Ecuaciones diferenciales ordinaris. José Antonio Muñoz Gómez, Omar Aguilar Loreto

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Jose Antonio Munoz GomezOmar Aguilar Loreto

Abimael Jimenez PerezAndres Trinidad Medel de Gante

c© Draft date 25 de octubre de 2010

Indice general

1. Conceptos Basicos en Ecuaciones Diferenciales 9

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Definiciones y terminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Definicion de EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Orden de la ecuacion diferencial . . . . . . . . . . . 12

1.2.3. Linealidad de la ecuacion diferencial . . . . . . . . . 13

1.2.4. Solucion de una ecuacion diferencial . . . . . . . . . 15

1.2.5. Problemas de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.6. Problemas de valores en la frontera . . . . . . . . . . 21

1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Primer Orden 23

2.1. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . 24

3

4 INDICE GENERAL

2.2. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.1. Forma estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.2. Metodo de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3.1. Ecuacion exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2. Metodo de solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Solucion por sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2. Ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.3. Reduccion a separacion de variables . . . . . . . . . 42

2.5. Circuito RL serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Ecuaciones Lineales de Orden Superior 49

3.1. Nociones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3. Ecuaciones no homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.1. Variacion de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.2. Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.3. Factorizacion de operadores . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3.4. Funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4. La transformada de Laplace 97

4.1. La notacion estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

INDICE GENERAL 5

4.2. Definicion de la transformada de Laplace y su uso . . . . . 98

4.2.1. Deduccion de la transformada de Laplace a partir dela definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3. Teoremas de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 111

4.3.1. Teorema de la Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.2. Teorema de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.3.3. Teorema de cambio de escala . . . . . . . . . . . . . 115

4.4. Transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.5. Transformada de Laplace de derivadas e integrales . . . . . 119

4.5.1. Transformada de Laplace de la derivada n-esima deuna funcion f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.2. Teorema de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.6. Resolucion de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 124

4.6.1. Procedimiento basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5. Aproximacion Numerica 133

5.1. Modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.2.1. Medicion del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.3. Metodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5.3.1. Runge-Kutta de orden dos . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.3.2. Runge-Kutta de orden tres . . . . . . . . . . . . . . 149

5.3.3. Runge-Kutta de orden cuatro . . . . . . . . . . . . . 153

5.4. Observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6 INDICE GENERAL

5.5. Forma integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . 160

5.7. Nota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Apendice A 168

Apendice B 171

Apendice C 174

Prefacio

Desde la antiguedad, la matematica ha sido el lenguaje humano pormedio del cual hemos ampliado nuestros sentidos y nos ha permitido com-prender o estudiar a la naturaleza y otros campos de la ciencia. Dentro delas ramas de las matematicas, las ecuaciones diferenciales ordinarias haninfluido considerablemente en las areas de ingenierıa.

La finalidad de este libro es proporcionar material de apoyo a los estu-diantes de las carreras de ingenierıa. El libro esta integrado con los con-ceptos mınimos requeridos para entender los metodos de solucion analıticay numerica, dando un especial enfasis a la resolucion de problemas.

En las areas de ciencias exactas e ingenierıas frecuentemente se utilizanmodelos basados en la observacion y sustentados en las matematicas, porello es recomendable que los estudiantes tengan una buena formacion enesta disciplina. Con el objetivo de ayudar a los estudiantes a mejorar sucomprension en el area de ecuaciones diferenciales ordinarias, hemos escritoeste libro que contiene los temas basicos en esta materia.

Los lineamientos generales que seguimos al escribir el libro son:

Dar los conceptos y definiciones de forma clara y concisa.

7

8 PREFACE

Exponer los procedimientos y tecnicas de simplificacion con detalley de forma reiterativa.

Dar una buena cantidad de ejemplos.

El presente libro no intenta ser un tratado exhaustivo. La amplitudde los temas ha impedido abordarlos con la minuciosidad deseada. Sinembargo, constituye por sı solo un valioso auxiliar que presenta una visionintegral en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

El libro contiene cinco capıtulos los cuales estan organizados de lasiguiente manera: en el capıtulo uno mostramos las definiciones basicasası como los terminos a utilizar en el resto del libro. En el capıtulo dosabordamos las ecuaciones de primer orden y se exponen los metodos pa-ra su resolucion analıtica. Posteriormente, en el capıtulo tres se describenlas ecuaciones lineales de grado superior y sus metodos de solucion. Latransformada de Laplace se describe en el capıtulo cuatro, dando enfasisa la solucion de sistemas. Finalmente, en el capıtulo cinco se aborda lasolucion numerica para problemas de valor inicial mediante esquemas deRunge-Kutta, se incluyen los programas en C.

En distintas etapas de la escritura de este libro, varias personas pro-porcionaron valiosos comentarios. Los autores estan agradecidos por suayuda y cooperacion a todos aquellos que contribuyeron en diversas ma-neras para esclarecer algunos pasajes obscuros, ası como proporcionarnosuna retro-alimentacion muy constructiva. En particular, expresamos nues-tra gratitud a Hilarion Colmenares Cano y a Jonathan Crespo Rodrıguezpor su tiempo dedicado a la revision general del libro. De igual manera,queremos expresar nuestro agradecimiento a la Universidad de Guadala-jara (campus CUCSur), a la Universidad Autonoma de Ciudad Juarez, ya la Universidad Autonoma de Baja California (campus Mexicali), por lasfacilidades otorgadas a los autores para la elaboracion de este libro.

Capıtulo 1Conceptos Basicos en

Ecuaciones Diferenciales

1.1. Introduccion

Existen diversos fenomenos en la naturaleza que se pueden modelarmediante ecuaciones diferenciales. Esto indica que las caraterısticas esen-ciales de dichos fenomenos se pueden representar utilizando una o variasecuaciones diferenciales. Con base en el modelo obtenido podemos analizarel comportamiento a futuro del sistema que se esta estudiando. Una grancantidad de fenomenos se encuentran en constante cambio o movimiento:las olas fluctuan en el transcurso del dıa, los paıses incrementan o dismi-nuyen sus reservas ecologicas, el precio del petroleo varıa durante un anoo el flujo de corriente cambia con el tiempo en un circuito electronico. Deesta manera, las ecuaciones diferenciales estan intimamente relacionadascon la manera en que evoluciona un sistema en el tiempo.

9

10CAPITULO 1. CONCEPTOS BASICOS EN EC. DIFERENCIALES

El origen de las ecuaciones diferenciales inicio con los primeros traba-jos del cientıfico y matematico ingles Sir Isaac Newton (1642-1727) y elfilosofo y matematico aleman Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) en eldesarrollo de la ciencia del calculo en el siglo XVII. Newton en particular seinvolucro con la determinacion de las leyes que gobiernan el movimiento (lacaıda de una manzana de un arbol o el movimiento de los planetas en susorbitas). No se debe pensar que las ecuaciones diferenciales exclusivamen-te se utilizan para modelar sistemas fısicos. El mismo tipo de ecuacionesy el mismo tipo de analisis de sistemas dinamicos se puede utilizar paramodelar y entender fenomenos en biologıa, economıa, quımica, electronicaentre otros.

1.2. Definiciones y terminos

Las palabras diferencial y ecuaciones indican resolver alguna clase deecuacion que contiene derivadas. De esta forma, en matematicas, se entien-de por Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO) a una ecuacion diferencialdonde la variable dependiente esta en funcion de una variable indepen-diente. Como ya se menciono anteriormente las ecuaciones diferencialesson importantes en diversas areas de investigacion, un ejemplo es resol-ver ecuaciones del tipo y′′ + 10y′ + 6y = 0 para una funcion desconociday = y(x).

En este punto es necesario aclarar que en la literatura la notacion paralas derivadas cambia segun el autor. Sin embargo, las siguientes notacionesson las mas comunes, y se usan como sinonimos. En el caso de una primeraderivada

dy(x)

dx=

dy

dx= y′ = Dxy = D1y

en el caso de una segunda derivada

d2y(x)

dx=

d2y

dx2= y′′ = D2

xy = D21y = Dxx (y)

y ası sucesivamente.

1.2. DEFINICIONES Y TERMINOS 11

Particularmente, en este libro las derivadas ordinarias se escriben conla notacion de Leibniz, la cual representa la operacion de diferenciar me-diante el operador d/dx, es decir, la operacion “derivada de la funcion yrespecto de x”se representarıa de este modo dy/dx, como un cociente dediferenciales. Tambien se escribira con la notacion de primas, la derivadade la funcion y respecto de x se representarıa como y′.

La derivada dy/dx de una funcion y = y(x) es por sı misma otra funcion

y′(x) que se determina mediante una regla apropiada. La funcion y = ex2

es diferenciable en el intervalo (−∞,∞), y por la regla de la cadena su

derivada es dy/dx = 2xex2

. Si reemplazamos ex2

en el lado derecho de laultima ecuacion por el sımbolo y, la derivada se convierte en

dy

dx= 2xy (1.1)

La ecuacion (1.1) es una ecuacion diferencial, donde y es la variabledependiente, x la variable independiente y dy/dx es la derivada de y conrespecto a x. De esta manera, se dice que una ecuacion que contiene deri-vadas de una o mas variables dependientes es una ecuacion diferencial.

La solucion de ecuaciones diferenciales es un problema matematico queconsiste en buscar una funcion que satisfaga la ecuacion diferencial. Sepuede llevar a cabo mediante un metodo especıfico para la ecuacion dife-rencial en cuestion (tipo, orden y linealidad) o mediante una transformada(por ejemplo, la transformada de Laplace que se abordara en el capıtulo4).

1.2.1. Definicion de EDO

Si una ecuacion contiene solo derivadas de una variable dependiente conrespecto a una sola variable independiente se dice que es una EcuacionDiferencial Ordinaria (EDO). Las siguientes ecuaciones son ejemplos deEDOs.

dy

dx+ 5y = ex y

d2y

dx2− dy

dx+ 6y = 0


Si se involucran derivadas con mas de una variable dependiente en funcionde una variable independiente se tiene un sistema de ecuaciones diferen-ciales ordinarias (ver capıtulo 4 y 5).

1.2.2. Orden de la ecuacion diferencial

El orden de una ecuacion diferencial esta determinado por el orden dela mayor derivada que aparece en la ecuacion. Por ejemplo la ecuacion

y′′′ + 14y′′ − 2y = 0 (1.2)

es una ecuacion diferencial de tercer orden, ya que y′′′ es la derivada demayor orden en (1.2). De forma general, una ecuacion diferencial ordinariade n-esimo orden de una variable dependiente y, se puede expresar como

F(

x, y, y′, . . . , y(n))

= 0 (1.3)

donde F es una funcion de valores reales con a lo mas n + 2 variables. Porrazones practicas y teoricas se supone que siempre es posible despejar y(n)

de forma unica en terminos de las n + 1 variables restantes de la ecuacion(1.3). La ecuacion diferencial

dny

dxn= f

(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

(1.4)

donde f es una funcion continua de valores reales, y se conoce como laforma normal de la ecuacion (1.3). En particular

dy

dx= f(x, y)

yd2y

dx2= f(x, y, y′)

son las formas normales que representan a las ecuaciones diferenciales or-dinarias de primer y segundo orden respectivamente. Por ejemplo, la formanormal de la ecuacion de primer orden 4xy′ + y = x es y′ = (x − y)/4x.


1.2.3. Linealidad de la ecuacion diferencial

Una ecuacion diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es linealen y, y′, . . . , y(n). Esto significa que una EDO de orden n es lineal cuando(1.3) se puede expresar de la forma

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (1.5)

Dos casos especiales importantes de (1.5) son las ecuaciones diferencialeslineales de primer (n = 1) y segundo (n = 2) orden

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = g(x) (1.6)

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x) (1.7)

Como se observa en (1.5) las dos propiedades de una EDO lineal son:

1. La variable dependiente y y todas sus derivadas y′, y′′, . . . , y(n) son deprimer grado, es decir, la potencia de cada termino en que intervienenlas derivadas es 1.

2. Los coeficientes a0, a1, . . . , an de y, y′, . . . , y(n) dependen solo de lavariable independiente x o son constantes y ademas an 6= 0.

Las ecuaciones(

x2

4

)

dy

dx= ex

d2y

dx2+ cosx = 0

d4y

dx4+ y = 0

son ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer, segundo y cuar-to orden respectivamente. Una ecuacion diferencial ordinaria no lineal es


simplemente aquella que no cumple alguna de las dos propiedades de linea-lidad. Las funciones no lineales de la variable dependiente o sus derivadas,como cos y o ey, no pueden aparecer en una ecuacion lineal. Por lo tanto,

(

x + y

4y

)2dy

dx= ex

d2y

dx2+ cos y = 0

d4y

dx4+ y2 = 0

son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de primer,segundo y cuarto orden, respectivamente. La no linealidad se genera en laprimera ecuacion debido a que el coeficiente a1(x) depende de la variabledependiente y, en la segunda la presencia de una funcion no lineal cos yes la causa de la no linealidad y en la ultima el termino de y de grado 2genera la no linealidad.

Existe un criterio mas riguroso para establecer cuando una ecuaciones lineal o no lineal, el cual no se abordara en este capıtulo. Sin embargo,para el caso de este libro se dira que la ecuacion es lineal siempre y cuandotenga la forma (1.5). En los siguientes ejemplos

y′′ + xy = x2

5d2y

dx2− 2y = sinx

xD3xy + sin xD2

xy + xDxy − (2x + 4) y = 0

d4y

dx4− y = lnx

d2y

dx2= 0


podemos observar que en analogıa con (1.5) tenemos ejemplos de ecuacio-nes lineales, mientras que la ecuacion

d4x

dt4+

dx

dt− x = lnx

no lo es. Esto se debe al termino ln x.

Si en (1.5) el termino g (x) = 0 entonces se dice que se tiene una ecua-cion lineal homogenea. Por otro lado, si g (x) 6= 0 entonces la ecuacionse denomina no homogenea, es evidente que toda ecuacion no homogeneaposee una ecuacion homogenea afın, simplemente basta hacer g (x) = 0.Si los coeficientes an(x), an−1(x), . . . , a1(x), a0(x), de las derivadas son to-dos constantes –no dependen de x– entonces se dice que la ecuacion esuna ecuacion diferencial lineal con coeficientes constantes aun cuando lafuncion g (x) pueda depender de x.

1.2.4. Solucion de una ecuacion diferencial

La solucion de una ecuacion diferencial es aquella funcion y = y(x),definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que alsustituirse en una ecuacion diferencial ordinaria de n-esimo orden reduce laecuacion a una identidad. La demostracion de la existencia de solucionespara las ecuaciones diferenciales, es un tema que mantuvo ocupados amatematicos desde hace decadas, para fortuna de nosotros, el teorema deexistencia y unicidad de soluciones ya ha sido demostrado [1].

