ECUACIONES E INECUACIONES

1 MATEMTICA BSICA - INGENIERIA

CAPTULO I

ECUACIONES E INECUACIONES

http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/pioneers/kelvin.html

1.1. INECUACIN

Desigualdad:

Es la relacin de orden que establece que dos cantidades tienen diferente valor.Los signos que

se utilizan para designar desigualdades son:

que se lee: mayor que

que se lee: menor que

que se lee: mayor o igual que

que se lee: menor o igual que

Inecuacin

Una inecuacin es una desigualdad en las que hay una o ms cantidades desconocidas

(incgnita) y que slo se verifica para determinados valores de la incgnita o incgnitas.

Ejemplo

La desigualdad: 2 1 5x x , es una inecuacin porque tiene una incgnita x que se verifica para valores mayores de 4.

Conjunto solucin de una inecuacin:

Se llama conjunto solucin de una inecuacin a todos los nmeros reales que la verifiquen, es decir, que dichos nmeros reales dan la desigualdad en el sentido

prefijado.

La vida y el alma de la ciencia es su aplicacin

prctica, y al igual que los grandes avances en

matemticas se han hecho a travs del deseo de

descubrir la solucin de los problemas que son

de tipo muy prctico en la ciencia matemtica,

en la ciencia fsica muchos de los mayores

avances que se han hecho desde el principio

del mundo hasta la actualidad se han realizado

con un serio deseo de convertir el

conocimiento de las propiedades de la materia

algo til para la humanidad.

William Thomson Kelvin


Es todo valor de la incgnita, o conjunto de valores de las incgnitas, que verifican la desigualdad.

Propiedades

Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades:

1. Cuando se suma o resta un mismo trmino en ambos miembros de una inecuacin se obtiene una inecuacin equivalente.

2. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuacin por un nmero o cantidad positivos, la inecuacin resultante es equivalente; si este nmero o cantidad

son negativos, la inecuacin resultante es tambin equivalente, pero ha de invertirse el

signo de la desigualdad.

Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer trminos y

obtener las races o soluciones.

PASOS PARA RESOLVER INECUACIONES

1. Suprimimos signos de coleccin.

2. Hacemos transposicin de trminos escribiendo los que son independientes en uno de

los miembros y los que no lo son en el otro miembro de la inecuacin.

3. Efectuamos reduccin de trminos semejantes en cada miembro.

4. Despejamos la incgnita.

1.2. INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Son aquellas que tienen la forma

0 0 0 0ax b ax b ax b ax b

Donde 0a

Ejemplo

Resolver la siguiente inecuacin 3 1 8x x

Solucin

Transponiendo trminos se tiene

2 7x as

7 / 2x

Por lo tanto, el conjunto solucin es

7 7. . / ;

2 2C S x x

Grficamente se tiene:


1.3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.

Son aquellas que tienen la forma:

2 2 2 20 0 0 0ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Para resolver una inecuacin de segundo grado se debe tener en cuenta lo siguiente:

A) Si 2 4 0b ac entonces el trmino cuadrtico se puede factorizar. Es decir:

2

1 2( )( )ax bx c x x x x

Ahora se determinar el conjunto solucin para cada caso

Primer Caso: 2

1 2( )( ) 0ax bx c x x x x

Se ubican los puntos crticos (PC) del polinomio en la recta real y se divide la recta en tres

intervalos. Es decir:

1 2 1 2/ ( ) 0 / ( )( ) 0 ;PC x P x x x x x x x x

Luego, ubicar los signos en cada intervalo teniendo en cuenta la siguiente tcnica:

multiplicar los coeficientes principales de cada factor lineal y colocar en el primer intervalo de la derecha el signo del resultado de esa multiplicacin. Es decir, el coeficiente principal en cada factor es 1 por lo tanto la multiplicacin tambin es 1 y tiene

signo positivo por lo tanto, se inicia consigo positivo.

En los intervalos siguientes se escribe en forma alternada y +. Es decir:

Para dar la respuesta se debe seleccionar los intervalos que tienen el signo positivo pues la

inecuacin es mayor o igual a cero. Es decir:

1 2; ;CS x x

7

2

1x 2x

1x 2x

+

1x 2x

+ +


Ejemplo

Resolver la inecuacin 22 3 1 0x x

Solucin

Factorizando por el aspa simple se tiene

22 3 1 (2 1)( 1) 0x x x x

Los puntos crticos son 1

; 12

Segundo Caso: 2

1 2( )( ) 0ax bx c x x x x

Se ubican los puntos crticos (PC) del polinomio en la recta real y se divide la recta en tres

intervalos. Es decir:

1 2 1 2/ ( ) 0 / ( )( ) 0 ;PC x P x x x x x x x x

Luego, ubicar los signos en cada intervalo teniendo en cuenta la siguiente tcnica:

multiplicar los coeficientes principales de cada factor lineal y colocar en el primer intervalo de la derecha el signo del resultado de esa multiplicacin. Es decir, el coeficiente principal en cada factor es 1 por lo tanto la multiplicacin tambin es 1 y tiene

signo positivo por lo tanto, se inicia consigo positivo.

En los intervalos siguientes se escribe en forma alternada y+. Es decir:

Para dar la respuesta se debe seleccionar los intervalos que tienen el signo negativo pues la

inecuacin es menor o igual a cero. Es decir:

1 2;CS x x Nota.

1x

2x

1x

2x

+

1x 2x

+ +

1x

2x


En los casos 2 20 0ax bx c ax bx c los intervalos del conjunto solucin

son abiertos

Para factorizar se puede usar: Aspa simple, completar cuadrados o frmula general.

B) Si 2 4 0b ac y 0a entonces el trmino cuadrtico es mayor que cero y no se puede factorizar en el campo de los nmeros reales. Es decir:

Si la inecuacin es 2 0ax bx c entonces el C.S. = R

Si la inecuacin es 2 0ax bx c entonces el C.S. =

Ejemplos

a) Resolver la siguiente inecuacin 23 2 1 0x x

Solucin

Identificando coeficientes se tiene: a = 3, b = 2 y c = 1.

Luego, 22 4(3)(1) 8 0 3 0y a entonces C.S. = R

b) Resolver la siguiente inecuacin 25 3 2 0x x

Solucin


Luego, 2( 3) 4(5)(2) 31 0 5 0y a entonces C.S. =

C) Si 2 4 0b ac y 0a entonces el trmino cuadrtico es mayor que cero y no se puede factorizar en el campo de los nmeros reales. Es decir:

Si la inecuacin es 2 0ax bx c entonces el C.S. =

Si la inecuacin es 2 0ax bx c entonces el C.S. = R

Ejemplos


Solucin


Luego, 23 4( 2)( 2) 7 0 2 0y a entonces C.S. =

b) Resolver la siguiente inecuacin 2 2 0x x

Solucin


Luego, 2(1) 4( 1)( 2) 7 0 1 0y a entonces C.S. = R

D) Si 2 4 0b ac , el trmino cuadrtico es un trinomio cuadrado perfecto y se tiene

los siguientes casos


Si la inecuacin es 2 21( ) 0ax bx c mx x entonces el C.S. = R

Si la inecuacin es 2 21( ) 0ax bx c mx x entonces el C.S. =

1x

m

Ejemplos


Solucin

Identificando coeficientes se tiene: a = 1, b = -4 y c = 4.

Luego, 2( 4) 4(1)(4) 0 entonces 2( 2) 0x . Por lo tanto, C.S. = R

b) Resolver la siguiente inecuacin 24 4 1 0x x

Solucin

Identificando coeficientes se tiene: a = 4, b = 4 y c =1.

Luego, 2(4) 4(4)(1) 0 entonces 2(2 1) 0x . Por lo tanto, C.S. =1

2

1.4. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Son aquellas que tienen la forma:

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0P x P x P x P x

Donde P(x) es un polinomio de grado n.

Para resolver una inecuacin polinmica de grado n se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Factorizar elpolinomio de grado n.

2. Hallar los valores crticos del polinomio P(x) y ubicarlos en la reta real.

3. Determinar los signos en cada intervalo obtenido

4. El conjunto solucin es la unin de todos los intervalos que tengan el signo determinado

por el polinomio factorizado y simplificado.

PRIMER CASO: El polinomio p(x) se factoriza en factores lineales diferentes

1 2 3( ) ( )( )( ) ( ); ( )nP x x x x x x x x x n Grado de P x

Ejemplo

Resolver ( 1)( 2)( 3)( 4) 0x x x x

Solucin


1. El polinomio ya est factorizado

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4)P x x x x x

2. Valores crticos y ubicacin en la recta real

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) 0P x x x x x

( 1) 0 ( 2) 0 ( 3) 0 ( 4) 0x x x x

1 2 3 4x x x x

3. Signos de cada intervalo

Nota

En este caso los signos se ubican de derecha a izquierda y en forma alternada. Se

inicia con el signo + pues la multiplicacin de todos los coeficientes principales da

como resultado un nmero positivo.

4. El conjunto solucin es la unin de todos los intervalos que tengan el signo determinado por el polinomio factorizado y simplificado. Es decir:

( ) ( 1)( 2)( 3)( 4) 0P x x x x x

se lee: El polinomio P(x) es mayor que cero. Esto significa que se debe considerar los intervalos que tengan el signo positivo. Entonces el conjunto solucin es:

. . : 4 2;1 3;C S

SEGUNDO CASO: El polinomio p(x) se factoriza en factores lineales y algunos de ellos

se repiten

1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )m n p z

kP x x x x x x x x x

Donde: , , ,m n p z tal que grado de ( ) grado de ( )m n p P x z P x

Ejemplo

2 1 4 3

+ +

2 1 4 3

+


Resolver 4 3 5 6( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0x x x x

Solucin


4 3 5 6( ) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)P x x x x x

2. Valores crticos y la recta real 4 3 5 6( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0x x x x

4 3 5 6( 1) 0 ( 2) 0 ( 3) 0 ( 4) 0x x x x

1 2 3 4x x x x

Ubicar todos los valores crticos en la recta real

Eliminar, en la inecuacin, los factores que tienen un exponente par pues ellos siempre

sern positivos y la inecuacin no se altera.

