Ecuaciones FInales
-
Upload
hebert-rojas-arando -
Category
Documents
-
view
224 -
download
0
Transcript of Ecuaciones FInales
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
1/8
4.3) Hallar la solucin general de la ecuacin de segundo grado
3y +2y +y=0
para hallar sus raices usaremos la ecuacion caracteristica
3r2+2r+1=0
De donde tenemos la races usando r=b b24 ac
2a
r1=13+
2
3i r
2=13
2
3i
De donde tenemos la ecuacin Yc
Y=C1
ex3cos
2
3x+C
2ex3sin
2
3x
4.4) Resolver la ecuacin diferencial usando el mtodo de
coecientes indeterminados
y(4 )+2 +y=(x1 )2
Sea: (D4+2D2+1 )y=0
Hallamos la ecuacin caracterstica tendramos la siguiente forma:
r4+2 r2+1=0 de donde tenemos las raices r1=r2=r3=r4=0+i
De donde tendramos la ecuacin caracterstica:
c
1+xc2+c
3x
2+c4x
3
yc=
Ahora determinamos una Yp:
Para anular la funcin de (x1 )2 D3
D3 (D4+2D2+1 )y=0 r3 (r4+2r2+1 )=0
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
2/8
De donde tenemos la races:r1=r
2=r
3=r
4=0+i y r
5=r
6=r
7=0
c
1+xc2+c
3x
2+c4x
3
y=
Donde mi Y particular seria
yp=A+Bx+C x2
y p=A+B+Cx y p=A+Bx+C x2
y(4)
p=A+B+C
Remplazando en la ED inicial:
( A+B+C+2
(A+B+2
C)+(A+Bx+C x2
)=x2
2
x+1
C x2+Bx+3C+3 B+4A=x22x+1 A=1B=2C=1
Remplazando
c
1+xc2+c
3x
2+c4x
3
y=
4.5) compruebe que el operador anulador es el anulador de la
ecuacin diferencial indicada
D2+64 ANULA y=2cos8x5sin8x
Saemos !ue: " (D# $ % & entonces de donde
: (D2+64 ) (2cos8x5sin 8x )=0
8x
8x5sin +128cos8x320sin8x=0
2cosD2
D2
8x
8x40cos+128cos8x320sin 8x=0
16sin
DD
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
3/8
128cos 8x+320sin 8x+128cos8x320sin8x=0=0
cumplecomo papel de anulador D2+64 y=2cos8x5sin8x
Resuelve por el mtodo de coecientes indeterminados
y +3y 10y=x ( ex+1)
determine laecuacion caracteristica
r2+3 r10=0de donde tenemoslas raices r1=2 r2=5
yc=c1 e2x+c2 e
5x
Ahora determinamos una solucin particular:
(D1 )2 (D2+3D10)y=0
(r1 )2 (r2+3 r10 )=0de donde tenemos las raices r1=2 r2=5 r3=r 4=1
y=c1 e2x+c2e
5x+A ex+Bx ex
de donde mi yp=A ex+Bx ex y p=A e
x+B ex y p=A ex+B ex
Remplazando en la ecuacin inicial: 10xB exex (6A4 B )=x ex+x
B= 1
10y A=
1
40
Remplazando en la Ecuacin inicial:y=c1 e
2x+c2e5x+ 1
40ex+ 1
10x ex
4.6) Resolver por el mtodo de variacin de parmetros
y +3y +2y=sin ex
Sea: (D2+3D+2)y=sinex de donde la ecuacin caracterstica seria
r2+3 r+2=0 de donde las raicestenemos r1=2 r2=1
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
4/8
yc=c1 e2x+c2 e
x y p=u1e
2x+u2 ex
'sando el ros)eno w= e
2xex
2e2x x ex=e3x
Ahora calculando los *alores de: ui=w i
wg (x ) dx
Hallaremos w1=0 e
x
1 x ex=ex w2=
e2x
0
2e2x 1=e2x
Ahora hallaremos los *alores deu1y u
2
u1=e2xsinex dxexcosexsin ex
u2=exsin ex dx cosex
+inalmente tendi,ramos la solucin general
yp=( excos e
xsinex ) e2x(cosex)ex
4.!) resolver la ecuacin diferencial dada por le mtodo de "uler
3x2
y +6xy +y=0
Sea por teora de Euler se hace una sustitucin:
y=xm y =m xm1 y =m(m1)xm2
Sustitu$endo en la ecuacin diferencial inicial tendramos:
3x2 (m (m1 )xm2 )+6xm xm1+xm=0
xm (3m23m+m+1)=0
xm (3m22m+1 )=0
De donde saco mis races m1=1
3
+ 2
3
i m2=
1
3
2
3
i
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
5/8
Y=C1
e
x
3cos
2
3x+C
2e
x
3sin
2
3x
5.#) una masa de un #$g se %a un resorte cu&a constante de
$'#6(m & luego el sistema completo se sumerge en un l*quido queimparte una fuer+a de amortiguamiento igual a #, veces la
velocidad instantnea. -etermine la ecuacin del movimiento
a# al inicio la masa se liera desde un punto situado -m dea.o de la
posicin de e!uilirio
Datos:
)%-/01m
2%d$1dt
+o%-&*
m%-)g
"a
ecuacin
del mo*imiento general es:
d2y
d t2+10
dy
dt+16y=0
Hallamos la ecuacin caracterstica
r2+10r+16=0
De donde tendramos las races
r1=8y r
2=2
3endramos la ecuacin complementaria
yc=c1 e8 t+c1e
2 t
=dy
dt=8c
1e8 t2c
2e2 t
Aplicamos las condiciones iniciales !ue nos dan
y (o )=1m=yo y ( o)=0=o
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
6/8
Remplazando tendramos los *alores:
c1+c
2=1
8c12c
2=0
De donde tendramosc1=13
c2=4
3
Remplazando la ecuacin del mo*imiento seria
2%8
3e8 t
8
3e2 t
5.) una viga esta empotrada en su lado i+quierdo & libre en su lado
derec/o & 012)'0o donde o 2
(4# %o 5 carga constante
De6e4in $(4# sea por m,todo de dole integracin !"d
4y
d x4=#o
7ondiciones iniciales seg8n la *iga como nuestra *iga es empotrada se usa
$%& $ $9%o
"a *iga esta empotrada a su lado iz!uierdo 4%& entonces
Y%& 5 $9%&$(o# % & 5 $9%&
$(-#%& : $9(-#%&
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
7/8
Por coecientes indeterminados se integra la ecuacin !"d
4y
d x4=#o
(!"
d4
y
d x4
)dx
dxdx dx
"a solucin general de la ecuacin seria entonces
y=yc+yp
y (x )=c1+c2x+c3x2
+c4x3
+
#o
24!" x
4
Aplicamos las condiciones iniciales -# $%& 5 $9%&
Dondec1=0 $ c
2=0
Aplicamos las condiciones iniciales ;# $ (-#%& 5 $9(-#%&
$(4#% c
3x
2+c4x
3+ #o
24!" x
4
3enemos:c3L
2+c4L
3+ #o
24!"L
4
5 "%-
-
7/26/2019 Ecuaciones FInales
8/8