ECUACIONES - para alumnos y alumnas de … · traducción del contexto de los problemas al lenguaje...

4 Ecuaciones

96Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

En esta unidad repasaremos los procedimientos para hallar las soluciones, si existen, de ecuaciones de primer grado y de segundo grado, completas o incompletas; así como, el planteamiento y la resolución de problemas utilizando estos tipos de ecuaciones. Además, abor-daremos la resolución de ecuaciones bicuadradas mediante cambio de variable y la de ecuaciones polinómicas a partir de la factorización

de polinomios estudiada en la unidad anterior.

El uso apropiado del lenguaje algebraico es fundamental para desarrollar los contenidos de esta unidad. Los alumnos deben dominar la traducción del contexto de los problemas al lenguaje matemático para aplicar la resolución de ecuaciones y poder determinar las soluciones.

Los contenidos de esta unidad se presentan partiendo de un problema o ejercicio sencillo, de esta forma podemos esperar que el propio alumno lo resuelva y sería deseable que también fuera capaz de sacar sus propias conclusiones teóricas.

La metodología se ha diseñado incluyendo actividades de aprendizaje integradas que permitirán al alumnado avanzar hacia los resultados de aprendizaje de más de una competencia al mismo tiempo.

Comunicación lingüística (CL) Se desarrolla a lo largo de toda la unidad para plantear problemas de distintos tipos. Tiene especial importancia en la sección de Matemáticas vivas, así como en la sección Lee y comprende las matemáticas de final del bloque.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)La utilización del lenguaje algebraico se desarrolla lo largo de toda la unidad haciendo comprender a los alumnos su aplicación para resolver problemas.

Competencia digital (CD)Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos.

Competencias sociales y cívicas (CSC)Está presente especialmente en las secciones de Matemáticas vivas y Cálculo mental.

Competencia aprender a aprender (CAA)En toda la unidad se plantean los contenidos y las actividades apropiadas para que los alumnos construyan su propio conocimiento.

Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada epígrafe (Investiga o Desafío).

El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.

ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:

❚❚ Identificar y resolver ecuaciones de primer y segundo grado.❚❚ Plantear ecuaciones de primer o segundo grado para resolver problemas.❚❚ Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.❚❚ Identificar y resolver ecuaciones bicuadradas.❚❚ Resolver ecuaciones polinómicas mediante la factorización del polinomio correspondiente.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de ecuaciones.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando ecuaciones.

ECUACIONES4

97

4Ecuaciones

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Atención a la diversidadCon el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno.

Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de ecuaciones.

Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre ecuaciones y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.

Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con las ecuaciones pueden acceder a las lecciones 1160, 1171 y 1181 de la web www.mismates.es.

P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D

Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de

actividades del libro del alumno

Competencias clave

Ecuaciones de primer grado

1. Identificar y resolver ecuaciones de primer grado.

2. Plantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas.

1.1. Identifica ecuaciones de primer grado equivalentes.

2.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado.

1-5, 7, 846-49

6, 950-55Matemáticas vivas 1-3

CLCMCTCAACSIEE

Ecuaciones de segundo grado

3. Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado.

4. Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

5. Plantear ecuaciones de segundo grado para resolver problemas.

3.1. Identifica ecuaciones de segundo grado completas y sus soluciones.

4.1. Indica el número de soluciones de una ecuación de segundo grado según el signo del discriminante.

5.1. Resuelve problemas mediante ecuaciones de segundo grado.

10-12, 14, 1617, 2056-59 13, 1562, 66, 67

18, 1963-6569-78Matemáticas vivas 1-3Trabajo cooperativoCM1, CM2

CLCMCTCDCAACSIEE

Ecuaciones de segundo grado incompletas

6. Identificar y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.

6.1. Identifica ecuaciones de segundo grado completas y sus soluciones.

21-2860, 61, 68

CLCMCTCAACSIEE

Ecuaciones bicuadradas

7. Identificar y resolver ecuaciones bicuadradas.

7.1. Distingue y resuelve ecuaciones bicuadradas completas e incompletas.7.2. Resuelve problemas mediante ecuaciones bicuadradas.

29-3779-8687-89

CLCMCTCAACSIEE

Resolución de ecuaciones por factorización

8. Resolver ecuaciones polinómicas mediante la factorización del polinomio correspondiente.

8.1. Factoriza polinomios para resolver ecuaciones.

38-4590-95

CLCMCTCDCAACSIEE


MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD

2. Ecuaciones de segundo grado

4. Ecuaciones bicuadradas

¿Qué tienes que saber? • Ecuaciones de primer grado • Ecuaciones de segundo grado • Ecuaciones bicuadradas • Resolución de ecuaciones por

factorización

Matemáticas vivasAdivinanzas • Expresión de situaciones cotidianas

como ecuaciones

AvanzaEcuaciones racionales

Cálculo mentalEstrategia para averiguar un número

PARA EL PROFESOR

MATERIAL COMPLEMENTARIO

PARA EL ALUMNO

Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación

Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B

Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes

Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Gerolamo Cardano

1. Ecuaciones de primer grado

Vídeo. Demostración de la fórmula de las ecuaciones de segundo grado

Trabajo cooperativo. Tarea cuya estrategia es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan

3. Ecuaciones de segundo grado incompletas

Vídeo. Resolución de ecuaciones por factorización 1Vídeo. Resolución de ecuaciones por factorización 2

5. Resolución de ecuaciones por factorización

MisMates.esLecciones 1160, 1171 y 1181 de la web www.mismates.es

Comprende y resuelve problemas

4 Ecuaciones

Actividades finales Actividades interactivas

Practica+

Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO98

99

4Ecuaciones


Sugerencias didácticas

En esta unidad se repasarán las ecuaciones de primer y se-gundo grado estudiadas en cursos previos. En estas últimas veremos cómo determinar el número de soluciones en fun-ción del signo del discriminante.

Además, se introducirán las ecuaciones bicuadradas y las polinómicas de grado mayor que dos de la forma P(x) = 0 en las que el polinomio admite una factorización como pro-ducto de polinomios de grado uno o dos con coeficientes racionales.

Antes de comenzar la unidad, los alumnos deben manejar con soltura las operaciones con polinomios, así como las identidades notables y la regla de Ruffini.

Como generalmente a los alumnos les resulta complicado el planteamiento de problemas que pueden ser resueltos con ecuaciones, es importante hacer hincapié en la trans-formación de enunciados al lenguaje algebraico.

Contenido web. GEROLAMO CARDANO

En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con información rela-tiva a la unidad. En este caso se introduce la figura de Cardano con algunos datos sobre su vida y su trabajo como matemático. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.

65

4 ECUACIONES

El matemático griego Diofanto de Alejandría nació alrededor del año 200 d. C., conocía las ecuaciones, aunque no las escribía como lo hacemos en la actualidad. En su tumba pidió que apareciera esta inscripción: Fui niño la sexta parte de mi vida, me salió barba tras añadir una doceava parte. Me casé después de que trascurriera una séptima parte más, y 5 años más tarde nació mi hijo, quién vivió la mitad que yo y murió 4 años antes de que yo muriera.

Si queremos saber cuántos años vivió Diofanto debemos

resolver esta ecuación: x6+

x12

+x7+ 5 +

x2+ 4 = x donde x

es el número de años.

El matemático griego Diofanto de Alejandría nació alrededor del año 200 d. C., conocía las ecuaciones, aunque no las escribía como lo hacemos en la actualidad. En su tumba pidió que apareciera esta inscripción: vida, me salió barba tras añadir una doceava parte. Me casé después de que trascurriera una séptima parte más, y 5 años más tarde nació mi hijo, quién vivió la mitad que yo y murió 4 años antes de que yo muriera.

Si queremos saber cuántos años vivió Diofanto debemos

resolver esta ecuación: es el número de años.

IDEAS PREVIAS

❚ Operaciones con

polinomios.

❚ Raíces de un polinomio.

❚ Identidades notables.

❚ Factorización de

polinomios.

REPASA LO QUE SABES1. Expresa algebraicamente estas frases.

a) La suma de dos números consecutivos.

b) El cuadrado de un número menos su doble.

c) La diferencia del triple de un número menos 2.

2. Comprueba que x = 1 y x = −1 son raíces del polinomio:

P(x) = x4 + x3 + 3x2 − x − 4

3. Desarrolla los cuadrados.

a) (x − 8)2 b) (2x + 1)2 c) (5x − 6)2

4. Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables.

a) x2 + 6x + 9 b) x2 − 8x + 16 c) 4x2 − 20x + 25

5. Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que tiene por raíces x = 5 y x = −6.

Gerolamo Cardano (1501-1576), matemático y médico italiano, publicó en 1545 un libro que incluía las fórmulas que permiten resolver ecuaciones de tercer y cuarto grado, así como las relaciones entre las soluciones de una ecuación y sus coeficientes.

Matemáticas en el día a día ][mac3e12

Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades

1. Expresa algebraicamente estas frases.

a) La suma de dos números consecutivos.

b) El cuadrado de un número menos su doble.

c) La diferencia del triple de un número menos 2.

a) x + x + 1 = 2x + 1 b) x2 − 2x c) 3x − 2

2. Comprueba que x = 1 y x = − 1 son raíces del polinomio:

P(x) = x4 + x3 + 3x2 − x − 4

P(1) = 1 + 1 + 3 − 1 − 4 = 0

P(−1) = 1 − 1 + 3 + 1 − 4 = 0

3. Desarrolla los cuadrados.

a) (x − 8)2 b) (2x + 1)2 c) (5x − 6)2

a) (x − 8)2 = x2 − 16x + 64

b) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1

c) (5x − 6)2 = 25x2 − 60x + 36

4. Factoriza las expresiones utilizando las identidades notables.

a) x2 + 6x + 9 b) x2 − 8 + 16 c) 4x2 − 20 + 25

a) x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

b) x2 − 8x + 16 = (x − 4)2

c) 4x2 − 20x + 25 = (2x − 5)2

5. Halla la expresión algebraica de un polinomio de grado 2 que tiene por raíces x = 5 y x = −6.

Respuesta abierta, por ejemplo: P(x) = (x − 5)(x + 6) = x2 + x − 30

4 Ecuaciones


1. Ecuaciones de primer grado

67

4Actividades4 Ecuaciones

66

Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 5x + 14 = 19 e) 5x + 12 = 17 + 10x

b) 3 + x = 4 f) 2x − 7 = 7x + 3

c) 2x − 3 = 17 g) 2x + 7 = 7x − 3

d) 5 − 2x = 21 h) 9 − 4x = 3x − 12

1

Comprueba que x = 3 es la solución de la ecuación:

4−x + 3

6= 2 +

9− 2x

3

Copia y empareja cada ecuación de la primera columna con sus equivalentes.

2

3

Halla el valor de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes.

a) 4x − 1 = x + 8 ax = 9

b) 5(x + 1) = 0 3x + 2 = a

c) 2x = 4 6x + a = 0

d) 2x + 8 = 18 a(x − 2) = 9

Resuelve las ecuaciones de primer grado.

a) 3(x + 1) − 2 = 19

b) 2(x − 3) − (x + 1) = 0

c) 3 − 2(x + 5) = 7

d) 4(x + 3) = 1 + 3x

La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

4

5

6

Halla la solución de las ecuaciones.

a) 3

5x + 2 =

x

3− 2 c) 5 x +

2

5=

x

2−5

b) 3x + 2

5−

x + 1

3=

1

6 d) 5−

x + 1

6=

3

4(2x + 7)

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2

3x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−5

x

3+

1

15

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

5

b) 1

3

2x − 3

6+x − 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

123x − 4−

2x −7

3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

c) 1

2x + 1−

3

2( x + 3)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + 1 = −2

d) 5x + 2

4−

2x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

5

3

2−

x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

1

4( x − 8)

e) 1

2

5( x + 1)

3−

3

4( x + 2)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

1

87 x −

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

x + 1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

7

8

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADOEn una balanza, María ha puesto varias bolas y piezas hexagonales.

Al colocarlas en esta posición, la balanza está equilibrada.

Si cada bola pesa 1 g, ¿cuál es el peso de cada pieza hexagonal?

Para resolver el problema, llamamos x a lo que pesa cada pieza hexagonal en gramos, y planteamos esta ecuación: 5x + 3 = 3x + 7

Al quitar 3 bolas de cada platillo, la balanza permanece en equilibrio.

En la ecuación:

5x + 3 − 3 = 3x + 7 − 3

5x = 3x + 4

De la misma forma, si retiramos 3 piezas hexagonales de cada platillo, la balanza también continúa equilibrada.

En la ecuación:

5x − 3x = 3x + 4 − 3x

2x = 4

Finalmente, si quitamos la mitad del contenido de cada platillo, el equilibrio de la balanza se mantiene.

En la ecuación:

2x

2=

4

2

x = 2

Así, cada pieza hexagonal pesa 2 g.

Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos miembros que puede expresarse de la forma ax + b = 0, siendo:

❚ a y b, números reales conocidos, con a ≠ 0. Estos números son los coeficientes de la ecuación.

❚ x, la incógnita, el valor desconocido.

Se denomina solución de la ecuación al único número, −b

a, que, al sustituir x

por él verifica la igualdad.

Se dice que dos ecuaciones de primer grado son equivalentes si tienen la misma solución.

Presta atención

Si sumamos o multiplicamos por un mismo valor no nulo a los dos miembros de una ecuación, obtenemos otra ecuación equivalente.

} Comprueba que x = 2 es la solución de la ecuación:

5x + 3 = 3x + 7

Solución

Para ello sustituimos x en la ecuación por 2 y verificamos que se cumple la igualdad obtenida.

5 ⋅2 + 3 = 3 ⋅2 + 7

10 + 3 = 6 + 7

13 = 13 ✓

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve esta ecuación de primer grado.

