Ecuaciones e Inecuaciones 2013

7/29/2019 Ecuaciones e Inecuaciones 2013

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Licenciatura en Administracin Primer cuatrimestre

Nociones de Algebra y Geometra Ao 2013

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Ecuaciones e inecuaciones

Una ecuacin es una proposicin que indica que dos expresiones son iguales, en dichas

expresiones se presenta al menos una incgnita.

Resolver una ecuacin significa encontrar todos los valores de las incgnitas para los cuales

dicha proposicin es verdadera.

Ecuaciones fraccionarias:Una ecuacin fraccionaria es una ecuacin en la que hay una incgnita en un denominador. Sedebe tener en cuenta que la incgnita no puede tomar el valor que anula el denominador.Una forma de resolver una ecuacin fraccionaria es transformar en cero uno de los miembros dela misma y operar algebraicamente en el otro, aplicar las propiedades que correspondan hastaobtener el valor de la incgnitaEjemplo1:

con

Como 9 satisface la ecuacin original el conjunto solucin es : S=

Ejemplo 2:

pero -2 anula el denominador por lo cual la ecuacin original no tiene solucin, S=

Ecuacin con radicales

Ejemplo 1:

al elevar al cuadrado ambos miembros resulta que x=4.


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2

Al sustituir el 4 en la ecuacin original resulta , 1-2=-3 que resulta

ser falso, por lo cual el conjunto solucin es el conjunto vaco-

Ejemplo 2:

Sustituyendo en la ecuacin original resulta 7=7, por lo que el conjunto solucin es S= {4}

Ecuaciones con valor absoluto

Recordemos la definicin de valor absoluto:

El valor absoluto de un nmero real x, simblicamente ,se define de la siguiente manera:

Propiedades del valor absoluto:

Ejemplo 1:

Aplicando la definicin de valor absoluto x - 3=2 o bienx 30= -2, al resolver cada una de

ellas se obtiene x=5 o x=1, El conjunto solucin es S= { 1 , 5 }

Ejemplo 2:

sacando factor comn 3 dentro del valor absoluto del primer trmino

Aplicando la definicin de valor absoluto resulta:


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El conjunto solucin es : S=

Inecuaciones

En lgebra, algunos problemas originan desigualdades en lugar de ecuaciones. Una

desigualdad es similar a una ecuacin, slo que en lugar de tener un signo de igual hay uno de

los smbolos siguientes .

Resolver una desigualdad que contiene una incgnita quiere decir determinar todos los valores

de la incgnita que hacen que la desigualdad sea verdadera. Al contrario que en una ecuacin,

una desigualdad por lo general tiene infinitas soluciones,las cuales forman un intervalo o la

unin de intervalos reales. A continuacin se muestra como una dsigualdad difiere de su

ecuacin correspondiente

Para resolver desigualdades, aplicamos las siguientes reglas para aislar la incgnita a un

lado del signo de la desigualdad. Estas reglas indican cundo dos desigualdades son

equivalentes. En estas reglas, los smbolos A, B y C son nmeros reales o expresiones

algebraicas. Aqu establecemos las reglas para desigualdades que contienen el smbolo , pero

se aplican a los cuatro smbolos de desigualdad


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Desigualdades lineales

Una desigualdad es lineal si cada trmino es constante o un mltiplo de la incgnita

Ejemplo 1:

El conjunto solucin consta de todos los nmeros mayores que . En otras palabras la solucin

de la desigualdad es el intervalo

Grficamente

Ejemplo 2: El conjunto solucin consiste en todos los valores de x que

cumplen tanto la desigualdad como

Grficamente:

Desigualdades no lineales

Para resolver desigualdades que contienen la variable al cuadrado o a otras potencias, se aplica la

factorizacin junto con el principio siguiente:

Ejemplo 1: Hallar el intervalo solucin de la inecuacin

2 y 3, estos nmeros determinan tres intervalos sobre la recta numrica


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Determinamos los signos de los factores usando valores de prueba en cada uno de esos

intervalos . Elegimos un nmero dentro de cada uno de esos intervalos y comprobamos el signo

de los factores x-2 y x-3 en el valor seleccionado. Si tomamos para probar x=1en el intervalo

( , 2), la sustitucin en los factoresx-2 y x-3 da:

Ambos factores son negativos en este intervalo.

