Ecuaciones Lineales Homog. de Orden Superior

8/6/2019 Ecuaciones Lineales Homog. de Orden Superior

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1

3. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ahora resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor, por su

utilidad y sencillez iniciaremos con la resolucin de ecuaciones lineales y de coeficientes

constantes.Problemas de valor inicial y de valor en la frontera.

Para una ecuacin diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n, es:

Resolver: )()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

. (1)

Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1 , . . . , y(n-1)(x0) = yn-1

Donde y0 , y1 , . . . , yn-1,son constantes arbitrarias. Recuerde que, para un problema como

este, se busca una funcin definida en algn intervalo I que contenga a x 0, y que satisfaga la

ecuacin diferencial y las condiciones iniciales n especificadas en x0.

En el caso de una ecuacin lineal de segundo orden, una solucin de

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa =++

Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1

Es una funcin definida en I cuya grafica pasa por (x0,y0) y tal que la pendiente de la curva

en el punto es el numeroy1.

Ecuaciones Homogneas.

Una ecuacin diferencial lineal de orden n de la forma:

0)()(...)()( 011

1

1 =++++

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n . .(2)

Se llama homognea, mientras que una ecuacin:

Ejemplo 1 Solucin nica de un problema de valor inicial

El problema de valor inicial 07'"5'"3 =++ yyy , y(1) = 0, y(1) = 0, y(1) = 0 tiene

la solucin trivial y = 0. Como la ecuacin de tercer orden es lineal con coeficientes

constantes, se satisfacen todas las condiciones, en consecuencia, y = 0 es la nica

solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.


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1

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

(3)

Donde g(x) no es idnticamente cero, se llama no homognea.

Nota. Para evitar repeticiones intiles en el resto de esta seccin, estableceremos las

siguientes hiptesis importantes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las

ecuaciones lineales (2) y (3): En un intervalo I;

Los coeficientes ai(x), i = 0,1,2 n son constantes

El lado derecho, g(x), es continuo

an(x) 0 para toda x en el intervalo

Dependencia e independencia lineales.

Los siguientes dos conceptos son bsicos para el estudio de las ecuaciones

diferenciales lineales.

Es fcil entender estas definiciones en el caso de dos funcionesf1(x) y f2(x). Si las funciones

son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen constantes c1 y c2, no siendo

ambas nulas, tales que para toda x del intervalo

0)()(2211 =+ xfcxfc

Por lo tanto, si suponemos c1 0, se infiere que

)()( 21

21 xf

c

cxf =

Esto es,si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un

mltiplo constante de la otra. Recprocamente si para alguna constante c2 se tiene que

)()( 221 xfcxf = , entonces (-1) 0)()( 221 =+ xfcxf

Definicin 3.0.1 Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x),,fn(x) es

linealmente dependienteen un intervalo I si existen constantes c1, c2,

cn, no todas ceros, tales que

0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente

dependiente en el intervalo, se considera que es linealmente

independiente.


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1

para toda x en algn intervalo. Por lo tanto las funciones son linealmente dependientes

puesto que al menos una de las constantes (a saber c1 = -1) no es nula. Se concluye que dos

funcionesson linealmente independientes cuando ninguna es un mltiplo constante de

la otra en un intervalo.

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),. . ., fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si

al menos una funcin puede expresarse como combinacin lineal no trivial de las restantes

funciones.

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Ante todo, nos interesan, las funciones linealmente independientes o, con ms

precisin las soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal.

Aunque siempre podemos recurrir a la definicin 5.3a, sucede que el asunto de si las n

soluciones, nyyy ,...,, 21 de una ecuacin diferencial lineal de orden n como la ecuacin

(2) son linealmente independientes se puede establecer mecnicamente recurriendo a un

determinante.

Definicin 3.0.2 Wronskiano.

Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x),,fn(x)posee al menos n-1 derivadas. Si

el determinante

Ejemplo 2

Las funciones f1(x) = sen(2x) y f2(x) = sen(x) cos(x), son linealmente dependientes en

el intervalo de - < x < , puesto que

0)cos()()2( 21 =+ xxsencxsenc

Se satisface para x real si elegimos c1 = y c2 = -1. (Recuerde la identidad

trigonomtricasen(2x) = 2 sen(x)cos(x).)