4x −1

6−

2x + 13

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

3

x

2−

6

5

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

1

4(2x + 10)

Solución

Eliminamos los paréntesis, simplificando si es posible:

2( x −1)

3−

4(2x + 1)

3=

x

6−

2

5−

x

2−

5

2

2x − 2

3−

8 x + 4

3=

x

6−

2

5−

x

2−

5

2

Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (3, 6, 5, 2) = 30

20x − 20 − 80x − 40 = 5x − 12 − 15x − 75

Reducimos los términos semejantes:

−60x − 60 = −10x − 87

Finalmente, transponemos los términos y despejamos para obtener la solución:

−60x + 10x = −87 + 60

−50x = −27 → x =27

50

EJERCICIO RESUELTO

3x − 1 = x + 7 x + 2 = 4 x + 2 = 5

2(x − 3) = 0 x + 2 = 2x + 3 2x + 7 = 11

4x = 8 2(x − 1) = 6 4x + 5 = 1

3x + 5 = 2 2(x − 2) = 5 − x 2x + 5 = 13

DESAFÍOLeonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un trabajador acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no trabaje. Averigua cuántos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio.

Resuelve el problema para un mes de 30 días.

9

Aprenderás a… ● Identificar ecuaciones de primer grado equivalentes.

● Resolver ecuaciones de primer grado.

● Plantear ecuaciones de primer grado para resolver problemas.

Soluciones de las actividades1 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 5x + 14 = 19 c) 2x − 3 = 17 e) 5x + 12 = 17 + 10x g) 2x + 7 = 7x − 3

b) 3 + x = 4 d) 5 − 2x = 21 f) 2x − 7 = 7x + 3 h) 9 − 4x = 3x − 12

a) x = 1 b) x = 1 c) x = 10 d) x = −8 e) x = −1 f) x = −2 g) x = 2 h) x = 3

2 Comprueba que x = 3 es la solución de la ecuación: 4−x + 3

6= 2 +

9− 2x

3Sustituimos por 3 la incógnita y verificamos que se cumple la igualdad: 4−

3 + 3

6= 2 +

9− 6

3→ 4−1 = 2 + 1→ 3 = 3

3 Copia y empareja cada ecuación de la primera columna con sus equivalentes.

3x − 1 = x + 7 x + 2 = 4 x + 2 = 5

2(x − 3) = 0 x + 2 = 2x + 3 2x + 7 = 11

4x = 8 2(x − 1) = 6 4x + 5 = 1

3x + 5 = 2 2(x − 2) = 5 − x 2x + 5 = 13

3x − 1 = x + 7 ↔ 2(x − 1) = 6 ↔ 2x + 5 = 13

2(x − 3) = 0 ↔ 2(x − 2) = 5 − x ↔ x + 2 = 5

4x = 8 ↔ x + 2 = 4 ↔ 2x + 7 = 11

3x + 5 = 2 ↔ x + 2 = 2x + 3 ↔ 4x + 5 = 1


Repasamos la resolución por parte de los alumnos de las ecuaciones de primer grado. La transposición de términos en las mismas se puede presentar a través de balanzas en equilibrio, tal y como aparece en el texto, donde uno de los platillos representará el miembro de la izquierda de la ecuación y el otro el de la derecha.

Es fundamental que el alumno comprenda el concepto de solución, por ello se proponen ejercicios en los cuales, sin necesidad de resolver la ecuación, el estudiante podrá ve-rificar si cierto número dado es o no solución de la misma. Además, insistiremos en realizar la comprobación de que la solución obtenida satisface la igualdad original.

101

4Ecuaciones


4 Halla el valor de a de modo que cada par de ecuaciones sean equivalentes.

a) 4x − 1 = x + 8 ax = 9 c) 2x = 4 6x + a = 0

b) 5(x + 1) = 0 3x + 2 = a d) 2x + 8 = 18 (x − 2) = 9

a) a = 3 b) a = −1 c) a = −12 d) a = 35 Resuelve las ecuaciones de primer grado.

a) 3(x + 1) − 2 = 19 b) 2(x − 3) − (x + 1) = 0 c) 3 − 2(x + 5) = 7 d) 4(x + 3) = 1 + 3x

a) x = 6 b) x = 7 c) x = −7 d) x = −116 La edad de una madre es el triple que la de su hijo. Si entre los dos suman 44 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Llamamos x a los años que tiene el hijo, así su madre tiene 44 − x.

Si la edad de la madre es el triple: 44 − x = 3x → 4x = 44 → x = 11

El hijo tiene 11 años, y su madre, 33.7 Halla la solución de las ecuaciones.

a) 3

5x + 2 =

x

3− 4 b)

3x + 2

5−

x + 1

3=

1

6 c) 7 x +

2

5=

x

2− 3 d) 5−

x + 1

6=

3

4(2x + 7)

a) 9x + 30 = 5x − 60 → 4x = −90 → x = −45

2 c) 70x + 4 = 5x − 30 → 65x = −34 → x = −

34

65

b) 18x + 12 − 10x − 10 = 5 → 8x = 3 → x =3

8 d) 60 − 2x − 2 = 18x + 63 → 20x = −5 → x = −

1

48 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) 2

3x +

1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−5 x +

1

15

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

5 d) 5

x + 2

4−

2x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

5

3

2−

x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

1

4( x − 8)

b) 1

3

2x − 3

6+x − 2

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

1

123x − 4−

2x −7

3

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ e)

1

2

5( x + 1)

3−

3

4( x + 2)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ =

1

87 x −

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

x + 1

2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

c) 1

2x + 1−

3

2( x + 3)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ + 1 = −2

a) 2

3x +

1

3−5 x −

1

3=

2

5→

2

3x −5 x =

2

5→ 10x − 75x = 6 → −65x = 6 → x = −

6

65

b) 2x − 3

18+x − 2

9=

3x − 4

12−

2x −7

36→ 4x − 6 + 4x − 8 = 9x − 12 − 2x + 7 → 3x = 9 → x = 3

c) x + 1−3

2( x + 3) + 2 = −4 → 2x + 2 − 3x − 9 + 4 = −8 → x = 5

d) 100x + 2

4−

2x −1

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 4

3

2−

x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−5( x − 8) → 25x + 50 − 100x + 50 = 6 − x − 5x + 40 → −69x = −54 → x =

18

23

e) 45( x + 1)

3−

3

4( x + 2)

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 7 x −

1

4

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

x + 1

2→

20 x + 20

3− 3x − 6 = 7 x −

7

4+x + 1

2→

→ 80x + 80 − 36x − 72 = 84x − 21 + 6x + 6 → −46x = −23 → x =1

2

Desafío9 Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, plantea en su obra Liber abaci, en 1202, este problema: Un trabajador

acuerda con su patrón recibir 7 bizancios por cada día de trabajo y pagarle 4 por cada día que no trabaje. Averigua cuán-tos días ha trabajado durante un mes si al final recibió 1 bizancio. Resuelve el problema para un mes de 30 días.

Llamamos x al número de días en los que trabaja en un mes, por tanto, no trabaja 30 − x.

Entonces: 7x − 4(30 − x) = 1 → 7x − 120 + 4x = 1 → 11x = 121 → x = 11 En un mes ha trabajado 11 días.

4 Ecuaciones


2. Ecuaciones de segundo grado

69


68

Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con sus soluciones.

10

Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado x2 + mx − 24 = 0, si x = 3 es una de sus soluciones.

Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 3x − 10 = 0 c) 2x2 − 6x + 4 = 0

b) x2 + x − 12 = 0 d) x2 + x − 42 = 0

Indica el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, sin resolverlas.

a) x2 − 6x + 9 = 0 c) 4x2 − 4x + 1 = 0

b) x2 + x + 1 = 0 d) x2 − 5x + 6 = 0

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 4 y 5.

Determina los valores de a para que x2 + ax + 4 = 0 tenga una única solución.

11

12

13

14

15

Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2 + bx + c = 0, si 2 y −3 son sus soluciones.

16

Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones de segundo grado.

a) (x + 1)(x − 1) = 0 c) 3(x − 4)(x + 4) = 0

b) (2x + 3)(2x − 3) = 0 d) (4x − 5)(4x + 5) = 0

Si la suma de un número positivo y su cuadrado es 756, ¿de qué número se trata?

17

18

Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que, al aumentar la longitud de dos lados paralelos en 12 cm, obtenemos un rectángulo que tiene una superficie de 364 cm2.

19

2. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOMartín tiene una parcela rectangular de 96 m2 que ha separado en un cuadrado y un rectángulo de 4 m de ancho.

¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

Si llamamos x a la longitud, en metros, del lado del cuadrado, tenemos que las dimensiones de la parcela son: x y x + 4

Entonces: x(x + 4) = 96 → x2 + 4x − 96 = 0

Identificamos los coeficientes en la ecuación de segundo grado: a = 1, b = 4 y c = −96, y la resolvemos:

x =4 ± 42 4 1 ( 96)

2 1=

4 ± 400

2

x1 =4 + 20

2= 8

x2 =4 20

2= 12

Aunque el valor −12 verifica la igualdad, no es una solución válida, ya que los lados de un cuadrado no pueden tener una longitud negativa.

Por tanto, las dimensiones son:

x = 8 m y x + 4 = 12 m

Una ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la forma ax2 + bx + c = 0, siendo:

❚ a, b y c, números reales conocidos, con a ≠ 0, llamados coeficientes.

❚ x, la incógnita, el valor desconocido.

Las soluciones de este tipo de ecuaciones se obtienen mediante la fórmula:

x =−b ± b2 − 4ac

2a

Para saber el número de soluciones reales de una ecuación de segundo grado nos basta conocer el signo del valor del radicando:

❚ Si b2 − 4ac > 0 → tiene dos soluciones distintas.

❚ Si b2 − 4ac = 0 → solo tiene una solución.

❚ Si b2 − 4ac < 0 → no tiene solución.

Presta atención

Observa que:

(x − 8)(x + 12) = x2 + 4x − 96

Las soluciones de una ecuación de segundo grado coinciden con las raíces del polinomio de segundo grado con la misma expresión.

a x − x1( ) x − x2( ) = ax2 + bx + c

❚ Utilizamos el signo ± para indicar que la fórmula puede tener dos resultados.

❚ Al valor del radicando b2 − 4ac lo llamamos discriminante y lo representamos por Δ.

Lenguaje matemático

mac3e13

} Encuentra la ecuación de segundo grado cuyo coeficiente principal es 2, sabiendo que sus soluciones son 1 y −3.

Solución

Si el coeficiente principal es 2 entonces la ecuación es de la forma:

2x2 + bx + c = 0

Como las soluciones de la ecuación de segundo grado coinciden con las raíces del polinomio con el mismo grado:

2x2 + bx + c = 2(x − 1)(x + 3) = 2x2 + 4x − 6

Así, la ecuación es:

2x2 + 4x − 6 = 0

EJERCICIO RESUELTO

} Al aumentar en 4 m dos lados paralelos de un cuadrado, obtenemos un rectángulo de 96 m2 de área. ¿Qué longitud tiene el lado del cuadrado original?

Solución

Llamamos x a la longitud del lado del cuadrado y dibujamos sobre cada uno de los lados un rectángulo cuyos lados sean x y 1, respectivamente.

El área de la figura que obtenemos mide:

x2 + 4x = 96 → x(x + 4) = 96

Añadimos cuatro cuadrados en las esquinas, completando un nueva figura, es un cuadrado de lado x + 2, cuya superficie mide:

96 + 4 = 100 m2

Entonces: (x + 2)2 = 100

Resolvemos:

x + 2 = ±10 →x1 = 10− 2 = 8

x2 = −10− 2 = −12

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un valor negativo, la solución del problema es 8 m.

EJERCICIO RESUELTO

x 4

x

x

x

1

1 1

1

x + 2

x + 2

DESAFÍOComprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifican

las relaciones de Cardano: x1 + x2 = −b

ay x1 ⋅ x2 =

c

a

20

2x2 +3x−2= 0

x2−5x +6 = 0

x2−2x−120 = 0

6x2 +17x +12= 0

x =−32

y x =−43

x =−10 y x =12

x =−2 y x =12

x =2 y x = 3

Aprenderás a… ● Identificar ecuaciones de segundo grado.

● Resolver ecuaciones de segundo grado.

● Plantear ecuaciones de segundo grado para resolver problemas.

● Determinar, según el signo del discriminante, el número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

Soluciones de las actividades10 Copia en tu cuaderno y empareja las ecuaciones con sus soluciones.

2x2 +3x−2= 0

x2−5x +6 = 0

x2−2x−120 = 0

6x2 +17x +12= 0

x =−32

y x =−43

x =−10 y x =12

x =−2 y x =12

x =2 y x = 3

2x2 + 3x − 2 = 0 ↔ x = −2 y x =1

2x2 − 5x + 6 = 0 ↔ x = 2 y x = 3

x2 − 2x − 120 = 0 ↔ x = −10 y x = 12

6x2 + 17x + 12 = 0 ↔ x = −3

2y x = −

4

3

11 Calcula el valor de m en la ecuación de segundo grado x2 + mx − 24 = 0, si x = 3 es una de sus soluciones.

Al ser x = 3 una de las soluciones tenemos que: 32 + 3m − 24 = 0 → 3m = 15 → m = 5


Tras repasar la resolución de ecuaciones de primer grado, continuamos con el estudio de las de segundo grado. Co-menzamos resolviendo un problema con una ecuación completa.

Insistiremos en que para conocer el número de soluciones de la misma no es preciso resolverla, ya que basta con de-terminar el signo del discriminante.

Como en la unidad anterior estudiamos el concepto de raí-ces de un polinomio, relacionándolo ahora con las solucio-nes de la ecuación que tiene la misma expresión que él.

En el último ejercicio resuelto podemos ver un método geométrico para hallar la solución del primer problema completando una figura cuadrada.

Vídeo. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se muestra la demostración, paso a paso, de la fórmula que per-mite resolver ecuaciones de segundo grado. Puede reproducir-se en clase explicando el proceso que se sigue o proponer a los alumnos que lo visualicen previamente para que alguno de ellos pueda explicarlo a sus compañeros.

103

4Ecuaciones


12 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 3x − 10 = 0 b) x2 + x − 12 = 0 c) 2x2 − 6x + 4 = 0 d) x2 + x − 42 = 0

a) x1 = 5 y x2 = −2 b) x1 = 3 y x2 = −4 c) x1 = 1 y x2 = 2 d) x1 = 6 y x2 = −713 Indica el número de soluciones de las ecuaciones de segundo grado, sin resolverlas.

a) x2 − 6x + 9 = 0 b) x2 + x + 1 = 0 c) 4x2 − 4x + 1 = 0 d) x2 − 5x + 6 = 0

a) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución. c) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.

b) ∆ = −3 < 0 → La ecuación no tiene solución. d) ∆ = 1 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.14 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean 4 y 5.