3 5( 2) ( 3) 0x x

Estos factores, se pueden escribir:

2 4( 2)( 3)( 2) ( 3) 0x x x x

Repetimos el paso anterior y se tiene:

( 2)( 3) 0x x

Ahora, para determinar los intervalos solo se toma encuenta los valores crticos 2 y 3.

3. Ubicamos los signos en cada intervalo como en el primer caso.

4. El conjunto solucin es el intervalo que tiene el signo negativo y el punto crtico 4 pues el polinomio simplificado es menor o igual a cero.

( 2)( 3) 0x x

2 1 4 3

2 1 4 3

2 1 4 3

+ +


Por lo tanto,

. . 2;3 4C S

TERCER CASO: El polinomio p(x) se factoriza y algunos de sus factores son trminos

cuadrticos irreducibles

2 21 1 1 2 2 2 3( ) kP x a x b x c a x b x c x x x x

Donde, k es menor que el grado del polinomio.

Ejemplo

Resolver 3 52 22 2 2 3 4 0x x x x x

Solucin


3 52 2( ) 2 2 2 3 4P x x x x x x

En este caso se debe de analizar si los trminos cuadrticos son irreducibles. Es decir si su

discriminante es menor que cero. Es decir:

2 2x es irreducible pues 20 4(1)(2) 8 0

2 2 2x x es irreducible pues 22 4(1)(2) 4 0

Entonces, eliminando estos trminos cuadrticos se tiene.

( 3)( 4) 0x x

2. Valores crticos y la recta real

( 3)( 4) 0x x

( 3) 0 ( 4) 0x x

3 4x x

Ubicar todos los valores crticos en la recta real

3. Ubicamos los signos en cada intervalo como en el primer caso.

4 3

+ +

4 3


4. El conjunto solucin es el intervalo que tiene el signo negativo pues el polinomio simplificado es menor que cero.

( 3)( 4) 0x x Por lo tanto,

. . 4;3C S

1.5. INECUACIONES RACIONALES

Una inecuacin racional es una expresin de la forma: ( )

0 , ,( )

P x

Q x , donde ( )P x y

( ) 0Q x son polinomios de grado n y m respectivamente.

Para resolver una inecuacin racional, usamos la propiedad:

( )0 ( ) ( ) 0, ( ) 0

( )

P xP x Q x Q x

Q x

Luego se resuelve de forma anloga a las inecuaciones de grado superior.

Ejemplo

Resuelva la inecuacin 5

03

x

x

Solucin

Usando la propiedad se tiene:

50 ( 5)( 3) 0; 3

3

xx x x

x

Los valores crticos son:

5;3

Ubicando estos valores en la recta real se tiene:

Como la inecuacin inicial es5

03

x

x

entonces el conjunto solucin ser:

. . ; 5 3;C S

EJERCICIOS RESUELTOS

+ +

5 3


1. Resuelva la inecuacin 6 3 3

(2 6)2 4

x xx

Solucin

Multiplicando por 4 en ambos lados de la desigualdad se tiene:

12 6 8 24 3x x x

3 21 7x x

Por lo tanto,

. . 7;C S

2. Resuelva la inecuacin100 6 4 121x x x

Solucin

Usando la propiedad: Para todo , , ,a b c R a b c a b b c

100 6 4 6 4 121x x x x

100 6 4 6 121 4x x x x

94 4 7 117x x

4 117

94 7x x

Por lo tanto,

4. . ;

94C S

3. Resuelva la inecuacin 29 2 18x x

Solucin

Pasando todos los trminos al segundo miembro y ordenndolos se tiene:

20 2 9 18x x

22 9 18 0x x

117

7

4

94

+


Factorizando se tiene:

(2 3)( 6) 0x x

As los puntos crticos son: 3

, 62

x x

Por lo tanto, el conjunto solucin es:

3

. . ; 6 ;2

C S


Solucin

Factorizando el polinomio se tiene:

2( 2)( 2) 0x x x

Los valores crticos son:

2 0;( 2) 0;( 2) 0 0; 2; 2x x x x x x

Ubicar estos valores en la recta real.

Luego, simplifiquemos el termino x2 y obtenemos la inecuacin simplificada.

( 2)( 2) 0x x

Ahora, dividimos la recta real en tres intervalos y determinamos los signos en cada uno de

ellos.

El polinomio simplificado es menor o igual a cero, entonces el conjunto solucin es el

intervalo que tiene el signo negativo. Es decir

. . 2;2C S

+ 6 3/2

+ +

2 2 0 +

2 2

+ +

0

+



Solucin:

Este ejercicio se resuelve igual que el anterior pero se debe tener cuidado con el tipo de

desigualdad pues en este caso es una desigualdad estricta y eso implica que los valores

crticos no pertenecen al conjunto solucin entonces se debe quitar los valores crticos del

conjunto solucin. Es decir, en el ejercicio 4 los valores crticos 2;0;2 son parte de la

solucin y el conjunto solucin es el intervalo cerrado 2;2 . En este ejercicio los valores

crticos 2;0;2 no son parte de la solucin entonces el conjunto solucin para esta inecuacin es:

. . 2;2 2;0;2 2;2 0C S

6. Resuelva la inecuacin 4 3 23 13 9 30 0x x x x

Solucin

Factorizando por el mtodo de Ruffini el polinomio queda de la siguiente forma:

2( ) ( 2)( 5)( 3)P x x x x

Los valores crticos del polinomio son: 2; 3; 3;5

Ubicando esos valores en la recta real, determinando los intervalos y sus respectivos signos

se tiene:

Por lo tanto, como el polinomio dado es mayor que cero se toman los intervalos que tienen

el signo positivo y se tiene el siguiente conjunto solucin:

. . ; 2 3;0 3;C S

7. Resuelva la inecuacin 3 29 6 0x x x

Solucin

Factorizando el polinomio se tiene 2(3 1) 0x x , luego los valores crticos son1

;03

.

2 0

+ +

3

+

3 +


Por otro lado, simplifiquemos el trmino 2(3 1)x y se obtiene 0x


. . 0;C S

Nota:

En este caso no es necesario quitar del C.S. el valor crtico -1/3 pues ste nmero no

pertenece al C.S.

8. Resuelva la inecuacin: 5 4 3 22 51 128 260 336 0x x x x x

Solucin

Factorizando el primer miembro de la inecuacin, se tiene:

( 7)( 2)( 1)( 4)( 6) 0x x x x x

Los valores crticos son: 7, 2, 1, 4, 6x x x x x


. . 7; 2 1;4 6;C S

9. Resuelva la inecuacin 2

04

x

x

Solucin

Factorizando el denominador se tiene

0( 2)( 2)

x

x x

Aplicando propiedad se tiene:

( 2)( 2) 0; 2, 2x x x x x

Ubiquemos los valores crticos de en la recta real se tiene.


. . ; 2 0;2C S

+ + +

+ 1 4 2 6 7

2 2

+

0

+


10. Resuelva la inecuacin2

4

(2 1) ( 1)0

( 1)

x x

x x

Solucin

Factorizando el denominador, se tiene:

2 2

4 2

(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)

( 1) ( 1)( 1)( 1)

x x x x

x x x x x x

Usando la propiedad se tiene:

2 2(2 1) ( 1) ( 1)( 1)( 1) 0; 1; 0; 1x x x x x x x x x

Los valores crticos son1

1; ;0;12

, luego de simplificar los factores 2 2(2 1) ,( 1)x x y

2( 1)x se tiene:

( 1) 0x x

Ubiquemos los valores crticos en la recta y determinemos los intervalos de solucin.

Por lo tanto el conjunto solucin es:

. . 1;0C S

11. Resolver la inecuacin 2 3

32

x

x

Solucin

Pasando todo los trminos al primer lado de la desigualdad se tiene:

2 33 0

2

x

x

Sacando mnimo comn mltiplo se tiene:

30 ( 3)( 2) 0; 2

2

xx x x

x

Los valores o puntos crticos son:

2;3

1

2

1 0 1

+

+

2 3

+

El producto de los

coeficientes principales es:

(1)(1) = 1



. . 2;3C S

12. Resolver la inecuacin 4 3 2

3 2

2 3 6 5 60

7 18 40

x x x x

x x x

Solucin

Factorizando en el numerador y denominador se tiene:

2

2

( 2)(2 3)( 1)0

( 5)( 2 8)

x x x

x x x

El factor tiene discriminante negativo, entonces se puede simplificar y la

desigualdad no se altera. Entonces la inecuacin simplificada es:

2( 2)(2 3)( 1)

0( 5)

x x x

x

Los valores crticos son3

2; ;1;52

.

Luego, simplificar el trmino 2( 1)x y se tiene la siguiente inecuacin equivalente

( 2)(2 3)0 ( 5)( 2)(2 3) 0

( 5)

x xx x x

x

Ubicando los valores crticos en la recta real se tiene:


3

. . ; 2 ;52

C S

13. Resolver la inecuacin 2 1

3

x x

x x

Solucin

Pasando todos los trminos al primer lado de la desigualdad se tiene:

2x 2x 8

3

2

2 1 5

+

+


2 10

3

x x

x x

Sacando mnimo comn mltiplo se tiene:

2 22 4 3 6 30 0

( 3) ( 3)

x x x x x

x x x x

Multiplicando por 1 a la ltima desigualdad y sacando tercia se tiene:

2 10 ( 3)(2 1) 0; 0, 3

( 3)

xx x x x x

x x

Ubicando los valores crticos en la recta real tenemos:


1

. . 3; 0;2

C S

14. Jos acept hace poco un puesto como jefe de marketing y ventas, donde ofrecer elegir

entre dos planes de pago. El plan 1 es un salario semanal proyectado por 1

10x

x

cientos de dlares y el plan 2 es un salario proyectado por 3 1

101

x

x

cientos de dlares,

de comisin sobre las ventas semanales, donde x es el nmero decenas vendidas a la

semana Cunto tendra que poner como meta, para reportar que el plan 1 supere al

plan 2?