Ejemplo 3

Las funciones f1(x) = x + 5, f2(x) = x + 5x, f3(x) = x -1 y f4(x) =

linealmente dependientes en el intervalo 0 < x < ya que f2(x) se puede escomo una combinacin lineal de f1(x), f3(x) y f4(x). Observe que:

)(0)(5)(1)(4312xfxfxfxf ++=

xxxxxxf 50)1(5)5(1)(2

2 +=+++= , en todo intervalo (0, )


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1

W(f1(x), f2(x),,fn(x)) =

)1()1(2

)1(

1

''

2

'

1

21

...

......

...

...

n

n

nn

n

n

fff

fff

fff

en donde las primas representan derivadas, no es cero por lo menos en un punto del

intervalo I, entonces las funciones f1(x), f2(x),,fn(x) son linealmente independientes en el

intervalo.

El determinante anterior se designa por W(f1(x), f2(x),,fn(x)) y se llama wronskiano* de

las funciones.

*

Debe su nombre a Joszef Maria Hone Wronski (1778-1853), quien naci enPolonia, fue educado en Alemania y pas la mayor parte de su vida enFrancia. Mas filsofo que matemtico, la nica contribucin notable deWronski a las matemticas fue el determinante que se acaba de definir.

Ejemplo 4

Las funciones f1(x) = sen2x y f2(x) = 1- cos(2x) son linealmente dependientes en

- < x < , (por qu):

Solucin: Para verificar esto se observa que W(f1(x), f2(x)) = 0, demostrmoslo

W(sen2x, 1- cos(2x)) =)2(2cos2

)2cos(12

xsenxsenx

xxsen

= 2sen2x sen(2x) 2 senx cosx + 2 senx cosx cos(2x)

= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos(2x)]

= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos2x sen2x]

= sen(2x)[ sen2x + cos2x 1] = 0


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Principio de Superposicin

El teorema siguiente se conoce como principio de superposicin.

Teorema 3.0.1 Sean y1, y2, . . ., yksoluciones de la ecuacin diferencial lineal homogneade orden n (2) en un intervalo I. Entonces la combinacin lineal

kkycycycy +++= ...2211 ,

En donde los ci, i = 1, 2, 3,k son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el

intervalo.

a) Si y1(x) es una solucin de una ecuacin diferencial lineal homognea, entonces un

mltiplo constante de ella, y = c1y1(x), tambin es una solucin.

b) Una ecuacin diferencial lineal homognea siempre tiene la solucin trivial y = 0.

Lo anterior es fcilmente comprobable con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 6

Demostrar que las funciones y1 = x2 y y2 = x

2 ln x, son soluciones de la ecuacin

homognea de tercer orden 04'2"'3

=+ yxyyx en el intervalo 0 < x < .

Solucin: Por el principio de superposicin, la combinacin lineal

y = c1 x2 + c2 x

2 ln x

tambin es una solucin de la ecuacin en el intervalo.

Demostracin. Si y = c1 x2 + c2 x

2 ln x

Entonces y= 2 c1 x + c2 x + 2c2 x ln x , y = 2 c1 + c2 + 2c2 ln x + 2c2

Por consiguiente: y = (2c1 + 3c2) + 2c2 ln x y y =x

c22 ;

Ejemplo 5

Para f1(x) =xm

e 1 , f2(x) =xm

e 2 , m1 m2

W(xm

e1

,xm

e2

) = xmxm

xmxm

emem

ee

21

21

21

= (m2 m1))( 21 xmxme

+ 0

Para todo valor real de x. Por lo tanto f1 y f2 son linealmente independientes en

cualquier intervalo del eje x.


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Sustituyendo en la ecuacin diferencial 04'2"'3

=+ yxyyx , tendremos:

0)ln(4)ln22(22 2

2

2

122123 =++++ xxcxcxxcxcxcx

x

cx

De donde; 0ln44ln4242 222122222122 =++ xxcxcxxcxcxcxc

Soluciones de ecuaciones no-homogneas.

Se definir ahora la solucin general de una ecuacin diferencia lineal no-homognea.

Una solucin general para la ecuacin diferencial lineal no-homognea, siempre se

compone de: yGral = yc + yp

Del teorema 3.1, la combinacin lineal )(...)()()( 2211 xycxycxycxy kkc +++= ,

La cual es la solucin general de (2), se le llama funcin complementaria de la ecuacin(3). Cualquier funcin yp que no contiene parmetros arbitrarios y que satisface a la

ecuacin (3), se llama solucin particular de la ecuacin. En otras palabras, la solucin

general de la ecuacin diferencial lineal no-homognea es:

YGral = funcin complementaria + cualquier solucin particular

Elaboracin de una segunda solucin a partir de una solucin conocida.