Ejemplo 1. Compruebe que la funcion y indicada es una solucion de laecuacion diferencial en el intervalo (−∞,∞).

dy

dx+ 20y = 24, y =

6

5− 6

5e−20x

Una forma de comprobar que la funcion que se tiene es una solucion esverificar si ambos lados de la ecuacion son equivalentes para toda x en elintervalo, despues de haber sustituido y y sus respectivas derivadas. Dado


que la primer derivada de y es

dy

dx= 24e−20x

sustituyendo los valores de y y dydx

en la ecuacion diferencial original

dy

dx+ 20y = 24

24e−20x + 20

(

6

5− 6

5e−20x

)

= 24

24e−20x + 24 − 24e−20x = 24

De esta manera, se obtiene la identidad

24 = 24

Existen diferentes tipos de EDOs, cada una con un metodo de soluciondistinto; para clasificarlas, hay que hacer la diferencia entre ecuacionesdiferenciales de primer orden y ecuaciones de orden superior (ya que lasprimeras tienen metodos de solucion mas sencillos).

Ejemplo 2. Supongamos que la funcion y = 5e3x − 7e2x es la solucion dela ecuacion homogenea de segundo orden y′′ − 5y′ + 6y = 0 dicha soluciones valida en el intervalo de (−∞,∞).

Se puede comprobar que la funcion y es solucion de la EDO planteada,para ello calculemos y′ = 15e3x − 14e2x y y′′ = 45e3x − 28e2x y finalmentese sustituyen estas expresiones en la ecuacion diferencial original

y′′ − 5y′ + 6y = 0

45e3x − 28e2x − 5(

15e3x − 14e2x)

+ 6(

5e3x − 7e2x)

= 0

45e3x − 28e2x − 75e3x + 70e2x + 30e3x − 42e2x = 0

−30e3x + 42e2x + 30e3x − 42e2x = 0

ya que y = 5e3x − 7e2x satisface la ecuacion original, podemos ver que yes una solucion de la ecuacion diferencial dada.


Intervalo de definicion

Es imposible considerar la solucion de una ecuacion diferencial ordina-ria sin al mismo tiempo pensar en el intervalo. El intervalo I mencionadoen la seccion 1.2.4, recibe varios nombres, tales como, intervalo de defini-cion, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio de la solucion[2]. Puede ser un intervalo abierto (a, b), un intervalo cerrado [a, b], unintervalo infinito (−∞,∞), etc. La seleccion del tipo de intervalo dependede la EDO analizada.

Solucion explıcita e implıcita

Aquı el lector debe estar familiarizado con los terminos de funcionesexplıcitas e implıcitas de la teorıa del Calculo [3]. Una solucion explıcitaes aquella en la que la variable y depende solamente de la variable inde-pendiente x. En el ejemplo 1, vimos que y(x) = 6/5 − 6/5e−20x es unasolucion explıcita de dy/dx + 20y = 24.

Cuando se resuelven algunas ecuaciones diferenciales ordinarias, se ob-servara que los metodos de solucion no siempre llevan de forma directa auna solucion explıcita y(x). En esos casos tendremos una solucion implıcitade una ecuacion diferencial ordinaria en un intervalo I, la cual se definecomo la relacion G(x, y) = 0, siempre que exista al menos una funcion yque satisface tanto la relacion como la ecuacion diferencial en I. Algunoscasos de soluciones implıcitas son

sen(y) = xy, y = xey, y3 = 5 + 3x − 3y

observe que no se puede despejar la variable y.

Familia de soluciones

Imagine que dos estudiantes analizan la ecuacion diferencial de primerorden

dy

dx= f(x) = x2 − 2x + 7


Una solucion de esta ecuacion es una funcion y(x) tal que, su primeraderivada sea igual a x2−2x+7. Un estudiante piensa que dicha funcion esx3

3 −x2+7x, mientras el otro piensa en la funcion x3

3 −x2 +7x−10. Ambasrespuestas parecen ser correctas. Para resolver este problema simplementese integran ambos lados de la ecuacion diferencial

∫

dy =

∫

(

x2 − 2x + 7)

dx

Como estamos utilizando una integral indefinida, siempre hay una cons-tante de integracion que no se debe de olvidar. Por lo tanto, la solucion deeste problema es una familia infinita de soluciones

y =x3

3− x2 + 7x + c

donde c es cualquier constante real. Por cada valor particular de c se ob-tendra un miembro de la familia. Por ejemplo, en la figura 1.1 podemosobservar tres miembros (c = −10, c = 0 y c = 15) de la familia unipa-

rametrica de la solucion x3

3 − x2 + 7x + c.

Al resolver una ecuacion diferencial de primer orden F (x, y, y′) = 0como en el parrafo anterior, por lo comun se obtiene una solucion quecontiene una sola constante arbitraria o parametro c; esta representa aun conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones que se define como una familiauniparametrica de soluciones.

Cuando se resuelve una ecuacion diferencial F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 den-esimo orden se determina una familia multi-parametrica de solucionesG(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0. Esto significa que una sola ecuacion diferencialpuede tener un numero infinito de soluciones, que corresponden al numeroilimitado de valores que pueden tomar los parametros. Cuando fijamosvalores numericos a los parametros en la solucion general obtenida, seobtiene una solucion particular.


c = -10, c = 0, c = 15

xK3 K2 K1 0 1 2 3

y

K50

K40

K30

K20

K10

10

20

30

Figura 1.1: Curvas de la familia uniparametrica de la solucion y = x3

3 −x2 + 7x + c.

1.2.5. Problemas de valores iniciales

Con frecuencia en algunas aplicaciones nos interesa encontrar una solu-cion y(x) de una ecuacion diferencial de modo que y(x) satisfaga condicio-nes como y(x0) = y0, y′(x0) = y1 las cuales son conocidas como condicionesiniciales. La ecuacion diferencial ordinaria sujeta a las condiciones inicialesse denomina Problema de Valores Iniciales (PVI).

Es posible aplicar las condiciones a la y(x) desconocida o sus derivadas,en algun intervalo I que contiene x0. En los problemas de valor inicial sebusca la solucion particular a traves de la seleccion correcta del valor del


parametro c. Por ejemplo la ecuacion

dny

dxn= f

(

x, y, y′, . . . , y(n−1))

sujeta ay(x0) = y0, y

′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1

donde y0, y1, . . . , yn−1 son constantes reales conocidas, es un ejemplo dePVI. Los valores de y(x) y sus primeras n − 1 derivadas en un solo puntox0: y(x0) = y0, y

′(x0) = y1, . . . , y(n−1)(x0) = yn−1 son las condiciones

iniciales.

Ejemplo 3. Compruebe que la funcion y = 1/(x2 + c) es una solucion dela ecuacion diferencial

y′ + 2xy2 = 0

en el intervalo (−∞,∞), sujeta a y(2) = 1/3. Diferenciando la solucion ydada, se obtiene

dy

dx= − 2x

(x2 + c)2

substituyendo y′ en la EDO y desarrollando terminos

dy

dx+ 2xy2 = − 2x

(x2 + c)2+ 2x

(

1

x2 + c

)2

= 0

dy

dx+ 2xy2 = − 2x

(x2 + c)2+

2x

(x2 + c)2= 0

se obtiene la identidad0 = 0

Para conocer el valor del parametro c que satisface la condicion inicialy(2) = 1/3 simplemente se sustituyen los valores de x = 2 y y = 1/3 en lasolucion y = 1/(x2 + c), de esta manera se obtiene c = −1. Por lo tanto

y =1

x2 − 1

es una solucion particular para este problema de valor inicial.

1.3. EJERCICIOS 21

1.2.6. Problemas de valores en la frontera

Otro tipo de problema consiste en resolver una ecuacion diferenciallineal de segundo orden (o de orden superior) en el que la variable depen-diente y o sus derivadas se especifican en diferentes puntos. Un problemacomo

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = g(x)

sujeto a

y(a) = y0, y(b) = y1

se llama Problema de Valores en la Frontera (PVF). Los valores prescritosy(a) = y0 y y(b) = y1 se llaman condiciones en la frontera. Una soluciondel problema es una funcion que satisface la ecuacion diferencial en algunintervalo I, que contiene a los valores a y b, cuya grafica pasa por los puntos(a, y0) y (b, y1).

1.3. Ejercicios

En los problemas del 1 al 10: (a) identifique la variable independiente ydependiente de cada ecuacion; (b) identifique el orden de cada ecuacion; y(c) determine si la ecuacion es lineal o no lineal.

1. y′ = y − x2

2. xy′ = 2y

3. x′′ + 5x = e−x

4. (y′)2 + x = 3y

5. xy′(xy′ + y) = 2y2

6. d2Rdt2

= − 1R2

7. (sin θ)y′′′ − (cos θ)y′ = 2


8. y′′ −[

1 − (y′)2

3

]

y′ + y = 0

9. (1 − x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx

10. x d3ydx3 −

(

dydx

)4

+ y = 0

En los problemas del 11 al 15, verificar que la funcion indicada es la solucionde la ecuacion diferencial dada. Las letras a, b, c, y d son constantes.

11. y′′ + y = 0; y = sin x

12. x′′ − 5x′ + 6x = 0; x = −e3t + 23e2t

13. 14

(

dydx

)2

− x dydx

+ y = 0; y = x2

14. tdRdt

− R = t2 sin t; R = t(c − cos t)

15. d4tdt4

= 0; y = at3 + bt2 + ct + d

Capıtulo 2Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden

En este capıtulo se definen y analizan diferentes metodos analıticospara resolver EDOs de primer orden.

Primeramente se aborda el metodo de variables separables, por ser elesquema mas sencillo de estudiar. Esto es requerido debido a que en algu-nas tecnicas se transformara la ecuacion original para obtener una ecuacionde variables separables. Una caracterıstica importante de las ecuaciones di-ferenciales lineales de primer orden o de orden superior (capıtulo 3), es quesiempre existe la solucion de la ecuacion. Dicha solucion se forma general-mente con la suma de dos soluciones yc y yp, las cuales corresponden a laparte homogenea y no homogenea de la ecuacion lineal, respectivamente.Este tema se discute posteriormente. Ademas, se estudia el caso de lasdenominadas ecuaciones exactas, en donde se determina si la ecuacion esel diferencial de una funcion f(x, y).

23

24 CAPITULO 2. ECUACIONES DIF. ORD. DE PRIMER ORDEN

Finalmente, se discute el metodo de sustituciones basado en un cambiode la variable dependiente o independiente con el fin de transformar laecuacion a una forma mas sencilla y poder resolverla con cualquiera de losmetodos mencionados anteriormente o simplificar de manera importanteel procedimiento para encontrar la solucion

y = y(x)

La ecuacion de Bernoulli y la reduccion a variables separables son casosparticulares del metodo de sustituciones.

2.1. Ecuaciones de variables separables

El estudio de como resolver ecuaciones diferenciales de primer ordeninicia con la tecnica mas simple: el metodo de variables separables.

Considere una ecuacion diferencial de primer orden de la forma

dy

dx= f(x, y) (2.1)

En el caso de que f no dependa de la variable y es decir, f(x, y) = g(x),la ecuacion diferencial

dy

dx= g(x)

se puede resolver por integracion directa. Si g(x) es una funcion continua,entonces al integrar ambos lados de la ecuacion se obtiene

y =

∫

g(x)dx = G(x) + c

donde G(x) es la antiderivada de g(x).

Si la funcion f se puede factorizar en una funcion de x multiplicadapor una funcion de y, es decir

f(x, y) = g(x)h(y)

2.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES 25

se dira que es una ecuacion diferencial de variables separables. De estamanera, la ecuacion (2.1) se puede escribir como

dy

h(y)= g(x)dx

y en cada miembro de la ecuacion se tendra una unica variable. Para resol-ver este tipo de ecuaciones basta con integrar ambos lados de la ecuacion[4].

Ejemplo 1. Resuelvady

dx= e(3x+2y)

La ecuacion anterior se puede representar como

dy

dx= e3xe2y

dividiendo toda la ecuacion por e2y y multiplicando toda la ecuacion pordx, se logra separar de un lado los terminos en y y del otro lado los terminosen x

dy

e2y= e3xdx

Finalmente integrando ambos lados de la ecuacion∫

e−2ydy =

∫

e3xdx

obtenemos la solucion

−e−2y

2+ c1 =

e3x

3+ c2

agrupando las constantes en el lado derecho de la igualdad, c = −c1 + c2,se obtiene

−e−2y

2=

e3x

3+ c

multiplicando por 6 toda la igualdad, se obtiene el resultado buscado

−3e−2y = 2e3x + c


observe que c al ser una constante arbitraria absorbe cualquier signo yvalor.

Ejemplo 2. Ahora resolvamos una ecuacion por separacion de variables yanalicemos su curva solucion.

Supongamos que la poblacion de insectos P presenta un incrementodebido a la temporada, el cual esta modelado por la ecuacion diferencial

dP

dt= kP cos(ωt)

donde k y ω son constantes positivas (la funcion cos(ωt) sugiere variacionesperiodicas). Se puede observar que la ecuacion diferencial es separable

dP

dt= f(P )g(t)

donde g(t) = k cos(ωt). Observe que al ser k una constante puede for-mar parte de f(P ) o g(t), en este caso para reducir pasos algebraicosformara parte de g(t). Separando las variables, tenemos

dP

P= (k cosωt) dt

integrando ambos lados de la ecuacion∫

dP

P= k

∫

cosωt dt

obtenemos la solucion

ln |P | =k

ωsenωt + c

Utilizando las propiedades de los logaritmos naturales, obtenemos

eln |P | = e(kω

sen ωt+c)

De esta manera, la familia uniparametrica de soluciones es

P (t) = cekω

senωt

2.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES 27

donde c > 0, lo cual es una suposicion razonable para el incremento en lapoblacion de insectos.

El problema de valor inicial nos indica resolver la ecuacion diferencialsujeta a la condicion inicial P (0) = P0. Es decir, al sustituir t = 0 yP (t = 0) = P0 en la solucion anterior, obtenemos el valor del parametro cvalido para la condicion inicial

P0 = cekω

sen 0

c = P0

Ahora, sustituyendo el valor del parametro c en la solucion P (t) = cekω

sen ωt,se obtiene la solucion particular

P (t) = P0ekω

sen ωt

Para casos practicos supongamos que P0 = 100, k = 2, y ω = π. En la figu-ra 2.1 podemos observar que la poblacion varıa periodicamente, fluctuando

desde el valor mınimo de 100e(−2π ) hasta un valor maximo de 100e(

2π ).

Ejercicios

En los problemas del 1-10 resuelva las ecuaciones o PVIs por el metodo devariabes separables.