Solucin

Segn la pregunta se puede plantear la siguiente desigualdad.

1 3 110 10

1

x x

x x

Colocar todos los trminos en el primer miembro de la desigualdad, sacar mnimo comn

mltiplo y factorizar. 21 3 1 2 1 (2 1)( 1)

10 10 0 0 01 ( 1) ( 1)

x x x x x x

x x x x x x

Por propiedad tenemos

( 1)(2 1)( 1) 0; 0, 1x x x x x x

1

23

0

+

+


Por el mtodo de los valores crticos se tiene:

Por dato se sabe que x representa el nmero de decenas vendidas, entonces x >0 por lo

tanto el conjunto solucin es

1

. . 0; 1;2

C S

Por lo tanto la meta que se tendra que poner es vender hasta media decena semanalmente

para que el plan 1 sea mejor que el plan 2. En el caso de 1x , cada plan es negativo por

cual es absurdo.

15. Una tienda de instrumentos musicales RockStar le dio a sus empleados dos opciones de trabajo. La opcin 1 es un salario de $500 por semanas ms una comisin del 15% sobre

las ventas. La opcin 2 es un salario de $600 con un 10% de comisin sobre las ventas.

Cunto tendran que vender semanalmente para ganar ms con la opcin 1?

Solucin

Consideremos la siguiente tabla, que muestra las opciones de salario:

Opcin 1 Opcin 2

$500 +15%

x

$600 +10%x

Donde x el nmero de instrumentos vendidos, y la condicin del problema es:

Opcin 1 Opcin 2

500 0,15 600 0,10x x

0,15 0,10 600 500x x

0,05 100x

2000x

Se tendra que vender ms de 2000 instrumentos semanalmente.

16. Utilidades.Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19,95. El costo de fabricacin de cada cartucho es de $12,92. Los costos fijos mensuales

son de $8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, Cuntos cartuchos

como mnimo debe vender el fabricante para obtener ganancias?

Solucin

Se genera las ecuaciones ingreso y costo total respectivamente.

19,95I x ; 12,92 8000TC x

1 0 1

+

+

1

2

+


Donde x representa la cantidad de cartuchos producidos y vendidos.

Obteniendo la ecuacin utilidad:

19,95 12,92 8000 7,03 8000TU I C x x x

Obtener ganancias significa que la utilidad es positiva, es decir:

80007,03 8000 0 1137,98

7,03U x x

Esto quiere decir que como mnimo debe vender 1138 cartuchos.

17. Alternativas en los negocios. El inventor de un juguete nuevo ofrece a la KiddyToy los derechos de exclusividad para fabricar y vender el juguete por una suma total de $25000.

Despus de estimar que las posibles ventas futuras al cabo de un ao sern nulas, la

compaa est revisando la siguiente propuesta alternativa: dar un pago total de $2000

ms una regala de $0,50 por cada unidad vendida. Cuntas unidades deben venderse el

primer ao para hacer que esta alternativa sea ms atractiva al inventor que la original?

Solucin

Alternativa 1: pago nico de $25 000.

Alternativa 2: 2000 0,5x ; donde x representa la cantidad de juguetes vendidos en base

anual.

Se desea que la alternativa 2 sea ms atractiva que la alternativa 1(alternativa original), en

trminos matemticos se tiene:

2000 0,5 25000x

Resolviendo la ecuacin se obtiene:

46000x

Lo que significa que la fbrica debe vender ms de 46 000 juguetes para que el inventor

prefiera la alternativa 2.

18. publicidad.Una compaa de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de

$1.4 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los

distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10 000. Cul es el

nmero mnimo de revistas que deben venderse de modo que la compaa obtenga

ganancias?

Solucin

Sea x > 10 000 la cantidad de ejemplares de las revistas publicadas.

Segn el enunciado se tiene las ecuaciones de ingreso total y costo.

Ingreso total :

1,4 0,1 1,4( 10000)I x x


Costo:

1,5C x

Entonces la ecuacin ganancia es:

1,4 0,1 1,4( 10000) 1,5 140025

xG I C x x x

Obtener ganancias significa:

1400 0 3500025

xG x

Esto quiere decir que como mnimo debe vender 35 001 ejemplares.

19. Compensacin.Suponga que una compaa le ofrece un puesto en ventas y que usted elige entre dos mtodos para determinar su salario. Un mtodo paga $12600 ms un bono

del 2% sobre sus ventas anuales. El otro mtodo paga una comisin directa del 8% sobre

sus ventas. Para qu nivel de ventas anuales es mejor seleccionar el primer mtodo?

Solucin

Consideremos la siguiente tabla, que muestra las opciones de salario:

Opcin 1 Opcin 2

$12600 +2% x 8%x

Donde x es la cantidad en dlares por ventas anuales:

Opcin 1 Opcin 2 2

1260050 25

x x

212600 210000

25 50

x xx

Se tendra que vender menos de 210 000 dlares.

20. reas. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el rea sea ms de 600 metros

cuadrados.

Solucin

Segn los datos se construye la grfica:

Del permetro del rectngulo se tiene:

2 2 100 50 50x y x y y x

Largo = x

Ancho = y


rea del terreno se define:

2(50 ) 50A xy x x x x

Se desea que el rea sea ms de 600 metros cuadrados, en trminos matemticos esto

significa:

250 600x x

Desarrollando esa inecuacin se tiene: 2 50 600 0x x

( 30)( 20) 0x x

Los puntos crticos son 20;30 y la representacin grfica es

Por lo tanto, el largo y el ancho deben ser ms de 20 y menos de 30.

21. Utilidad. Suponga que una compaa tiene costos fijos de $ 28000 y costos variables de

2222

5x dlares por unidad, donde es el nmero total de unidades producidas.

Suponga tambin que el precio de venta de este producto es 3

12505

x dlares por

unidad. Qu valores puede tomar la cantidad total x, de tal manera que se obtenga

ganancias?

Solucin

Se genera las ecuaciones segn los datos

Ingreso :3

12505

I x x

Costo total: 2

222 280005

C x x

Donde x representa la cantidad de unidades producidas y vendidas.

Obteniendo la ecuacin utilidad:

x

+

+

+

+

+ 20 30

Largo: 20 30

30 20

20 50 30

Ancho: 20 30

x

x

x

y


23 21250 222 28000 1028 280005 5

U I C x x x x x x

Obtener ganancias significa que la utilidad es positiva, es decir:

2 1028 28000 0U x x

2 1028 28000 0x x

( 28)( 1000) 0x x

Ubicndolos puntos crticos 28,1000 en la recta real se tiene:

La cantidad de unidades producidas y vendidas debe ser ms de 28 y menos de 1000.

+

+

+

+

+

+ 28 1000


EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Resuelva las siguientes inecuaciones lineales:

1) 3( 4)

2( 1)4

x xx

2) 5 [2 ( 2)] 4x x

3) 1 5

2 3 6 6 6

x x x

4) 2( 1)x a b x

ab b a ab , 0 ; 0a b

5) 2 2 3(2 3) 4 ( 7) 4( 2)x x x x

6) 3( 5) 4(4 3 ) 2(7 ) 3( 5)x x x x

7) 3 1 2 1

4 2 3 4

x x

8) 2(4 2)(4 9) (4 6)x x x

9) 3 1 3

03 3

x x

10) 3 8

2 65

xx

11) 6 3( 1) 7 4( 1)x x

12) 1 1 1

2( ) 3( ) 4( )2 3 4

x x x

13) 1 1 1

35 4 3

x

14) 27 (2 5) 5 (2 3) (2 4)x x x x x

II. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadrticas:

1) 2 18 81 0x x

2) 2 6 8 0x x

3) 2 72 0x x

4) 2 13 6x x

5) 2 3 0x x

6) 2 9 6x x

7) 22 8 3,5 0x x

8) 2 2 1 0x x

9) 21 2 3 0x x

10) 24 4 1 0x x

11) 23 8 11 4( 1)x x x

12) 2 2 4 0x x

13) (1 3 )( 2) (3 2 )( 3)x x x x

14) 2( 3) ( 2) (3 2)

12 4 8

x x x x x

III. Resuelva los siguientes problemas

1. Un fabricante de cartuchos para juegos de video, vende cada cartucho en $19.95. El costo de fabricacin de cada cartucho es de $12.92. Los costos fijos mensuales son de

$8000.Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego, cuntos cartuchos como

mnimo debe fabricar y vender el fabricante para obtener ganancias?

2. La editorial AMAUTA S.A.C determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista G de Gestin es de S/. 16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por

revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores

por todos los ejemplares vendidos por arriba de los S/. 4000. Cul es el nmero

mnimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga ganancias?

3. Un arquitecto desea utilizar una plancha rectangular de tripley como base para una maqueta de un edificio. El largo de la maqueta es 2 m mayor que el de su ancho y la

plancha se extiende 2m ms que la maqueta en todos sus lados. Si el rea del tripley

sobresaliente debe ser a lo ms de 64m2, entonces determine en qu intervalos deben

variar los valores de las dimensiones de la maqueta?