Reduccin de Orden.

Uno de los hechos ms interesantes e importantes en el estudio de las ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar una segunda solucin a

partir de una solucin conocida. Supngase que y1(x) es una solucin distinta de cero de la

ecuacin:

0)()()( 012

2

2 =++ yxadx

dyxa

dx

ydxa . . . . . . . . . .(1)

El proceso que utilizaremos para encontraruna segunda solucin y2(x)consiste en reducir

el orden de la ecuacin (1), transformndola en una ecuacin de primer orden. Por ejemplo

es fcil verificar que y1 = ex, satisface a la ecuacindiferencial y y = 0. Si intentamos

determinar una solucin de la forma y = u(x) ex entonces:

y= u(x) ex + u(x) ex

y = u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex


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1

y y = [u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex ]- u(x) ex = 0

y- y = ex [u(x) + 2u(x)] = 0

Puesto que ex 0, por lo que esta ltima ecuacin requiere que: u(x) + 2u(x) = 0

Si sustituimos w(x) = u(x), entonces w(x) = u(x), la ecuacin anterior se transforma en

w(x) + 2w(x) = 0, utilizando el factor integrante e2xpuede escribirse:

0][ 2 =wedx

d x

Integrando ambos lados se obtiene cwex =][ 2

O sea w(x) = c1 e-2x por lo que u(x) = c1 e

-2x

De esta manera u(x) = 221

2ce

c x +

y2 = u(x)ex

Eligiendo c2 = 0 y c1 =-2, se obtiene la segunda solucin

y2 = e-x

Puesto que el W(y1, y2) 0 para toda x en - < x <

En consecuencia la expresin para y es efectivamente la solucin general de la ecuacin

dada.

Caso General.

Supngase que se divide entre a2 (x) la ecuacin (1) se transforma en

0)(')(" =++ yxQyxPy . . . . . . . (2)

donde : P(x) y Q(x) son continuas en algn intervalo I, supngase que y1 es una solucin

conocida de la ecuacin (2) en I y que y1 0 para toda x del intervalo. Si definimos a

y2 = u(x)y1 , se tiene

y= u(x)y1 + u(x)y1

y = u(x)y1

+ 2u(x)y1

+ u(x)y1

y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)y1 + 2u(x)y1

+ u(x)y1+ P(x)[u(x)y1

+ u(x)y1] +

Q(x) u(x)y1 ,

factorizando trminos semejantes tenemos:

y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)[y1 + P(x)y+Q(x)y] +y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0


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1

cero

por lo tanto: y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0 haciendo u(x) = w(x)

y1w(x)+[2y1+P(x)y1]w(x) = 0 . . . . . . . . . . (3)

Obsrvese que la ecuacin (3) es lineal y tambin de variables separables, aplicando esta

ltima tcnica resulta:

0)(21

'

1 =++ dxxPdxy

y

w

dw

+=+ cdxxPyw )(ln2ln 1

+= cdxxPwy )(ln2

1

Aplicando la funcin exponencial a ambos lados de la igualdad tenemos:

= dxxP

ecwy

)(

1

2

1

Y como w(x) = u(x), w(x) = u(x) =2

1

)(

1y

ec

dxxP

integrando de nuevo tenemos: +

=

22

1

)(

1)( cdxy

ecxu

dxxP

; y por lo tanto como

y2 = u(x)y1 1221

)(

112 ycdxy

eycy

dxxP

+

=

Eligiendo c2 = 0 y c1 = 1, se encuentra que una segunda solucin de la ecuacin (2) es

dxxy

exyy

dxxP

=

)()(

2

1

)(

12

. . . . . . .(4)


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Ejercicios seccin 3.0

Dados los siguientes ejercicios determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.