Respuesta abierta, por ejemplo: (x − 4)(x − 5) = 0 ↔ x2 − 9x + 20 = 015 Determina los valores de a para que x2 + ax + 4 = 0 tenga una única solución.

La ecuación tiene una solución si ∆ = 0 → a2 − 16 = 0 → a = ±416 Halla el valor de los coeficientes b y c de la ecuación 3x2 + bx + c = 0, si 2 y −3 son sus soluciones.

Si x = 2 es una solución: 3 ⋅ 22 + b ⋅ 2 + c = 0 → c = −12 − 2b

Análogamente si x = −3: 3 ⋅ (−3)2 + b ⋅ (−3) + c = 0 → c = −27 + 3b

Luego: −12 − 2b = −27 + 3b → 5b = 15 → b = 3 → c = −1817 Resuelve, sin realizar los productos, estas ecuaciones de segundo grado.

a) (x + 1)(x − 1) = 0 b) (2x + 3)(2x − 3) = 0 c) 3(x − 4)(x + 4) = 0 d) (4x − 5)(4x + 5) = 0

a) x1 = −1 y x2 = 1 c) x1 = 4 y x2 = −4

b) x1 = −3

2y x2 =

3

2 d) x1 =

5

4y x2 = −

5

418 Si la suma de un número positivo y su cuadrado es 756, ¿de qué número se trata?

Llamamos x al número que buscamos: x2 + x = 756 → x2 + x − 756 = 0 → x1 = 27

x2 = −28

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Como tiene que ser positivo, el número es 27.

19 Halla el perímetro de un cuadrado, sabiendo que, al aumentar la longitud de dos lados paralelos en 12 cm, obtenemos un rectángulo que tiene una superficie de 364 cm2.

Llamamos x a la longitud del lado del cuadrado.

Si dibujamos sobre cada uno de los lados un rectángulo cuyos lados sean x y 3, respectivamente, el área de la figura que obtenemos mide: x2 + 4 ⋅ 3x = 364 → x(x + 12) = 364

Añadimos cuatro cuadrados en las esquinas, completando una nueva figura, es un cuadrado de lado x + 6, cuya superficie mide: 364 + 4 ⋅ 9 = 400

Entonces: (x + 6)2 = 400 → x + 6 = 20 → x = 14

x + 6 = −20 → x = −26

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Como la medida del lado del cuadrado no puede ser un valor negativo, la única solución válida es: 14 cm

El perímetro del cuadrado es: 4 ⋅ 14 = 56 cm

Desafío20 Comprueba que, si x1 y x2 son las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, se verifican las relaciones

de Cardano: x1 + x2 = −b

ay x1 ⋅ x2 =

c

aSi x1 y x2 son las soluciones de ax2 + bx + c = 0 entonces: ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2)

a(x − x1)(x − x2) = a(x2 − x1x − x2x + x1 ⋅ x2) = ax2 − a(x1 + x2)x + ax1 ⋅ x2

Entonces: b = − a(x1 + x2) → x1 + x2 = −b

a c = ax1 ⋅ x2 → x1 ⋅ x2 =

c

a

x

x x2

9 9

9 9

4 Ecuaciones


3. Ecuaciones de segundo grado incompletas

71


70

Presta atención

Para resolver ecuaciones de segundo grado incompletas también podemos utilizar la fórmula para obtener las soluciones de la ecuación completa.

} Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5x2 − 50x = 0 b) −2x2 + 32 = 0

Comprueba que obtienes el mismo resultado si utilizas la fórmula.

Solución

EJERCICIO RESUELTO

a) 5 x ( x −10) = 0 → 5 x = 0 → x = 0

x −10 = 0 → x = 10

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Si utilizamos la fórmula resulta:

x =50 ± 2500

2 5=

50 ± 50

10

x1 = 10

x2 = 0

b) −2x2 + 32 = 0 → −2x2 = −32

→ x2 = 16 → x = ± 16 = ±4

Si utilizamos la fórmula resulta:

x =0 ± 256

2 ( 2)=

±16

4

x1 = 4

x2 = 4

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETAS

Patricia reta a Mercedes a encontrar algún número que, al elevarlo al cuadrado y sumarle su triple, dé como resultado 0.

Mercedes plantea la ecuación: x2 + 3x = 0

Es una ecuación de segundo grado incompleta. Para resolverla:

1 Extraemos factor común: x(x + 3) = 0

Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores debe ser igual a 0.

2 Resolvemos las ecuaciones: x = 0

x + 3 = 0 → x = −3

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

Mercedes puede dar dos soluciones a Patricia, los números 0 y −3.

Mercedes devuelve el reto a Patricia y le pregunta si hay más de un número tal que, al hallar el triple de su cuadrado y restarle 12, se obtenga un resultado igual a 0.

Patricia piensa en la ecuación: 3x2 − 12 = 0

En este caso:

1 Despejamos la única incógnita: 3x2 = 12 → x2 = 4

Como x está elevado a 2, es decir, es una potencia de exponente par, hay dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.

2 Resolvemos la ecuación: x = ± 4 = ±2

Patricia también da dos soluciones a Mercedes: los números 2 y −2.

Una ecuación de segundo grado incompleta es aquella en la que los coeficientes b o c son nulos.

❚ Si c = 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2 + bx = 0

• Se resuelve extrayendo factor común y resolviendo las ecuaciones dadas por los factores.

• Siempre hay dos soluciones y una de ellas es igual a 0.

❚ Si b = 0, la ecuación es de la forma: ax2 + c = 0

• Solo es necesario despejar la incógnita para resolverla.

• Si a y c tienen distinto signo, la ecuación tiene dos soluciones; y si tienen el mismo, no hay soluciones.

❚ Si b = 0 y c = 0, es decir, si la ecuación es de la forma: ax2 = 0

• La ecuación solo tiene una solución: x = 0

DESAFÍO

Resuelve la ecuación: x(x − 2q) = p2 − q228

Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 4x = 0 c) x2 + 5x = 0

b) 2x2 + 12x = 0 d) 3x2 − 7x = 0

Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 81 = 0 c) x2 + 1 = 0

b) 2x2 − 200 = 0 d) 9x2 − 4 = 0

Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0,01x2 − 9 = 0 c) 0,3x2 + 0,7x = 0

b) 0,2x2 − 0,8 = 0 d) 0,8x2 − 4x = 0

Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.

a) 3x2 − 2x = x2 + 6x c) 2x −1( )2 = 5− 4 x

b) x − 2( )2 = 4− 4 x d) 3x − 2( )2 = 1−12x

Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la identidad notable.

a) 2x −7( )2 = 25 c) 4 x − 2( )2 = 196

b) 3x + 2( )2 = 121 d) 2x −1( )2 = 4

Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.

a) Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.

b) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula, entonces tiene dos soluciones no nulas.

21

22

23

24

25

26

} Resuelve la ecuación: x + 12−

x −1( )2

4−

1

6=

x + 2

3−

x − 2( )2

6Solución

Eliminamos los denominadores, multiplicando la ecuación por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (2, 4, 6, 3, 6) = 12

6 x + 1( )− 3 x −1( )2 − 2 = 4 x + 2( )− 2 x − 2( )2

Desarrollamos las identidades notables:

6 x + 1( )− 3 x2 − 2x + 1( )− 2 = 4 x + 2( )− 2 x2 − 4 x + 4( )

Quitamos los paréntesis:

6x + 6 − 3x2 + 6x − 3 − 2 = 4x + 8 − 2x2 + 8x − 8

Reducimos los términos y resolvemos la ecuación:

1 − 3x2 = −2x2 → −x2 = −1 → x2 = 1 → x = ± 1 = ±1

EJERCICIO RESUELTO

Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 6 =82− x2

3 c)

x + 5( ) x −5( )

3+ 8 =

x + 1

4−

7

12

b) x2

5+x

6− 4 +

x − 2

3=

x

2−

14

3 d)

x −1( )2

2+x

3−

5

6=

1

35− 2x( )

27

Aprenderás a… ● Reconocer y resolver ecuaciones de segundo grado incompletas.

Soluciones de las actividades21 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 4x = 0 b) 2x2 + 12x = 0 c) x2 + 5x = 0 d) 3x2 − 7x = 0

a) x1 = 0 y x2 = 4

b) x1 = 0 y x2 = −6

c) x1 = 0 y x2 = −5

d) x1 = 0 y x2 =7

322 Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 81 = 0 c) x2 + 1 = 0

b) 2x2 − 200 = 0 d) 9x2 − 4 = 0

a) x1 = 9 y x2 = −9 c) No tiene solución.

b) x1 = 10 y x2 = −10 d) x1 =2

3y x2 = −

2

3


En este epígrafe veremos que el método más eficaz para resolver ecuaciones de segundo grado en las que el término independiente es nulo consiste en extraer factor común y reducir la ecuación a dos ecuaciones de primer grado. Ob-servaremos que en tal caso x = 0 es siempre una de las soluciones.

Sin embargo, si en la ecuación el coeficiente de x es nulo, para resolverla podemos despejar la incógnita y extraer la raíz cuadrada.

Como se comprueba en el primer ejercicio resuelto, en cual-quiera de los casos anteriores la fórmula vista en el epígrafe anterior es válida también para la resolución de este tipo de ecuaciones.

105

4Ecuaciones


23 Resuelve estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 0,01x2 − 9 = 0 c) 0,3x2 + 0,7x = 0

b) 0,2x2 − 0,8 = 0 d) 0,8x2 − 4x = 0

a) x1 = 30 y x2 = −30 c) x1 = 0 y x2 = −7

3

b) x1 = 2 y x2 = −2 d) x1 = 0 y x2 = 524 Halla las soluciones, si existen, de las ecuaciones propuestas.

a) 3x2 − 2x = x2 + 6x c) (2x − 1)2 = 5 − 4x

b) (x − 2)2 = 4 − 4x d) (3x − 2)2 = 1 − 12x

a) x1 = 0 y x2 = 4 c) x1 = 1 y x2 = −1

b) x = 0 d) No tiene solución.25 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin desarrollar la identidad notable.

a) (2x − 7)2 = 25 b) (3x + 2)2 = 121 c) (4x − 2)2 = 196 d) (2x − 1)2 = 4

a) x1 = 6 y x2 = 1 b) x1 = 0 y x2 =7

3 c) x1 = −3 y x2 = 4 d) x1 =

1

2y x2 =

3

426 Escribe una ecuación que verifique, en cada caso, que el enunciado es falso.

a) Cualquier ecuación de segundo grado incompleta tiene al menos una solución.

b) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución no nula, entonces tiene dos soluciones no nulas.

a) x2 + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que no tiene solución.

b) x2 − x = 0 es una ecuación de segundo grado incompleta que tiene una solución no nula, que es x1 = 1, pero también tiene una solución nula x2 = 0.

27 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 6 =82− x2

3

b) x2

5+x

6− 4 +

x − 2

3=

x

2−

14

3

c) ( x + 5)( x −5)

3+ 8 =

x + 1

4−

7

12

d) ( x −1)2

2+x

3−

5

6=

1

3(5− 2x )

a) 3x2 − 18 = 82 − x2 → 4x2 = 100 → x2 = 25 → x = ±5

b) 6x2 + 5x − 120 + 10x − 20 = 15x − 140 → 6x2 = 0 → x = 0

c) x2 − 25

3+ 8 =

x + 1

4−

7

12→ 4x2 − 100 + 96 = 3x + 3 − 7 → 4x2 − 3x = 0 →

x1 = 0

x2 =3

4

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

d) x2 − 2x + 1

2+x

3−

5

6=

5− 2x

3→ 3x2 − 6x + 3 + 2x − 5 = 10 − 4x → 3x2 − 12 = 0 → x2 = 4 → x = ±2

Desafío28 Resuelve la ecuación: x(x − 2q) = p2 − q2

x2− 2qx + q2 = p2 → (x − q)2 = p2 → x − q = ± p →x1 = q + p

x2 = q− p

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4 Ecuaciones


4. Ecuaciones bicuadradas

73


72

Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 81 = 0 c) x4 − x2 = 0

b) x4 + 40 = 0 d) 3x4 − 27x2 = 0

Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 2x2 + 1 = 0 c) x4 + 5x2 − 6 = 0

b) x4 + 2x2 + 1 = 0 d) x4 − 125x2 + 484 = 0

Expresa estas ecuaciones como ecuaciones bicuadradas y resuélvelas.

a) x2 x2 −5( ) = 6 x + 20( ) 6 x − 20( )

b) x + 5( ) x −5( ) + x + 3( )2 = x 6−13x − x3( )

c) x2 x + 1( ) x −1( ) = x − 2( )2 + x x + 4( )

Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 3( )2 =x2

4

b) x + 1( ) x −1( )

2−

x2 + 3( ) x2 − 3( )

6=

1

3

c) 1

12x4 − 24 x2 + 80( ) =

5

3

x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

2−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

Los números 1 y 3 son soluciones de la ecuación bicuadrada: x4 − ax2 + b = 0¿Cuáles son los valores de a y b?

¿Tiene alguna solución real una ecuación bicuadrada cuyos coeficientes son todos iguales?

Escribe ecuaciones bicuadradas con 0, 1, 2, 3 y 4 soluciones, respectivamente.

29

30

31

32

33

34

35

Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x6 − 63x3 − 64 = 0 b) x8 − 80x4 − 81 = 0 c) x10 − 31x5 − 32 = 0

36

4. ECUACIONES BICUADRADASLucas está inventando ecuaciones y necesita saber cuáles son las soluciones de:

x4 − 16 = 0 y x4 − 4x2 = 0

Se trata de ecuaciones de cuarto grado incompletas.

Para resolverlas utilizamos procedimientos que usamos con las ecuaciones de segundo grado incompletas.

En la ecuación: x4 − 16 = 0

1 Despejamos la única incógnita: x4 = 16

Como x está elevado a 4, es decir, es una potencia de exponente par, hay dos valores posibles, uno positivo y otro negativo, que verifican la expresión.

2 Resolvemos la ecuación: x = ± 164 = ±2

Lucas podrá encontrar dos soluciones: 2 y −2.

En la ecuación: x4 − 4x2 = 0

1 Extraemos factor común: x2 x2 − 4( ) = 0

Obtenemos un producto con resultado nulo; así, al menos uno de los factores debe ser igual a 0.