4. Se desea determinar la diferencia entre los costos de comprar y rentar un automvil. Si se puede rentar un automvil por $ 400 mensuales (con una base anual), bajo este plan,

el costo por kilmetro (gasolina y aceite) es de $ 0.10. Si comprase el vehculo, el gasto

fijo anual sera de $ 3 000 ms $ 0.18 por kilmetro. Cul es el mximo nmero

enterode kilmetros que deber recorrer al ao para que la compra sea ms barata que la

renta?

5. Un ingeniero civil quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sinttico alrededor de una cabaa rectangular. La cabaa tiene una longitud de 10 m y un ancho de 6 m. Si

se cuenta con gras para cubrir a lo ms 36 m2. Cul ser el mximo valor que puede

tomar el ancho del borde?

6. Si se usan 100 metros de cerca para cercar un patio rectangular, determine los valores del largo y del ancho del terreno de tal manera que el rea sea ms de 600m

2.

7. Un distribuidor de licores compra whisky a $ 2 la botella y la vende a $ p. El volumen

de ventas x (en cientos de miles de botellas a la semana) est dado por 24 2x p ,

cuando el precio es p. (Obteniendo ingresos, costos y utilidades en cientos de miles de dlares)

a) Qu intervalo de valores para" "p genera ingresos superiores a $700000 a la semana?

b) Qu intervalode valorespara p genera al distribuidor una utilidad superior a

$1800000 a la semana?

8. Un granjero desea delimitar un terreno rectangulary tiene 200 metros de cerca disponibles. Determine los intervalos de variacin para el largo y ancho del terreno, si el

rea delimitada debe ser de al menos 2100 m2

9. Un jugador de ftbol patea un tiro libre de modo que la trayectoria de la pelota, mientras

que se encuentra en el aire, se representa mediante la ecuacin 20.05 0.7y x x ;

donde y es la altura que alcanza (en metros) la pelota cuando sta se encuentra ax metros de distancia horizontal desde el punto en que fue lanzada. Determinar el

intervalo de valores parax, de manera que la altura sea al menos de .

10. OLX vende monopatines, va internet, a $ 350 la unidad, a este precio las personas compran 40 monopatines al mes.El administrador de la web propone aumentar el precio

y estima que por cada incremento de $1 se vender 2 monopatines menos al mes. Si

cada unidad tiene un costo de $ 300 entonces:

a) Exprese la utilidad que dependa del precio de venta. b) Determine el intervalo de variacin de los valores del precio de venta de modo que

se obtenga ganancia?

11. John, gerente de una empresa de agro exportacin, proyecta enviar al mercado europeo cierta cantidad de un producto nuevo desde Per. l proyecta que por la venta

dex cajas de ese producto, el precio de cada caja es 5000 2p x nuevos soles.

Adems el costo total es 2360000 1000 2C x x nuevos soles Cuntas cajas

debern venderse para obtener utilidades de al menos S/. 640 000?


12. Mara, gerente de una cadena de cines virtuales analiza que tiene un promedio de 500 clientes por pelcula cuando la entrada esS/.7. Ella desea tener ms ingresos en la

pelcula de estreno y analiza lo siguiente: por cada incremento de S/.0.50 en la tarifa,

se pierde 25 clientes.

a) Exprese el ingreso que dependa del precio de entrada. b) Determine precio deber fijar de modo que el ingreso sea mayor que aquel que

contempla una tarifa de S/. 7

13. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, sta sube un cierto punto y luego empieza a caer. La relacin que existe entre el tiempo t (dado en segundos) que la piedra lleva en el aire cuando se encuentra a una altura y (dado en metros) est dada

por la ecuacin 25 20 10y t t . Determinar el intervalo de valores en que varan

los valores del tiempo, t, de manera que altura sea de al menos de 25m.

IV. Resuelva los siguientes inecuaciones polinmicas

1) 3 81 0x x

2) 3 24 5 0x x x

3) 3 81 0x x

4) 4 3 212 64 0x x x

5) 2 4 33 4 3 3x x x x

6) 3

2 1 6 0x x x

7) 2 32 1 1 2 3 0x x x x

8) 2 2 3 2( 2 )( 1) ( 9) 0x x x

9) 5 4 3 25 2 14 3 9 0x x x x x

10) 2 26 4 4 0x x x x

11) 3 23 1 0x x x

V. Resuelva los siguientes inecuaciones racionales

1) 3 5

32 1

x

x

2) 2 4

1 14x x

3) 2

2

5 60

42

x x

x x

4) 25

07

x x

x

5) 1 1

5 4x x

6) 2

30

4 2

x

x x

VI. Resuelva los siguientes problemas

1) Pasados " "t minutos despus de introducir un bactericida experimental en cierto

cultivo, el nmero de bacterias est dado por 2

100002000

1N

t

. Determinar a partir de

qu momento el nmero de bacterias est por debajo de 4000 .

2) Una planta de empaque desea disear cajas sin tapa con un volumen de no ms de 400 cm

3. Para tal diseo se utilizar una pieza de cartn de 12cm por 15 cm, se realizar

cortes iguales y exactos en las esquinas y finalmente se doblarn las solapas hacia

arriba. Determinar el tamao mximo del corte que deben realizar en las esquinas de la

pieza de cartn.


3) La empresa de telecomunicaciones Telemark en su afn de expandirse, pone en promocin dos planes de telefona para el mes venidero. La demanda del primer plan

est modelada a travs de la ecuacin 11/ 2

3d

x

y la demanda del segundo plan

mediante la ecuacin 21/ 2

5d

x

; donde " "x indica el nmero de ventas que a diario se

realiza en la empresa. Determinar el nmero mnimo de ventas que debe realizar a

diario; para que la demanda del primer plan sea mayor a la otra.

4) Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobs para que los lleve al concierto es de $450, lo cual se debe repartir en forma uniforme

entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que

lleguen en autobs. Los boletos cuestan normalmente $50 cada uno, pero se reducen 10

cntimos de dlar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo

(capacidad mxima del autobs es 60). Determinar cuntos estudiantes deben ir en el

grupo; para que el costo total por estudiante sea menor a $54.

5) Para que un medicamento tenga efecto benfico, su concentracin en el torrente sanguneo debe ser mayor que cierto valor; llamado este ltimo nivel teraputico mnimo. Suponga que la concentracin C (mg/l) de cierto frmaco al transcurrir t

horas despus de su ingestin est dada por 2

20

4

tC

t

. Si el nivel teraputico mnimo

es de 4 mg/l, entonces dentro de cunto tiempo se exceder este nivel.

6) En un plaza de nuestra ciudad se desea construir una fuente rectangular de 12m de permetro. Segn el reglamento para la construccin, las dimensiones deben ser

cantidades exactas y que el producto de la medida de la base por el cuadrado de la

medida del ancho de la fuente no debe ser mayor a 16m. Determinar la dimensin

mxima que deber tener el ancho de la fuente.

7) En las cercanas de una hoguera, la temperatura " "T en C a una distancia de " "xmetros desde el centro de la hoguera; se determina mediante la ecuacin racional

2

600000

300T

x

. A qu distancia del centro del fuego, la temperatura ser menor de

500 C ?

8) Al realizar un estudio en un sector minero se encontr un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pblica decidi

comenzar un tratamiento con uno costoso medicamento a las persona que tengan un 6%

de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre

como efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relacin 2

2

5 6

1

x xP

x x

, con P expresado en %. Al menos cuntos gramos deben

administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2%?


1.6. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Las ecuaciones que tienen valor absoluto se le llama ecuaciones con valor absoluto.

Definicin

Se llama valor absoluto a la distancia que hay entre un nmero y el origen. En el dibujo se

observa que la distancia del nmero 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del

nmero 3 al origen es de 3 unidades. En notacin, esto es |3| = 3. Las barras se leen como

el valor absoluto de lo que est dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en qu lado de

la recta real est ubicado el nmero. Analticamente podemos ver que si a es positivo, es decir

est a la derecha del origen, entonces |a| = a y si est a la izquierda del origen, es decir si a es

negativo, entonces |a| = a.

El valor absoluto de x se define:

; 0

; 0

a aa

a a

Ejemplos de ecuaciones con valor absoluto

a. 8 12x

b. 3

2 3 45

x

c. 1 22

x

d. 3 1

4 2x x

e. 5

10 52

xx x

Para resolver ecuaciones con valor absoluto se debe tener en cuenta las siguientes

propiedades.

Propiedades

1. 0x a a x a x a

2. 2 2;x x x

3. 2

;x x x

4. 2 2x y x y x y x y

3 unidades 3 unidades

-3 0 3


Ejemplo

Resuelva la siguiente ecuacin 128 x

Solucin

1. Aplicando la propiedad 1, la primera desigualdad se cumple:

12 0 2. Luego, se tiene dos casos por analizar:

Caso 1:

128 x 812x

20x

Caso 2:

128 x 812x

4x

3. Por lo tanto, el conjunto solucin es:

CS = { 4; 20 }

1.7. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Una inecuacin con valor absoluto es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o

ms valores absolutos en los miembros de la desigualdad

Teoremas

1) )(0 babbba

2) bababa

3) 0))((;, 22 babababaRba

4) aaRa 2;


1. Halle el conjunto solucin de la ecuacin: 25 x

Solucin

Por definicin del valor absoluto se tiene que 05 x entonces es absurdo que se cumpla

25 x . Por lo tanto, el conjunto solucin es vaco:

CS = { }


2. Conseguir todos los puntos cuya distancia a 3 sea igual a 4

Solucin:

Sea x los puntos cuya distancia a 3 es igual a 4.

Entonces 43 x . Si nos damos cuenta las soluciones son 1 y 7.