1. 1;0'4'' 1 ==+ yyy 2.x

eyyyy2

1;04'4'' ==+

3.x

xeyyyy==++ 1;0'2'' 4. xyyy 4cos;016'' 1 ==+

5. xsenyyy 3;09'' 1 ==+ 6. xyyy cosh;0'' 1 ==

7.xeyyy

5

1;025'' == 8.3/

1;0'''6x

eyyyy ==+

9.4

12

22

;0167 xyydx

dyx

dx

ydx ==+ 10. Lnxy

dx

dy

dx

ydx ==+ 12

2

;0

Ejemplo 1

La funcin y1 = x2 es una solucin de x2y- 3xy+ 4y = 0. Hallar la solucin general en el

intervalo de 0< x


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1

3.1 Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes

Hemos visto que las ecuaciones lineales de primer orden ,0' =+ayy donde a es

una constante, tiene la solucin exponencialat

ecy= 1 en el intervalo (- < x < ); por

consiguiente, lo ms natural es determinar si existen soluciones exponenciales de las

ecuaciones lineales homogneas de orden superior en (- < x < ) del tipo:

0'"... 0121

1 =+++++

yayayayayan

n

n

n. . . . . . .

. .(1)

En donde los coeficientes niai ,...,1,0,.... = , son constantes reales y .0na Para nuestra

sorpresa, todas las soluciones de la ecuacin (1) son funciones exponenciales o estn

formadas por funciones exponenciales.

Ecuacin Auxiliar

Iniciaremos con el caso especial de de la ecuacin de segundo orden

0'" =++ cybyay .. . . . . . . . . (2)

Si probamos con una solucin de la forma mxey = , entonces despus de sustituir

,".......'2 mxmxemyymey == en la ecuacin

(2), se transforma en 02 =++ mxmxmx cebmeeam , o sea 0][2 =++ cbmamemx , como emx

nunca es cero para x real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la

ecuacin diferencial es cuando se elige m como una raz de la ecuacin cuadrtica

02 =++ cbmam . . . . . . . . . . . (3)

Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin

diferencial (2). Como las dos races de la ecuacin (3), son

a

acbbm

2

42

1

+= y a

acbbm

2

42

1

=

Habr tres formas de la solucin general de ecuacin (2) que corresponden a los tres casos

siguientes:

m1 y m2 son nmeros reales y distintos (b2 -4ac>0)

m1 y m2 son nmeros reales e iguales (b2 -4ac=0)


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1

m1 y m2 son nmeros complejos conjugados (b2 -4ac

0 son reales, e i2 =-1. No hay diferencia formal entre este caso y caso I; por ello

xixi ececy )(2)(

1

+ +=

xmxmececy 21

21+=

(5)

xmxmxececy 11

21+= (6)

(4)


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1

Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales

complejas. Con este objetivo se usa la formula de Euler.

isenei += cos , en que es un nmero real.

La consecuencia de esta formula es que

xisenxe xi +=cos y xisenxe xi = cos . . . . . . .(7)

En donde hemos empleado cos(- x) = cos x y sen(- x) = -sen x . Obsrvese que si

primero sumamos y despus restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos,

respectivamente

Comoxixi

ececy)(

2

)(

1

+ += es una solucin de la ecuacin (2) para cualquier

eleccin de las constantes c1 y c2 , tenemos que

xixi ececy )(2)(

1

+ += = xixxix eeceec + 21

y = ][ 21xixix ecece +

utilizando las igualdades (7) tenemos

y = )](cos)(cos[ 21 xisenxcxisenxcex ++

si agrupamos trminos semejantes tendremos

])(cos)[( 2121 xisenccxcceyx ++=

Haciendo (c1 + c2) = c1 y c1 c2)i = c2, tendremos la solucin general

]cos[ 21 xsencxceyx += (8)Ejemplo 1Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 03'5"2 = yyy , b) 02 5'1 0" =+ yyy , c) 07'4" =++ yyy

Solucin: A continuacin presentaremos las ecuaciones auxiliares, races y

soluciones generales correspondientes.

a) 3,2

1),....3)(12(35221

2 ==+= mmmmmm , de acuerdo con (4)

xx

ececy 3221 +=

b) ,5,....)5(2510 2122 ===+ mmmmm de acuerdo con (6)

xx xececy 525

1 +=

c) ,32,32,....074 212

imimmm =+==++ de acuerdo a la ecuacin (8)

con

=-2 = 3 33cos2 xsencxce x +=


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Ecuaciones de orden superior.

3. Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior

Ahora resolveremos ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor, por su

utilidad y sencillez iniciaremos con la resolucin de ecuaciones lineales y de coeficientesconstantes.

Problemas de valor inicial y de valor en la frontera.