2 Resolvemos las ecuaciones: x2 = 0 → x = 0

x2 − 4 = 0 → x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪En este caso, obtendrá tres soluciones: 0, 2 y −2.

Después, Lucas quiere determinar las soluciones de estas otras ecuaciones:

x4 − 5x2 + 4 = 0 y x4 − 3x2 − 4 = 0

Estas ecuaciones de cuarto grado son de la forma ax4 + bx2 + c = 0. Para resolverlas, podemos realizar un cambio de variable con el que las transformamos en ecuaciones de segundo grado mediante las propiedades de las potencias:

p = x2 → p2 = x2( )2 = x4

Así, para resolver las ecuaciones:

x4 − 5x2 + 4 = 0 x4 − 3x2 − 4 = 0

1 Cambiamos la variable:

p2 − 5p + 4 = 0 p2 − 3p − 4 = 0

2 Resolvemos la ecuación de segundo grado que obtenemos:

p =5 ± 25 16

2

p1 = 4

p2 = 1 p =3 ± 9 + 16

2

p1 = 4

p2 = 1

3 Deshacemos el cambio de variable con cada solución:

x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

x2 = 1→ x = ± 1 = ±1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

x2 = −1→ No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Las soluciones de x4 − 5x2 + 4 = 0 son 2, −2, 1, −1.

Las soluciones de x4 − 3x2 − 4 = 0 son 2 y −2.

Las ecuaciones bicuadradas son las ecuaciones de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0, siendo a, b y c números reales conocidos y a ≠ 0.

Para resolverlas, primero se pueden transformar con un cambio de variable:

p = x2 → ap2 + bp + c = 0

Después, se resuelve la ecuación de segundo grado, y por último, se deshace el cambio para calcular las posibles soluciones.

Presta atención

El número máximo de soluciones reales de una ecuación coincide con su grado.

} Resuelve la ecuación: x6 − 35x3 + 216 = 0

Solución

1 Transformamos la ecuación mediante el cambio de variable: p = x3

p2 − 35p + 216 = 0

2 Resolvemos la ecuación de segundo grado obtenida:

p =35 ± 1225 864

2=

35 ± 19

2

p1 = 27

p2 = 8

3 Deshacemos el cambio de variable con cada solución:

x3 = 27 → x = 273 = 3 x3 = 8 → x = 83 = 2

La ecuación tiene dos soluciones: 2 y 3.

EJERCICIO RESUELTO

Presta atención

Si x = d es una solución de la ecuación bicuadrada:

ax4 + bx2 + c = 0

entonces x = −d también es una solución.

DESAFÍO

Para cada par de números reales, a y b, se considera la ecuación bicuadrada: x4 − a2 − b2( ) x2 − a2b2 = 0

Expresa las soluciones de la ecuación en función de los valores de a y de b.

37

Aprenderás a… ● Reconocer ecuaciones bicuadradas.

● Calcular las soluciones de una ecuación bicuadrada.

Soluciones de las actividades29 Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 81 = 0 b) x4 + 40 = 0 c) x4 − x2 = 0 d) 3x4 − 27x2 = 0

a) x1 = 3 y x2 = −3 b) No tiene solución. c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −1 d) x1 = 0, x2 = 3 y x3 = −330 Calcula, si existen, las soluciones de las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 2x2 + 1 = 0 b) x4 + 2x2 + 1 = 0 c) x4 + 5x2 − 6 = 0 d) x4 − 125x2 + 484 = 0

a) Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 − 2p + 1 = 0 → (p − 1)2 = 0 → p = 1 → x2 = 1 → x = ±1

b) Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 + 2p + 1 = 0 → (p + 1)2 = 0 → p = −1 → x2 = −1 → No tiene solución.

c) Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 + 5p − 6 = 0 → p1 = 1→ x2 = 1→ x = ±1

p2 = −6 → x2 = −6 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

d) Transformamos la ecuación: p = x2 → p2 − 125p + 484 = 0 → p1 = 121→ x2 = 121→ x = ±11

p2 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


Introducimos la resolución de ecuaciones bicuadradas. En primer lugar conviene resolver ecuaciones incompletas ex-trayendo factor común o despejando la incógnita, como ya hicimos con las ecuaciones de segundo grado.

A continuación podemos resolver ecuaciones bicuadradas completas. Podemos facilitar su resolución mediante un cambio de variable de modo que la ecuación resultante sea de segundo grado. Conviene insistir en que una vez resuel-

ta esta debemos sustituir los valores obtenidos en la igual-dad que nos proporcionó el cambio de variable, esto es, se debe deshacer el cambio, para así obtener las soluciones de la ecuación de partida.

Parece interesante mostrar ecuaciones bicuadradas con 4, 3, 2, 1 y ninguna solución real, para que el alumno sea consciente de que se pueden dar cualquiera de las cinco situaciones anteriores.

107

4Ecuaciones


31 Expresa estas ecuaciones como ecuaciones bicuadradas y resuélvelas.

a) x2(x2 − 5) = (6x + 20)(6x − 20)

b) (x + 5)(x − 5) + (x + 3)2 = x(6 − 13x − x3)

c) x2(x + 1)(x − 1) = (x − 2)2 + x(x + 4)

a) x4 − 5x2 = 36x2 − 400 → x4 − 41x2 + 400 = 0

p = x2 → p2 − 41p + 400 = 0 → p1 = 25 → x2 = 25 → x = ±5

p2 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪b) x2 − 25 + x2 + 6x + 9 = 6x − 13x2 − x4 → x4 + 15x2 − 16 = 0

p = x2 → p2 + 15p − 16 = 0 → p1 = 1→ x2 = 1→ x = ±1


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪c) x4 − x2 = x2 − 4x + 4 + x2 + 4x → x4 − 3x2 − 4 = 0

p = x2 → p2 − 3p − 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 = −1→ x2 = −1→ No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪32 Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) ( x2 − 3)2 =x2

4

b) ( x + 1)( x −1)

2−

( x2 + 3)( x2 − 3)

6=

1

3

c) 1

12( x4 − 24 x2 + 80) =

5

3

x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

2−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

a) 4(x4 − 6x2 + 9) = x2 → 4x4 − 25x2 + 36 = 0

p = x2 → 4p2 − 25p + 36 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 =9

4→ x2 =

9

4→ x = ±

3

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) x2 −1

2−

x4 − 9

6=

1

3→ 3x2 − 3 − x4 + 9 = 2 → x4 − 3x2 − 4 = 0

p = x2 → p2 − 3p − 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

c) 1

12( x4 − 24 x2 + 80) =

5

3

x2

4−1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟→ x4 − 24x2 + 80 = 5x2 − 20 → x4 − 29x2 + 100 = 0

p = x2 → p2 − 29p + 100 = 0 → p1 = 25 → x2 = 25 → x = ±5

p2 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

33 Los números 1 y 3 son soluciones de la ecuación bicuadrada: x4 − ax2 + b = 0

¿Cuáles son los valores de a y b?

Como x = 1 es una solución:

14 − a ⋅ 1 + b = 0 → b = a − 1

Así la ecuación es de la forma:

x4 − ax2 + a − 1 = 0

Como x = 3 también es una solución:

3( )4 − a 3( )2 + a−1 = 0 → 9 − 3a + a − 1 = 0 → a = 4

Entonces: b = 3

4 Ecuaciones


34 ¿Tiene alguna solución real una ecuación bicuadrada cuyos coeficientes son todos iguales?

Consideramos la ecuación de la forma: ax4 + ax2 + a = 0 con un número real a no nulo.

Simplificando: x4 + x2 + 1 = 0

p = x2 → p2 + p + 1 = 0 → p =−1± 1− 4

2 → No tiene solución.

Luego la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales.35 Escribe ecuaciones bicuadradas que tengan 0, 1, 2, 3 y 4 soluciones, respectivamente.

Respuesta abierta, por ejemplo:

❚❚ x4 + x2 + 1 = 0 no tiene soluciones.

❚❚ x4 = 0 tiene una única solución: x = 0

❚❚ x4 − 2x2 + 1 = 0 tiene dos soluciones.

❚❚ x4 − x2 = 0 tiene tres soluciones.

❚❚ x4 − 5x2 + 4 = 0 tiene cuatro soluciones.36 Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x6 − 63x3 − 64 = 0 b) x8 − 80x4 − 81 = 0 c) x10 − 31x5 − 32 = 0

a) p = x3 → p2 − 63p − 64 = 0 → p =63 ± 65

2→

p1 = 64 → x2 = 64 → x = ±8


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) p = x4 → p2 − 80p − 81 = 0 → p =80 ± 82

2→

p1 = 81→ x2 = 81→ x = ±9


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

c) p = x5 → p2 − 31p − 32 = 0 → p =31± 33

2→ p1 = 32 → x2 = 32 → x = ± 32 = ±4 2


⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

Desafío37 Para cada par de números reales, a y b, se considera la ecuación bicuadrada: x4 − (a2 − b2)x2 − a2b2 = 0

Expresa las soluciones de la ecuación en función de los valores de a y de b.

p = x2 → p2− (a2 − b2)p − a2b2 = 0 → p =a2 − b2 ± (a2 − b2 )2 − 4a2b2

2=

=a2 − b2 ± a4 − 2a2b2 − b4 + 4a2b2

2=a2 − b2 ± a4 + 2a2b2 − b4

2=

=a2 − b2 ± (a2 + b2 )2

2=a2 − b2 ± (a2 + b2 )

2→

p1 = a2 → x2 = a2 → x = ±a

p2 = −b2 → x2 = −b2

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪❚❚ Si a > 0 y b ≠ 0 entonces las soluciones de la ecuación son los números: a y −a

❚❚ Si a > 0 y b = 0 entonces las soluciones de la ecuación son los números: 0, a y −a

109

4Ecuaciones


5. Resolución de ecuaciones por factorización

75


74

Resuelve estas ecuaciones.

a) x −12( ) x + 5( ) 2x −10( ) = 0 c) x2 − x( ) x + 2( ) = 0

b) x2 − 9( ) x + 6( ) x −1( ) = 0 d) x4 x2 − 25( ) = 0

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones, factorizando previamente.

a) x2 − 14x + 49 = 0 d) x4 − 16 = 0

b) x2 − 144 = 0 e) 4x2 + 20x + 25 = 0

c) x2 + 18x + 81 = 0 f) 9x3 + 12x2 + 4x = 0

Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con su factorización. Teniendo en cuenta esa factorización, resuelve las ecuaciones que se encuentran a continuación.

2x2 + 3x − 2 (2x + 3)(3x + 4)

x2 − 5x + 6 (x + 10)(x − 12)

x2 − 2x − 120 (x + 2)(2x − 1)

6x2 + 17x + 12 (x − 2)(x − 3)

a) 2x2 + 3x − 2 = 0 c) x2 − 2x − 120 = 0

b) x2 − 5x + 6 = 0 d) 6x2 + 17x + 12 = 0

Calcula, por factorización, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x3 − 11x2 + 31x − 21 = 0 c) x3 − 22x2 + 89x − 68 = 0

b) x3 − 21x2 + 111x − 91 = 0 d) x3 + 3x2 − 25x + 21 = 0

Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) x4 − 1 = 0 c) x6 − 13x4 + 36x2 = 0

b) x5 − 5x3 + 4x = 0 d) 2x5 − 200x = 0

Factoriza el polinomio P(x) y resuelve la ecuación P(x) = 0 en cada caso.

a) P(x) = x3 − 7x2 + 7x + 15 c) P(x) = x3 − x2 − 40x + 112

b) P(x) = x4 + 8x3 − 4x2 − 32x d) P(x) = x3 − 3x2 − 16x − 12

38

39

40

41

42

43

Resuelve por factorización estas ecuaciones.

a) x2 − 4x + 2 = 0 b) x2 + 2x − 4 = 0

44

5. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR FACTORIZACIÓN

Hemos visto que para resolver la ecuación x2 + 3x = 0 podemos factorizar el polinomio P(x) = x2 + 3x e igualarlo a 0, es decir, x(x + 3) = 0.

Como obtenemos un producto con resultado nulo, podemos afirmar que al menos uno de los factores debe ser igual a 0, y resolvemos las ecuaciones de primer grado.

Del mismo modo, para hallar las soluciones de la ecuación:

x5 + x4 − 60 x3 − 4 x2 + 224 x = 0 → x x2 − 4( ) x + 8( ) x −7( ) = 0

Resolvemos estas ecuaciones:

x = 0

x2 − 4 = 0 → x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

x + 8 = 0 → x = −8

x −7 = 0 → x = 7

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

Así, las soluciones son los números −8, −2, 0, 2 y 7.

Las raíces enteras de un polinomio son divisores de su término independiente.

Recuerda

Aprenderás a… ● Resolver ecuaciones de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio que se puede factorizar.

} Resuelve por factorización las ecuaciones:

a) x2 − 12x + 35 = 0 b) x3 + x2 − 145x + 143 = 0

Solución

a)

b)

EJERCICIO RESUELTO

} Resuelve por factorización la ecuación: x2 − 2x − 18 = 0

Solución

Como x2 − 2x + 1 = x −1( )2 , podemos escribir la expresión algebraica como:

x2 − 2x + 1− 1−18 = x2 − 2x + 1−19 = x −1( )2 − 19( )2

Factorizamos: x −1( )2 − 19( )2 = x −1+ 19( ) x −1− 19( )

Y resolvemos las ecuaciones: x −1+ 19 = 0 → x = 1− 19

x −1− 19 = 0 → x = 1+ 19

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

EJERCICIO RESUELTO

DESAFÍO

Factoriza el polinomio P(x) = x10 − 55x8 + 1 023x6 − 7 645x4 + 21 076x2 − 14 400 y después, resuelve la ecuación: P(x) = 0

45

mac3e14

mac3e15

Soluciones de las actividades38 Resuelve estas ecuaciones.

a) (x − 12)(x + 5)(2x − 10) = 0 c) (x2 − x)(x + 2) = 0

b) (x2 − 9)(x + 6)(x − 1) = 0 d) x4(x2 − 25) = 0

a) x1 = 12, x2 = −5 y x3 = 5 c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −2

b) x1 = −3, x2 = 3, x3 = −6 y x4 = 1 d) x1 = 0, x2 = −5 y x3 = 5


Es conveniente explicar que existen fórmulas para la reso-lución de las ecuaciones generales de grado tres y cuatro, aunque no se estudian en esta unidad por su elevada com-plejidad.