CS = {1; 7}

3. Halle el conjunto solucin de la ecuacin3

2 3 45

x

Solucin Pasando al segundo lado el 3 se tiene:

32 7

5x

Aplicando la propiedad x a a 0 x a x a

se tiene:

Caso 1:

725

3x

39

5x

15x

Caso 2:

32 7

5x

35

5x

25

3x

Entonces, el conjunto solucin es:

15;

3

25..SC

4. Halle el conjunto solucin de la ecuacin 5 2 1x x

Solucin

Aplicar propiedad nmero 4 ( 2 2x y x y x y x y ) y se tiene:

5 2 1 5 2 1 5 (2 1) x x x x x x

6 3 3 x x

Por tanto, el conjunto solucin es:

. . 6;1 C S


5. Halle el conjunto solucin de la ecuacin 2 1 3x x x

Solucin

Aplicar propiedad nmero 4 ( 2 2x y x y x y x y )y se tiene:

2 2 21 3 1 3 1 3x x x x x x x x x

2 24 2 2 0x x x

Analizando el discriminante del segundo trmino cuadrtico se tiene:

22 4(1)(2) 4

Esto quiere decir que, 2 2 2 0x x , por lo tanto el conjunto solucin es:

C.S. 2;2


Solucin

Aplicar propiedad nmero 4 de las ecuaciones y se tiene:

2 2 2 2 2 29 1 9 1 9 1x x x x x x

2 2

Absurdo

9 1 2 8 4 2x x x


C.S. 2;2

7. Halle el conjunto solucin de la ecuacin 2 25 2 2 1x x x

Solucin

Aplicar propiedad nmero 4 de las ecuaciones y se tiene:

2 2 2 2 2 25 2 2 1 5 2 2 1 5 2 2 1x x x x x x x x x

2 20 2 6 3 2 4 0x x x x

Usemos el discriminante para saber si las ecuaciones cuadrticas tienen solucin. Es decir:

2 22 6 2 4(1)(6) 20x x Esto quiere decir que la ecuacin 20 2 6x x no

tiene solucin real.


2 23 2 4 2 4(3)( 4) 52x x esto quiere decir que la ecuacin 23 2 4 0x x

tiene solucin real. Entonces utilizando la formula general se tiene:

2 2 52 2 2 13 1 13

2(3) 6 6 3x


1 13 1 13. . ;

3 3C S


Solucin

Aplicar la primera propiedad ( 0x a a x a x a ):

1 2 1 1 2 1x x x x

1 0 (1 2 1 1 2 1)x x x x x

1 ( 0 3 2)x x x

21 (0 )

3x x x

Observando verificamos que se cumple 2

0 1 ; 13

.Por lo tanto, el conjunto solucin

es:

2. . ;0

3C S

9. Halle el conjunto solucin de la ecuacin 2 1 1x x x

Solucin

Aplicar la primera propiedad de las ecuaciones, es decir:

2 2 21 1 1 0 ( 1 1 1 1)x x x x x x x x x x

2 21 ( 2 2 0 0)x x x x

21 ( 2 2 0 0)x x x x

Analizando el discriminante de la ecuacin cuadrtica ( 4 )se deduce que no tiene

solucin real y por otro lado 0 1 es falso. Por lo tanto,

. .C S


10. Halle el conjunto solucin de la ecuacin 2 1 1 3x x

Solucin

Cuando se tiene dos o ms valores absolutos en una ecuacin se debe primero encontrar

el valor o valores de la variable x de tal manera que cada valor absoluto se haga cero. Es

decir:

1

2 1 0 2 1 02

x x x

1 0 1 0 1x x x

Recordemos la definicin de valor absoluto.

12 1;

22 1

12 1;

2

x x

x

x x

1; 1

11; 1

x xx

x x

Luego, ubiquemos estos valores en la recta real y analicemos la ecuacin para cada

intervalo de la recta real. Es decir:

Ahora analicemos para cada caso:

2 1 1 3 2 1 1 3 5x x x x x

Entonces el conjunto solucin 1 es:

1. . 5C S

2 1 1 3 2 1 1 3 1x x x x x


2. .C S

Caso 1:1

2x Si cumple

Caso 2:1

12

x No cumple

11

1212

xx

xx

11

1212

xx

xx

11

1212

xx

xx

1

2

1

Caso 1: 1

2x

Caso 2: 1

12

x

Caso 3:

1x


2 1 1 3 2 1 1 3 1x x x x x


3. . 1C S


1 2 3. . . . . . . . 5;1C S C S C S C S

11. Convierta la siguiente desigualdad en otra proposicin sin valor absoluto 112 x

Solucin

112 x es equivalente a 112 x 112 x

12. Convierta la siguiente desigualdad en otra proposicin sin valor absoluto 352 x

Solucin

352 x es equivalente a 3523 x

13. Resuelva la siguiente inecuacin 114 x

Solucin

411114 xx

31 x

31 x

3131 xx

xx 3131

xx 42


42 xx

;42;..SC

Caso 3: 1x Si cumple


14. Resuelve la siguiente inecuacin 8332 xx

Solucin

Usando la propiedad )(0 babbba se tiene

8332)83(0838332 xxxxxx

833232833

8 xxxxx

xxx 55113

8

xxx 5

5

11

3

8

Graficando en la recta real y tomando la interseccin


;5..SC

15. Resuelve la inecuacin 6235 xx

Solucin

Usando la propiedad: bababa

623562356235 xxxxxx

xxxx 32653265

xx 1151


;11

5

1;..SC

11

5

8

3

5


16. Resuelve la inecuacin4

3

5

32

x

Solucin

Aplicando propiedades

4

3

5

32

4

3

4

3

5

32

xx

4

320

5

3220

4

320

x

15)32(415 x

1512815 x

71223 x

23127 x

12

23

12

7 x


12

23;

12

7..SC


Solucin

Usar propiedad: bababa se tiene

)53(5535535 222 xxxxxx

030103 22 xxxx

0)3(0)2)(5( xxxx

0)3(0)2)(5( xxxx

Haciendo cada grfica y ubicando sus respectivos puntos crticos se tiene:


;05;..SC

2 5 3 0


18. Resuelve la inecuacin xx 234

Solucin:

Usar la propiedad 0))((;, 22 babababaRba .

0)234)(234(234 xxxxxx

0)7)(31( xx

0)7)(13( xx

Ubicando los puntos crticos en la recta real se tiene


;

3

17;..SC


Solucin

Por la propiedad 0))((;, 22 babababaRba ,

0)423)(423(423 xxxxxx

0)7)(31( xx

0)7)(31( xx ( propiedad ()() = + )

Ubicando los puntos crticos en la recta real se tiene:


7;

3

1..SC

7

3

1

7

3

1


20. Resuelve la inecuacin 2

1

1

53

x

x

Solucin

Usar la propiedad: bababa

2

1

1

53

2

1

1

53

2

1

1

53

x

x

x

x

x

x

02

1

1

530

2

1

1

53

x

x

x

x

0)1(2

11060

)1(2

1106

x

xx

x

xx

0)1(2

1170

)1(2

95

x

x

x

x

Ubicando los puntos crticos en la recta real se tiene


}1{;5

9

7

11;..

SC

11

7

9

5

1

9

5

+

+

1

11

7

+

+

1



I. Resolver las siguientes ecuaciones con

valor absoluto

1. 3 4 4x

2. 1 2

4x

x

3. 8

39

x

x

4. 1 2 6x

5. 3 2 4 1 9x

6. 1 2 1x x

7. 6 1 4 7x x

8. 2 7 52

xx

9. 2 1 1x x

10. 2 9 3x x

11. 3 1x x

12. 6 3 18x x

13. 2 22 4x x

14. xxx 31222

15. 1

1

1

3

xx

xx

II. Resolver las siguientes inecuaciones con

valor absoluto

1. 8 2 x

2. 2 4 3 3x x

3. 1 1

2 2 2

x

4. 1

11

x

x

5. 5 7 3x

6. 21 3x

7. 3 3x x

8. x x 2 4 2 4

9. 5 2 4x x

10. 3x x

11. 321

12

x

x

12. 1

1

1

3

xx

xx

13. 623 xx

14. 341

3

x

x

x


1.8. ECUACIONES EXPONENCIALES

Entre las ecuaciones trascendentes se tienen las Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas. Estas

son igualdades relativas cuyas variables aparecen como exponentes o afectadas por logaritmos de

cualquier base. Se dicen igualdades relativas porque se verifican para algunos valores de las

variables.

Para resolver Ecuaciones Exponenciales y Logartmicas se usan las Propiedades de las Potencias y

de los Logaritmos. Algunas veces, tambin se hacen uso de ciertos artificios de clculo.

Una ecuacin exponencial es cualquier ecuacin donde la variable est como exponente. Para

resolver una ecuacin exponencial se debe tener en cuenta:

1,0; aanmaa nm

Propiedades

01. Producto de potencias de bases iguales:

nmnm aaa

02. Cociente de potencias de bases iguales:

0; aaa

a nmn

m

03. Potencia de un producto:

mmm baab )( ( )m m nab a b

04. Potencia de un cociente:

0;

b

b

a

b

am

mm

05. Potencia de una potencia:

mnnm aa )(

06. Exponente fraccionario

n mn

m

aa

07. Exponente negativo

0,;

baa

b

b

amm

08. Exponente cero

0;10 aa

PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES EXPONENCIALES

Para resolver una ecuacin exponencial es necesario:

1. Utilizar las propiedades de la teora de los exponentes para volver a escribir cada trmino de la

ecuacin en potencias con la misma base.