1. dydx

= 5−2yx

2. dydx

= −xyx+1

3. y′ = 3 3√

y2; y(2) = 0

4. dydx

= (y−1)(y−2)x

5. y′ cotx + y = 2; y(0) = −1

6. dydx

= (x + 1)2

7. y lnxdxdy

=(

y+1x

)2

8. exy dydx

= (e−y)(

e−2x−y)


t0 1 2 3 4 5 6

P(t)

60

80

100

120

140

160

180

Figura 2.1: Curva solucion para la poblacion de insectos en funcion deltiempo.

9. (e−y + 1) sen x dx = (1 + cosx)dy; y(0) = 0

10. dydt

+ ty = y; y(1) = 3

2.2. Ecuaciones lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales son una familia amigable de ecua-ciones diferenciales en el sentido de que, dada una ecuacion lineal, ya sea deprimer orden o de orden superior (capıtulo 3), siempre es posible encontraruna solucion de la ecuacion. La forma general de una ecuacion diferencialde primer orden lineal se presento en el capıtulo anterior en la ecuacion(1.6) y se menciona nuevamente aquı para fines del desarrollo del metodo.

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = g(x) (2.2)

2.2. ECUACIONES LINEALES 29

Cuando g(x) = 0, se dice que la ecuacion (2.2) es homogenea y en casocontrario, es no homogenea.

2.2.1. Forma estandar

Al dividir ambos lados de (2.2) entre el coeficiente principal a1(x) 6= 0,se obtiene la forma estandar de una ecuacion lineal

dy

dx+ P (x)y = f(x) (2.3)

donde P (x) = a0(x)/a1(x) y f(x) = g(x)/a1(x). El objetivo es determinaruna solucion de (2.3) en un intervalo I para el cual ambas funciones P y fson continuas. La ecuacion (2.3) tiene la propiedad de que su solucion esla suma de dos soluciones

y = yc + yp

donde yc es una solucion de la ecuacion homogenea asociada

dy

dx+ P (x)y = 0 (2.4)

y yp es una solucion particular de la ecuacion no homogenea (2.3). Sepuede observar que conforme a lo mencionado en la seccion 2.1, la ecuacionhomogenea (2.4) es separable. De esta manera, es posible encontrar yc, alescribir la ecuacion anterior como

dy

y= −P (x)dx

Resolviendo para y, se obtiene

yc = ce−R

P (x)dx

Con la finalidad de simplificar las ecuaciones se define la variable y1 =e−

R

P (x)dx y la solucion sera yc = cy1(x). Con esta solucion se puedeobservar que dy1/dx + P (x)y1 = 0 (comprobar por parte del lector).


Al contar ya con la solucion yc, se puede encontrar la solucion particularde la ecuacion (2.3) mediante una tecnica que se conoce como variacionde parametros, en el capıtulo 3 se profundiza esta tecnica. El objetivo esencontrar una funcion u de modo que

yp = u(x)y1(x)

= u(x)e−R

P (x)dx

sea una solucion de (2.3). Se puede observar que la definicion de yp es lamisma que para yc excepto que c se sustituye por la variable u. Al sustituiryp = uy1 en (2.3), tenemos

udy1

dx+ y1

du

dx+ P (x)uy1 = f(x)

agrupando terminos

u

[

dy1

dx+ P (x)y1

]

+ y1du

dx= f(x)

debido a dy1/dx + P (x)y1 = 0, se obtiene

y1du

dx= f(x)

Despues de separar variables e integrar, tenemos

du =f(x)

y1(x)dx y u =

∫

f(x)

y1(x)dx

Como y1(x) = e−R

P (x)dx, se deduce 1/y1(x) = eR

P (x)dx. Por lo tanto,

yp = uy1 =

(∫

f(x)

y1(x)dx

)

e−R

P (x)dx = e−R

P (x)dx

∫

eR

P (x)dxf(x)dx

y la solucion completa es

y = ce−R

P (x)dx + e−R

P (x)dx

∫

eR

P (x)dxf(x)dx (2.5)


El primer termino de la ecuacion (2.5) corresponde a la solucion yc y elsegudo termino a la solucion yp. De esta manera, la solucion a (2.3) debeser de la forma (2.5), no hay necesidad de memorizar la expresion (2.5).Sin embargo, se debera recordar el termino

eR

P (x)dx (2.6)

debido a que se puede utilizar para resolver (2.3) de una manera menoscomplicada.

Podemos comprobar que la solucion (2.5) satisface (2.3). Para ello, lasolucion (2.5) se multiplica por (2.6)

eR

P (x)dxy = c +

∫

eR

P (x)dxf(x)dx (2.7)

ahora derivando (2.7) con respecto a x

d

dx

[

eR

P (x)dxy]

= eR

P (x)dxf(x) (2.8)

se obtiene

eR

P (x)dx dy

dx+ P (x)e

R

P (x)dxy = eR

P (x)dxf(x) (2.9)

Finalmente al dividir el ultimo resultado entre eR

P (x)dx, se obtiene la ecua-cion (2.3).

2.2.2. Metodo de solucion

El metodo para resolver (2.3) queda resumido en las ecuaciones (2.7-2.9) en orden inverso. El lado izquierdo de (2.9) se reconoce como la antide-rivada del producto de e

R

P (x)dx y y; esto da lugar a (2.8). A continuacionse integran ambos lados de la ecuacion (2.8) para obtener la solucion (2.7).Debido a que la ecuacion (2.3) se resuelve integrando despues de multipli-car por e

R

P (x)dx, a este termino se le denomina factor integrante.

El procedimiento para solucionar una ecuacion diferencial lineal de pri-mer orden es el siguiente:


1. Escriba una ecuacion lineal de la forma (2.2) en la forma estandar(2.3).

2. Identifique, a partir de la forma estandar, P (x) y luego determine elfactor integrante e

R

P (x)dx.

3. Multiplique la forma estandar de la ecuacion por el factor integrante.El lado izquierdo de la ecuacion resultante es automaticamente laderivada del factor integrante y y:

d

dx

[

eR

P (x)dxy]

= eR

P (x)dxf(x)

4. Integre ambos lados de esta ultima ecuacion.

Ejemplo 3. Resuelva

dy

dx− 3y = 0

Esta ecuacion puede resolverse por el metodo de variables separables.Sin embargo, sera resuelta por el metodo de ecuaciones lineales, ya quees una ecuacion lineal de primer orden. Como la ecuacion ya esta en laforma estandar (2.3) se observa que P (x) = −3 y por lo tanto, el factorintegrante es e

R

(−3)dx = e−3x. Multiplicando la ecuacion por este factor,se obtiene

e−3x dy

dx− 3e−3xy = 0

Conforme a lo mencionado en la seccion anterior, el lado izquierdo de estaecuacion se expresa como

d

dx[e−3xy] = 0

Al integrar ambos lados de la ultima ecuacion se obtiene e−3xy = c. Aldespejar y se obtiene la solucion

y = ce3x


El valor de la constante c se puede determinar fijando una condicion inicialen la EDO analizada.

Ejemplo 4. Resuelvady

dx− 3y = 6

Observe que la ecuacion homogenea relacionada para esta ecuacion diferen-cial se resolvio en el ejemplo anterior. Nuevamente la ecuacion ya esta enla forma estandar (2.3), y el factor integrante aun es e

R

(−3)dx = e−3x.Multiplicando la ecuacion por este factor, se obtiene

e−3x dy

dx− 3e−3xy = 6e−3x

Como ya se sabe el lado izquierdo de esta ecuacion es el diferencial delproducto del factor integrante con y, por lo tanto

d

dx[e−3xy] = 6e−3x

Al integrar ambos lados de la ultima ecuacion se obtiene

e−3xy = −2e−3x + c

o bieny = −2 + ce3x

Esta solucion es la suma de las dos soluciones y = yc +yp, donde yc = ce3x

es la solucion de la ecuacion homogenea del ejemplo 3 y yp = −2 es unasolucion particular de la ecuacion no homogenea y′ − 3y = 6.

Ejercicios

En los problemas del 1-10 resuelva las ecuaciones o PVIs por el metodo deecuaciones lineales.

1. y′ + 2y = 4x

2. y′ + 2xy = xe−x2

3. y′ + y = cosx


4. ty′ = −3y + t3 − t2

5. dxds

= xs− s2

6. y′ = 2y + x2 + 5

7. xdy = (x sen x − y)dx

8. dydx

+ 5y = 20; y(0) = 2

9. y′ = 2y + x(

e3x − e2x)

; y(0) = 2

10. y dxdy

− x = 2y2; y(1) = 5

2.3. Ecuaciones exactas

Si bien la ecuacion simple de primer orden ydx+xdy = 0 es separable,esta se puede resolver de una manera alternativa reconociendo que la ex-presion del lado izquierdo de la igualdad es el diferencial total de la funcionf(x, y) = xy; es decir, d(xy) = ydx + xdy. En esta seccion se examinanecuaciones diferenciales de primer orden de la forma

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.10)

Al aplicar una prueba a M y N, se determina si M(x, y)dx + N(x, y)dy esel resultado de diferenciar una funcion f(x, y). Si la respuesta es afirmativaf se construye mediante integracion parcial.

No toda ecuacion diferencial de primer orden escrita en la forma (2.10)corresponde al diferencial de f(x, y) = c. De esta manera, es mas impor-tante invertir el problema anterior; si se tiene una ecuacion diferencial deprimer orden como (2x−5y)dx+(−5x+3y2)dy = 0, ¿Existe alguna manerade reconocer que la expresion (2x−5y)dx+(−5x+3y2)dy es el diferenciald(x2 −5xy +y3)? En caso afirmativo, la solucion de la ecuacion diferenciales x2 − 5xy + y3 = c. Este metodo se abordara en la siguiente seccion.

2.3. ECUACIONES EXACTAS 35

2.3.1. Ecuacion exacta

Una expresion diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy es una diferencial exac-ta en una region R del plano xy si corresponde al diferencial de algunafuncion f(x, y) definida en R. Una ecuacion diferencial de la forma (2.10)es una ecuacion exacta si la expresion del lado izquierdo es una diferencialexacta.

Por ejemplo, (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0 es una ecuacion exacta,por que su lado izquierdo es una diferencial exacta

df(x, y) = d

(

5

2x2 + 4xy − 2y4

)

= (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy

De la ecuacion anterior podemos observar que M(x, y) = 5x+4y y N(x, y) =4x−8y3, entonces ∂M/∂y = 4 = ∂N/∂x. Este resultado ejemplifica el cri-terio para decidir si una ecuacion corresponde a una diferencial exacta.

Criterio. Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y con primeras derivadasparciales continuas en una region rectangular R definida por a < x <b, c < y < d. Entonces una condicion necesaria y suficiente para queM(x, y)dx + N(x, y)dy sea una diferencial exacta es

∂M

∂y=

∂N

∂x(2.11)

2.3.2. Metodo de solucion

Si la ecuacion (2.10) satisface (2.11), entonces existe una funcion f parala cual

∂f

∂y= N(x, y)

Se puede determinar f al integrar N(x, y) con respecto a y manteniendox constante

f(x, y) =

∫

N(x, y)dy + g(x) (2.12)


donde la funcion arbitraria g(x) es la constante de integracion. Ahora, siderivamos la ecuacion (2.12) con respecto a x y suponemos que ∂f/∂x =M(x, y)

∂f

∂x=

∂

∂x

∫

N(x, y) dy + g′(x) = M(x, y)

despejando g′(x)

g′(x) = M(x, y) − ∂

∂x

∫

N(x, y)dy (2.13)

Finalmente, si se integra la ecuacion (2.13) con respecto a x y se sustituyeel resultado en (2.12), la solucion implıcita de la ecuacion es f(x, y) = c.

En este punto conviene hacer algunas observaciones. Primero, es im-portante entender que la expresion M(x, y) − ∂/∂x

∫

N(x, y)dy en (2.13)es independiente de y, porque

∂

∂y

[

M (x, y) − ∂

∂x

∫

N (x, y) dy

]

=∂M

∂y− ∂

∂x

(

∂

∂y

∫

N (x, y) dy

)

=∂M

∂y− ∂N

∂x

= 0

Segundo, el procedimiento anterior tambien se puede deducir a partir dela hipotesis

∂f

∂x= M(x, y)

Despues de integrar M con respecto a x y posteriormente diferenciar eseresultado, se encontrarıa que los analogos de (2.12) y (2.13) son

f(x, y) =

∫

M(x, y)dx + h(y) y h′(y) = N(x, y) − ∂

∂y

∫

M(x, y)dx

Ejemplo 5. Resuelva

(2xy2 − 3)dx + (2x2y + 4)dy = 0

2.3. ECUACIONES EXACTAS 37

observemos que M(x, y) = 2xy2 − 3 y N(x, y) = 2x2y + 4, verificando elcriterio (2.11) se tiene

∂M

∂y= 4xy =

∂N

∂x

Ası que esta ecuacion es exacta y por consiguiente, existe una funcionf(x, y) tal que

∂f

∂x= 2xy2 − 3 y

∂f

∂y= 2x2y + 4

Despues de integrar la segunda de estas dos ecuaciones se tiene

f(x, y) =

∫

(

2x2y + 4)

dy

f(x, y) = x2y2 + 4y + g(x)

Si obtenemos la derivada parcial de esta ultima expresion con respecto ax y posteriormente igualamos el resultado con M(x, y), se obtiene

∂f

∂x= 2xy2 + g′(x) = 2xy2 − 3

se deduce que g′(x) = −3 e integrando g′ se obtiene g(x) = −3x, por lotanto

f(x, y) = x2y2 − 3x + 4y = c

es la solucion buscada.

Ejercicios

En los problemas del 1-10 determine si la ecuacion es exacta, si lo esresuelvala. En los problemas del 8-10 utilice la condicion inicial para de-terminar la constante de integracion c.

1. (2x − 1)dx + (3y + 7)dy = 0

2. (5x + 4y)dx + (4x − 8y3)dy = 0

3. (2y2x − 3)dx + (2yx2 + 4)dy = 0


4. (x + y)(x − y)dx + x(x − 2y)dy = 0

5. (y3 − y2 sen x − x)dx + (3xy2 + 2y cosx)dy = 0

6. (y ln y − e−xy)dx +(

1y

+ x ln y)

dy = 0

7. x dydx

= 2xex − y + 6x2

8. (x + y)2dx + (2xy + x2 − 1)dy = 0 y(1) = 1

9. (4y + 2x − 5)dx + (6y + 4x − 1)dy = 0; y(−1) = 2

10. (y2 cosx − 3x2y − 2x)dx + (2y sen x − x3 + ln y)dy = 0; y(0) = e

2.4. Solucion por sustituciones

Generalmente, el primer paso para resolver una ecuacion diferencialconsiste en transformarla en otra ecuacion diferencial a traves de una sus-titucion, con el objeto de que sea mas facil de resolver. Por ejemplo, su-ponga que se desea transformar la ecuacion diferencial de primer ordendydx

= f(x, y) mediante la sustitucion y = g(x, u), donde se considera que ues una funcion que depende de la variable x. Si g posee primeras derivadasparciales [5], entonces por la regla de la cadena

dy

dx=

∂g

∂x

dx

dx+

∂g

∂u

du

dxo bien

dy

dx= gx(x, u) + gu(x, u)

du

dx

Entonces si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplazaen f(x, y) por g(x, u), entonces la ecuacion diferencial dy/dx = f(x, y) seconvierte en

gx(x, u) + gu(x, u)du

dx= f(x, g(x, u))

que si se resuelve para dudx

, tiene la forma dudx

= F (x, u). Si de esta ulti-ma ecuacion se puede determinar una solucion u = f(x) entonces es unasolucion de la ecuacion diferencial original y = g(x, f(x)).