Para una ecuacin diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n, es:

Resolver: )()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

. (1)

Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1 , . . . , y(n-1)(x0) = yn-1

Donde y0 , y1 , . . . , yn-1,son constantes arbitrarias. Recuerde que, para un problema como

este, se busca una funcin definida en algn intervalo I que contenga a x 0, y que satisfaga la

ecuacin diferencial y las condiciones iniciales n especificadas en x0.

En el caso de una ecuacin lineal de segundo orden, una solucin de

)()()()( 012

2

2 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa =++

Sujeta a: y(x0) = y0 , y(x0) = y1

Es una funcin definida en I cuya grafica pasa por (x0,y0) y tal que la pendiente de la curva

en el punto es el numeroy1.

Ecuaciones Homogneas.

Una ecuacin diferencial lineal de orden n de la forma:

0)()(...)()( 011

1

1 =++++

yxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n . .(2)

Ejemplo 1 Solucin nica de un problema de valor inicial

El problema de valor inicial 07'"5'"3 =++ yyy , y(1) = 0, y(1) = 0, y(1) = 0 tiene

la solucin trivial y = 0. Como la ecuacin de tercer orden es lineal con coeficientes

constantes, se satisfacen todas las condiciones, en consecuencia, y = 0 es la nica

solucin en cualquier intervalo que contenga a x = 1.


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1

Se llama homognea, mientras que una ecuacin:

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

(3)

Donde g(x) no es idnticamente cero, se llama no homognea.

Nota. Para evitar repeticiones intiles en el resto de esta seccin, estableceremos las

siguientes hiptesis importantes al enunciar definiciones y teoremas acerca de las

ecuaciones lineales (2) y (3): En un intervalo I;

Los coeficientes ai(x), i = 0,1,2 n son constantes

El lado derecho, g(x), es continuo

an(x) 0 para toda x en el intervalo

Dependencia e independencia lineales.

Los siguientes dos conceptos son bsicos para el estudio de las ecuaciones

diferenciales lineales.

Es fcil entender estas definiciones en el caso de dos funcionesf1(x) y f2(x). Si las funciones

son linealmente dependientes en un intervalo, entonces existen constantes c1 y c2, no siendo

ambas nulas, tales que para toda x del intervalo

0)()( 2211 =+ xfcxfc

Por lo tanto, si suponemos c1 0, se infiere que

)()( 21

21 xf

c

cxf =

Esto es,si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es simplemente un

mltiplo constante de la otra. Recprocamente si para alguna constante c2 se tiene que

Definicin 3.0.1 Se dice que un conjunto de funciones f1(x), f2(x),,fn(x) es

linealmente dependienteen un intervalo I si existen constantes c1, c2,

cn, no todas ceros, tales que

0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente

dependiente en el intervalo, se considera que es linealmente

independiente.


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1

)()( 221 xfcxf = , entonces (-1) 0)()( 221 =+ xfcxf

para toda x en algn intervalo. Por lo tanto las funciones son linealmente dependientes

puesto que al menos una de las constantes (a saber c1 = -1) no es nula. Se concluye que dos

funcionesson linealmente independientes cuando ninguna es un mltiplo constante de

la otra en un intervalo.

Un conjunto de funciones f1(x), f2(x),. . ., fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo si

al menos una funcin puede expresarse como combinacin lineal no trivial de las restantes

funciones.

Soluciones de ecuaciones diferenciales

Ante todo, nos interesan, las funciones linealmente independientes o, con ms

precisin las soluciones linealmente independientes de una ecuacin diferencial lineal.

Aunque siempre podemos recurrir a la definicin 5.3a, sucede que el asunto de si las n

soluciones, nyyy ,...,, 21 de una ecuacin diferencial lineal de orden n como la ecuacin

(2) son linealmente independientes se puede establecer mecnicamente recurriendo a un

determinante.

Definicin 3.0.2 Wronskiano.

Ejemplo 2

Las funciones f1(x) = sen(2x) y f2(x) = sen(x) cos(x), son linealmente dependientes en

el intervalo de - < x < , puesto que

0)cos()()2( 21 =+ xxsencxsenc

Se satisface para x real si elegimos c1 = y c2 = -1. (Recuerde la identidad

trigonomtricasen(2x) = 2 sen(x)cos(x).)

