππ‘π ππ ππ ππππ‘π π‘ππππππ‘π π ππ ππΓ‘ππππ ππ
π = π(Ρ³) ππ ππ ππ’ππ‘π (π, Ρ³)ππ :
ππ¦
ππ₯=
ππ¦πΡ³ππ₯πΡ³
, πππ ππ₯
πΡ³β 0 ππ (π, Ρ³)
π¨πππ ππ πππππ ππππ ππ πππππππ
πΓ π ππ ππππ‘πππ’π π¦ ππ πππππ‘ππ£π ππ ππ πππ‘πππ£πππ [πΌ, π½], ππ Γ‘πππ ππ ππ ππππΓ³π πππππ‘πππ πππ
ππ ππΓ‘ππππ ππ π = π(Ρ³)π¦ πππ ππππ‘ππ ππππππππ Ρ³ = πΌ π¦ Ρ³ = π½ ππ π‘Γ‘ ππππ πππ:
π΄ =1
2β« [π(Ρ³)]2 πΡ³ =
1
2
π½
πΌ
β« π2 πΡ³π½
πΌ
β π³πππππππ π π ππππ ππ πππππ πππππΓ©πππππ
πππ π π’ππ ππ’πππΓ³π ππ’π¦π πππππ£πππ ππ ππππ‘πππ’π ππ π’π πππ‘πππ£πππ πΌ β€ π β€ π½.
πΏπ ππππππ‘π’π ππ ππππ ππ ππ ππΓ‘ππππ ππ π = π(π)πππ ππ π = πΌ βππ π‘π π = π½ ππ :
π = β« β[π(π)]2 + [πΒ΄(π)]2 ππ =π½
πΌ
β« βπ2 + [ππ
ππ]
2
πππ½
πΌ
β π¨πππ π π πππ ππππππππππ π π ππππππππΓ³π
πππ π π’ππ ππ’πππΓ³π ππ’π¦π πππππ£πππ ππ ππππ‘πππ’π ππ π’π πππ‘πππ£πππ πΌ β€ π β€ π½, πΈπ
Γ‘πππ ππ ππ π π’ππππππππ ππππππππ πππ πππ£πππ’ππΓ³π ππ ππ ππΓ‘ππππ ππ π = π(π),
πππ ππ π = πΌ, βππ π‘π π = π½ ππ π‘ππππ ππ ππ ππππ‘π ππππππππ ππ ππ π πππ’ππππ‘π:
π = 2π β« π(π)π πππβ[π(π)]2 + [πΒ΄(π)]2 ππ ππ π‘ππππ ππ πππ ππππππ½
πΌ
π = 2π β« π(π)πππ πβ[π(π)]2 + [πΒ΄(π)]2 ππ ππ π‘ππππ π ππ ππππ‘π π =π
2
π½
πΌ
ππππππ πΆΓ‘πππ’ππ ππ’ππ‘ππ£ππππππ
πΊπππππππ
1. π(Ρ³) = 3
2. Ρ³ =π
6
3. π(Ρ³) = 3Ρ³
4. π(Ρ³) = 0.5 + cos(Ρ³)
5. π(Ρ³) =3
2+ 2 β cos(Ρ³)
6. π(Ρ³) = 2 β π ππ(Ρ³) + 3
7. π(Ρ³) =5
2 β 2π ππ(Ρ³)
8. π(Ρ³) = 16 β cos(2Ρ³)
9. π(Ρ³) = 1 + 3 β π ππ (Ρ³
2)
10. π(π) = 1 β 3 β π ππ(2π)
10. πΈπ πππ§ππ ππ ππ’ππ£π ππππππ πππ‘πππ πππ πππ πππ’πππππππ πππππΓ©π‘πππππ (πππππππππ π π’ π πππ‘πππ) π¦ ππ ππππππ ππ πππ’πππΓ³π ππππππ ππππππππ‘π
ππππππππππ ππ πππππΓ©π‘ππ π₯ = 3 β cos(Ρ³) , π¦ = 3 β π ππ(Ρ³)
11. πΈπ πππ§ππ ππ ππ’ππ£π ππππππ πππ‘πππ πππ πππ πππ’πππππππ πππππΓ©π‘πππππ (πππππππππ π π’ π πππ‘πππ) π¦ ππ ππππππ ππ πππ’πππΓ³π ππππππ ππππππππ‘π
ππππππππππ ππ πππππΓ©π‘ππ π₯ = π3π‘, π¦ = ππ‘
12. πΆππππ’πππ ππ Γ‘πππ ππ ππ ππππΓ³π π = 2 β cos(3π)
13. π»πππππ ππ ππππππ‘π’π ππ ππππ ππ ππ ππ’ππ£π π = 1 + π ππ(π)
14. π»πππππ ππ Γ‘πππ ππ ππ π π’ππππππππ ππππππππ πππ ππ πππππ’πππππππππ
π = π(π) = cos(π) , ππ πππππ ππ π‘ππππ ππ ππ ππππ‘π π =π
2