Sin embargo, sí estudiaremos las ecuaciones de grado ma-yor o igual que dos cuyas soluciones son números enteros.

Para resolver las ecuaciones polinómicas de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio de grado mayor o igual que dos, emplearemos la regla de Ruffini y cada vez que encontremos una raíz x = a del polinomio P(x) lo factoriza-remos como (x − a) ⋅ Q(x), de modo que el grado del poli-nomio Q(x) será una unidad menor que el de P(x).

Es conveniente también repasar la factorización de polino-mios y la regla de Ruffini que aparecieron en la unidad an-terior para realizar las actividades con más soltura.

Vídeos. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR FACTORIZACIÓN 1 Y 2

Para completar la explicación del libro sobre la resolución de ecuaciones se resuelve paso a paso el ejercicio propuesto con una ecuación de segundo grado y otra de tercer grado.

4 Ecuaciones


39 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones, factorizando previamente.

a) x2 − 14x + 49 = 0 c) x2 + 18x + 81 = 0 e) 4x2 + 20x + 25 = 0

b) x2 − 144 = 0 d) x4 − 16 = 0 f) 9x3 + 12x2 + 4x = 0

a) (x − 7)2 = 0 → x = 7 d) (x2 + 4)(x − 2)(x + 2) = 0 → x1 = 2 y x2 = −2

b) (x − 12)(x + 12) = 0 → x1 = 12 y x2 = −12 e) (2x + 5)2 = 0 → x = −5

2

c) (x + 9)2 = 0 → x = −9 f) x(3x + 2)2 = 0 → x1 = 0 y x2 = −2

340 Copia en tu cuaderno y asocia cada polinomio con su factorización. Teniendo en cuenta esa factorización, resuelve las

ecuaciones que se encuentran a continuación.

2x2 + 3x − 2 (2x + 3)(3x + 4)

x2 − 5x + 6 (x + 10)(x − 12)

x2 − 2x − 120 (x + 2)(2x − 1)

6x2 + 17x + 12 (x − 2)(x − 3)

a) 2x2 + 3x − 2 = 0 → (x + 2)(2x − 1) = 0 → x1 = −2 y x2 =1

2

b) x2 − 5x + 6 = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0 → x1 = 2 y x2 = 3

c) x2 − 2x − 120 = 0 → (x + 10)(x − 12) = 0 → x1 = −10 y x2 = 12

d) 6x2 + 17x + 12 = 0 → (2x + 3)(3x + 4) = 0 → x1 = −3

2 y x2 = −

4

341 Calcula, por factorización, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x3 − 11x2 + 31x − 21 = 0 c) x3 − 22x2 + 89x − 68 = 0

b) x3 − 21x2 + 111x − 91 = 0 d) x3 + 3x2 − 25x + 21 = 0

a) (x − 1)(x − 3)(x − 7) = 0 → x1 = 1, x2 = 3 y x3 = 7 c) (x − 1)(x − 4)(x − 17) = 0 → x1 = 1, x2 = 4 y x3 = 17

b) (x − 1)(x − 7)(x − 13) = 0 → x1 = 1, x2 = 7 y x3 = 13 d) (x − 1)(x − 3)(x + 7) = 0 → x1 = 1, x2 = 3 y x3 = −742 Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) x4 − 1 = 0 b) x5 − 5x3 + 4x = 0 c) x6 − 13x4 + 36x2 = 0 d) 2x5 − 200x = 0

a) (x2 + 1)(x − 1)(x + 1) = 0 → x1 = 1 y x2 = −1

b) x(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) = 0 → x1 = 0, x2 = 1, x3 = −1, x4 = 2 y x5 = −2

c) x2(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0 → x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2, x4 = 3 y x5 = −3

d) x(x2 + 10)( x2 − 10) = 0 → x1 = 0, x2 = − 10 y x3 = 10

43 Factoriza el polinomio P(x) y resuelve la ecuación P(x) = 0 en cada caso.

a) P(x) = x3 − 7x2 + 7x + 15 c) P(x) = x3 − x2 − 40x + 112

b) P(x) = x4 + 8x3 − 4x2 − 32x d) P(x) = x3 − 3x2 − 16x − 12

a) (x + 1)(x − 3)(x − 5) = 0 → x1 = −1, x2 = 3 y x3 = 5

b) x(x − 2)(x + 2)(x + 8) = 0 → x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2 y x4 = −8

c) (x − 4)2(x + 7) = 0 → x1 = 4 y x2 = −7

d) (x + 1)(x + 2)(x − 6) = 0 → x1 = −1, x2 = −2 y x3 = 644 Resuelve por factorización estas ecuaciones.

a) x2 − 4x + 2 = 0 b) x2 + 2x − 4 = 0

a) x2 − 4x + 4 − 2 = (x − 2)2 − 2 = ( x − 2)2 − 2( )2 = x − 2 + 2( ) x − 2− 2( ) = 0 → x1 = 2− 2 y x2 = 2 + 2

b) x2 + 2x + 1 − 5 = (x + 1)2 − 5 = ( x + 1)2 − 5( )2 = x + 1+ 5( ) x + 1− 5( ) = 0 → x1 = −1− 5 y x2 = −1+ 5

Desafío45 Factoriza el polinomio P(x) = x10 − 55x8 + 1 023x6 − 7 645x4 + 21 076x2 − 14 400 y después, resuelve la ecuación: P(x) = 0

p = x2 → P(p) = p5 − 55p4 + 1 023p3 − 7 645p2 + 21 076p − 14 400 = (p − 1)(p − 4)(p − 9)(p − 16)(p − 25)

Deshaciendo el cambio de variable:

P(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)(x2 − 9)(x2 − 16)(x2 − 25) = (x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)(x − 3)(x + 3)(x − 4)(x + 4)(x − 5)(x + 5)

Las soluciones de la ecuación P(x) = 0 son los números: 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, −4, 5 y −5

111

4Ecuaciones



En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:

❚❚ Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

❚❚ Calcular las soluciones de una ecuación bicuadrada.

❚❚ Obtener, por factorización, las soluciones enteras de ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que dos.

Actividades finalesSoluciones de las actividades46 Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de la primera columna con aquellas de las columnas segunda y tercera

que sean equivalentes a ella.

6x − 1 = x + 9 x + 1 = 2 x + 2 = 5

2(x − 1) = 0 x = 2 2x + 7 = 15

4x = 12 8(x − 1) = 16 3x + 5 = 11

7x − 25 = 3 2(x − 2) = 8 − x 2x + 5 = 7

6x − 1 = x + 9 ↔ x = 2 ↔ 3x + 5 = 11

2(x − 1) = 0 ↔ x + 1 = 2 ↔ 2x + 5 = 7

4x = 12 ↔ 8(x − 1) = 16 ↔ x + 2 = 5

7x − 25 = 3 ↔ 2(x − 2) = 8 − x ↔ 2x + 7 = 15

¿Qué tienes que saber?

76 77

¿QUÉ4 tienes que saber? Actividades Finales 4

¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?

¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas de modo que la tercera parte de lo que le corresponde a la primera supere en 120 € a la mitad de lo que le corresponde a la segunda?

Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de sus lados.

Ecuaciones de segundo grado

Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) x 7x − 2( ) = 1

b) 3x2 −5 x = 3x + 1( ) 3x −1( )

c) (2x + 1)(2x −1)

4−

x

3= x2 −5

d) x(3x − 8) = x2 + x + 1

Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 5x − 84 = 0

b) x2 − 18x + 77 = 0

c) x2 + 3x − 18 = 0

d) 6x2 + x − 15 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) (x − 8)(x + 4) = 13

b) 2x + 5( ) 2x −5( )− 6 = ( x −7)2 + 25 xc) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40

Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el producto de sus soluciones.

a) x2 − 2x − 13 = 0

b) x2 − 12x + 6 = 0

c) x2 + 8x − 11 = 0

d) x2 + 9x + 5 = 0

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 9x2 + 3x = 0

b) x2 + 11x = 0

c) 5x2 − 10x = 0

d) 6x2 − 15x = 0

53

54

55

56

57

58

59

60

Ecuaciones de primer grado

Copia en tu cuaderno y empareja cada ecuación de la primera columna con aquellas de las columnas segunda y tercera que sean equivalentes a ella.

46

Encuentra el valor del número a si x =2

3 es solución

de la ecuación: a(x − 2) = x − a

Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)

b) 7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)

c) 0,3x

0,2+ 0,6 x = 1,69 − 0,52

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 4

5−

3x

2=−8

1253

b) x + 2

3−

x

5= 2 +

3− x

10

c) 12x −1

3− x =

15 x + 4

3−

2x + 3

2

Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 111.

¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero hace 14 años la triplicaba?

¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos de dos en dos hay que dar tres saltos más que subiéndolos de tres en tres?

47

48

49

50

51

52

Resuelve la ecuación: x −1

4−

x + 5

9=

x −5

36

1 Para eliminar los denominadores, multiplicamos por su mínimo común múltiplo: m.c.m. (4, 9, 36) = 36

x −1

4−

x + 5

9=

x −5

36→ 9( x −1)− 4( x + 5) = x −5

2 Resolvemos los paréntesis y reducimos los términos semejantes: 9x − 9 − 4x − 20 = x − 5 → 5x − 29 = x − 53 Transponemos los términos y despejamos: 5x − x = 29 − 5 → 4x = 24 → x = 6

Ecuaciones de primer gradoTen en cuentaUna ecuación de primer grado es una igualdad de dos miembros que puede expresarse de la forma:

ax + b = 0

donde a y b son números reales conocidos, a ≠ 0, llamados coeficientes de la ecuación, y x es la incógnita, el valor desconocido.

Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) 3x2 − 48 = 0 b) 5x2 + 35x = 0 c) x2 − 13x + 36 = 0

a) Despejamos la incógnita: 3x2 = 48 → x2 = 16

Resolvemos la ecuación: x2 = 16 → x = ±4

b) Extraemos factor común: 5x2 + 35x = 0 → 5x(x + 7) = 0

Resolvemos las ecuaciones: 5 x = 0 → x = 0

x + 7 = 0 → x = −7

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

c) Aplicamos la fórmula: x =13 ± 169 4 1 36

2 1=

13 ± 5

2

x1 = 9

x2 = 4

Ecuaciones de segundo gradoTen en cuentaUna ecuación de segundo grado es una igualdad que puede expresarse de la forma:

ax2 + bx + c = 0

donde a, b y c son números reales conocidos, a ≠ 0, llamados coeficientes de la ecuación, y x es la incógnita, el valor desconocido.

Las soluciones se pueden obtener mediante la fórmula:

x =−b ± b2 − 4ac

2a

Resuelve la ecuación: x4 − 13x2 + 36 = 0

1 Cambiamos la variable: p = x2 → p2 = x2( )2 = x4

2 Escribimos la nueva ecuación: p2 − 13p + 36 = 0

3 Resolvemos la ecuación: p =13 ± 25

2

p1 = 9

p2 = 4

4 Deshacemos el cambio de variable: x2 = 9 → x = ± 9 = ±3

x2 = 4 → x = ± 4 = ±2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

Ecuaciones bicuadradasTen en cuentaLas ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado de la forma:

ax4 + bx2 + c = 0

donde a, b y c son números reales conocidos y a ≠ 0.

Para resolverlas podemos realizar este cambio de variable:

p = x2

Resuelve por factorización la ecuación: 4x3 − 40x2 + 100x = 0

Sacamos factor común 4x: 4 x x2 −10 x + 25( ) = 0

Reconocemos la identidad notable: 4 x x −5( )2 = 0

Resolvemos las ecuaciones dadas por cada factor:4 x = 0 → x = 0

x −5( )2 = 0 → x −5 = 0 → x = 5

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Resolución de ecuaciones por factorizaciónTen en cuentaLas soluciones de una ecuación coinciden con las raíces del polinomio con la misma expresión algebraica.

6x − 1 = x + 9 x + 1 = 2 x + 2 = 5

2(x − 1) = 0 x = 2 2x + 7 = 15

4x = 12 8(x − 1) = 16 3x + 5 = 11

7x − 25 = 3 2(x − 2) = 8 − x 2x + 5 = 7

4 Ecuaciones


47 Encuentra el valor del número a si x =2

3 es solución de la ecuación: a(x − 2) = x − a

a2

3− 2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

2

3− a →

2a

3− 2a =

2

3− a → 2a − 6a = 2 − 3a → a = −2

48 Resuelve estas ecuaciones de primer grado.

a) 0,3x + 0,8 = 5(0,22x − 0,1)

b) 7(0,6x − 0,2) = 0,2(x + 5)

c) 0,3x

0,2+ 1,6 x = 1,69 − 0,52

a) x =13

8 b) x =

3

5 c) x =

21

6249 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) 4

5−

3x

2=−8

1253

b) x + 2

3−

x

5= 2 +

3− x

10

c) 12x −1

3− x =

15 x + 4

3−

2x + 3

2

a) x =4

5 b) x = 7 c) x = −

1

650 Halla tres números enteros consecutivos cuya suma sea 111.

Si x es el segundo de los números buscados, ordenados de menor a mayor, el anterior es x − 1, y el siguiente, x + 1.

En consecuencia: x − 1 + x + x + 1 = 111 → 3x = 111 → x = 37

Los tres números son: 36, 37 y 3851 ¿Cuáles son las edades de un padre y su hija si la edad actual del padre es el doble de la de la hija, pero hace 14 años la

triplicaba?

Si x es la edad actual de la hija, expresada en años, la de su padre es 2x.

Sabemos que: 2x − 14 = 3(x − 14) → 2x − 14 = 3x − 42 → x = 28

Luego la hija tiene 28 años, y su padre, 56.52 ¿Cuántos peldaños tiene una escalera si subiéndolos de dos en dos hay que dar tres saltos más que subiéndolos de tres

en tres?

Si x es el número de peldaños de la escalera se cumple que: x

2= 3 +

x

3→ 3x = 18 + 2x → x = 18

Por tanto la escalera tiene 18 peldaños.53 ¿Qué edad tiene ahora Emilio si dentro de 4 años tendrá el triple de años de los que tenía hace 24 años?