2.4. SOLUCION POR SUSTITUCIONES 39

En las siguientes tres secciones se abordaran casos especıficos en losque se requiere una sustitucion.

2.4.1. Ecuaciones homogeneas

Si una funcion f posee la propiedad f(tx, ty) = tαf(x, y) para algunnumero real α, se dice entonces que f es una funcion homogenea de gradoα. Por ejemplo, f(x, y) = x4 + x2y2 es una funcion homogenea de cuartogrado, porque

f(tx, ty) = (tx)4 + (tx)2(ty)2 = t4(x4 + x2y2) = t4f(x, y)

mientras que f(x, y) = x4 + x2y2 + 5 es no homogenea. Se dice que unaecuacion diferencial de primer orden en forma diferencial

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (2.14)

es homogenea1 si ambas funciones M y N son funciones homogeneas delmismo grado. En otras palabras, (2.14) es homogenea si

M(tx, ty) = tαM(x, y) y N(tx, ty) = tαN(x, y)

Ademas si M y N son funciones homogeneas de grado α, se pueden escribirtambien como

M(x, y) = xαM(1, u) y N(x, y) = xαN(1, u) donde u =y

x(2.15)

y

M(x, y) = yαM(v, 1) y N(x, y) = yαN(v, 1) donde v =x

y(2.16)

Las propiedades (2.15) y (2.16) indican las sustituciones que se puedenrealizar para resolver una ecuacion diferencial homogenea. En particular,

1Es necesario aclarar que este concepto de homogeneidad es diferente al citado en el

metodo de ecuaciones lineales.


cualquier sustitucion de la forma y = ux o x = vy, donde u y v son nuevasvariables dependientes, reducen una ecuacion homogenea a una ecuaciondiferencial de variables separables de primer orden.

Ejemplo 6. Resuelva

(y2 + yx)dx − x2dy = 0

El analisis de M(x, y) = y2 + yx y N(x, y) = −x2 muestra que estasexpresiones son funciones homogeneas de segundo grado. Se deja comoejercicio la comprobacion.

Dado que la ecuacion es homogenea, esto nos permite hacer y = ux, porla regla del producto tenemos dy = udx + xdu. Substituyendo los valoresde y y dy en el problema planteado se tiene

(u2x2 + ux2)dx − x2(udx + xdu) = 0

simplificando terminos

u2x2dx = x3du

x2dx

x3=

du

u2∫

dx

x=

∫

u−2 du

despues de la integracion tenemos

lnx = − 1

u+ c

sustituyendo de nuevo u = y/x

lnx = − 1

y/x+ c

lnx = −x

y+ c


multiplicando toda la ecuacion por y

x + y lnx = cy

quedando finalmente la solucion expresada como

y =−x

lnx + c

Si bien se puede utilizar cualquiera de las sustituciones que se indicanpara cada ecuacion diferencial homogenea, en la practica se prueba x = vysiempre que la funcion M(x, y) sea mas simple que N(x, y).

2.4.2. Ecuacion de Bernoulli

La ecuacion diferencial

dy

dx+ P (x)y = f(x)yn (2.17)

donde n es cualquier numero natural, se conoce como ecuacion de Bernou-lli. Observe que para n = 0 y n = 1 la ecuacion (2.17) es lineal. Para n > 1la sustitucion u = y1−n reduce cualquier ecuacion de la forma (2.17) a unaecuacion lineal.

Ejemplo 7. Resuelva

xdy

dx+ y = x2y2

dividiendo toda la ecuacion entre x se obtiene

dy

dx+

1

xy = xy2 (2.18)

con n = 2 tenemos u = y−1 despejando y se tiene y = u−1, derivando estetermino con respecto de x

dy

dx=

dy

du

du

dx= −u−2 du

dx


realizando las sustituciones y = u−1 y dy/dx = −u−2du/dx en (2.18),obtenemos

du

dx− 1

xu = −x (2.19)

El factor integrante para esta ecuacion lineal es (ver ecuacion (2.6))

e−R

dxx = e− ln x = elnx−1

= x−1

al multiplicar por el factor integrante a (2.19)

d

dx[x−1u] = −1

y finalmente integrando ambos lados de la ecuacion se obtiene x−1u =−x + c o u = −x2 + cx. Como u = y−1 se tiene y = 1/u, por consiguientela solucion de la ecuacion (2.18) es

y =1

x(c − x)

2.4.3. Reduccion a separacion de variables

Una ecuacion diferencial de la forma

dy

dx= f(Ax + By + C)

donde A, B y C son constantes reales, se reduce siempre a una ecuacioncon variables separables por medio de la sustitucion u = Ax + By + C,B 6= 0.

Ejemplo 8. Resuelva

dy

dx= (−2x + y)2 − 7

Si se define u = −2x + y, entonces

du

dx= −2 +

dy

dx


y, por consiguiente la ecuacion diferencial se transforma en

du

dx+ 2 = u2 − 7 o bien

du

dx= u2 − 9

La ultima ecuacion es separable lo cual resulta en

du

u2 − 9= dx (2.20)

Observemos que el denominador del lado izquierdo de (2.20) se puedefactorizar como una diferencia de cuadrados, por lo que podemos utilizarfracciones parciales (ver apendice C) es decir

1

u2 − 9=

1

(u − 3)(u + 3)=

1

6(u − 3)− 1

6(u + 3)(2.21)

Por lo tanto, sustituyendo el lado derecho de (2.21) en (2.20) resulta

1

6

[

1

u − 3− 1

u + 3

]

du = dx

al integrar ambos lados de la ecuacion se obtiene

1

6ln

(

u − 3

u + 3

)

= x + c

aplicando propiedades de los logaritmos naturales

u − 3

u + 3= e6x+6c

sustituyendo e6c por c, se obtiene

u − 3

u + 3= ce6x

Al despejar u de la ultima ecuacion

u = 31 + ce6x

1 − ce6x


y finalmente volviendo a sustituir u = −2x + y se obtiene la solucionexplıcita

y = 2x + 31 + ce6x

1 − ce6x

Ejercicios

En los problemas del 1-10 resuelva cada una de las ecuaciones con la sus-titucion apropiada.

1. (x − y)dx + xdy = 0

2. (x + y)dx + xdy = 0

3. xdx + (y − 2x)dy = 0

4. ydx = 2(x + y)dy

5. (y2 + yx)dx − x2dy = 0

6. (y2 + yx)dx + x2dy = 0

7. dydx

= y−xy+x

8. dydx

= x+3y3x+y

9. −ydx + (x +√

xy)dy = 0

10. x dydx

− y =√

x2 + y2

2.5. Circuito RL serie

Para el circuito resistivo-inductivo (RL) en serie de la figura 2.2 se deseadeterminar las expresiones para la corriente i(t), la diferencia de potencialen la resistencia vR(t) y la diferencia de potencial en el inductor vL(t). Lasegunda ley de Kirchoff establece que la suma de la caıda de voltaje en elresistor y la caıda de voltaje en el inductor es igual al voltaje aplicado V

2.5. CIRCUITO RL SERIE 45

v (t)R

v (t)L

i(t)

V

Figura 2.2: Circuito RL serie.

en el circuitoV = vR(t) + vL(t)

De esta manera, podemos obtener la ecuacion diferencial lineal en fun-cion de la corriente i(t). Empleando la ley de Ohm y la ley de induccionde Faraday obtenemos

V = Ri + Ldi

dt(2.22)

donde R y L son constantes que se conocen como la resistencia y la in-ductancia, respectivamente. La corriente i(t) se conoce tambien como larespuesta transitoria del sistema.

Reordenando terminos en (2.22)

di

dt+

R

Li =

V

L

de la seccion 2.2.1 podemos observar que tenemos una ecuacion diferenciallineal no homogenea de primer orden, la cual se presenta en la formaestandar. P (t) = R

Ly por lo tanto, el factor integrante es e

R

RL

dt, al integrar

se obtiene eRL

t. Multiplicando (2.22) por el factor integrante se obtiene

eRL

t di

dt+

R

Lie

RL

t =V

Le

RL

t (2.23)


Como sabemos de la seccion 2.2.2 el lado izquierdo de (2.23) es igualal diferencial del producto del factor integrante con i

d(

eRL

ti)

=V

Le

RL

t

integrando ambos lados de la ecuacion tenemos∫

d(

eRL

ti)

=V

L

∫

eRL

t dt

eRL

ti =

(

V

L

)(

L

R

)

eRL

t + c

eRL

ti =V

Re

RL

t + c

Finalmente, dividiendo toda la ecuacion por el termino eRL

t, obtenemos lasolucion de la ecuacion diferencial, es decir, la ecuacion que determina lacorriente del circuito RL serie

i =V

R+ ce−

RL

t (2.24)

Ahora con la finalidad de determinar el valor de la constante arbitrariac, se indica la corriente inicial al tiempo t = 0. Esto funciona como unacondicion inicial para (2.24).

Por condiciones de continuidad, se conoce que la corriente en el induc-tor y en consecuencia la del presente circuito, no puede variar en formadiscontinua, es decir

i(0−) = i(0) = i(0+)

y por condiciones inicialesi(0) = I0

por lo tanto, en la ecuacion (2.24) se hace i(t = 0) = I0, obteniendo

I0 =V

R+ c

c = I0 −V

R

2.5. CIRCUITO RL SERIE 47

sustituyendo el valor de c en la ecuacion (2.24)

i =V

R+

(

I0 −V

R

)

e−RL

t (2.25)

La ecuacion (2.25) es la solucion particular de la ecuacion diferencial. Aho-ra vL(t) puede encontrarse aplicando a la ecuacion (2.25) lo siguiente

vL(t) = Ldi

dt

vL(t) =

[(

−R

L

)(

I0 −V

R

)

e−RL

t

]

L

vL(t) = (V − RI0)e−R

Lt

y para determinar el voltaje en la resistencia se tiene

vR(t) = Ri

vR(t) = V + (RI0 − V )e−RL

t

Considerando una fuente de alimentacion V = 10 Volts, una resistenciaR = 120 Ω y una inductancia L = 0.5 H . ¿Cual es la curva solucion de lacorriente i(t)? En t = 0 se tiene una corriente inicial I0 = 0. Sustituyendoestos valores en (2.25), tenemos

i(t) =10

120+

(

0 − 10

120

)

e−1200.5

t

i(t) =1

12− 1

12e−240t

En la figura 2.3 se puede observar la grafica para la corriente i(t) delcircuito RL serie en funcion del tiempo.

Observe que debido a la presencia del inductor, la corriente sera nulapara t = 0 y en consecuencia la diferencia de potencial en la resistenciasera cero, por lo tanto el inductor debe soportar ıntegramente la diferencia


t s0 0.005 0.010 0.015 0.020

i (A)

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Figura 2.3: Corriente i(t) del circuito RL serie en funcion del tiempo.

de potencial de la fuente de alimentacion. Posteriormente la corriente al-canzara en forma gradual su valor estacionario, aumentando la diferenciade potencial en la resistencia y disminuyendo la del inductor en la mismaproporcion.

Capıtulo 3Ecuaciones Lineales de Orden

Superior

Una vez que hemos considerado ecuaciones ordinarias de primer orden,naturalmente el siguiente paso es analizar ecuaciones de orden superior.Las ecuaciones de orden superior, en particular de segundo orden, tienenuna gran variedad de aplicaciones en distintas ramas de la ciencia: fısica,quımica, biologıa, mecanica, ingenierıas, etc. En este capıtulo, mostraremoslos metodos de solucion mas comunes en la teorıa de ecuaciones ordinariasde orden superior. Primeramente es necesario establecer algunos conceptosque son fundamentales para entender mejor la forma de las solucionesque encontraremos mas adelante. Los metodos que se exponen en estaseccion son analıticos, sin embargo, en el ultimo capıtulo se abordaranmetodos de solucion de aproximacion numerica que tambien resultan sermuy poderosos en la practica segun si se trata de una ecuacion muy difıcilde resolver analıticamente.

49

50 CAPITULO 3. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

3.1. Nociones basicas

Indudablemente el algebra lineal es una de las herramientas matemati-cas que mas aplicaciones ha tenido dentro del campo de la misma ma-tematica ası como de otras disciplinas aplicadas. Un claro ejemplo estarelacionado con la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias, donde seutilizan algunos conceptos como espacio vectorial, dependencia e indepen-dencia lineal, producto interior, entre otros. En particular en el caso deecuaciones de orden superior, tales conceptos son imprescindibles y son losque a continuacion se describen.

Independencia Lineal. Sea S = y0(x), y1(x), . . . , yn(x) un conjunto defunciones definidas sobre algun intervalo I en los numeros reales, entoncesse dice que S es linealmente independiente si en la ecuacion

c0y0(x) + c1y1(x) + · · · + cnyn(x) = 0

las constantes c0 = c1 = · · · = cn = 0 necesariamente son nulas parasatisfacer la relacion anterior. Por el contrario si resulta que alguna de ellases ci 6= 0, i = 0, . . . , n entonces se dice que el conjunto S es linealmentedependiente.

Ejemplo 1. Las funciones

cos 2x, cos2 x, sen2 x

, son linealmente depen-dientes ya que si hacemos

y0(x) = cos 2x, y1(x) = cos2 x, y2(x) = sen2 x

entonces

y0(x) − y1(x) + y2(x) = 0

donde hemos usado la identidad cos 2x = cos2 x − sen2 x. Por lo que c0 =1, c1 = −1, c2 = 1, y el conjunto es linealmente dependiente.

Ejemplo 2. Las funciones

1, x, x2

son linealmente independientes entodo el eje real (para cualquier valor de x), y denotemos como

y0(x) = 1, y1(x) = x, y2(x) = x2

3.1. NOCIONES BASICAS 51

supongamos que no fuesen linealmente independientes entonces podrıamosexpresar a

y2(x) = ay0(x) + by1(x) (3.1)

sustituyendox2 = a + bx

o bienx2 − bx − a = 0 (3.2)

identicamente para cualquier valor de x, sin embargo, vemos que no es ası,dado que la expresion (3.2) tiene a lo mucho dos raıces, por lo tanto existeuna contradiccion, y precisamente las funciones

1, x, x2

son linealmenteindependientes, es decir, para que se cumpla

c0y0(x) + c1y1(x) + c2y2(x) = 0

c0 = c1 = c2 = 0. En (3.1) se pueden usar combinaciones equivalentes de laforma y1(x) = cy2(x)+dy0(x) y y0(x) = ey1(x)+ fy2(x), donde a, b, . . . , fson constantes arbitrarias.

