ECUACIONES DIMENSIONALES

La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen solo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos.

A menudo el  Ingeniero  tiene que hacer frente a la necesidad de llegar a resultados prácticos en situaciones que, por diversas razones, los fenómenos físicos no poseen  soluciones matemáticas que describan su comportamiento; y por ello es necesario recurrir a un experimento para determinar incluso las características físicas principales del flujo. Al diseñar tales experimentos e interpretar sus resultados, el Análisis Dimensional puede resultar de gran utilidad.

El Análisis Dimensional tiene aplicaciones en:

Detección de errores de cálculo.

Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier, lo empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.

Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámico.

Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios.

Un ejemplo destacado de las muchas aplicaciones que permite la teoría, son los modelos físicos que se pueden desarrollar sobre presas de almacenamiento de agua, para analizar las consecuencias geodinámicas, hidráulicas y estructurales que conlleva la construcción de una obra de ingeniería como esta. De esta manera se pueden conocer y predecir los problemas que pueden generarse, oportunamente los correctivos necesarios, disminuyendo así los riesgos de la construcción y minimizar los costos.

PROPIEDADES

Términos Adimensionales:

• Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como p) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de cálculo, se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario se conserva su valor.

No se cumplen la suma y la resta algebraica.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

En toda ecuación dimensionalmente correcta, los términos que se están sumando o restando deben tener igual ecuación dimensional.

Si la ecuación:

A+B=C; es homogénea o dimensionalmente correcta

Se cumple:

[A]=[B]=[C]

Es decir que las 3 magnitudes tienen la misma ecuación dimensional.

SIMILITUDHIDRÁULICA

Prototipo:

Es una situación real de los que se desea estudiar.

Modelo:

Es una representación simplificada del prototipo en la cual se incluyen los aspectos esenciales para que el comportamiento del modelo sea similar al del prototipo. Normalmente se construye a escala reducida.

LA SIMILITUD HIDRÁULICA

• Permite una observación visual del flujo.

• Hacen posible la obtención de datos numéricos.

Algunos ejemplos de sus usos son:

• Calibradores de vertederos y compuertas.

• Profundidades de flujo.

• Distribuciones de velocidad.

• Fuerzas en compuertas.

• Eficiencias y capacidades de bombas y turbinas.

• Distribución de presiones y pérdidas.

SEMEJANZA GEOMÉTRICA

Para que pueda existir la semejanza geométrica entre modelo y prototipo debe haber una relación entre las dimensiones homólogas en igualdad.

LmLp

=Lr

AmAp

=L2mL2p

=L2r

Lm= longitud del modelo

Lp= longitud del prototipo

Lr= relacion entre longuitudes

SEMEJANZA CINEMÁTICA

Existe semejanza cinemática entre modelo y prototipo si:

Las trayectorias de partículas homólogas son geométricamente semejantes.

Las relaciones entre las velocidades de las partículas homólogas son iguales.

Relación de velocidad:

V mV p

=

LmT mLpT p

=LmT pLpT m

=LrT r

ama p

=

LmT 2mLpT 2p

=LmT

2p

LpT2m

=L rT2r

QmQ p

=

L3mT mL3pT p

=L3mT pL3pT m

=L3rT r

SEMEJANZA DINÁMICA

Se da cuando las relaciones entre las fuerzas homogéneas son iguales.

Las fuerzas existentes son las fuerzas viscosas, gravitatoria elásticas, debidas a la presión y debidas a la tensión superficial.

En la mayoría de problemas predomina una fuerza aparte de la fuerza de inercia.

La consideración de la fuerza predominante se hace a través de un parámetro adimensional. Estos parámetros son:

Número de Reynolds: Encierra el efecto de la viscosidad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y viscosidad.

Re=maτA

= ma

μ ( dVdy

)A= ρ L

2V 2

μVLL2

= ρVLμ

=VLν

Número de Froude: Encierra el efecto de la gravedad y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y gravitatoria.

mamg

= ρ L2V 2

ρ L3g=V

2

gL

A la raíz cuadrada de esta expresión se llama número de Froude

F= V

√gLNúmero de Euler: Encierra el efecto de la presión y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y presión.

Eμ=mapA

= ρL3 LT−2

p L2= ρ L

2V 2

p L2= ρV

2

p

Número de Mach: Encierra el efecto de la compresibilidad del fluido y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y elástica.

maEA

= ρL2V 2

E L2= ρV

2

E

ma=fuerza de inercia

EA=fuerza de elasticidad

A la raíz cuadrada de esta expresión y un arreglo se llama número de Mach.

M= V

√ EpM=número de mach

Número de Weber: Encierra el efecto de la tensión superficial y se obtiene planteando la relación entre las fuerzas de inercia y tensión superficial.

W=maσL

= ρ L2V 2

σL= ρLV

2

σ

W=número de Weber

Ma= fuerza de inercia

σL= fuerza de la tención