Si Emilio tiene ahora x años se cumple que: x + 4 = 3(x − 24) → x + 4 = 3x − 72 → x = 38

Luego Emilio tiene 38 años.54 ¿Cómo deben repartirse 2 400 € entre dos personas de modo que la tercera parte de lo que le corresponde a la primera

supere en 120 € a la mitad de lo que le corresponde a la segunda?

Llamamos x a la cantidad, expresada en euros, que le corresponde a la primera persona, por lo que a la segunda le co-rresponden: 2 400 − x

Se cumple que: x

3= 120 +

2400− x

2→ 2x = 720 + 7 200 − 3x → 5x = 7 920 → x = 1 584

En consecuencia, la primera persona recibe 1 584 €, y la segunda: 2 400 − 1 584 = 816 €

113

4Ecuaciones


55 Las áreas de dos cuadrados difieren en 117 cm2, y sus perímetros, en 36 cm, calcula las longitudes de sus lados.

Como los perímetros difieren en 36 cm, las longitudes de los lados difieren en 9 cm.

Por tanto, si el lado del cuadrado pequeño mide x, el lado del cuadrado grande mide x + 9.

Entonces las áreas de los cuadrados miden (x + 9)2 y x2, respectivamente.

Así: x2 + 117 = (x + 9)2 → x2 + 117 = x2 + 18x + 81 → 18x = 36 → x = 2

En consecuencia los lados de estos cuadrados miden 2 y 11 cm, respectivamente.56 Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado.

a) x 7x − 2( ) = 1

b) 3x2 −5 x = 3x + 1( ) 3x −1( )

c) (2x + 1)(2x −1)

4−

x

3= x2 −5

d) x(3x − 8) = x2 + x + 1

a) Se trata de la ecuación 7x2 − 2x −1 = 0 , que es de segundo grado.

b) 3x2 − 5x = 3x2 − 1 → −5x = −1, que es de primer grado.

c) 4 x2 −1

4−

x

3= x2 −5 → 12x2 − 3 − 4x = 12x2 − 60 → −4x = −57, que es de primer grado.

d) 3x2 − 8x = x2 + x + 1→ 2x2 − 9x − 1 = 0, que es de segundo grado.57 Halla las soluciones de estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 − 5x − 84 = 0 c) x2 + 3x − 18 = 0

b) x2 − 18x + 77 = 0 d) 6x2 + x − 15 = 0

a) x1 = 12 y x2 = −7 c) x1 = 3 y x2 = −6

b) x1 = 11 y x2 = 7 d) x1 =3

2 y x2 = −

5

358 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) (x − 8)(x + 4) = 13

b) 2x + 5( ) 2x −5( )− 6 = ( x −7)2 + 25 x

c) (x + 2)2 + (x − 2)2 = 40

a) x1 = 9 y x2 = −5 b) x1 = 16 y x2 = −5 c) x1 = 4 y x2 = −459 Determina, sin resolver las ecuaciones, la suma y el producto de sus soluciones.

a) x2 − 2x − 13 = 0

b) x2 − 12x + 6 = 0

c) x2 + 8x − 11 = 0

d) x2 + 9x + 5 = 0

Denotamos s la suma de las soluciones y p su producto.

a) s = 2, p = −13 b) s = 12, p = 6 c) s = −8, p = −11 d) s = −9, p = 560 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) 9x2 + 3x = 0 c) 5x2 − 10x = 0

b) x2 + 11x = 0 d) 6x2 − 15x = 0

a) x1 = 0 y x2 = −1

3 c) x1 = 0 y x2 = 2

b) x1 = 0 y x2 = −11 d) x1 = 0 y x2 =5

2

4 Ecuaciones


78 79

Actividades Finales 44 Ecuaciones

} Halla las soluciones de la ecuación:

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

Solución

Expresamos la diferencia de cuadrados como producto de una suma por una diferencia:

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

x

3+ 3

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

5 x

3+ 2

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ = 0

Simplificamos los factores:

(2x + 5) −4 x

3+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ = 0

Resolvemos las ecuaciones dadas por los factores:

2x + 5 = 0 → x = −5

2 −

4 x

3+ 1 = 0 → x =

3

4

EJERCICIO RESUELTO

Resolución de ecuaciones por factorización

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x −7( ) x + 3( ) 2x −16( ) = 0

b) x2 − 25( ) x − 36( ) x2 −1( ) = 0

c) x3 − x2( ) x + 3( ) = 0

d) x3 x2 − 225( ) = 0

Halla, factorizando previamente, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 − 49 = 0 c) x2 + 32x + 256 = 0

b) x2 − 18x + 81 = 0 d) x2 − 196 = 0

Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0

Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0

Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones de la ecuación.

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0

b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0

90

91

92

93

94

Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) 2x + 5( )2 − 4 x + 9( )2 = 0

b) 0,7 x + 1,5( )2 − 0,3x + 0,7( )2 = 0

c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

95

Ecuaciones bicuadradas

Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 28x2 + 195 = 0

b) x4 + 3x2 + 4 = 0

c) x4 − 14x2 + 49 = 0

d) x4 + 4x2 − 4 = 0

e) x4 − 75x2 + 486 = 0

f) x4 + 10x2 + 25 = 0

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0.

Halla las soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones.

a) x2 x2 + 1( )

8=

3

2

b) x4

2− x2 − 4 = 0

c) x4 + 2

5−

x4 + x2

2=

3x2 + 1

10

d) 3 x4 −11( )

5−

2 x4 − 60( )

7= 36

Determina las soluciones, si existen, de estas ecuaciones.

a) 2x6 − 3x3 + 1 = 0

b) x8 − 76x4 − 405 = 0

Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 5 x2 = x2 + 6( ) x2 − 6( )

b) x2 + 1( ) 2x2 − 6( ) = 5 x2 − 2( )

Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las identidades notables.

a) x2 + 1( )2 = 4

b) x2 −1( )2 −1 = 0

Encuentra los valores del número a para los que la ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos soluciones.

Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones

sean: − 2, 2 , − 3 y 3

Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen 41, si el producto de sus cuadrados es 400.

¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es 4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?

¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones distintas?

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras de modo que su área sea la indicada en cada caso.

a) Área = 78 u2

x + 1

x

b) Área = 88 u2

x

x + 2

x – 2

c) Área = 63 u2

x + 5x

El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área, 51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.

Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de área si la longitud de la base excede en 7 m a la de la altura.

Encuentra dos números enteros impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 290.

Determina dos números enteros pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 164.

Halla un número entero de dos cifras cuyo producto sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas exceda en 2 a la de las unidades.

La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad más la cuarta parte de la longitud del lado del otro. ¿Cuánto miden dichos lados?

72

73

74

75

76

77

78

Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 196 = 0

b) x2 + 3 = 0

c) 2x2 − 2 048 = 0

d) 4x2 − 36 = 0

Indica el número de soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin resolverlas.

a) 7x2 − 2x − 3 = 0

b) x2 − 14x + 49 = 0

c) x2 + 3x + 4 = 0

d) 11x2 + 3x − 7 = 0

e) 5x2 − 4x − 1 = 0

f) x2 − 2x + 1 = 0

g) x2 + 6x + 10 = 0

h) x2 + x − 1 = 0

Determina, si existe, un número positivo que verifique que el doble de su cuadrado menos la tercera parte de su cuadrado es igual a 60.

Halla un número natural si el cuadrado del siguiente es igual a su doble más 37 unidades.

Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo producto sea 480.

Encuentra el valor del número a para que la ecuación 3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.

¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación x2 − ax = 2 tenga una única solución?

Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución igual a 0, entonces también tiene otra solución no nula.

b) Las soluciones de una ecuación de segundo grado incompleta cumplen que o bien su suma o bien su producto son iguales a 0.

Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo producto sea −117.

La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 365. Calcula dichos números.

En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.

13 cm

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

61 Halla las soluciones, si existen, de estas ecuaciones de segundo grado incompletas.

a) x2 − 196 = 0 c) 2x2 − 2 048 = 0

b) x2 + 3 = 0 d) 4x2 − 36 = 0

a) x1 = 14 y x2 = −14 c) x1 = 32 y x2 = −32

b) No tiene solución. d) x1 = 3 y x2 = −362 Indica el número de soluciones de estas ecuaciones de segundo grado sin resolverlas.

a) 7x2 − 2x − 3 = 0 e) 5x2 − 4x − 1 = 0

b) x2 − 14x + 49 = 0 f) x2 − 2x + 1 = 0

c) x2 + 3x + 4 = 0 g) x2 + 6x + 10 = 0

d) 11x2 + 3x − 7 = 0 h) x2 + x − 1 = 0

a) ∆ = 88 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones. e) ∆ = 36 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.

b) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución. f) ∆ = 0 → La ecuación tiene una solución.

c) ∆ = −7 < 0 → La ecuación no tiene solución. g) ∆ = −4 < 0 → La ecuación no tiene solución.

d) ∆ = 317 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones. h) ∆ = 5 > 0 → La ecuación tiene dos soluciones.63 Determina, si existe, un número positivo que verifique que el doble de su cuadrado menos la tercera parte de su cuadrado

es igual a 60.

Llamamos x al número buscado.

Este número debe cumplir que: 2x2 −x2

3= 60 → 6x2 − x2 = 180 → 5x2 = 180 → x2 = 36 → x = ±6

El número positivo es 6.

115

4Ecuaciones


64 Halla un número natural si el cuadrado del siguiente es igual a su doble más 37 unidades.

Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1

Entonces: (x + 1)2 = 2x + 37 → x2 + 1 = 37 → x2 = 36 → x = ±6

El número natural es 6.65 Encuentra dos números que sumen 68 y cuyo producto sea 480.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 68 − x

Entonces: x(68 − x) = 480 → x2 − 68x + 480 = 0 → x1 = 60 y x2 = 8

Los números son 60 y 8.66 Encuentra el valor del número a para que la ecuación 3x2 − 6x + a = 0 tenga una única solución.

El discriminante ∆ = 36 − 12a ha de ser nulo, así que: a = 367 ¿Existe algún número real, a, tal que la ecuación x2 − ax = 2 tenga una única solución?

Para que la ecuación tenga una solución única su discriminante ha de ser nulo: ∆ = a2 + 8

Esto es imposible porque para todo valor del número real a la suma a2 + 8 es positiva, por tanto, no existe ningún número que verifique esta condición.

68 Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si una ecuación de segundo grado incompleta tiene una solución igual a 0, entonces también tiene otra solución no nula.

b) Las soluciones de una ecuación de segundo grado incompleta cumplen que o bien su suma o bien su producto son iguales a 0.

a) La afirmación es falsa porque la ecuación incompleta de segundo grado x2 = 0 solo tiene la solución nula.

b) La afirmación es verdadera pues si una ecuación de segundo grado es incompleta entonces o bien una de sus solucio-nes es nula y en tal caso el producto de las soluciones es igual a 0, o bien sus soluciones son opuestas, en cuyo caso su suma es nula.

69 Calcula dos números cuya suma sea 4 y cuyo producto sea −117.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 4 − x

Entonces: x(4 − x) = −117 → x2 − 4x − 117 = 0 → x1 = 13 y x2 = −9

Los números son 13 y −9.70 La suma de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 365. Calcula dichos números.

Si x es el número buscado, el siguiente es: x + 1

Entonces: x2 + (x + 1)2 = 365 → x2 + x − 182 = 0 → x1 = 13 y x2 = −14

Para que sean dos números naturales consecutivos, las soluciones son: 13 y 1471 En el triángulo rectángulo de la figura, calcula las longitudes de los catetos si difieren en 7 cm.

Si las longitudes de los catetos difieren en 7 cm podemos escribirlas como: x y x + 7

Aplicando el teorema de Pitágoras: x2 + (x + 7)2 = 132

x2 + 7x − 60 = 0 → x1 = 5 y x2 = −12

Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución válida es 5.

Así, las longitudes de los catetos son: 5 y 12 cm13 cm

4 Ecuaciones


72 Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras de modo que su área sea la indicada en cada caso.

a) Área = 78 u2

x + 1

x

b) Área = 88 u2

x

x + 2

x – 2

c) Área = 63 u2

x + 5x

a) Por ser rectángulo, el área del triángulo es: x ( x + 1)

2= 78 → x2 + x − 156 = 0 → x1 = 12 y x2 = −13

Como la longitud de los catetos tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 12

b) El área del trapecio es: ( x + x + 2)( x − 2)

2= 88 → x2 − x − 90 = 0 → x1 = 10 y x2 = −9

Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 10

c) El área del rombo es: x ( x + 5)

2= 63 → x2 + 5x − 126 = 0 → x1 = 9 y x2 = −14

Como la longitud de las diagonales que ser un número positivo la única solución válida es: x = 973 El perímetro de un rectángulo mide 40 m, y su área, 51 m2. Calcula las longitudes de sus lados.

Si uno de los lados del rectángulo mide x, el otro medirá: 20 − x

Entonces: x(20 − x) = 51 → x2 − 20x + 51 = 0 → x1 = 17 y x2 = 3

Luego los lados del rectángulo miden 17 m y 3 m.74 Halla el perímetro de un rectángulo de 144 m2 de área si la longitud de la base excede en 7 m a la de la altura.

Llamamos x a la longitud de la altura del rectángulo. Entonces la base mide: x + 7

Entonces: x(x + 7) = 144 → x2 + 7x − 144 = 0 → x1 = 9 y x2 = −16

Como la longitud de la altura tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 9

Luego los lados del rectángulo miden 9 m y 16 m, y el perímetro: (9 + 16) ⋅ 2 = 50 m

117

4Ecuaciones


75 Encuentra dos números enteros impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 290.

Si 2x − 1 es un número impar, su consecutivo impar es: 2x + 1

Entonces: (2x − 1)2 + (2x + 1)2 = 290 → 8x2 − 288 = 0 → x2 = 36 → x = ±6

Así, los números buscados son 11 y 13, o bien, −13 y −11.76 Determina dos números enteros pares consecutivos cuyos cuadrados sumen 164.

Si 2x es un número par, su consecutivo par es: 2x + 2

Entonces: (2x)2 + (2x + 2)2 = 164 → x2 + x − 20 = 0 → x1 = 4 y x2 = −5

Así, los números buscados son 8 y 10, o bien, −10 y −8.77 Halla un número entero de dos cifras cuyo producto sea igual a 24 y en el que la cifra de las decenas exceda en 2 a la de

las unidades.