Ejemplo 3. Las funciones√

t + 5,√

t + 5t, t− 1, t2

, definidas en el in-tervalo (0,∞) son linealmente dependientes ya que si hacemos

y0(t) =√

t + 5, y1(t) =√

t + 5t, y2(t) = t − 1, y3(t) = t2

entonces al formar la combinacion lineal

y1(x) − y0(x) − 5y2(x) − 0 · y3(x) = 0

las constantes son: c0 = 1, c1 = −1, c2 = −5, c3 = 0 para satisfacer laigualdad a cero y el conjunto es linealmente dependiente.

Notemos que si el conjunto S es linealmente dependiente entonces al-guna funcion yi(x) se puede expresar como combinacion lineal de las otrasfunciones del conjunto.

Precisamente el algebra lineal nos da una explicacion de este hecho. Enrealidad, podemos considerar a cada funcion yi(x) como si fuese algun vec-tor de un espacio vectorial V , solo que en este caso dicho espacio vectorial


es algo mas abstracto que un espacio euclideano tridimensional, dado quelos vectores ahora son funciones. Si el conjunto S es linealmente indepen-diente entonces tales vectores (funciones) forman una base para el espacioy generan al espacio, y cualquier otra funcion en el espacio V se puedeexpresar como combinacion lineal de los vectores base. Esta simple ideaexpuesta anteriormente es muy importante y muy poderosa en matemati-cas ya que se puede aplicar a sistemas lineales de muchas disciplinas comofısica, quımica, biologıa e ingenierıas. Los comportamientos lineales sonuna muy buena aproximacion al fenomeno que se esta estudiando. Esto asu vez, nos permite definir el principio de superposicion el cual se puedeexpresar en la forma que sigue.

Sea una ecuacion de la forma (1.5) y su respectiva ecuacion homogeneaasociada dada por

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = 0 (3.3)

y sean a0(x), a1(x), . . . , an(x), g(x) funciones continuas definidas sobre algunintervalo I de los numeros reales, con la restriccion de que an(x) 6= 0 eneste intervalo. Existe un conjunto de n funciones que son soluciones de(3.3) y son linealmente independientes sobre el intervalo dado (vease [6]).

Si y0(x), y1(x), . . . , yn(x) es el conjunto solucion de funciones enton-ces

y = c0y0(x) + c1y1(x) + · · · + cnyn(x) (3.4)

donde y es la solucion complementaria de (3.3).

Si la funcion g(x) 6= 0 en (1.5), entonces se puede encontrar una solu-cion particular yp. Para encontrar una solucion particular yp se conocenvarios metodos analıticos, mismos que abordaremos mas adelante. Si yp

es una solucion particular de (1.5) y la solucion (3.4) satisface a (3.3),entonces la combinacion

y = yp + c0y0(x) + c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cnyn(x) (3.5)

se conoce como la solucion general completa de (1.5).


Si se tiene el caso en que la parte no homogenea de (1.5) tiene la forma

g(x) = g0(x) + g1(x) + · · · + gk(x) (3.6)

es decir, g(x) es una combinacion de funciones continuas definidas en elmismo intervalo I, entonces se tiene que la solucion particular esta dadapor

yp = yp0(x) + yp1(x) + yp2(x) + · · · + ypk(x) (3.7)

donde cada una de las ypi(x), i = 0, . . . , k satisface la correspondienteecuacion no homogenea

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = gi(x)

entonces finalmente la solucion general completa a la ecuacion (1.5) con(3.6) viene dada por

y(x) = c0y0(x) + c1y1(x) + c2y2(x) + · · · + cnyn(x)

+ yp0(x) + yp1(x) + yp2(x) + · · · + ypk(x)

o expresada en forma compacta

y(x) =n∑

i=0

ciyi(x) +k∑

i=0

ypi(x)

Sin embargo, aun cuando sabemos que existe un conjunto de solucionespara la ecuacion (3.3), estas no necesariamente son independientes. Paradeterminar si algun conjunto es linealmente independiente existe un cri-terio matematico llamado Wronskiano, que puede ser muy util en variasocasiones.

Sea S = y0(x), y1(x), . . . , yn(x) un conjunto de funciones que sonsoluciones de la ecuacion (3.3) en el intervalo I. Entonces S es un conjuntolinealmente independiente sobre el intervalo I si y solo si W (x) 6= 0, donde


W (x) es el determinante Wronskiano dado por

W (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y0(x) y1(x) y2(x) · · · yn(x)y′0(x) y′

1(x) y′2(x) · · · y′

n(x)y′′0 (x) y′′

1 (x) y′′2 (x) · · · y′′

n(x)...

......

......

yn−10 (x) yn−1

1 (x) yn−12 (x) · · · yn−1

n (x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y las expresiones yn−1i (x) representan las derivadas de orden n − 1 de la

funcion i-esima (vease el Apendice A).

Ejemplo 4. Sea la ecuacion y′′′−y′′−y′+y = 0 y las funciones ex, e−x, coshx.Primero verifiquemos que son soluciones de la ecuacion. Sea ex, haciendoel calculo respectivo

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0

(ex)′′′ − (ex)

′′ − (ex)′+ (ex) = 0

ex − ex − ex + ex = 0

por lo que ex es solucion de la ecuacion. Similarmente para e−x

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0(

e−x)′′′ −

(

e−x)′′ −

(

e−x)′

+(

e−x)

= 0

−e−x − e−x + e−x + e−x = 0

(−2 + 2) e−x = 0

tambien e−x es solucion de la ecuacion. Y finalmente coshx

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0

(coshx)′′′ − (coshx)

′′ − (coshx)′+ (coshx) = 0

senh x − coshx − senh x + cosh = 0

senh x − senh x − coshx + cosh = 0


tambien es solucion de la ecuacion. Ahora verifiquemos si las tres funcio-nes forman un conjunto linealmente independiente, para ello calculemos elWronskiano en la forma

W (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y0(x) y1(x) y2(x)y′0(x) y′

1(x) y′2(x)

y′′0 (x) y′′

1 (x) y′′2 (x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

es decir

W (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ex e−x coshxex −e−x senhxex e−x coshx

∣

∣

∣

∣

∣

∣

calculando el determinante

W (x) = ex(

−e−x coshx − e−x senh x)

− e−x (ex coshx − ex senh x)

+ coshx(

exe−x − ex(

−e−x))

simplificando terminos

W (x) = −2 coshx + 2 coshx − senh x + senhx = 0

Concluimos que el conjunto ex, e−x, coshx es linealmente dependiente.

Ejemplo 5. Sea la misma ecuacion y′′′ − y′′ − y′ + y = 0 pero ahorausemos el conjunto ex, e−x, xex, verifiquemos si realmente es linealmenteindependiente.

Sabemos que las funciones ex, e−x si son soluciones de la ecuacion, comolo hemos comprobado del ejemplo anterior. Comprobemos solo para xex

y′′′ − y′′ − y′ + y = 0

(xex)′′′ − (xex)

′′ − (xex)′+ (xex) = 0

(3ex + xex) − (2ex + xex) − (ex + xex) + xex = 0

3ex − 3ex − 2xex + 2xex = 0


vemos que tambien es solucion de la ecuacion, falta verificar si el conjuntoes linealmente independiente. Calculemos el Wronskiano

W (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ex e−x xex

ex −e−x ex + xex

ex e−x 2ex + xex

∣

∣

∣

∣

∣

∣

desarrollando el determinante

W (x) = ex(

−e−x (2ex + xex) − e−x (ex + xex))

− e−x (ex (2ex + xex) − ex (ex + xex))

+ (xex)(

exe−x − ex(

−e−x))

simplificando terminos obtenemos

W (x) = −4ex 6= 0, ∀ x ∈ ℜ

por lo que el conjunto es linealmente independiente.

Los dos ejemplos anteriores muestran que podemos tener un conjun-to solucion de la ecuacion diferencial, pero el Wronskiano es el que nosgarantiza que tal conjunto sea un conjunto linealmente independiente.

Ejemplo 6. Sea la ecuacion y′′ + y = 0 y sean las funciones cosx, sen xverifiquemos que realmente son soluciones de la ecuacion. Para la funcioncosx se tiene

y′′ + y = 0

(cosx)′′

+ cosx = 0

− cosx + cosx = 0

similarmente para senx

y′′ + y = 0

(senx)′′ + sen x = 0

− senx + sen x = 0


finalmente veamos si ambas funciones forman un conjunto linealmente in-dependiente. Calculemos el Wronskiano

W (x) =

∣

∣

∣

∣

cosx senx− senx cosx

∣

∣

∣

∣

= cos2 x + sen2 x = 1 6= 0

aquı hemos utilizado la identidad cos2 x + sen2 x = 1. Por lo tanto, lasfunciones cosx, sen x son linealmente independientes.

Principio de superposicion. La ecuacion (1.5) se puede reescribir comosigue(

an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ · · · + a1(x)

d

dx+ a0(x)

)

y = g(x) (3.8)

a la parte entre parentesis se le denomina operador diferencial (lineal), yse suele denotar como

L = an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ · · · + a1(x)

d

dx+ a0(x) (3.9)

estrictamente las derivadas por sı solas no poseen ningun sentido, sin em-bargo, “actuan” sobre la funcion y de tal manera que el operador se puededefinir en forma abstracta.

El operador (3.9) se denomina operador general lineal de orden n-esimoy con esta definicion la ecuacion (3.8) se puede reescribir como

L(y) = g (3.10)

Ejemplo 7. Las derivadas en (3.9), se aplican o “actuan” sobre la funciony transformandola y produciendo una nueva funcion. Sea por ejemplo y =2x3 + senx, y apliquemos el operador diferencial definido por D = d

dxlo

que resulta en

Dy =dy

dx

=d(

2x3 + senx)

dx

= 6x2 + cosx


Ejemplo 8. Sea la funcion y = x3 − 4x2 + 2e2x aplicamos el operador

diferencial definido por D2 − 2D = d2

dx2 − 2 ddx

lo que resulta en

(

D2 − 2D)

y =

(

d2

dx2− 2

d

dx

)

y (3.11)

=d2y

dx2− 2

dy

dx(3.12)

=d2(

x3 − 4x2 + 2e2x)

dx2− 2

d(

x3 − 4x2 + 2e2x)

dx

= 6x − 8 + 8e2x − 2(

3x2 − 8x + 4e2x)

= −23x2 + 22x − 8

Ejemplo 9. Sea la funcion y = x3 − 3x + sen x, apliquemos el operador

diferencial definido por D2 − 2xD + 1 = d2

dx2 − 2x ddx

+ 1 lo que resulta en

(

D2 − 2xD + 1)

y =

(

d2

dx2− 2x

d

dx+ 1

)

y

=d2y

dx2− 2x

dy

dx+ y (3.13)

=d2(

x3 − 3x + senx)

dx2− 2x

d(

x3 − 3x + sen x)

dx

+ x3 − 3x + sen x

= −5x3 + 9x − 2x cosx

Se debe tener mucho cuidado en este ultimo ejemplo de no conmutar laforma del operador, en el segundo termino del operador diferencial (3.13)aparece una funcion de x como coeficiente de la derivada. En este casopara no cometer un error, el operador debe actuar siempre a la derechasobre y, es decir

−2xD 6= −2Dx (3.14)

3.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 59

explıcitamente al aplicar sobre y, se obtiene

−2xD (y) 6= −2D (xy)

−2xD(

x3 − 3x + senx)

6= −2D(

x(

x3 − 3x + senx))

−2xd

dx

(

x3 − 3x + senx)

6= −2d

dx

(

x(

x3 − 3x + sen x))

−2x(

3x2 − 3 + cosx)

6= −2d

dx

(

x4 − 3x2 + x sen x)

−6x3 + 6x − 2x cosx 6= −8x3 + 12x − 2 senx − 2x cosx

Asimismo, en (3.12) y (3.13) podemos notar la similitud que tienenestas expresiones con una ecuacion diferencial solo que aquı, en contraste,se asume que la funcion y es conocida.

De la ecuacion (3.10) se observa que si y0(x), y1(x), . . . , yn(x) son so-luciones de la respectiva ecuacion homogenea con g = 0, entonces L(y0) =0, L(y1) = 0, . . . , L(yn) = 0, por lo tanto se deduce de (3.4) que tambien

L (c0y0(x) + c1y1(x) + · · · + cnyn(x)) = 0 (3.15)

se satisface para cualesquiera constantes c0, c1, . . . , cn .

Ademas, si y = yp es una solucion de la ecuacion no homogenea L(yp) =g, entonces de la ecuacion (3.15) y del hecho de que L es un operador lineal

L (yp + c0y0(x) + c1y1(x) + · · · + cnyn(x)) = g

entonces y = yp +c0y0(x)+c1y1(x)+ · · ·+cnyn(x) tambien es una solucionde la ecuacion, este es el llamado principio de superposicion.

3.2. Ecuaciones homogeneas

En esta seccion tratamos ecuaciones con coeficientes constantes del tipohomogeneas. Consideremos la siguiente ecuacion

y′ = y (3.16)


una solucion serıa aquella cuya derivada es igual a sı misma; por inspeccionsabemos que la derivada de la funcion exponencial es ella misma y = ex.

Analicemos una vez mas, una ecuacion en la forma

y′′ = y (3.17)

tambien la funcion exponencial y = ex satisface la ecuacion y similarmentepara la ecuacion

yn = y (3.18)

¿Cual es la diferencia entre las expresiones (3.16-3.18)? Sabemos que po-seen la misma solucion pero notemos que solamente se trata de una delas soluciones, es decir, para el caso de la ecuacion (3.18) de orden n setiene solamente una solucion de las n−1 soluciones. Por lo tanto, debemosbuscar todo un conjunto de soluciones que satisfagan la ecuacion y queademas sean linealmente independientes.