2. Resolver la ecuacin resultante.

Ejemplos

a) Resuelva 2 210 1x x


Solucin 2 2 010 10x x

2 2 0x x

( 2)( 1) 0x x

2 1x x

b) Resuelva 2 34 8x x

Solucin 3 2 322 2

xx

2 6 9x x

4 9x

9

4x

c) Resuelva 25 2 5 15 0x x

Solucin

Hacer el cambio de variable: 5x t , entonces la nueva ecuacin es:

2 2 15 0t t

Factorizando por aspa simple se tiene

( 5)( 3) 0 5 3t t t t

Reemplazando elvalor de t setiene

5 5 1

5 3 Absurdo

x

x

x


1. Resuelva 1 6 50,4 6,25x x

Solucin

Cambiamos los decimales a fracciones: 1 6 5

4 625

10 100

x x


Simplificamos y convertimos a potencia:

6 51 2

2

2 5

5 2

xx

Hacemos las bases iguales en ambas potencias:

1 2 5 62 2

5 5

x x

Ahora, igualamos los exponentes:

1 10 12x x

Finalmente se despeja la variable:

11

13x

2. Resuelva 3 1

2 110 100

x

x

Solucin:

Convertimos el segundo miembro a potencia:

3 1

22 110 10

x

x

Igualamos los exponentes:

3 12

2 1

x

x

Ahora, pasamos el divisor a multiplicar al segundo lado:

3 1 4 2 ; 2 1 0x x x

Finalmente se despeja la variable:

3x

3. Resuelva 083.93 xx

Solucin

Aplicando propiedad se tiene

293 8 0 3 8.3 9 03

x x x

x


Haciendo el cambio 3xt se tiene la nueva ecuacin

0982 tt

Usando el aspa simple se tiene

910)1)(9( tttt

Reemplazando la variable t por se tiene:

3 1 0

3 9 Absurdo

x

x

x


}0{.. SC

4. Resuelva 2 15 5 5 775x x x

Solucin

Aplicando a cada potencia la propiedad nmnm aaa y se tiene:

2 15 5 5 5 5 775x x x

Factorizando el trmino comn 5x tenemos

2 1(5 5 1)5 775x

Efectuando la suma en el parntesis y pasndolo a dividir al segundo miembro se tiene

7755

31

x

Efectuando la divisin y al resultado escribindolo como una potencia se obtiene

25 25 5x

Aplicando definicin se tiene

2x

5. Suponga que la produccin diaria de un nuevo producto en el t-simo da de una corrida de

produccin est dada por 0.2500(1 )tq e unidades.

La ecuacin indica que conforme pase el tiempo, la produccin por da aumentar. Determine

la produccin en:

a) El primer da de produccin

b) En el dcimo da iniciada la produccin.

c) Despus de cuantos das se alcanzar una produccin diaria de 400 unidades? Proporcione

su respuesta redondeada al da ms cercano.


Solucin

a) El primer da significa t=1 entonces :

0,2(1) 0,2500(1 ) 500(1 ) 90,6346q e e

Esto quiere decir que la produccin en el primer da es de 91 unidades

b) En el dcimo da significa t=10, entonces :

0,2(10) 2500(1 ) 500(1 ) 432,332q e e

Esto quiere decir que la produccin en el dcimo da es de 432 unidades

c) ? 400t si q

0,2 0,2 0,2 0,24 4 1400 500(1 ) 1 15 5 5

t t t te e e e

0,2 1 0,2 ln(5)5 5 0,2 ln(5) 8,04718950,2

t te e t t

Esto significa que en el octavo da se tendr una produccin de 400 unidades

6. Cunto tiempo transcurrir para duplicar $1000, si se invierten al 9% de inters compuesto semestral?

Solucin

Para calcular el monto final de un capital invertido a una tasa de inters anual compuesto se

tiene la siguiente formula.

(1 )tM C r

Donde M es el monto final al cabo de t aos, C es el capital inicial, r es la tasa de inters anual

y t es el tiempo en aos.

Segn los datos del problema no interesa saber cul es el capital invertido pues se va a cancelar

en el proceso. Por otro lado, la tasa de inters est en forma semestral esto quiere decir que se

debe pasar a anual, es decir la tasa de inters anual es de 18% pues el ao tiene dos semestres.

Por lo tanto,

2 (1 0,18)tC C 2 (1,18)t ln 2 ln(1,18) ln(1,18)t t

ln 2

ln(1,18)t

4,18783t

El capital ser duplicado en 4,2 aos es decir en 4 aos 2 meses 12 das a una tasa de inters

anual del 18% en forma compuesta.


7. El ingreso mensual (en dlares) de una empresa est dado por la siguiente ecuacin: (0,2)10000(0,95) pI , donde p es la cantidad gastada en publicidad

a) Cul es el ingreso total, cuando no se tienen gastos publicitarios? b) Cul es el valor del ingreso total, si $ 15 es el gasto mensual en promocin?

Solucin

a) Cuando no se tiene gastos publicitarios significa que p=0, entonces el ingreso mensual es:

(0,2)(0) 010000(0,95) 10000(0,95) 10000 I

b) Cuando se gasta 15 dlares mensuales el ingreso es:

(0,2)(15) 310000(0,95) 10000(0,95) 8573,75 I

8. Los costos de produccin (en cientos de dlares) de una empresa estn descritos por la

ecuacin 0.03120 40 xC e , donde x es el nmero de unidades producidas. Cunto ser la

produccin, cuando los costos de produccin sea de 118 cientos de dlares?

Solucin Segn los datos se tiene:

0.03118 120 40 xe

0.0340 120 118xe

0.0340 2xe

0.03 1

20

xe

0.03 120xe

0.03 20xe

0,03 ln(20)x

100ln(20)99,857

3 x

La produccin debe ser de 100 unidades y se tendr un costo aproximado de 118 cientos de

dlares.

9. Si p denota el precio de venta (en dlares) de un artculo y x es la demanda correspondiente (en nmero de piezas vendidas por da) la relacin entre P y x estar dada

a veces por 0 axp p e donde 0p y a son constantes positivas. Exprese x en trminos de p .


Solucin

Expresar x en trminos de p significa despejar x. Es decir:

0axp p e

0

axp ep

0

lnp

axp

0

1ln

px

a p

10. La funcin logstica de salud pblica indica que t semanas despus del brote de una

enfermedad, te

Q2,1391

200

personas han contrado la enfermedad.

a) Cuntas personas tenan la enfermedad inicialmente? b) Cuntas personas han contrado la enfermedad al final de la segunda semana?

Solucin

a) El nmero de personas enfermas inicialmente (t= 0) es:

1,2(0)

200

1 39Q

e

200

1 39Q

200

540

Q

b) Al final de la segunda semana (t = 2),

1,2(2)

200

1 39Q

e

2,4

200

1 39Q

e

44,0722Q

El nmero de contagiados es 44 aproximadamente

11. Qu tasa de inters compuesto continuamente se necesita para que una inversin de $500 crezca a $900 en 10 aos?

Solucin

El monto compuesto bajo inters continuo est dado por la frmula:

rtM Pe


Donde P es el dinero invertido (capital), t es el tiempo en aos y r la tasa de inters anual

compuesto continuamente.

En nuestro ejercicio se tiene: (10)900 500 re

109

5

re

9ln 10

5r

1 9

ln 0,0587710 5

r

La tasa de inters anual compuesto continuamente es 5,87%

12. El valor de una mquina se deprecia exponencialmente en un 8% anual, si despus de 10 aos

su valor es de $ 2 000 000. Exprese el valor de la mquina en funcin al tiempo en aos y con

base en esta funcin calcule su valor cuando han transcurrido 20 aos.

Solucin

La depreciacin exponencial es: rtF iV V e

Donde FV es el valor final, iV es el valor inicial, r la tasa de depreciacin y t el tiempo

transcurrido en aos.

En nuestro ejercicio se tiene:

0,08(10)2000000 iV e

0,82000000 iV e

0,8

2000000iV

e

0,82000000iV e

Entonces dentro de 20 aos el valor de la mquina ser:

0,8 0,08(20)2000000FV e e

0,8 1,62000000FV e e

0,82000000FV e

898657,928FV

13. Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora, de un producto; despus de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora. Si se considera que puede alcanzar un tope

de 600 unidades y el nmero de unidades por hora en trminos del tiempo de experiencia en

meses Q est dado por kteABQ . Halle Q y con base en esa ecuacin Cuntas unidades

por horas revisa al completar un ao de experiencia?


Solucin

Un trabajador sin experiencia revisa 270 unidades por hora. Es decir, t=0 y Q= 270; entonces

se tiene: (0)270 270kB Ae B A . (1)

despus de 6 meses de experiencia revisa 420 unidades por hora. Es decir, t=6 y Q= 420; entonces se tiene:

6420 kB Ae . (2)

Si se considera que puede alcanzar un tope de 600 unidades . Es decir, Q=600 no importa el tiempo de experiencia que tenga el trabajador pues nunca superara esa cantidad. Esto quiere

decir que el trmino 0ktkt

AAe

e

(tiende a ser cero), por lo tanto se tiene:

600 B . (3)

Reemplazar (3) en (1) y se tiene:

330A . (4)

Reemplazar (3) y (4) en (2):

6420 600 330 ke

6330 180ke 6 6

11

ke

6 6

11

ke

Por lo tanto, la ecuacin es: ktQ B Ae

6 6600 330t

kQ e

66600 330

11

t

Q

Finalmente el nmero de unidades revisadas por un trabajador con un ao de experiencias es:

12

66600 330

11Q

26

600 33011

Q

5520502

11Q



I. Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales

1) 8 32x

2) 4 1 3 53 9x x

3) 2 18 42 4

x x

4) 2

32 0,25

x

5) 1 2(3 )(9 ) 27x x

6) 10 0,0001x

7) 1 2 13 3 3 3 120x x x x

8) 4

3 1832

xx

9) 1 2 32 2 2 2 60x x x x

10) 4 2 7 80,2 25 5x x x

11) 2 3 4 1

(2 1)( 2)

5 6

3 33

3

x xx x

x

12) 4 22 2 12 0x x

13) 6 9.6 8 0x x

14)

2 24 1 2 2 32 1 1 1 1

250 5 5 5 625

x x x x x x

15) 2 1 2 15 3.5 550x x

16) 2( 1)3 18.3 9 0x x

17) 3

2( 1)

3 1

819

9 3

xx

x x

18) 2 2 125 65.5 36x x

19) 2 1 2 13 2.3 297x x

20) 35 4 0x x xe e e

II. Resuelva los siguientes problemas

1) Una mquina se compra en $10 000 y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra.

