Introducción

Rubén Darío LaraEscobar

IntroducciónSoluciíon de una PDE

IntroducciónEcuaciones Diferenciales

Rubén Darío Lara Escobar1

1Unidad de Ciencias BásicasUniversidad Católica de Manizales

Curso de Ecuaciones Diferenciales, I Semestre de2014

Curso de Ecuaciones Diferenciales, I Semestre de 2014 1/11

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Ecuaciones Diferenciales Parciales

Ecuaciones Diferenciales ParcialesUn Ecuación Diferencial Parcial (PDE) es una ecuaciónrelacionada a las derivadas parciales de una funcióndesconocida, por ejemplo el problema de valores iniciales:

∂2u∂x∂y

= 12xy3 +8x3e2y; ux(x,0) = 4x; u(0,y) = 3

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

Las PDE’s, son un poco diferentes de las ecuacionesdiferenciales ordinarias, debido por ejemplo al hecho deque una EDO, como f ′(x,y) = 0 tiene como solución laconstante arbitraria f (x,y) = C.Mientras que la EDP

∂f (x,y)∂x

= 0

tiene como solución general la función

f (x,y) = g(y)

como g(y) es arbitraria podemos obetener un conjuntoinfinito de soluciones independientes, por ejemplo tomarg(y) = ecy y hacer que c varíe en todos los reales.

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

Objetivos

En General la solución de una PDE supone tres objetivos.

Formular PDE’s, Hallar un modelo matemático quepermita identificar un proceso dinámico, de algunfenómeno.

Resolver las PDE’s, investigar métodos para hallarlas soluciones de la PDE.

Estudio de las Soluciones; Identificar propiedades delas soluciones de una PDE sin necesidad deresolverla.

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

Objetivos

En General la solución de una PDE supone tres objetivos.

Formular PDE’s, Hallar un modelo matemático quepermita identificar un proceso dinámico, de algunfenómeno.

Resolver las PDE’s, investigar métodos para hallarlas soluciones de la PDE.

Estudio de las Soluciones; Identificar propiedades delas soluciones de una PDE sin necesidad deresolverla.

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

Notación

La notación utilizada generalmente esLas Variables independientes espaciales

x,y,z

y t la variable independiente temporal

u,v

Variables dependientes

ux =∂u∂x

uxt =∂2u∂t∂x

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Notación

La notación utilizada generalmente esLas Variables independientes espaciales

x,y,z

y t la variable independiente temporal

u,v

Variables dependientes

ux =∂u∂x

uxt =∂2u∂t∂x

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Ejemplos de PDE’sEcuación del Calor

Consideremos la PDE

ut = uxx

Una Solución de la Ecuación de calor es:

u =12

x2 + t

es facil ver que en efecto, esto se cumple:

ut =∂u∂t

= 1

uxx = 1

Se Observa la Igualdad 1=1

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Ahora consideremos otra forma de hallar soluciones de laecuación de Calor, en efecto supongamos que

u = eax+bt

La pregunta aquí es:Que condiciones deben tener a y b para que u seasolución de la ecuación de calor?

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

En efecto si verificamos que:

ut = eax+btb

uxx = eax+bta2

}La condicion es b = a2

Otras ecuaciones importantes son:Ecuación de Ondas

utt = uxx

Ecuación de Laplace

uxx +uyy = 0

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IntroducciónSoluciíon de una PDE

En efecto si verificamos que:

ut = eax+btb

uxx = eax+bta2

}La condicion es b = a2

Otras ecuaciones importantes son:Ecuación de Ondas

utt = uxx

Ecuación de Laplace

uxx +uyy = 0

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ApéndiceLecturas Recomendadas

Lecturas Recomendadas I

Apostol, Tom.Calculus Vol II.Reverté, 1980.

Larson, R.; Edwards, B.Introducción al Álgebra Lineal.Limusa, 2009.

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