Ejemplo 3

Las funciones f1(x) = x + 5, f2(x) = x + 5x, f3(x) = x -1 y f4(x) =

linealmente dependientes en el intervalo 0 < x < ya que f2(x) se puede es

como una combinacin lineal de f1(x), f3(x) y f4(x). Observe que:

)(0)(5)(1)( 4312 xfxfxfxf ++=

xxxxxxf 50)1(5)5(1)(2

2 +=+++= , en todo intervalo (0, )


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1

Suponga que cada una de las funciones f1(x), f2(x),,fn(x)posee al menos n-1 derivadas. Si

el determinante

W(f1(x), f2(x),,fn(x)) =

)1()1(2

)1(

1

''

2

'

1

21

...

......

...

...

n

n

nn

n

n

fff

fff

fff

en donde las primas representan derivadas, no es cero por lo menos en un punto del

intervalo I, entonces las funciones f1(x), f2(x),,fn(x) son linealmente independientes en el

intervalo.

El determinante anterior se designa por W(f1(x), f2(x),,fn(x)) y se llama wronskiano* de

las funciones.

*

Debe su nombre a Joszef Maria Hone Wronski (1778-1853), quien naci enPolonia, fue educado en Alemania y pas la mayor parte de su vida enFrancia. Mas filsofo que matemtico, la nica contribucin notable deWronski a las matemticas fue el determinante que se acaba de definir.

Ejemplo 4

Las funciones f1(x) = sen2x y f2(x) = 1- cos(2x) son linealmente dependientes en

- < x < , (por qu):

Solucin: Para verificar esto se observa que W(f1(x), f2(x)) = 0, demostrmoslo

W(sen2x, 1- cos(2x)) =)2(2cos2

)2cos(12

xsenxsenx

xxsen

= 2sen2x sen(2x) 2 senx cosx + 2 senx cosx cos(2x)

= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos(2x)]

= sen(2x)[2 sen2x 1 + cos2x sen2x]

= sen(2x)[ sen2x + cos2x 1] = 0


17/25


18/25

1

Sustituyendo en la ecuacin diferencial 04'2"'3

=+ yxyyx , tendremos:

0)ln(4)ln22(22 2

2

2

122123 =++++ xxcxcxxcxcxcx

x

cx

De donde; 0ln44ln4242 222122222122 =++ xxcxcxxcxcxcxc

Soluciones de ecuaciones no-homogneas.

Se definir ahora la solucin general de una ecuacin diferencia lineal no-homognea.

Una solucin general para la ecuacin diferencial lineal no-homognea, siempre se

compone de: yGral = yc + yp

Del teorema 3.1, la combinacin lineal )(...)()()( 2211 xycxycxycxy kkc +++= ,

La cual es la solucin general de (2), se le llama funcin complementaria de la ecuacin(3). Cualquier funcin yp que no contiene parmetros arbitrarios y que satisface a la

ecuacin (3), se llama solucin particular de la ecuacin. En otras palabras, la solucin

general de la ecuacin diferencial lineal no-homognea es:

YGral = funcin complementaria + cualquier solucin particular

Elaboracin de una segunda solucin a partir de una solucin conocida.

Reduccin de Orden.

Uno de los hechos ms interesantes e importantes en el estudio de las ecuaciones

diferenciales lineales de segundo orden es que es posible formar una segunda solucin a

partir de una solucin conocida. Supngase que y1(x) es una solucin distinta de cero de la

ecuacin:

0)()()( 012

2

2 =++ yxadx

dyxa

dx

ydxa . . . . . . . . . .(1)

El proceso que utilizaremos para encontraruna segunda solucin y2(x)consiste en reducir

el orden de la ecuacin (1), transformndola en una ecuacin de primer orden. Por ejemplo

es fcil verificar que y1 = ex, satisface a la ecuacindiferencial y y = 0. Si intentamos

determinar una solucin de la forma y = u(x) ex entonces:

y= u(x) ex + u(x) ex

y = u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex


19/25

1

y y = [u(x) ex + 2u(x) ex + u(x) ex ]- u(x) ex = 0

y- y = ex [u(x) + 2u(x)] = 0

Puesto que ex 0, por lo que esta ltima ecuacin requiere que: u(x) + 2u(x) = 0

Si sustituimos w(x) = u(x), entonces w(x) = u(x), la ecuacin anterior se transforma en

w(x) + 2w(x) = 0, utilizando el factor integrante e2xpuede escribirse:

0][ 2 =wedx

d x

Integrando ambos lados se obtiene cwex =][ 2

O sea w(x) = c1 e-2x por lo que u(x) = c1 e

-2x

De esta manera u(x) = 221

2ce

c x +

y2 = u(x)ex

Eligiendo c2 = 0 y c1 =-2, se obtiene la segunda solucin

y2 = e-x

Puesto que el W(y1, y2) 0 para toda x en - < x <

En consecuencia la expresin para y es efectivamente la solucin general de la ecuacin

dada.