Los factores x-2 y x-3 cambian de signo slo en 2 y 3, respectivamente, de modo que conservan

sus signos en cada intervalo. Esta es la razn de que usar un solo valor de prueba en cada

intervalo es suficiente.

Los datos anteriores tambin se pueden representar sobre la recta numrica, cmo se muestra a

continuacin:

Criterios para resolver desigualdades no lineales


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Ejemplo1:

El numerador es cero cuando x = 0 y el denominador es cero cuando x=1, de modo que

elaboramos el siguiente diagrama de signos usando los valores para definir intervalos en la recta

numrica

A partir del diagrama vemos que la solucin es . Est incluido el

extremo 0 porque la desigualdad original requiere que el cociente sea mayor o igual a 1. No

obstante, no incluimos el otro extremo porque el cociente de la desigualdad no est definido en

1. Comprueba siempre los extremos de los intervalos de solucin para determinar si cumplen la

desigualdad original.

Ejemplo 2:


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Propiedades de desigualdades con valores absolutos

Ejemplo 1: Resolver

La desigualdad equivale a

El intervalo solucin es :(3 , 7)

Ejemplo 2: Resolver

La desigualdad equivale a las siguientes

El intervalo solucin es


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Aplicaciones de las ecuaciones e inecuaciones

En la mayora de los casos, para resolver problemas prcticos, deben traducirse las relaciones a

smbolos matemticas. Esto se conoce como modelado.

A continuacin se muestran algunos ejemplos, de cmo plantear y resolver algunas situaciones:

En el ejemplo siguiente se hace referencia a algunos trminos de negocios y a su relacin con

una compaa. Costo fijo es la suma de todos los costos que son independientes del nivel de

produccin, como renta, seguros,Este costo debe pagarse independientemente de que la

fbrica produzca o no. Costo variable es la suma de todos los costos dependientes del nivel de

produccin, como mano de obra, materialesCosto total es la suma de los costos variables y

fijos:

Costo total = costo variable + costo fijo

Ingreso total es el dinero que un fabricante recibe por la venta de su produccin

Ingreso total =(precio por unidad) . ( nmero de unidades vendidas)

Utilidad es el ingreso total menos el costo total

Utilidad = ingreso totalcosto total, Precio = Costo + utilidad

Ejemplo1: La compaa Ganar fabrica un producto para el cual el costo variable por unidades

es de $6 y el costo fijo es de $80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determina

el nmero de artculos que deben venderse para obtener una utilidad de $60.000.

Llamemos q al nmero de unidades que deben venderse, entonces el costo variable es 6q, por lo

tanto el costo total ser 6q+80.000 y el ingreso total por las ventas de q unidades 10q

Utilidad = ingreso totalcosto total

60.000 = 10q (6q +80.000)

Resolviendo la ecuacin resulta q = 35.000, esto significa que deben venderse 35.000 unidades

para obtener una ganancia de $60.000

Pacam produce ropa deportiva y planea vender su nueva lnea de pantalones a tiendas minoristas.

El costo para ello ser de $33 por pantaln. Para mayor comodidad del minorista, la empresa

colocar una etiqueta con el precio en cada pantaln. Qu valor debe ser impreso en la etiquetade modo que el minorista pueda reducir este precio en un 20% durante una venta y an obtener

una ganancia de 15% sobre el costo?

Teniendo en cuenta que: Precio = Costo + utilidad

Sea p el precio impreso en la etiqueta de cada pantaln. Durante la venta,el minorista realmente

recibe p0,2p. Esto debe ser igual al costo, $33, ms la utilidad, 15% de $33

Por lo tanto sustituyendo en la igualdad Precio = Costo + utilidad se obtiene:

p 0,2p = 33 + 0,15 . 33 resolviendo esta ecuacin

se resulta p = 47,4375. Por lo tanto el precio de las etiquetas debe ser $47,44

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