Suponiendo que se tiene una ecuacion de la forma (3.3) en la cual loscoeficientes an (x) , an−1 (x) , . . . , a1 (x) , a0 (x) son constantes pertenecien-tes a los numeros reales, con an 6= 0 entonces propongamos una solucionen la forma y = erx, sustituyendo en (3.3)

an

dn (erx)

dxn+ an−1

dn−1 (erx)

dxn−1+ · · · + a1

d (erx)

dx+ a0 (erx) = 0

resultaanrnerx + an−1r

n−1erx + · · · + a1rerx + a0e

rx = 0

la expresion en el primer miembro de la ecuacion anterior se puede escribiren la forma

(

anrn + an−1rn−1 + · · · + a1r + a0

)

erx = f(r)erx

dondef(r) = anrn + an−1r

n−1 + · · · + a1r + a0 (3.19)

podemos observar que se obtiene un polinomio en r de grado n con coefi-cientes constantes reales. A la expresion (3.19) se le conoce como polinomio


caracterıstico de la ecuacion. Notemos que la funcion erx posee n solucio-nes a la ecuacion diferencial, correspondientes a cada una de las n raıcesde r en el polinomio caracterıstico

anrn + an−1rn−1 + · · · + a1r + a0 = 0 (3.20)

La ecuacion (3.20) posee n-raıces, entonces sı

k raıces son reales y distintas; las soluciones para las k raıces r1, r2, . . . , rk

seran de la forma

yi = erix i = 1, 2, . . . , k

p raıces son reales y cada una tiene multiplicidad qj , j = k + 1, k +2, . . . , p (entendemos como una raız j−esima con multiplicidad qj

como aquella que se repite qj veces precisamente en (3.20)); las so-luciones para las p raıces rk+1, rk+2, . . . , rp seran de la forma

yj1 = erjx, yj

2 = xerjx, . . . , yjqj

= xqj−1erjx (3.21)

con j = k + 1, k + 2, . . . , p

s raıces son complejas de la forma a + ib; las soluciones para las sraıces complejas

rp+1 = ap+1 + ibp+1, rp+2 = ap+2 + ibp+2, . . . , rp = ap + ibp

seran

yj = eajx cos bjx, y∗j = eajx sen bjx

con j = p + 1, p + 2, . . . , s para cada par a + ib

y t raıces son complejas con multiplicidad vl; las soluciones para last raıces complejas

rs+1 = as+1 + ibs+1, rs+2 = as+2 + ibs+2, . . . , rt = at + ibt


cada una con multiplicidad vl seran

yl1 = ealx cos blx, yl

1 = ealx sen blx (3.22)

yl2 = ealxx cos blx, yl

2 = ealxx sen blx

...

ylv = ealxxv−1 cos blx, yl

2 = ealxxv−1 sen blx

con l = s + 1, s + 2, . . . , t para cada par a + ib.

A partir de la clasificacion anterior, la solucion general de la ecuacion(3.3) es

y =

k∑

i=1

c1i e

rix +

p∑

i=k+1

qi∑

m=1

c2i x

m−1erix

+

s∑

i=p+1

(

c3i e

aix sen bix + c4i e

aix cos bix)

+

t∑

i=s+1

vi∑

m=1

(

c5i e

aixxm−1 sen bix + c6i e

aixxm−1 cos bix)

con la restriccion de que

k + p + s + t = n (3.23)

Es importante mencionar que el polinomio (3.20) puede tener exclusi-vamente raıces de uno solo de los casos considerados, es decir 0 ≤ k ≤ n,0 ≤ p ≤ n, 0 ≤ s ≤ n y 0 ≤ t ≤ n. siempre respetando la restriccion (3.23).

Para ilustrar el metodo resolvamos algunos ejercicios.

Ejemplo 10. Resuelva la ecuacion y′′ + y = 0. Se trata de una ecuaciondiferencial de segundo orden con coeficientes constantes, por lo tanto sepropone una solucion de la forma y = erx sustituyendo en la ecuacion nos


queda

(erx)′′

+ (erx) = 0

r2erx + erx = 0(

r2 + 1)

erx = 0

por lo que el polinomio caracterıstico es r2 + 1 = 0. Este polinomio poseedos raıces complejas y distintas r = ±

√−1 = ±i, entonces la solucion es

y(x) = c1e+ix + c2e

−ix (3.24)

podemos ver que la solucion se expresa como exponenciales complejas. Esposible cambiar de notacion a funciones trigonometricas haciendo uso dela identidad de Euler

e±ix = cosx ± i senx

sustituyendo en (3.24)

y(x) = c1 (cosx + i senx) + c2 (cosx − i senx)

obtenemos

y(x) = c′1 cosx + c′2 senx

donde c′1 = c1 + c2, c′2 = i (c1 − c2). Podemos utilizar c1 y c2 en lugar de

c′1, c′2 debido a que siguen siendo constantes arbitrarias

y(x) = c1 cosx + c2 senx

esto concuerda con la expresion (3.22), haciendo r1 = +i, r2 = −i y tene-mos para r1: a1 = 0, b1 = 1 y para r2: a2 = 0, b2 = −1

y1 = cosx, y∗1 = sen x

y2 = cosx, y∗2 = − senx

donde y1, y2 corresponden a la parte real de la solucion, y y∗1 , y∗

2 conformanla parte imaginaria.


Ejemplo 11. Sea la ecuacion y′′ − y = 0. Nuevamente se trata de unaecuacion de segundo orden con coeficientes constantes, por lo tanto sepropone la solucion de la forma y = erx, y el polinomio caracterıstico esr2 − 1 = 0, cuyas raıces son r = ±1, por lo tanto la solucion generalbuscada es de la forma

y(x) = c1ex + c2e

−x

donde c1, c2 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 12. Sea la ecuacion y′′′ − y′′ + y′ − y = 0. Se trata de unaecuacion de tercer orden con coeficientes constantes, directamente vemosque el polinomio caracterıstico es

r3 − r2 + r − 1 = 0

mismo que se puede factorizar en la forma(

r2 + 1)

(r − 1) = 0, y cuyasraıces son r = 1, +i,−i, por lo tanto la solucion general buscada es

y(x) = c1ex + c2e

+ix + c3e−ix

o en forma alternativa

y(x) = c1ex + c2 cosx + c3 sen x

donde ci3i=1 son constantes arbitrarias.

Ejemplo 13. Sea la ecuacion y′′ + y′ + y = 0. Se trata de una ecuacion desegundo orden con coeficientes constantes, el polinomio caracterıstico es

r2 + r + 1 = 0

haciendo uso de la formula cuadratica general tenemos que las raıces son

r1,2 =−1 ±

√1 − 4

2

o bien

r1 = −1

2

(

1 + i√

3)

, r2 = −1

2

(

1 − i√

3)


haciendo uso de (3.22)

y(x) = c1e− x

2 cos

(√3

2x

)

+ c2e−x

2 sen

(√3

2x

)

factorizando

y(x) = e−x2

(

c1 cos

(√3

2x

)

+ c2 sen

(√3

2x

))

Ejemplo 14. Sea la ecuacion

d6y

dx6+ 8

d4y

dx4+ 16

d2y

dx2= 0

Se trata de una ecuacion de sexto orden con coeficientes constantes, elpolinomio caracterıstico es

r6 + 8r4 + r2 = 0

podemos factorizar esta expresion en la forma r2(

r2 + 4)2

= rr(

r2 + 4)

(

r2 + 4)

= 0. Las raıces son 0, +i2,−i2 y cada una se repite dos vecesentonces aplicando las definiciones (3.21),(3.22) se tiene por solucion

y(x) = c1 + c2x + c3 cos 2x + c4 sen 2x + c5x cos 2x + c6x sen 2x

notemos que segun el orden de la derivada mayor en la ecuacion diferen-cial, corresponde precisamente con el numero de constantes arbitrarias quesurgen en la solucion.

Ejemplo 15. Sea la ecuacion d5xdt5

= 0. Se trata de una ecuacion de quintoorden con coeficientes constantes, el polinomio caracterıstico es r5 = 0,donde claramente la raız es 0, la cual se repite cinco veces, entonces apli-cando la definicion (3.21), la solucion es

x (t) = c1 + c2t + c3t2 + c4t

3 + c5t4


note que en este ejemplo x depende de t.


d6y

dx6+ 3

d4y

dx4+ 3

d2y

dx2+ y = 0

Se trata de una ecuacion de sexto orden con coeficientes constantes, elpolinomio caracterıstico es

r6 + 3r4 + 3r2 + 1 = 0 (3.25)

podemos factorizar esta expresion obteniendo(

r2 + 1)3

=(

r2 + 1) (

r2 + 1) (

r2 + 1)

= 0 (3.26)

las raıces son +i,−i y cada una se repite tres veces entonces aplicando ladefinicion (3.22) se tiene por solucion

y(x) = c1 cos 2x + c2 sen 2x

+ c3x cos 2x + c4x sen 2x

+ c5x2 cos 2x + c6x

2 sen 2x

Observemos que el coeficiente en (3.25) del ultimo termino del poli-nomio caracterıstico es uno. Es frecuente que el estudiante se equivoqueescribiendo cero creyendo que no existe derivada ahı y por lo tanto noescribe el monomio 1, sin embargo, esto es erroneo ya que estamos “facto-rizando” la funcion y en toda la ecuacion, es decir

d6y

dx6+ 3

d4y

dx4+ 3

d2y

dx2+ y = D6y + 3D4y + 3D2y + 1y (3.27)

=(

D6 + 3D4 + 3D2 + 1)

y (3.28)

donde D = ddx

.

En esta seccion estudiamos las ecuaciones de orden superior de tipohomogeneas con coeficientes constantes. Naturalmente, nuestro siguientepaso es abordar este mismo tipo de ecuaciones con el problema adicionalde ser no homogeneas.

3.3. ECUACIONES NO HOMOGENEAS 67

3.3. Ecuaciones no homogeneas

En el apartado anterior, analizamos que para una ecuacion lineal ho-mogenea siempre se conoce la solucion complementaria, en virtud de poderencontrar las raıces del polinomio caracterıstico. Sin embargo, no siemprees posible determinar las raıces de los polinomios caracterısticos analıtica-mente, en cuyo caso se recurre a metodos numericos aproximados.

Recordemos que una ecuacion de la forma (1.5) posee dos soluciones,una que resulta de resolver la ecuacion homogenea (3.3), de donde se ob-tiene una solucion complementaria, vease (3.4) y otra que se obtiene deresolver la ecuacion (1.5) no homogenea, que se conoce como solucion par-ticular yp. En esta seccion, pondremos nuestra atencion en cuatro metodospara encontrar una solucion particular yp para la ecuacion (1.5).

3.3.1. Variacion de parametros

El metodo de variacion de parametros, es aplicable a ecuaciones di-ferenciales que tienen coeficientes constantes o variables, no obstante, esindispensable conocer la solucion complementaria a la ecuacion diferencialhomogenea asociada.

Sea una ecuacion general de orden n y supondremos que existen fun-ciones a0(x), a1(x), . . . , an(x), g(x) definidas en algun intervalo I, con larestriccion an(x) 6= 0 en ese intervalo. Y supondremos ademas, que la ex-presion (3.4) es una solucion para la ecuacion (1.5), donde las funcionesy0(x), y1(x), . . . , yn(x) son conocidas.

El metodo consiste en proponer una solucion particular como combina-cion de la solucion complementaria en la que los coeficientes son variables(de ahı el termino de variacion de parametros), es decir, se propone unasolucion particular en la forma

yp(x) = c0(x)y0(x) + c1(x)y1(x) + · · · + cn(x)yn(x) (3.29)

donde los parametros c0(x), c1(x), . . . , cn(x), son tales que satisfacen el


siguiente sistema de ecuaciones

c′0(x)y0(x) + c′1(x)y1(x) + · · · + c′n(x)yn(x) = 0 (3.30)

c′0(x)y′0(x) + c′1(x)y′

1(x) + · · · + c′n(x)y′n(x) = 0 (3.31)

c′0(x)y′′0 (x) + c′1(x)y′′

1 (x) + · · · + c′n(x)y′′n(x) = 0 (3.32)

...

c′0(x)yn−10 (x) + c′1(x)yn−1

1 (x) + · · · + c′n(x)yn−1n (x) =

g(x)

a0(x)(3.33)

una vez que se resuelve el sistema para las ci(x), i = 1, . . . , n la solucionparticular queda determinada. Ilustremos el metodo con algunos ejemplos.

Ejemplo 17. Suponga que se tiene la ecuacion y′′ − y = e3x, es unaecuacion de segundo orden con coeficientes constantes no homogenea. Pri-meramente encontremos la solucion a la ecuacion homogenea, es decir, lasolucion para y′′−y = 0. Esta es y = c0e

x+c1e−x, de esta manera, ya cono-

cemos las funciones solucion para la parte homogenea, que son ex, e−x .Ahora en concordancia con las ecuaciones (3.30-3.33), escribamos el siste-ma correspondiente para una ecuacion de segundo orden

c′0(x)y0(x) + c′1(x)y1(x) = 0 (3.34)

c′0(x)y′0(x) + c′1(x)y′

1(x) =g(x)

a0(x)(3.35)

en este ejemplo y0(x) = ex, y1(x) = e−x, a0(x) = 1, g(x) = e3x, haciendolas sustituciones correspondientes obtenemos

c′0(x)ex + c′1(x)e−x = 0

c′0(x)ex − c′1(x)e−x = e3x

por lo tanto, c′0(x) = −c′1(x)e−2x, resolviendo para c1(x)(

−c′1(x)e−2x)

ex − c′1(x)e−x = e3x

c′1(x) =dc1(x)

dx= −e4x

2


ası que c1(x) = − e4x

8 , y haciendo un calculo similar para c0(x)

c′0(x) = −c′1(x)e−2x = −(

−e4x

2

)

e−2x =e2x

2

tenemos que c0(x) = e2x

4 . Finalmente la solucion es de la forma

yp(x) = c0(x)y0(x) + c1(x)y1(x)

o bien sustituyendo

yp(x) = c0(x)ex + c1(x)e−x

=e2x

4ex − e4x

8e−x =

e3x

8

yp(x) =e3x

8

recordemos que esta es tan solo una solucion particular, sin embargo, lasolucion completa a la ecuacion es

y(x) = c0ex + c1e

−x +e3x

8

Ejemplo 18. Consideremos la ecuacion y′′ + 2y′ + 2y = e5x. Es unaecuacion de segundo orden no homogenea. La solucion complementariacorrespondiente a y′′ + 2y′ + 2y = 0 es

y(x) = c1e(−1+i)x + c2e

(−1−i)x (3.36)

recordemos que la solucion corresponde a una ecuacion homogenea concoeficientes constantes, por lo que el polinomio caracterıstico serıa r2 +2r + 2 = 0, y cuyas raıces son −1 + i,−1 − i.

Aunque es comun que la solucion se exprese como funciones trigo-nometricas cuando las soluciones corresponden al caso de raıces complejas,en este ejemplo, siendo g(x) = e5x, resulta mas conveniente trabajar conlas funciones en la forma (3.36).