Si x es la cifra de las unidades, la cifra de las decenas es: x + 2

Entonces: x(x + 2) = 24 → x2 + 2x − 24 = 0 → x1 = 4 y x2 = −6

Como la cifra de las unidades tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 4

Así, el número buscado es 64.78 La suma de las áreas de dos cuadrados es 100 m2, y la longitud del lado de uno de ellos es igual a la mitad más la cuarta

parte de la longitud del lado del otro. ¿Cuánto miden dichos lados?

Si x es la longitud, en metros, del lado del cuadrado mayor, la del menor es: x

2+x

4=

3x

4

La suma de las áreas es: x2 +3x

4

⎛

⎝⎜⎜⎜⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 100 → x2 +9 x2

16= 100 → 25x2 = 1 600 → x2 = 64 → x = ±8

Como la longitud de los lados tiene que ser un número positivo la única solución válida es: x = 8

Por tanto, las longitudes de los lados de ambos cuadrados son: 8 m y 6 m79 Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas.

a) x4 − 28x2 + 195 = 0 d) x4 + 4x2 − 4 = 0

b) x4 + 3x2 + 4 = 0 e) x4 − 75x2 + 486 = 0

c) x4 − 14x2 + 49 = 0 f) x4 + 10x2 + 25 = 0

a) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 28p + 195 = 0 → p1 = 15 → x2 = 15 → x = ± 15

p2 = 13 → x2 = 13 → x = ± 13

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 3p + 4 = 0 → No tiene solución.

c) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 14p + 49 = 0 → (p − 7)2 = 0 → p = 7 → x2 = 7 → x = ± 7

d) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 4p − 4 = 0 → p1 = −2+ 2 2 → x2 = −2 + 2 2 → x = ± −2 + 2 2

p2 = −2− 2 2 → x2 = −2 + 2 2 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

e) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 75p + 486 = 0 → p1 =

75 + 3 409

2→ x2 =

75 + 3 409

2→ x = ±

75 + 3 409

2

p2 =75− 3 409

2→ x2 =

75− 3 409

2→ x = ±

75− 3 409

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪f) Transformamos la ecuación: p = x2

p2 + 10p + 25 = 0 → No tiene solución.

4 Ecuaciones


80 Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean las soluciones positivas de la ecuación x4 − 13x2 + 36 = 0.

Transformamos la ecuación: p = x2

p2 − 13p + 36 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 = 9 → x2 = 9 → x = ±3

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Las soluciones positivas son: 2 y 3

Una ecuación de segundo grado con estas soluciones es: (x − 2)(x − 3) = 0 → x2 − 5x + 6 = 081 Halla las soluciones, si existen, de las siguientes ecuaciones.

a) x2 ( x2 + 1)

8=

3

2

b) x4

2− x2 − 4 = 0

c) x4 + 2

5−

x4 + x2

2=

3x2 + 1

10

d) 3( x4 −11)

5−

2( x4 − 60)

7= 36

a) x4 + x2 − 12 = 0


p2 + p − 12 = 0 → p1 = 3 → x2 = 3 → x = ± 3


⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) x4 − 2x2 − 8 = 0


p2 − 2p − 8 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪c) 2(x4 + 2) − 5(x4 + x2) = 3x2 + 1 → 3x4 + 8x2 − 3 = 0


3p2 + 8p − 3 = 0 → p1 =

1

3→ x2 =

1

3→ x = ±

1

3p2 = −3 → x2 = −3 → No tiene solución.

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

d) 21(x4 − 11) − 10(x4 − 60) = 1 260 → 11x4 − 891 = 0 → x4 = 81 → x = ± 814 = ±382 Determina las soluciones, si existen, de estas ecuaciones.

a) 2x6 − 3x3 + 1 = 0

b) x8 − 76x4 − 405 = 0

a) Transformamos la ecuación: p = x3

2p2 − 3p + 1 = 0 → p1 = 2 → x3 = 2 → x = 23

p2 = 1→ x3 = 1→ x = 1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

b) Transformamos la ecuación: p = x4

p2 − 76p − 405 = 0 → p1 = 81→ x4 = 81→ x = ±3


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

119

4Ecuaciones


83 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 = (x2 + 6)(x2 − 6)

b) (x2 + 1)(2x2 − 6) = 5(x2 − 2)

a) x4 − 5x2 − 36 = 0


p2 − 5p − 36 = 0 → p1 = 9 → x2 = 9 → x = ±3


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪b) 2x4 − 9x2 + 4 = 0


2p2 − 9p + 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 =1

2→ x2 =

1

2→ x = ±

1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

84 Halla las soluciones de estas ecuaciones sin aplicar las identidades notables.

a) (x2 + 1)2 = 4

b) (x2 − 1)2 − 1 = 0

a) (x2 + 1)2 = 4 → x2 + 1 = ±2 → x2 = 1→ x = ±1

x2 = −3 → No tiene solución.

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) (x2 − 1)2 = 1 → x2 −1 = ±1→ x2 = 2 → x = ± 2

x2 = 0 → x = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪85 Encuentra los valores del número a para los que la ecuación x4 − ax2 + 16 = 0 tiene exactamente dos soluciones.

x4 − ax2 +a2

4=a2

4−16 → x2 −

a

2

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

=a2 − 64

4→ x2 −

a

2= ±

a2 − 64

2→

→ x2 =a ± a2 − 64

2→ x = ±

a ± a2 − 64

2

La ecuación tiene exactamente dos soluciones si a > 0 y si a2 − 64 = 0 → a = 8

86 Escribe una ecuación bicuadrada cuyas soluciones sean: − 2, 2,− 3 y 3

Respuesta abierta, por ejemplo: x + 2( ) x − 2( ) x + 3( ) x − 3( ) = 0→ x4 −5 x2 + 6 = 087 Halla dos números positivos cuyos cuadrados sumen 41, si el producto de sus cuadrados es 400.

Si x es uno de los números buscados, el otro es: 41 − x2

Entonces: x2(41 − x2) = 400 → x4 − 41x2 + 400 = 0


p2 − 41p + 400 = 0 → p1 = 25 → x2 = 25 → x = ±5

p2 = 16 → x2 = 16 → x = ±4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Los dos números positivos son 4 y 5.

88 ¿Cuál es el mayor número cuya cuarta potencia es 4 unidades menor que el quíntuplo de su cuadrado?

Llamamos x al número que buscamos.

Entonces: x4 = 5x2 − 4 → x4 − 5x2 + 4 = 0


p2 − 5p + 4 = 0 → p1 = 4 → x2 = 4 → x = ±2

p2 = 1→ x2 = 1→ x = ±1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪El mayor número es 2.

4 Ecuaciones


89 ¿Cuánto vale la suma de las soluciones de una ecuación bicuadrada que tiene cuatro soluciones distintas?

Si una ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones distintas cada par de ellas son opuestas. Por tanto, la suma de las soluciones es nula.

90 Resuelve estas ecuaciones.

a) (x − 7)(x + 3)(2x − 16) = 0 c) (x3 − x2)(x + 3) = 0

b) (x2 − 25)(x − 36)(x2 − 1) = 0 d) x3(x2 − 225) = 0

a) x1 = 7, x2 = −3 y x3 = 8

b) x1 = −5, x2 = 5, x3 = 36, x4 = −1 y x5 = 1

c) x1 = 0, x2 = 1 y x3 = −3

d) x1 = 0, x2 = −15 y x3 = 1591 Halla, factorizando previamente, las soluciones de estas ecuaciones.

a) x2 − 49 = 0 c) x2 + 32x + 256 = 0

b) x2 − 18x + 81 = 0 d) x2 − 196 = 0

a) (x + 7)(x − 7) = 0 → x1 = −7 y x2 = 7

b) (x − 9)2 = 0 → x = 9

c) (x + 16)2 = 0 → x = −16

d) (x + 14)(x − 14) = 0 → x1 = −14 y x2 = 1492 Resuelve la ecuación: x5 − 15x3 − 16x = 0

x(x4 − 15x2 − 16) = 0 → x = 0

x4 −15 x −16 = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪Transformamos la ecuación: p = x2

p2 −15p − 16 = 0 → p1 = 16 → x2 = 16 → x = ±4


⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪93 Comprueba que los números 2 y −2 son soluciones de la ecuación: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = 0

Utiliza estas pruebas para hallar todas las soluciones de la ecuación.

24 − 4 ⋅ 23 − 22 + 16 ⋅ 2 − 12 = 16 − 32 − 4 + 32 − 12 = 0

(−2)4 − 4(−2)3 − (−2)2 + 16(−2) − 12 = 16 + 32 − 4 − 32 − 12 = 0

Por estas pruebas sabemos que el polinomio x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 es divisible por x − 2 y por x + 2.

Factorizamos: x4 − 4x3 − x2 + 16x − 12 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x − 3)

Así, las soluciones son los números 2, −2, 1 y 3.94 Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0 b) x4 + x3 − 3x2 − x + 2 = 0

a) (x − 1)(x + 1)(x + 2)(2x − 3) = 0 → x1 = 1, x2 = −1, x3 = −2 y x4 =3

2

b) (x − 1)2(x + 1)(x + 2) = 0 → x1 = 1, x2 = −1 y x3 = −295 Resuelve, por factorización, las siguientes ecuaciones.

a) (2x + 5)2 − (4x + 9)2 = 0 c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

−x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

2

= 0

b) (0,7x + 1,5)2 − (0,3x + 0,7)2 = 0

a) ((2x + 5) + (4x + 9))((2x + 5) − (4x + 9)) = (6x + 14)(−2x − 4) = 0 → x1 = −7

3 y x2 = −2

b) ((0,7x + 1,5) + (0,3x + 0,7))((0,7x + 1,5) − (0,3x + 0,7)) = (x + 2,2)(0,4x + 0,8) = 0 → x1 = −2,2 y x2 = −2

c) x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ +

x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

2+ 1

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟−

x

3−7

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

5 x

6− 6

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟

x

6+ 8

⎛

⎝⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟→ x1 =

36

5 y x2 = −48

121

4Ecuaciones


AdivinanzasSugerencias didácticas

Se hace necesario introducir estructuras creativas que faciliten la participación de los alumnos a través de retos que han de superar, de esta manera conseguiremos actividades motivadoras. Utilizaremos las adivinanzas con este objetivo. Los alumnos establecerán conexiones y serán capaces de formular algebraicamente situaciones numéricas.

En las actividades de comprensión deberán comunicar si el enunciado contextualizado se corresponde con la ecuación asocia-da y habrán de argumentar el número de soluciones que tienen cada una.

En las actividades de relación los alumnos utilizarán el lenguaje matemático para asignar a cada adivinanza una de las ecua-ciones que se presentan.

Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno modelice varias adivinanzas y las resuelva.

Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Cabezas juntas numeradas, de Spencer Kagan.

Para desarrollar esta tarea, los alumnos tendrán que expresar en forma de ecuación varias situaciones de la vida cotidiana. Deberán redactar cada propuesta como una adivinanza y en formato de diapositiva. Formarán grupos de cuatro personas, y se numerarán del 1 al 4, para pensar primero individualmente las propuestas y, después, llegar a un acuerdo entre los cuatro. El profesor elegirá un número del 1 al 4 y el alumno que corresponda explicará la solución del equipo al resto de la clase.

4 MATEMÁTICAS VIVAS

80 81

4Adivinanzas

Para resolver una adivinanza común, basta a veces con jugar con las palabras.

COMPRENDE

Las adivinanzas numéricas son las que podemos resolver mediante un procedimiento matemático que nos lleve con certeza a la solución. Este procedimiento se inicia expresando el enunciado de la adivinanza mediante una ecuación.

ADIVINANZA EcuaciónSilvia les cuenta a sus amigas que la mitad de su dinero más 5 € daría como resultado 15 €;¿cuánto dinero tiene Silvia?

x2 +5 =15

El doble del cuadrado de un número es igual a 10 veces el número menos 12. ¿Cuál es ese número?

2x2 =10x−12

Juan tiene la sexta parte de la edad de su padrey dentro de 12 años tendrá la tercera parte de la edad de su padre. ¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

x6 +12=

13 (x +12)

Fíjate en las ecuaciones planteadas para resolver las adivinanzas.

a. ¿Consideras que todas las ecuaciones están bien planteadas y se corresponden con la adivinanza?

b. ¿Tienen todas las ecuaciones una única solución? Si tu respuesta es negativa, indica cuál de ellas tiene más de una solución.

1

ARGUMENTA

COMUNICA

La familia de Pablo viaja en coche a la playa para pasar las vacaciones. Durante el viaje, el padre de Pablo va contestando a sus preguntas con adivinanzas.

a. ¿Se pueden expresar las adivinanzas del padre de Pablo en forma de ecuación?

b. ¿Cuáles son las soluciones a las preguntas de Pablo?

3

REFLEXIONA

RELACIONA

Lee las tres adivinanzas siguientes.

Relaciona cada adivinanza con la ecuación que la resuelve.

a. x

2+x

3= 35 b. 3x − 10 = 50 c.

x

7+x

3= x −11

2

UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO

MODELIZA

RESUELVE

TRABAJO

COOPERATIVO

1. El número 50 se obtiene restando 10 al triple de un número; averigua de qué número se

trata.2. Si a un número le restamos 11, obtenemos el mismo resultado que si sumamos su terce-

ra y su séptima parte; ¿de qué número estamos hablando?

3. Si sumas la tercera parte con la mitad de los libros que tiene Lucía, el resultado será 35

ejemplares. ¿Cuántos libros tiene Lucía?

Matemáticas vivas

4 Ecuaciones


Soluciones de las actividades

Para resolver una adivinanza común, basta a veces con jugar con las palabras.

Comprende

Las adivinanzas numéricas son las que podemos resolver mediante un procedimiento matemático que nos lleve con certeza a la solución. Este procedimiento se inicia expresando el enunciado de la adivinanza mediante una ecuación.

ADIVINANZA Ecuación

Silvia les cuenta a sus amigas que la mitad de su dinero más 5 € daría como resultado 15 €; ¿cuánto dinero tiene Silvia?

x

2+ 5 = 1

El doble del cuadrado de un número es igual a 10 veces el número menos 12.