Su valor despus de t aos est dado por la frmula: 0,2( ) 10000 tV t e . Determine el valor de

la mquina despus de 8 aos.

2) Debido a una campaa de publicidad ineficaz, la compaa Rasuradoras Al Raz encuentra que sus ingresos anuales han sufrido una reduccin drstica. Por otra parte, el ingreso anual R, al

final de los t aos de negocios satisface la ecuacin 0,2200 000 tR e

a) Encuentre el ingreso anual inicial.

b) Encuentre el ingreso anual al final de 2 aos.

c) Encuentre el ingreso anual al final de 3 aos.

3) Cunto dinero debe de invertir en una cuenta de dlares que paga un inters anual del 7% compuesto continuamente, para que dentro de 10 aos el saldo sea de 40 000 dlares?

4) El director de correos de una gran ciudad estima que despus de t meses en el trabajo, el

empleado medio puede clasificar 0,5800 400 tQ e cartas por hora.

a) Cuntas cartaspor hora puede clasificar un empleado sin experiencia? b) Cuntas cartas por hora puede clasificar un empleado con seis meses de experiencia?

5) La poblacin mundial al inicio de 1980 era de 5.5 mil millones de personas. Si la poblacin contina creciendo en forma exponencial con la razn actual de aproximadamente 3% por ao:

a) Encuentre la ecuacin exponencial que expresa la poblacin mundial (en miles de millones)

donde t=0 corresponde al inicio de 1980.

b) Segn este modelo, cul ser la poblacin mundial al inicio del 2010?


1.9. ECUACIONESLOGARTMICAS

En el siglo XVII, ao 1914 el Barn de Marchiston, Jhon Neper genio escoses, descubri el

principio que rige a los logaritmos a partir de una ecuacin que le plante uno de sus discpulos,

dicha ecuacin tena la forma de 2x=5 y no se poda resolverse por los clculos convencionales.

Ante esto surgi la necesidad de crear una herramienta de clculo que permita despejar incgnitas

que se encuentren en el exponente en forma general a partir de esa ecuacin. Jhon Neper, escribi

un libro titulado logarithmoru Canonis Descriptio

Los logaritmos hoy en da tienen muchas aplicaciones; en la fsica, en la demografa (estudio de la

variacin de poblaciones), en qumica para analizar la velocidad de las reacciones qumicas, etc.

Logaritmos

El logaritmo de un numero positivo n en una base b positiva y diferente de la unidad; es igual al exponente real x al que se debe elevar dicha base, para obtener el nmero n dado inicialmente. Es decir:

Rxbbnbnxn xb ,1,0,0;)(log

Ejemplo

)16(log2 4 porque 24 = 16

Nota:

Para hallar el logaritmo de ciertos nmeros en forma prctica, hay que hacerse la siguiente pregunta: A qu exponente hay que elevar la base, para obtener el nmero dado?, ese

exponente es el logaritmo.

Si el logaritmo no est escrita se base, se sobre entiende que la base es diez, y si la base es el nmero de Euler (e) se le denota con ln y se llama logaritmo natural o neperiano. Es decir:

)(log)log( 10 xx

)(log)ln( xx e

Propiedades

Seanb positivo y diferente de 1, x e y nmeros reales positivos

1. 0)1(log b

2. 1)(log bb

3. xb xb )(log

4. )(log)(log xmx bm

b

5. )(log)(log)(log yxxy bbb

6. )(log)(loglog yxy

xbbb


Definicin

Una ecuacin logartmica es una ecuacin que contiene un logaritmo de la variable.

Para resolver una ecuacin logartmica se debe tener en cuenta el siguiente resultado.

1,0,,;)(log)(log bbyxyxyx bb

PASOS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARTMICAS

1. Analizar para que valores de la variable est bien definida la ecuacin. Es decir, analizar la

existencia de cada logaritmo que tiene la ecuacin

2. Utilizar las propiedades de los logaritmos para combinar todos los logaritmos en uno solo.

3. Aplicar el resultado 1,0,,;)(log)(log bbyxyxyx bb .

4. Despejar la variable.


1. Resuelva )4log(2)53log( xx

Solucin

Por definicin, cada logaritmo existe si

3

5

004

3

5053

x

xx

xx (*)

Colocamos los logaritmos en un mismo miembro:

2)4log()53log( xx

Aplicamos la propiedad de la resta de dos logaritmos:

3 5log( ) 2

4

x

x

Por definicin de logaritmo sabemos que log ba x b a x . Es decir:

23 5 104

x

x

Resolviendo la ecuacin se tiene:

3 50,01

4

x

x

3 5 0,04x x


2,96 5x

51,69

2,96x

El valor obtenido satisface la inecuacin (*), por lo tanto, el conjunto solucin es

}69,1{.. SC

2. Resuelva 3 3log ( 4) log ( 4) 2x x

Solucin


4404

404

x

xx

xx (*)

Aplicamos la propiedad de la suma de dos logaritmos:

2)4)(4(log3 xx

Efectuamos el producto notable y aplicando definicin de logaritmo se tiene:

22 316 x


9162 x

252 x

5x

De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuacin (*), por lo tanto el

conjunto solucin es

}5{.. SC

3. Resuelva 4)(log2)(log2 22

2 xx

Solucin


000

02

x

xx

Rxx (*)

Aplicamos la propiedad del producto de un logaritmo con un nmero se tiene:

4)(log)(log 2222

2 xx


Efectuamos la potencia:

4)(log)(log 224

2 xx

Aplicamos la propiedad de la resta de dos logaritmos:

4log2

4

2

x

x

Dividimos y aplicamos la definicin de logaritmo:

42 2x


162 x 4x

De los valores obtenidos solo el valor negativo satisface la inecuacin (*), por lo tanto el

conjunto solucin es

}4{.. SC

4. Resuelva 04)(log5)(log 222 xx

Solucin

Realizamos un cambio de variable:

)(log2 xz

La nueva ecuacin a resolver es:

0452 zz

Resolviendo la ecuacin haciendo uso del aspa simple se tiene:

14 zz

Utilizando el cambio de variable, tenemos las ecuaciones:

1)(log4)(log 22 xx

Aplicando la definicin de logaritmos:

216 xx


}16;2{.. SC

5. Resuelva log log50 3x

Solucin

)log( x existe 0 x

Aplicando propiedades de los logaritmos se tiene:


log 50 3x

log 50 log 1000x

20100050 xx


. . {20}C S

6. Resuelva 2 25log 3 log 32x

Solucin

3existe)3(log2 xx (*)


5 5

2 2log 3 log 2x

5 53 2x

123 xx

Ese valor satisface la inecuacin (*), por lo tanto el conjunto solucin es

. . { 1}C S

7. Resuelva 2)15log()log( xx

Solucin


1515015

0

x

xx

x (*)

Reducimos el lado izquierdo aplicando la propiedad del producto de logaritmos

2)]15(log[ xx

Aplicando la definicin de logaritmo y resolviendo la ecuacin tenemos:

2( 15) 10x x

2 15 100 0x x

( 20)( 5) 0x x

520 xx


conjunto solucin es }20{.. SC


8. Resuelva 0)5(log)2(log 33 xx

Solucin


0505

002

x

xx

xx (*)

Aplicando propiedades y definicin de logaritmo se tiene:

3

2log 0

5

x

x

Resolviendo la ecuacin tenemos:

02 35

x

x

21

5

x

x

2 5x x

5x

Ese valor satisface la inecuacin (*), por lo tanto el conjunto solucin es

. . {5}C S

9. Resuelva 625

4log log 2log5 4

xx

Solucin


0

0

005

x

x

xx

(*)


4

2625log log log5 4

xx

4

2625log log5 4

xx

4

2625

5 4

xx

42 0

4

xx

22 1 0

4

xx

014

02

2 x

x 20 xx


conjunto solucin es

. . {2}C S


10. Resuelva 2log log 10 3x x

Solucin


3

100

3

100310

0

xxx

x

(*)

Usando propiedades de los logaritmos se tiene:

2log log 10 3x x

2 10 3x x 2 3 10 0x x

52 xx De los valores obtenidos solo el valor positivo satisface la inecuacin (*), por lo tanto el

conjunto solucin es

. . {2}C S

11. Resuelva ( 1)log ( 5) 2x x

Solucin


1505

1101

x

xx

xxx (*)

Usando definicin de logaritmo y resolviendo la ecuacin se tiene:

( 1)log ( 5) 2x x

2( 5) ( 1)x x

25 2 1x x x 2 3 4 0x x

( 4)( 1) 0x x

14 xx


conjunto solucin es

. . {4}C S



I. Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas:

1) log ( 3) log (5 )x xx x

2) 2 22 2log (16 ) log (32 ) 13x x

3) 2 1log 7 2x x

4) 2

log 9 4(log 9) 4 0x x

5) log 5log log 24xx x

6) log(3 1) log(2 3) 1 log(25)x x

7) 22 2log ( 3 6) log ( 1) 2x x x

8) 2 22 2 2log ( +3) log ( -3 -2) log ( 6) 2x x x x x

9) 1 12 2log (9 7) 2 log (3 1)

x x

10) 31 log 1

1 log 3 3x

x

11) log 1 log (1 log (1 log )) 0a c c p x

12) 1 2log( ) log(7 12) 0x x

13) log( 1) log ( 2) 1 log ( 3)x x x

14) log log

4 4log (8 ) log (2 ) log ( )4 4 4

x xx

x

15) log ( 2) log (2 1) logb b bx x x

16) 2 log

loglog

xx

x

17) 77 log (log ) 0x x

18) log(2 ) log(3 ) log20x x

19) ln( 1) 1 lnx x

20) 1

log( 9) log(3 8) 2 2log52

x x

21) 1 log 1 log 1 log 0a b c plog x 22) 26 2log log 2 log 3 logx x xx x x x

23) 2

log 10xxx

24) 1 1

2 2log (9 7) 2 log (3 1)x x

25) 2 log 2 log ( 3) 1

log(7 1) log( 6) log 3 2

x

x x

26) 2

3 3

3log log 1x x

x


II. Resolver los siguientes problemas

1) La ecuacin demanda para un producto esq

p1,01

12

a) Utilice logaritmos comunes (de base 10) para expresar (cantidad demanda en millares)en trminos de (precio en miles de nuevos soles).

b) Use la parte a) para determinar la cantidad demanda,cuando p=0.0069444.(aproxime si fuese necesario).