Tenemos nuevamente una ecuacion de segundo orden y el sistema co-rresponde a las ecuaciones (3.34), (3.35), donde y0(x) = e(−1+i)x, y1(x) =e(−1−i)x, Q(x)= e5x, a0(x) = 1. Sustituyendo obtenemos

c′0(x)e(−1+i)x + c′1(x)e(−1−i)x = 0

c′0(x) (−1 + i) e(−1+i)x + c′1(x) (−1 − i) e(−1−i)x = e5x

entonces se tiene c′0(x) = −c′1(x)e−2ix

c′1(x)e(−1−i)x (−2i) = e5x

c′1(x) =i

2e(6+i)x

por lo tanto c1(x) = i2(6+i)e

(6+i)x, similarmente c′0(x) = − i2(6−i)e

(6−i)x, y

sustituyendo en la expresion yp(x) = c0(x)y0(x) + c1(x)y1(x), se tiene

yp(x) = − i

2 (6 − i)e(6−i)xe(−1+i)x +

i

2 (6 + i)e(6+i)xe(−1−i)x

simplificando

yp(x) =e5x

37

esta es la solucion particular, y la solucion completa a la ecuacion es

y(x) = c1e(−1+i)x + c2e

(−1−i)x +e5x

37

o bien

y(x) = c1e−x cosx + c2e

−x sen x +e5x

37

Ejemplo 19. Consideremos la ecuacion x2y′′ − 2xy′ + 2y = x3. Es unaecuacion de segundo orden no homogenea, con coeficientes variables. Lasolucion complementaria correspondiente a x2y′′ − 2xy′ + 2y = 0 es

y(x) = c0x + c1x2


En este caso se tiene una ecuacion de Euler cuya solucion es de la formay(x) = xm. En general a una expresion del tipo a0x

nyn + · · ·+ an−1xy′ +any = g(x), se le conoce como ecuacion de Euler, donde a0, . . . , an−1, an,son constantes. En este libro, no abundaremos en la deduccion de la solu-cion complementaria para la ecuacion de Euler, simplemente supondremosque es conocida, como lo requiere el metodo en cuestion.

Nuevamente se trata de una ecuacion de segundo orden por lo queutilizaremos el sistema de ecuaciones (3.34), (3.35) en este caso y0(x) =x, y1(x) = x2, g(x) = x3, a0(x) = x2, sustituyendo obtenemos

c′0(x)x + c′1(x)x2 = 0

c′0(x) + c′1(x)2x = x

despejando c′0(x) = −c′1(x)x y sustituyendo en la otra ecuacion para c′0

−c′1(x)x + c′1(x)2x = x

c′1(x) = 1

por lo que c1(x) = x, y c0(x) = −x2

2 y la solucion particular queda

yp(x) = −x2

2x + xx2 =

x3

2

y la solucion completa es

y(x) = c0x + c1x2 +

x3

2

Ejemplo 20. Consideremos la ecuacion y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = e4x. Esuna ecuacion de tercer grado con coeficientes constantes por lo que laecuacion homogenea asociada es y′′′ − 6y′′ + 11y′− 6y = 0 y cuya solucioncomplementaria es

y(x) = c0ex + c1e

2x + c2e3x


ya que el polinomio caracterıstico se puede factorizar como r3−6r2+11r−6 = (r − 1) (r − 2) (r − 3) = 0 donde las raıces son r = 1, 2, 3. El sistemaa resolver para los parametros viene dado por

c′0(x)y0(x) + c′1(x)y1(x) + c′2(x)y2(x) = 0

c′0(x)y′0(x) + c′1(x)y′

1(x) + c′2(x)y′2(x) = 0

c′0(x)y′′0 (x) + c′1(x)y′′

1 (x) + c′2(x)y′′2 (x) =

g(x)

a0(x)

en este caso y0(x) = ex, y1(x) = e2x, y2(x) = e3x, g(x) = e4x, a0(x) = 1,entonces el sistema de ecuaciones anterior toma la forma

c′0(x)ex + c′1(x)e2x + c′2(x)e3x = 0

c′0(x)ex + 2c′1(x)e2x + 3c′2(x)e3x = 0

c′0(x)ex + 4c′1(x)e2x + 9c′2(x)e3x = e4x

resolviendo el sistema llegamos a que c0(x) = e3x

6 , c1(x) = − e2x

2 , c2(x) = ex

2de donde

yp(x) =e4x

6

y finalmente la solucion a la ecuacion es

y(x) = c0ex + c1e

2x + c2e3x +

e4x

6

3.3.2. Coeficientes indeterminados

Nuevamente nos preocupamos por encontrar una solucion particular.A diferencia del metodo de variacion de parametros, el metodo de coefi-cientes indeterminados no implica conocer la solucion complementaria dela ecuacion homogenea asociada.

Supongamos que en la ecuacion (1.5), las funciones a0(x), . . . , an(x)son constantes, es decir a0, . . . , an no dependen de x, y que la funcion g(x)


tiene la forma

g(x) ∼ eax cos bx(

p0xm + p1x

m−1 + · · · + pm

)

+ eax sen bx(

p0xm + p1x

m−1 + · · · + pm

)

donde algunas de las constantes a, b, p0, p1, . . . , pm pudiesen ser cero. Sia ± ib no es una raız del polinomio caracterıstico (3.20) asociado a (3.3)entonces existe una solucion particular yp para la ecuacion (3.3) en formasimilar a la funcion g(x), en otras palabras

yp = eax cos bx(

k0xm + k1x

m−1 + · · · + km

)

(3.37)

+ eax sen bx(

l0xm + l1x

m−1 + · · · + lm)

donde los coeficientes k0, k1, . . . , km, l0, l1, . . . , lm, se determinan por susti-tucion de la expresion para yp en la ecuacion diferencial y estos coeficientesse escogen de manera que la ecuacion se convierta en una identidad. Siacaso a± ib es una raız compleja de multiplicidad h de la ecuacion (3.20),entonces la solucion particular yp se debe multiplicar por xh. Resolvamosalgunos ejemplos.

Ejemplo 21. Sea la ecuacion y′′ − 3y′ + 7y = 10e2x, en este caso vemosque si comparamos g(x) = 10e2x con (3.37), entonces elegimos a = 2, b =0, m = 0 con lo que yp = ke2x. Observemos ambos miembros de la ecuacional sustituir yp

y′′ − 3y′ + 7y = 10e2x

(

ke2x)′′ − 3

(

ke2x)′

+ 7(

ke2x)

= 10e2x

4ke2x − 6ke2x + 7ke2x = 10e2x

(4k − 6k + 7k) e2x = 10e2x

k · 5e2x = 2 · 5e2x

k = 2

por lo que yp = 2e2x es la solucion particular buscada. Notemos que en


este caso la solucion complementaria es

y = c1e32x cos

(√19

2x

)

+ c2e32

x sen

(√19

2x

)

ya que las raıces del polinomio caracterıstico r2 − 3r + 7 = 0, son r =32 ± i

√192 .

Y finalmente la solucion completa es

y = c1e32x cos

(√19

2x

)

+ c2e32x sen

(√19

2x

)

+ 2e2x

Ejemplo 22. Sea la ecuacion y′′−3y′ +7y = 10xe2x, comparamos g(x) =10xe2x, con (3.37), entonces elegimos, a = 2, b = 0, m = 1 por lo que lasolucion propuesta es yp = (k1x + k2) e2x. Observemos ambos miembrosde la ecuacion al sustituir yp

y′′ − 3y′ + 7y = 10xe2x

(

(k1x + k2) e2x)′′ − 3

(

(k1x + k2) e2x)′

+7 (k1x + k2) e2x = 10xe2x

(4k1x + 4k2 + 4k1) e2x − 3 (2k1x + 2k2 + k1) e2x

+7 (k1x + k2) e2x = 10xe2x

[5k1x + 5k2 + k1] e2x = 10xe2x

5k1x + 5k2 + k1 = 10x (3.38)

por lo tanto para tener una identidad en (3.38) se debe satisfacer que

5k1 = 10

5k2 + k1 = 0

o bien k1 = 2, k2 = − 25 , por lo que yp =

(

2x − 25

)

e2x es la solucionparticular buscada, y la solucion completa es

y = c1e32x cos

(√19

2x

)

+ c2e32x sen

(√19

2x

)

+

(

2x − 2

5

)

e2x


Ejemplo 23. Sea la ecuacion y′′ + 2y′ + 2y = sen 3x, en este caso g(x) =sen 3x, con (3.37), entonces elegimos, a = 0, b = 3, m = 0 por lo quela solucion particular propuesta es yp = k0 cos 3x + l0 sen 3x, observemosambos miembros de la ecuacion al sustituir yp

y′′ + 2y′ + 2y = sen 3x

(k0 cos 3x + l0 sen 3x)′′

+ 2 (k0 cos 3x + l0 sen 3x)′

+2 (k0 cos 3x + l0 sen 3x) = sen 3x

(−6k0 + 2l0 − 9l0) sen 3x

+ (6l0 + 2k0 − 9k0) cos 3x = sen 3x

(−6k0 − 7l0) sen 3x + (6l0 − 7k0) cos 3x = sen 3x (3.39)

por lo tanto para tener una identidad en (3.39) se debe satisfacer

−6k0 − 7l0 = 1

−7k0 + 6l0 = 0

resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos k0 = − 685 , l0 = − 7

85 , porlo que

yp = − 6

85cos 3x − 7

85sen 3x

es la solucion particular buscada. Y la solucion completa es

y = c1e−x cosx + c2e

−x senx − 6

85cos 3x − 7

85sen 3x

La solucion complementaria se obtiene del polinomio caracterıstico r2 +2r + 2 = 0, cuyas raıces son −1 + i,−1 − i.

Ejemplo 24. Sea la ecuacion y′′ − y = xex, comparamos g (x) = xex,con (3.37), entonces elegimos, a = 1, b = 0, m = 1 por lo que la solucionparticular propuesta es yp = (k1x + k0) ex observemos ambos miembrosde la ecuacion al sustituir yp

y′′ − y = ((k1x + k0) ex)′′ − (k1x + k0) ex

= (k1x + k0 + 2k1) ex − (k1x + k0) ex

2k1ex = xex


vemos que existe una inconsistencia dado que nos queda 2k1 = x y sabemosque x esta definida para todo un intervalo I.

Esto se debe a que el termino k0ex en la solucion particular propuesta,

coincide con la solucion correspondiente a la raız que surge del polinomiocaracterıstico para la solucion complementaria, por lo tanto esta se repiteuna vez y tiene multiplicidad h = 1, entonces debemos multiplicar por xla solucion particular propuesta

yp = x (k1x + k0) ex

o bienyp =

(

k1x2 + k0x

)

ex

nuevamente comparemos ambos miembros utilizando ahora esta solucion

y′′ − y =((

k1x2 + k0x

)

ex)′′ −

(

k1x2 + k0x

)

ex

=(

k1x2 + k0x + 2k1x + k0 + 2k1x + k0 + 2k1

)

ex

−(

k1x2 + k0x

)

ex

= (4k1x + 2 (k0 + k1)) ex

= xex

y resulta4k1x + 2 (k0 + k1) = x

de donde k1 = 14 , k0 = − 1

4 . Por lo tanto yp = xex

4 (x − 1) es la solucionparticular buscada. Finalmente la solucion completa es

y = c1ex + c2e

−x +xex

4(x − 1)

Ejemplo 25. Sea la ecuacion y′′ + y = x + 2 cosx + sen x, vemos queg (x) = x + 2 cosx + senx, comparando con (3.37), entonces elegimos,primeramente para el termino x a = 0, b = 0, m = 1 y posteriormente parael termino 2 cosx + sen x, a = 0, b = 1, m = 0 y utilizamos el principiode superposicion vease la expresion (3.7). Entonces la solucion propuesta


es yp = k′1x + k′

0 + k0 cosx + l0 sen x. Sin embargo, observemos que laforma de la solucion k0 cosx + l0 sen x tambien corresponde a la solucioncomplementaria que se obtiene de las raıces ±i del polinomio caracterısticor2 + 1 = 0. Por lo tanto, la solucion particular k0 cosx + l0 sen x tienemultiplicidad h = 1, y en ese caso es necesario multiplicar por una x, esdecir la solucion particular propuesta sera

yp = k′1x + k′

0 + x (k0 cosx + l0 senx)

realizando el mismo procedimiento como en los ejemplos anteriores obte-nemos el valor de las constantes; mas detalladamente, sustituyendo yp enla ecuacion

y′′p + yp = x + 2 cosx + sen x

resulta

k′1x + k′

0 − 2k0 senx + 2l0 cosx = x + 2 cosx + senx

de donde se obtiene k′1 = 1, k′

0 = 0, k0 = − 12 , l0 = 1, y la solucion particular

serayp = x − x cosx

2+ x sen x

y la solucion completa

y = c0 cosx + c1 senx + x − x cosx

2+ x sen x

3.3.3. Factorizacion de operadores

Habıamos mencionado anteriormente que una ecuacion lineal (1.5) sepuede escribir en la forma (3.8) donde (3.9) se le conoce como un “operadordiferencial lineal” podemos decir que a todo operador lineal de la forma

L = anDn + an−1Dn−1 + · · · + a1D + a0

donde a0, a1, . . . , an−1, an son constantes reales y Di = di

dxi , se le pone encorrespondencia un polinomio caracterıstico

f(r) = anrn + an−1rn−1 + · · · + a1r + a0


y supongamos que es posible calcular y conocer todas las raıces r0, r1, . . . , rn

del polinomio caracterıstico, entonces existe una factorizacion del polino-mio

f(r) = an (r − rn) (r − rn−1) . . . (r − r0)

y correspondientemente obtenemos para L

L = an (D − rn) (D − rn−1) . . . (D − r0)

ya que hemos pensado en D como si fuese una variable, no obstante, se de-be tener cuidado ya que esto solo es posible en el caso en que a0, a1, . . . , an

sean constantes necesariamente, si no es ası, el metodo deja de ser aplica-ble. Esto se justifica considerando nuevamente lo que ya se menciono conrespecto a la expresion (3.14).

Dicha factorizacion nos conduce a un nuevo metodo para encontrar unasolucion particular de una ecuacion no homogenea, como a continuacionilustraremos.