Caso General.

Supngase que se divide entre a2 (x) la ecuacin (1) se transforma en

0)(')(" =++ yxQyxPy . . . . . . . (2)

donde : P(x) y Q(x) son continuas en algn intervalo I, supngase que y1 es una solucin

conocida de la ecuacin (2) en I y que y1 0 para toda x del intervalo. Si definimos a

y2 = u(x)y1 , se tiene

y= u(x)y1 + u(x)y1

y = u(x)y1

+ 2u(x)y1

+ u(x)y1

y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)y1 + 2u(x)y1

+ u(x)y1+ P(x)[u(x)y1

+ u(x)y1] +

Q(x) u(x)y1 ,

factorizando trminos semejantes tenemos:

y+ P(x) y+ Q(x) y = u(x)[y1 + P(x)y+Q(x)y] +y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0


20/25

1

cero

por lo tanto: y1 u(x)+[2y1+P(x)y1]u(x) = 0 haciendo u(x) = w(x)

y1w(x)+[2y1+P(x)y1]w(x) = 0 . . . . . . . . . . (3)

Obsrvese que la ecuacin (3) es lineal y tambin de variables separables, aplicando esta

ltima tcnica resulta:

0)(21

'

1 =++ dxxPdxy

y

w

dw

+=+ cdxxPyw )(ln2ln 1

+= cdxxPwy )(ln2

1

Aplicando la funcin exponencial a ambos lados de la igualdad tenemos:

= dxxP

ecwy

)(

1

2

1

Y como w(x) = u(x), w(x) = u(x) =2

1

)(

1y

ec

dxxP

integrando de nuevo tenemos: +

=

22

1

)(

1)( cdxy

ecxu

dxxP

; y por lo tanto como

y2 = u(x)y1 1221

)(

112 ycdxy

eycy

dxxP

+

=

Eligiendo c2 = 0 y c1 = 1, se encuentra que una segunda solucin de la ecuacin (2) es

dxxy

exyy

dxxP

=

)()(

2

1

)(

12

. . . . . . .(4)


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1


Dados los siguientes ejercicios determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.

1. 1;0'4'' 1 ==+ yyy 2.x

eyyyy2

1;04'4'' ==+

3.x

xeyyyy==++ 1;0'2'' 4. xyyy 4cos;016'' 1 ==+

5. xsenyyy 3;09'' 1 ==+ 6. xyyy cosh;0'' 1 ==

7.xeyyy

5

1;025'' == 8.3/

1;0'''6x

eyyyy ==+

9.4

12

22

;0167 xyydx

dyx

dx

ydx ==+ 10. Lnxy

dx

dy

dx

ydx ==+ 12

2

;0

Ejemplo 1

La funcin y1 = x2 es una solucin de x2y- 3xy+ 4y = 0. Hallar la solucin general en el

intervalo de 0< x


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1

3.1 Ecuaciones Lineales Homogneas con Coeficientes Constantes

Hemos visto que las ecuaciones lineales de primer orden ,0' =+ayy donde a es

una constante, tiene la solucin exponencialat

ecy= 1 en el intervalo (- < x < ); por

consiguiente, lo ms natural es determinar si existen soluciones exponenciales de las

ecuaciones lineales homogneas de orden superior en (- < x < ) del tipo:

0'"... 0121

1 =+++++

yayayayayan

n

n

n. . . . . . .

. .(1)

En donde los coeficientes niai ,...,1,0,.... = , son constantes reales y .0na Para nuestra

sorpresa, todas las soluciones de la ecuacin (1) son funciones exponenciales o estn

formadas por funciones exponenciales.