¿Cuál es ese número?2x2 = 10 x −12

Juan tiene la sexta parte de la edad de su padre y dentro de 12 años tendrá la tercera parte de la edad de su padre.

¿Cuáles son las edades actuales de ambos?

x

6+ 12 =

1

3( x + 12)

1 Fíjate en las ecuaciones planteadas para resolver las adivinanzas.

a) ¿Consideras que todas las ecuaciones están bien planteadas y se corresponden con la adivinanza?

b) ¿Tienen todas las ecuaciones una única solución? Si tu respuesta es negativa, indica cuál de ellas tiene más de una solución.

a) Si están bien planteadas y se corresponden con las adivinanzas.

b) No todas tienen una única solución: la ecuación 2x2 − 10x + 12 = 0 es de segundo grado y tiene dos soluciones, x1 = 2 y x2 = 3.

Relaciona2 Lee las tres adivinanzas siguientes.

1. El número 50 se obtiene restando 10 al triple de un número; averigua de qué número se

trata.2. Si a un número le restamos 11, obtenemos el mismo resultado que si sumamos su terce-

ra y su séptima parte; ¿de qué número estamos hablando?

3. Si sumas la tercera parte con la mitad de los libros que tiene Lucía, el resultado será 35

ejemplares. ¿Cuántos libros tiene Lucía?

Relaciona cada adivinanza con la ecuación que la resuelve.

a) x

2+x

3= 35 b) 3x − 10 = 50 c)

x

7+x

3= x −11

1) → b) 2) → c) 3) → a)

123

4Ecuaciones


Reflexiona3 La familia de Pablo viaja en coche a la playa para pasar las vacaciones. Durante el viaje, el padre de Pablo va contestando

a sus preguntas con adivinanzas.

a) ¿Se pueden expresar las adivinanzas del padre de Pablo en forma de ecuación?

b) ¿Cuáles son las soluciones a las preguntas de Pablo?

a) Sí, se pueden expresar con ecuaciones.

1) Para la primera pregunta de Pablo: si llamamos x a las horas que faltan para llegar, entonces: 110x = 165

2) Para la segunda: si el hijo pequeño tiene x años, el mayor tiene x + 2 y su padre, 3x, la ecuación es: 3x + x = 56

3) Para averiguar los precios de los cursos: si x es el precio del de kitesurf, el de surf cuesta 180 − x, entonces:

x2 + (180 − x)2 = 16 250

b) Las soluciones son:

1) x = 1,5 horas → Queda una hora y media para llegar.

2) x = 14 años tiene el hijo pequeño y 16 años el mayor.

3) La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones: x1 = 95 y x2 = 85

Como el curso de kitesurf es un poco más caro, su precio es 95 €, y el de surf cuesta 85 €.

Trabajo cooperativo

Respuesta abierta.

4 Ecuaciones


4 Ecuaciones

82

AVANZA Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales son aquellas en las que la incógnita aparece en el denominador.

Por ejemplo, una ecuación racional es: 1

x − 6+

x

x − 2=

4

x2 − 8 x + 12

Para su resolución, descomponemos factorialmente los denominadores:

x − 6 x − 2 x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x − 6)

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por su mínimo común múltiplo para eliminar denominadores:

m.c.m. x − 6, x − 2, x2 − 8 x + 12( ) = x2 − 8 x + 12 → x − 2 + x x − 6( ) = 4 → x − 2 + x2 − 6 x = 4

Resolvemos la ecuación resultante: x2 −5 x − 6 = 0 → x =5 ± 25 + 24

2=

5 ± 7

2=

x1 = 6

x2 = −1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Comprobamos que la solución x1 = 6 anula algunos denominadores de la ecuación que queremos resolver. Por

tanto, la única solución de 1

x − 6+

x

x − 2=

4

x2 − 8 x + 12 es: x = −1

A1. Resuelve las ecuaciones racionales.

a) x + 1

x − 2=

x − 2

x − 4

b) 2

1− x=

4

x − x2

c) 5

x−

x

x −1=

1

x2 − x

d) x

x − 2+

1

x + 2=

2x

x2 − 4

A2. Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x

x − 2+

x

x + 1= 2

b) 1−8

3 + x=

x2 −1

x2 − 9

c) x + 1

x − 2+x − 2

x + 1=

x + 4

x2 − x − 2

d) 1

x2 −1+

5

x −1=

4 x

x2 + x − 2

CÁLCULO MENTAL Estrategia para AVERIGUAR UN NÚMERO

❚ Piensa un número positivo.

❚ Súmale 2.

❚ Eleva el resultado al cuadrado.

❚ Réstale ahora el cuádruplo del número siguiente al que pensaste al principio.

❚ Si me dices qué número has obtenido, yo averiguo el número que has pensado.

¿Cómo podemos saber qué número se había pensado?

Si este número es x, entonces:

Le sumamos 2: x + 2

Elevamos el resultado al cuadrado y obtenemos: x + 2( )2 = x2 + 4 x + 4

Restamos el cuádruplo del número siguiente: x2 + 4 x + 4− 4 x + 1( ) = x2

Si calculamos la raíz cuadrada del número obtenido, el resultado es el número pensado.

CM1. Halla el número positivo que ha pensado Ana si, tras elevar al cuadrado el resultado de sumarle 3 y restar a la cantidad resultante el séxtuplo del número de partida, obtuvo el número 58.

CM2. Inventa un procedimiento similar a los anteriores para averiguar el número que ha pensado otra persona.


En esta sección se introducen las ecuaciones racionales. Para su resolución se multiplicarán los dos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denomina-dores.

Se deberá insistir en la necesidad de comprobar las solucio-nes obtenidas después de operar con las fracciones, pues se ha de verificar que ninguna de ellas anula alguno de los denominadores.

En el ejemplo que se muestra aparece x = 6 como una de estas soluciones que tenemos que desechar debido a que anula uno de los denominadores de la ecuación de partida.


A1. Resuelve las ecuaciones racionales.

a) x + 1

x − 2=

x − 2

x − 4

b) 2

1− x=

4

x − x2

c) 5

x−

x

x −1=

1

x2 − x

d) x

x − 2+

1

x + 2=

2x

x2 − 4a) (x + 1)(x − 4) = (x − 2)2 → x2 − 4x + x − 4 = x2 − 4x + 4 → x = 8

b) 2(x − x2) = 4(1 − x) → 2x − 2x2 = 4 − 4x → 2x2 − 6x + 4 = 0 → x2 − 3x + 2 = 0 → x1 = 2 y x2 = 1

Comprobamos que x = 1 no es solución, pues anula los denominadores de la ecuación de partida. Por tanto, x = 2 es la única solución de la ecuación.

c) 5(x − 1) − x2 = 1→ x2 − 5x + 6 = 0 → x1 = 2 y x2 = 3

d) x(x + 2) + x − 2 = 2x → x2 + x − 2 = 0 → x1 = 1 y x2 = −2

Comprobamos que x = −2 no es solución, pues anula dos de los denominadores de la ecuación. Por tanto, x = 1 es la única solución.

Avanza. Ecuaciones racionales

125

4Ecuaciones


A2. Halla las soluciones de estas ecuaciones.

a) x

x − 2+

x

x + 1= 2

b) 1−8

3 + x=

x2 −1

x2 − 9

c) x + 1

x − 2+x − 2

x + 1=

x + 4

x2 − x − 2

d) 1

x2 −1+

5

x −1=

4 x

x2 + x − 2a) x(x + 1) + x(x − 2) = 2(x − 2)(x + 1) → x2 + x + x2 − 2x = 2x2 + 2x − 4x − 4 → x = −4

b) x2 − 9 − 8(x − 3) = x2 − 1 → 8x = 16 → x = 2

c) (x + 1)2 + (x − 2)2 = x + 4 → x2 + 2x + 1 + x2 − 4x + 4 = x + 4 → 2x2 − 3x + 1 = 0 → x1 = 1 y x2 =1

2

d) (x + 2) + 5(x + 1)(x + 2) = 4x(x + 1) → x + 2 + 5x2 + 15x + 10 = 4x2 + 4x → x2 + 12x + 12 = 0 → x = −6 ± 2 6

Cálculo mental. Estrategia para averiguar un númeroSugerencias didácticas

Como cierre de la unidad planteamos una estrategia de cálculo mental para hallar el número que ha pensado otra persona basada en la traducción a lenguaje algebraico de las operaciones indicadas.


CM1. Halla el número positivo que ha pensado Ana si, tras elevar al cuadrado el resultado de sumarle 3 y restar a la cantidad resultante el séxtuplo del número de partida, obtuvo el número 58.

Si x es el número pensado por Ana: (x + 3)2 − 6x = 58 → x2 + 6x + 9 − 6x = 58 → x2 = 49 → x = ±7

Como el número es positivo, Ana pensó en el número 7.

CM2. Inventa un procedimiento similar a los anteriores para averiguar el número que ha pensado otra persona.

Respuesta abierta, por ejemplo: Si se pide a un amigo que:

P❚Piense un número positivo.

P❚Reste el doble a su cuadrado.

P❚Diga el número obtenido.

Para calcular el número pensado por el amigo podemos razonar como sigue:

❚❚ Si el número que pensó es x.

❚❚ Tras restarle el doble a su cuadrado se tiene: x2 − 2x = x2 − 2x + 1 − 1 = (x − 1)2 + 1

De modo que si extraemos la raíz cuadrada del número que resulta al sumar uno a la cantidad dada se obtiene el an-terior del número que pensó.

4 Ecuaciones


1. La edad de un padre excede en 28 años a la de su hijo, y dentro de 4 años la edad del padre será el triple de la de su hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad el padre y el hijo?

Si x es la edad actual del hijo, entonces la del padre es x + 28.

Como dentro de 4 años la edad del padre será el triple que la del hijo, entonces:

(x + 28) + 4 = 3(x + 4) → x + 32 = 3x + 12→ 2x = 20 → x = 10

El hijo tiene 10 años y el padre 38.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) ( x −1)2 − 4( x + 14) = 0 b) x2 −3x

4=

5

8a) Eliminamos los paréntesis: x2 − 2x + 1 − 4x − 56 = 0

Agrupamos los términos semejantes y resolvemos la ecuación: x2 − 6 x −55 = 0 →x1 = 11

x2 = −5

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

b) Simplificamos la ecuación: x2 −3x

4=

5

8→ 8 x2 − 6 x = 5 → 8 x2 − 6 x −5 = 0

Después, resolvemos la ecuación: 8 x2 − 6 x −5 = 0 →x1 =

5

4

x2 = −1

2

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

3. ¿Cuál es la diferencia de dos números cuya suma vale 10 y cuyo producto es 24?

Si llamamos al primer número x, el segundo es: 10 − x

Como el producto es 24, la ecuación a resolver es: x(10 − x) = 24

Simplificamos y resolvemos la ecuación:

x (10− x ) = 24 → 10 x − x2 = 24 → x2 −10 x + 24 = 0 →

x1 = 6

x2 = 4

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

De modo que la diferencia de los dos números es: x1 − x2 = 2

4. Calcula todas las soluciones reales de la ecuación: x4 − 8x2 + 16 = 0

Efectuamos un cambio de variable: p = x2

Así tenemos que resolver la ecuación p2 − 8p + 16 = 0 → (p − 4)2 = 0 → p = 4

Deshacemos el cambio de variable: x2 = 4 → x = ±2

5. ¿Cuáles son las soluciones reales de la ecuación: (x2 − 3x + 2)(x2 − 2x + 1)2(x2 + 1) = 0?

Como la ecuación a resolver es un producto de tres factores que es igual a cero podemos obtener las soluciones igualando cada factor a cero, es decir:

x2 − 3x + 2 = 0 →

x1 = 2

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

x2 − 2x + 1 = 0 → (x − 1)2 = 0 → x = 1

x2 + 1 = 0 → x2 = −1 → No tiene solución.

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A

127

4Ecuaciones


1. Inés tiene 12 años y su madre 38. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad de la hija sea la mitad que la de la madre?

Dentro de x años las edades de Inés y su madre serán, respectivamente, 12 + x y 38 + x.

La edad de la hija tiene que ser la mitad que la de la madre entonces: 38 + x = 2(12 + x)

Resolviendo la ecuación tenemos x = 14, así que han de transcurrir 14 años.

2. El producto de dos números naturales consecutivos es igual al quíntuplo del mayor, más el doble del menor, más dos. ¿De qué números se trata?

Si un número es x, su consecutivo será x + 1.

Para calcularlos se ha de cumplir que: x(x + 1) = 5(x + 1) + 2x + 2

Simplificando se llega a la ecuación, x2 − 6x − 7 = 0 →x1 = −1

x2 = 7

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Como se tiene que cumplir que las soluciones sean naturales, los números son 7 y 8.

3. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x2 − 2

2+x2 + x − 2

5=

2x − 3

2 b) x2 + x( )4 = 16

a) Simplificamos la ecuación:

5( x2 − 2) + 2( x2 + x − 2) = 5(2x − 3)

Resolvemos la ecuación:

7 x2 − 8 x + 1 = 0 →x1 =

1

7x2 = 1

⎧

⎨⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

b) Simplificamos:

x2 + x = ± 164 = ±2 → x2 + x + 2 = 0

x2 + x − 2 = 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

La primera carece de soluciones reales ya que su discriminante es ∆ < −7 < 0.

Las soluciones de la segunda son:

x2 + x − 2 = 0 →

x1 = −2

x2 = 1

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

4. Calcula todas las soluciones reales de la ecuación x10 − 8x5 + 16 = 0

Efectuamos un cambio de variable: p = x5

Así tenemos que resolver la ecuación p2 − 8p + 16 = 0 → (p − 4)2 = 0 → p = 4

Deshacemos el cambio de variable: x5 = 4 → x = 45

5. Resuelve la ecuación: x4 + x3 − 27x2 − 25x + 50 = 0

Para hallar las soluciones factorizamos el polinomio:

P(x) = x4 + x3 − 27x2 − 25x + 50 = (x − 1)(x + 2)(x − 5)(x + 5)

Luego las soluciones son: x1 = −5, x2 = −2, x3 = 1 y x4 = 5

PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B

ECUACIONES - para alumnos y alumnas de … · traducción del contexto de los problemas al lenguaje...

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