2) La edad de un objeto antiguo se puede determinar por la edad de carbono 14 radioactivo que

permanece en l. Si0

D es la cantidad original de carbono 14 yD es la cantidad restante,

entonces la edadA del objeto (en aos) se determina por 8267 ln

0

DA

D

. Encuentre la edad

de un objeto si la cantidadD de carbono 14 que permanece en el objeto es 73% de la cantidad

inicial0

D .

3) En la escala de Richter, la intensidad de un terremoto, se relaciona con su energa (en ergios) por medio de la frmula log 11,4 1,5E M . Si un terremoto es 1000 veces la energa

que otro. Cunto ms es su ndice de Richter M?

4) La ley de Ebbinghaus del olvido establece que si se aprende una tarea a un nivel de desempeo

, entonces despus de un intervalo de tiempot el nivel de desempeoP satisface

0log log log( 1)P P c t donde c es una constante que depende del tipo de tarea y t se mide en

meses.

a) Despeje P

b) Si su puntuacin en una prueba de historia es 90, qu puntuacin esperara obtener en una

prueba similar dos meses despus? Despus de un ao? (Suponga )

5) La ecuacin de oferta de un fabricante es log 102

qP

de dlares por unidad dondeq es el

nmero de unidades ofrecidas.

a) A qu preciop el fabricante ofrecer 1980 unidades?

b) Si el precio es de $4. Cuntas unidades se ofrecern?


CAPTULO II

MATRICES

INTRODUCCIN

La utilizacin de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de

programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas

organizadas en filas y columnas: hojas de clculo, bases de datos, etc.

2.1. MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros en filas y columnas.

Orden de una matriz

El orden una matriz el nmero de filas por el nmero de columnas que tiene dicha matriz. Es decir,

Se llama matrizde orden "m n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en

m filas y en n columnas.

El orden de una matriz tambin se denomina dimensin o tamao, siendo m y n nmeros

naturales.

Notacin

Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras

minsculas: a, b, c, ... dentro de un corchete o un parntesis.

Un elemento genrico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genrico

aparece entre parntesis tambin representa a toda la matriz. es decir:

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850,

introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la

teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en 1853. En

1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una

forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones

lineales con n incgnitas.

Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la

resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las

ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de

ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural

en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc.

James Joseph Sylvester.


mnmm

n

n

ij

aaa

aaa

aaa

aA

21

22221

11111

)(

2.2. MATRICES ESPECIALES

Matriz Fila

Es aquella matriz formada de una sola fila y n columnas (n 2).

Es decir:

1 11 12 1[ ]n nA a a a

Ejemplos

1. 419152 A

2. 2113 A

Matriz Columna

Es aquella matriz formada de una sola columna y m filas (m 2).

Es decir:

mma

a

a

A

11

21

11

Ejemplo

410

1

3

2

A

Matriz Nula

Es aquella matriz en cada una de sus entradas son nulas (igual a cero).

000

000

000


Transpuesta de una Matriz

La transpuesta de una matriz nmA es la matriz mnTA , que se obtiene de al intercambiar las filas

por las columnas.

Ejemplo

32

23

231

102

21

30

12

TAA

Matriz Cuadrada

Es aquella matriz que el nmero de filas es igual al nmero de columnas.

Notacin: Una matriz cuadrada se denota por nnA

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

La diagonal principal est conformado por los elementos: nnaaa ;;; 2211 .

La diagonal secundara est conformado por los elementos: nnn aaa 12)1(1 ;;; .

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

Traza de una Matriz

La traza de una matriz nnA , denotado por Tr(A), es la suma de las entradas de la diagonal principal

de A.Es decir:

nn

n

i

ii aaaaaATr

3322111

)(

Matriz Diagonal

Una matriz nnA es una matriz diagonal si y slo si todos los elementos que estn fuera de la

diagonal principal son iguales a cero.

Es decir:

A

Diagonal secundaria

Diagonal principal


nn

ij

a

a

a

aA

00

00

00

)(22

11

Ejemplos

1. )1;2(10

02DiagA

2. )0;2;1(

000

020

001

DiagA

Matriz Identidad

Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal principal son iguales a la

unidad.

Ejemplos

1.

10

012I . Matriz identidad de orden 2.

2.

100

010

001

3I . Matriz identidad de orden 3.

Matriz Simtrica

Una matriz cuadrada nnA es simtrica si y slo siTAA

Ejemplos

1. Sea

14

41A entonces

14

41TA . Notemos que: , por lo tanto es simtrica.

2. Sea

115

132

522

B entonces

115

132

522TB . Notemos que: , por lo tanto

es simtrica.

TAA A

TBB

B


Matriz Triangular Superior

Una matriz nnA se llama triangular superior si todas las entradas que estn debajo de la diagonal

principal son iguales a cero. Es decir:

nn

n

n

n

ij

a

aa

aaa

aaaa

aA

000

00

0

)( 333

22322

1131211

Ejemplos

1)

10

32A 2)

300

100

142

B 3)

2000

1100

3320

6451

B

Matriz Triangular Inferior

Una matriz nnA se llama triangular inferior si todas las entradas que estn arriba de la diagonal

principal son iguales a cero.Es decir:

nnnnnn

ij

aaaa

aaa

aa

a

aA

)1(21

333231

2221

11

0

00

000

)(

Ejemplos

1)

13

02A 2)

313

011

002

B 3)

2124

0133

0022

0001

B

Matrices Iguales

Dos matrices son iguales si y solo si sus respectivos elementos son iguales y tienen el mismo

tamao, es decir:

Sean ( )ij m nA a y ( )ij m nB b entonces ; 1, 1,ij ijA B a b i m j n

2.3. OPERACIONES CON MATRICES

Suma de matrices

La suma de dos matrices nmijaA )( y nmijbB )( es otra matriz ijijijnmij baccC ;)( ;


nmmnmnmmmm

nn

nn

nmmnmm

n

n

nmmnmm

n

n

bababa

bababa

bababa

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

2211

2222222121

1112121111

21

22221

11211

21

22221

11211

Ejemplo

Sean las matrices

543

312A y

046

135B .Calcule A+B

Solucin

323232589

447

046

135

543

312

BA

Propiedades

1. Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C

2. Conmutativa: A+B = B+A

3. Elemento neutro: (matriz cero 0mn ), 0+A = A+0 = A

4. Elemento Simtrico: (matriz opuesta A ), A + (A) = (A) + A = 0

Al conjunto de las matrices de dimensin mn cuyos elementos son nmeros reales lo vamos a

representar por Mmn

Nota:

La suma y diferencia de dos matrices no estn definidas si sus dimensiones son distintas.

Producto de un nmero real por una matriz

Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la

matriz, obtenindose otra matriz del mismo orden.

nmmnmm

n

n

nmmnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

21

22221

11211

Ejemplo

Sean las matrices

543

312A .Calcule 5A


Solucin

252015

15510

554535

3515255A

Propiedades

1. Asociativa: (A) = ()A

2. Distributiva I: (A+B) = A + B

3. Distributiva II: (+)A = A + A

4. Elemento neutro de escalares: 1A = A

Producto de matrices

El producto de dos matrices se puede definir slo si el nmero de columnas de la matriz izquierda

es el mismo que el nmero de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz de orden mny B es una

matriz de orden np, entonces su producto matricialAB es la matriz de orden mp (m filas, p

columnas), es decir:

pmijpnijnmij cABCbByaA )()()(

Donde cada elemento ijc est definido por:

pjmibacn

r

jrriij ,1,,1;1

Esto quiere decir que, cada elemento de la matriz producto se obtiene sumando los productos de los

elementos de la fila icon sus correspondientes de la fila j . Para entender mejor esta descripcin lo explicaremos a travs de un ejemplo

Ejemplo

Sean las matrices 32

543

312

A y

2302

20

11

B . Calcule AB

Solucin

1 2

1 1 1 1 2

2 2 1 2 22 3 2 2

3 2

1 12 1 3

0 23 4 5

2 0

C C

F F C F CAB

F F C F C

22220831003

022602

05)2(4132504)1(3

03)2(1122301)1(2

AB


2257

04

AB

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de

matrices tiene las siguientes propiedades:

1. Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).

2. Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.

3. Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.

4. En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si AB = 0, No necesariamente

BA son matrices nulas

5. El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificacin: Si AB = AC, No necesariamenteB=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB BA. La divisin entre matrices, es decir, la operacin que podra producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin

embargo, existe el concepto de matriz inversa, slo aplicable a las matrices cuadradas.

2.4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz nnA , es un escalar o polinomio, que resulta de obtener todos los

productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como A

. El valor numrico es conocido tambin como mdulo de la matriz.

Clculo del determinante de una Matriz Anxn

Matriz de 2x

ECUACIONES E INECUACIONES

Documents

Transcript of ECUACIONES E INECUACIONES