Ecuacin Auxiliar

Iniciaremos con el caso especial de de la ecuacin de segundo orden

0'" =++ cybyay .. . . . . . . . . (2)

Si probamos con una solucin de la forma mxey = , entonces despus de sustituir

,".......'2 mxmxemyymey == en la ecuacin

(2), se transforma en 02 =++ mxmxmx cebmeeam , o sea 0][2 =++ cbmamemx , como emx

nunca es cero para x real, la nica forma en que la funcin exponencial satisface la

ecuacin diferencial es cuando se elige m como una raz de la ecuacin cuadrtica

02 =++ cbmam . . . . . . . . . . . (3)

Esta ecuacin se llama ecuacin auxiliar o ecuacin caracterstica de la ecuacin

diferencial (2). Como las dos races de la ecuacin (3), son

a

acbbm

2

42

1

+= y a

acbbm

2

42

1

=

Habr tres formas de la solucin general de ecuacin (2) que corresponden a los tres casos

siguientes:

m1 y m2 son nmeros reales y distintos (b2 -4ac>0)

m1 y m2 son nmeros reales e iguales (b2 -4ac=0)


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1

m1 y m2 son nmeros complejos conjugados (b2 -4ac

0 son reales, e i2 =-1. No hay diferencia formal entre este caso y caso I; por ello

xixi ececy )(2)(

1

+ +=

xmxmececy 21

21+=

(5)

xmxmxececy 11

21+= (6)

(4)


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1

Sin embargo, en la prctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales

complejas. Con este objetivo se usa la formula de Euler.

isenei += cos , en que es un nmero real.

La consecuencia de esta formula es que

xisenxe xi +=cos y xisenxe xi = cos . . . . . . .(7)

En donde hemos empleado cos(- x) = cos x y sen(- x) = -sen x . Obsrvese que si

primero sumamos y despus restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos,

respectivamente

Comoxixi

ececy)(

2

)(

1

+ += es una solucin de la ecuacin (2) para cualquier

eleccin de las constantes c1 y c2 , tenemos que

xixi ececy )(2)(

1

+ += = xixxix eeceec + 21

y = ][ 21xixix ecece +

utilizando las igualdades (7) tenemos

y = )](cos)(cos[ 21 xisenxcxisenxcex ++

si agrupamos trminos semejantes tendremos

])(cos)[( 2121 xisenccxcceyx ++=

Haciendo (c1 + c2) = c1 y c1 c2)i = c2, tendremos la solucin general

]cos[ 21 xsencxceyx += (8)Ejemplo 1Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 03'5"2 = yyy , b) 02 5'1 0" =+ yyy , c) 07'4" =++ yyy

Solucin: A continuacin presentaremos las ecuaciones auxiliares, races y

soluciones generales correspondientes.

a) 3,2

1),....3)(12(35221

2 ==+= mmmmmm , de acuerdo con (4)

xx

ececy 3221 +=

b) ,5,....)5(2510 2122 ===+ mmmmm de acuerdo con (6)

xx xececy 525

1 +=

c) ,32,32,....074 212

imimmm =+==++ de acuerdo a la ecuacin (8)

con

=-2 = 3 33cos2 xsencxce x +=


25/25

Ecuaciones de orden superior.

En general para resolver una ecuacin diferencial de orden n como la ecuacin (1),

debemos resolver una ecuacin auxiliar de tipo polinomial de grado n;

0...01

2

2

1

1=+++++ amamamama

n

n

n

n

De la solucin de esta ecuacin podemos obtener combinaciones de los casos I, II y III,

antes vistos, por lo que la solucin general se formar con la suma de todas las soluciones

dada por las diferentes races encontradas.


A) En los siguientes problemas determine la solucin general de cada ecuacin diferencial.

1. 0'''4 =+yy 2. 0'5''2 = yy

3. 036'' = yy 4. 08'' = yy

5. 09'' =+ yy 6. 0''3 =+yy

7. 06''' = yyy 8. 02'3'' =+ yyy

9. 01682

2

=++ ydx

dy

dx

yd10. 02510

2

2

=+ ydx

dy

dx

yd

11. 05'3'' =+ yyy 12. 0'4'' =+ yyy

13. 02'5''12 = yyy 14. 0'2''8 =+ yyy

15. 05'4'' =+ yyy 16. 04'3''2 =+ yyy

17. 0'2''3 =++ yyy 18. 0'2''2 =++ yyy

19. 0'5''4''' = yyy 20. 0'''4'''4 =++ yyy

21. 0''' =yy 22. 0''5''' =+ yy23. 0'3''5''' =++ yyyy 24. 012'4''3''' =+ yyyy

25. 02''''' =+ yyy 26. 04''''' = yyy

27. 0'3''3''' =+++ yyyy 28. 08'12''6''' =+ yyyy

Ecuaciones Lineales Homog. de Orden Superior

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