Ejemplo 26. Sea la ecuacion y′′− y = e−x, observemos que esta ecuacionse puede reescribir en la forma

d2y

dx2− y = e−x (3.40)

(

D2 − 1)

y = e−x

vemos que la expresion D2 − 1 se puede factorizar como una diferencia decuadrados D2 − 1 = (D − 1) (D + 1) entonces

(

D2 − 1)

y = e−x

(D − 1) (D + 1) y = e−x (3.41)

y hagamos convenientemente un cambio de variable, es decir, llamemosu = (D + 1) y, y sustituyamos en (3.41) de forma que

(D − 1)u =du

dx− u = e−x


vemos que se trata de una ecuacion lineal de primer orden en la variableu. Para resolver la ecuacion utilizamos la expresion (2.5) para ecuacioneslineales de primer orden

u = e−R

−1dx

(

c0 +

∫

eR

−1dxe−xdx

)

u = ex

(

c0 +

∫

e−xe−xdx

)

u = exc0 −1

2e−x (3.42)

haciendo la sustitucion u = (D + 1) y en (3.42) se obtiene

(D + 1) y = exc0 −1

2e−x

dy

dx+ y = exc0 −

1

2e−x

nuevamente resulta una ecuacion lineal de primer orden y utilizamos (2.5)para encontrar la solucion

y(x) = e−R

1dx

(

c1 +

∫

eR

1dx

(

exc0 −1

2e−x

)

dx

)

y(x) = e−x

(

c1 +

∫ (

e2xc0 −1

2

)

dx

)

y(x) = c1e−x +

c0

2ex − 1

2xe−x (3.43)

en cada integracion han surgido las funciones correspondientes a la solucioncomplementaria, es decir, de la solucion (3.43) la parte

yc = c1e−x +

c0

2ex

corresponde a la solucion complementaria de (3.40) por lo que la solucionparticular es

yp = −1

2xe−x



d3r

dθ3− d2r

dθ2= cos θ (3.44)

observemos que la ecuacion (3.44) se puede reescribir en la forma

(

d3

dθ3− d2

dθ2

)

r = cos θ

(

D3 − D2)

r = cos θ

donde D = ddθ

, notemos ademas que la expresion D3 −D2 se puede facto-rizar como

(

D3 − D2)

r = cos θ

D2 (D − 1) r = cos θ (3.45)

hagamos la sustitucion w = D (D − 1) r en la expresion (3.45), de talmanera que nos queda

dw

dθ= cos θ

podemos resolver esta ecuacion para la variable w por integracion directa

w =

∫

cos θdθ

cuya solucion esw = sen θ + c0 (3.46)

recuperando el cambio de variable w = D (D − 1) r sustituyamos nueva-mente en la expresion (3.46)

D (D − 1) r = sen θ + c0

y hagamos la siguiente sustitucion v = (D − 1) r de donde resulta

dv

dθ= sen θ + c0


de igual forma podemos integrar directamente

v =

∫

(sen θ + c0) dθ

o bienv = − cos θ + c0θ + c1 (3.47)

finalmente sustituimos v = (D − 1) r en (3.47)

dr

dθ− r = − cos θ + c0θ + c1

y usamos la formula (2.5)

r = e−R

(−1)dθ

(

c2 +

∫

eR

(−1)dθ (− cos θ + c0θ + c1) dθ

)

r = eθ

(

c2 +

∫

(

−e−θ cos θ + c0θe−θ + c1e

−θ)

dθ

)

r = eθc2 + eθ

∫

(

−e−θ cos θ + c0θe−θ + c1e

−θ)

dθ (3.48)

al realizar la integracion en (3.48) se obtiene

r = eθc2 − c0θ − c0 − c1 +1

2(cos θ − sen θ)

haciendo a = −c0−c1, b = −c0, c = c2 dado que son constantes arbitrariastenemos

r = a + bθ + ceθ +1


donde

rc = a + bθ + ceθ

es la solucion complementaria y

rp =1



corresponde a la solucion particular de (3.44).


d3y

dx3− 6

d2y

dx2+ 11

dy

dx− 6y = 5 (3.49)

observemos que esta ecuacion se puede reexpresar en la forma(

d3

dx3− 6

d2

dx2+ 11

d

dx− 6

)

y = 5

(

D3 − 6D2 + 11D − 6)

y = 5

donde D = ddx

, notemos que la expresion D3 − 6D2 + 11D − 6 se puedefactorizar de la siguiente manera

(

D3 − 6D2 + 11D − 6)

y = 5(

D(

D2 − 6D + 11)

− 6)

y = 5

(D (D − 3) (D − 3) + 2 (D − 3)) y = 5(

D2 − 3D + 2)

(D − 3) y = 5

(D − 1) (D − 2) (D − 3) y = 5 (3.50)

como en los ejemplos anteriores, hagamos la sustitucion w = (D − 2)(D − 3) y en (3.50), de forma tal que nos queda

(D − 1)w = 5

esta es una ecuacion lineal de primer orden

dw

dx− w = 5

que podemos resolver usando la expresion (2.5), al hacerlo la solucion quese obtiene es

w = e−R

(−1)dx

(

a0 +

∫

eR

(−1)dx5dx

)

w = ex(

a0 − 5e−x)

w = a0ex − 5 (3.51)


Recuperando el cambio de variable w = (D − 2) (D − 3) y y sustituyendolonuevamente en la ecuacion (3.51) queda

(D − 2) (D − 3) y = a0ex − 5 (3.52)

haciendo la sustitucion v = (D − 3) y en (3.52) se obtiene

(D − 2) v = a0ex − 5

dv

dx− 2v = a0e

x − 5

utilizando la formula general para las ecuaciones lineales de primer orden(2.5), la solucion es

v = e−R

(−2)dx

(

a1 +

∫

eR

(−2)dx (a0ex − 5) dx

)

v = a1e2x − a0e

x +5

2(3.53)

Finalmente sustituimos v = (D − 3) y en (3.53)

dy

dx− 3y = a1e

2x − a0ex +

5

2

y resolvemos la ecuacion con ayuda de (2.5)

y = e−R

(−3)dx

(

a2 +

∫

eR

(−3)dx

(

a1e2x − a0e

x +5

2

)

dx

)

y = e3x

(

a2 +

∫ (

a1e−x − a0e

−2x +5

2e−3x

)

dx

)

y = e3xa2 − a1e2x +

1

2a0e

x − 5

6

haciendo a = a2, b = −a1, c = a0

2 se obtiene

y = ae3x + be2x + cex − 5

6


dondeyc = ae3x + be2x + cex

es la solucion complementaria y

yp = −5

6

es la solucion particular de (3.49).

Para este metodo en especıfico, las constantes arbitrarias que surgenen cada integracion son coeficientes de la solucion complementaria a laecuacion, y siempre la funcion sin coeficientes arbitrarios corresponde conla solucion particular, este metodo permite encontrar la solucion generalsin considerar condiciones iniciales. En el siguiente metodo necesariamentelas ecuaciones deben estar sujetas a condiciones iniciales como veremos acontinuacion.

3.3.4. Funcion de Green

El metodo de la funcion de Green, es un metodo que puede ser generali-zado ampliamente, incluso para resolver ecuaciones diferenciales parcialesno homogeneas, en cuyo caso resulta ser un metodo no trivial y muy ele-gante matematicamente. Consideramos util dar un acercamiento inicial deeste metodo para el caso de ecuaciones ordinarias, de manera que el estu-diante ya este familiarizado con la definicion y aplicacion del metodo encursos de matematicas mas avanzados.

Expresemos la ecuacion (1.5) en la forma

J (y) − q (x) = 0 (3.54)

donde

J (y) =dny

dxn+ pn−1 (x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + p1 (x)

dy

dx+ p0 (x) y

y

q (x) =g (x)

an (x)


nuevamente las funciones pn−1 (x) = an−1(x)an(x) , pn−2 (x) = an−2(x)

an(x) , . . . ,

p0 (x) = a0(x)an(x) son constantes y an (x) 6= 0 y supondremos que las nuevas

funciones pi (x) , i = 1, . . . , n, q (x), son continuas en un intervalo [a, b] .

Podemos construir una funcion de Green de la siguiente forma. Seay (x) una funcion definida en un intervalo [a, b] tal que tiene las siguientespropiedades

a) la funcion y(x) y sus n-esimas derivadas existen y satisfacen J (y) = 0en todo punto del intervalo [a, b] excepto posiblemente en algun puntot = s;

b) la funcion y (x) satisface las condiciones homogeneas (es decir todasson iguales a cero) y (a) = y′ (a) = · · · = y[n−1] (a) = 0;

c) las funciones y (x) = y′ (x) = · · · = y[n−2] (x) son continuas en todo[a, b] incluido t, y por ultimo

d) la derivada y[n−1] (x) posee una discontinuidad de escalon dada por

y[n−1] (x) =

0 si x → s+

−1 si x → s−

donde x → s+significa que x se aproxima a s por la derecha, ysimilarmente x → s− significa que x se aproxima a s por la izquierda.

Una funcion y (x) que satisfaga las cuatro propiedades anteriores se leconoce como funcion de Green o funcion de peso para J (y) y se denotapor K (s, x) vease [7] .

Una vez que se conoce la funcion de Green, la solucion de la ecuacion(3.54) con condiciones iniciales homogeneas

y[i−1] (a) = 0, i = 1, 2, . . . , n

esta dada por

y (x) =

b∫

a

K (s, x) q (s) ds


Ejemplo 29. Encuentre la solucion a la ecuacion

d3y

dx3− 3

d2y

dx2+ 2

dy

dx= cosx (3.55)

sujeta a las condiciones iniciales homogeneas

y (0) = 0dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0d2y

dx2

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

Primeramente, se construye la funcion de Green a partir de la ecuacionhomogenea

L (K (x, s)) = 0 (3.56)

donde K (x, s) es la funcion de Green y L es el operador diferencial

L =d3

dx3− 3

d2

dx2+ 2

d

dx

La ecuacion (3.56) es una ecuacion lineal homogenea con coeficientes cons-tantes cuya solucion se encuentra a partir del polinomio caracterısticor3 − 3r2 + 2r = 0 (Vease el apartado Ecuaciones Homogeneas de estecapıtulo) cuya solucion viene dada por

K (x, s) = a + bex + ce2x

Como segundo paso la funcion de Green debe satisfacer la discontinuidadde salto en x = s entonces proponemos dos partes para la solucion unaque es valida a la izquierda de s y otra que es valida a la derecha de s, esdecir

K (x, s) =

c0 + c1ex + c2e

2x x < sc3 + c4e

x + c5e2x x > s

(3.57)

las constantes c0, c1, c2 se determinan a partir de las condiciones siguientes

K (x, s) |x=0 = 0dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0


de donde se obtiene un sistema de ecuaciones

c0 + c1 + c2 = 0

c1 + 2c2 = 0

c1 + 4c2 = 0

cuya solucion es trivial c0 = c1 = c2 = 0. Asimismo para determinar elvalor de las constantes c3, c4, c5, se utilizan las condiciones de continuidadpara las derivadas que tambien deben ser satisfechas por la funcion deGreen

K (x, s)|x=s− − K (x, s)|x=s+ = 0

dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s−

− dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s+

= 0

d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=s−

− d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=s+

= −1

donde x = s+ indica que x se aproxima a s por la derecha y x = s−

indica que x se aproxima a s por la izquierda. Desarrollando las expresionesanteriores se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente

0 −(

c3 + c4es + c5e

2s)

= 0

0 −(

c4es + 2c5e

2s)

= 0

0 −(

c4es + 4c5e

2s)

= −1

de donde obtenemos los valores para las constantes

c3 =1

2c4 = −e−s c5 =

1

2e−2s

sustituyendo los valores de las constantes en (3.57) la funcion de Greenbuscada es

K (x, s) =

0 x < s− 1

2 + ex−s − 12e2(x−s) x > s


Una vez que se obtiene K (x, s) la solucion a la ecuacion es

y (x) =

∫

K (x, s) cos sds

donde la funcion cos s corresponde a la parte no homogenea de la ecuacion(3.55), explıcitamente podemos escribir

y (x) =

x∫

0

(

−1

2+ ex−s − 1

2e2(x−s)

)

cos sds (3.58)

y realizando la integracion finalmente la solucion es

y (x) = −1

2ex +

1

2e2x +

3

10cosx +

1

10senx


d2y

dx2+ 3

dy

dx= ex (3.59)


y (0) = 0dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

siguiendo el procedimiento mostrado en el ejemplo anterior, la funcion deGreen se construye a partir de la solucion a la ecuacion homogenea

d2K

dx2+ 3

dK

dx= 0

donde K = K (x, s) es la funcion de Green, la solucion se obtiene a partirdel polinomio caracterıstico r2 + 3r = 0 ya que se trata de una ecuacionlineal homogenea con coeficientes constantes, por lo tanto la solucion es

K (x, s) = c0 + c1e−3x


Como en el ejemplo anterior, la funcion de Green debe ser continua enx = s entonces consideramos dos soluciones, a la izquierda y derecha delpunto de discontinuidad

K (x, s) =

c0 + c1e−3x x < s

c2 + c3e−3x x > s

(3.60)

de las condiciones iniciales homogeneas

K (x, s) |x=0 = 0dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones para las constantes c0, c1

c0 + c1 = 0

c0 − 3c1 = 0

teniendo unicamente la solucion trivial c0 = c1 = 0. Asimismo se debensatisfacer las siguientes condiciones de continuidad en x = s

K (x, s)|x=s− − K (x, s)|x=s+ = 0

dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s−

− dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s+

= −1

sustituyendo las soluciones de ambas regiones se obtiene

0 −(

c2 + c3e−3s)

= 0

0 −(

−3c3e−3s)

= −1

al resolver el sistema para encontrar c2 y c3 se obtiene

c2 =1

3c3 = −1

3e3s

y sustituyendo c0, c1, c2, c3 en la expresion (3.60), la funcion de Greendeseada es

K(x, s) =

0 x < s13

(

1 − e−3(x−s))

x > s


una vez que se obtiene la funcion K (x, s) la solucion a la ecuacion es

y (x) =

∫

K (x, s) esds

sustituyendo la expresion encontrada para K (x, s)

y (x) =

x∫

0

1

3

(

1 − e−3(x−s))

esds (3.61)

al integrar (3.61) se obtiene la solucion de (3.59)

y (x) = −1

3+

1

12e−3x +

1

4ex


d2y

dx2+ y = x2 + x (3.62)


y (0) = 0dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

construyamos la funcion de Green a partir de la ecuacion homogenea aso-ciada a (3.62)

d2K

dx2+ K = 0

como es una ecuacion lineal homogenea con coeficientes constantes, seobtiene el polinomio caracterıstico r2 +1 = 0 y la solucion correspondienteviene dada por

K (x, s) = a cosx + b senx

como en los ejemplos anteriores la funcion de Green esta compuesta de dospartes, una solucion a la derecha de s y otra solucion a la izquierda de s,es decir

K (x, s) =

c0 cosx + c1 sen x x < sc2 cosx + c3 sen x x > s


la funcion de Green debe satisfacer las condiciones iniciales

K (x, s)|x=0 = 0dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

de donde obtenemos los valores para c0, c1

c0 + c1 = 0

−c0 + c1 = 0

resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene la solucion trivialc0 = c1 = 0. Asimismo la funcion de Green debe satisfacer las condicionesde continuidad en x = s, es decir

K (x, s)|x=s− − K (x, s)|x=s+ = 0

dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s−

− dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s+

= −1

de aqui resulta el siguiente sistema de ecuaciones

0 − (c2 cos s + c3 sen s) = 0

0 − (−c2 sen s + c3 cos s) = −1

resolviendo el sistema los valores para las constantes son

c2 = − sen s c3 = cos s

por lo tanto nuestra funcion de Green correspondiente es

K (x, s) =

0 x < ssen (x − s) x > s

donde hemos utilizado la identidad sen (x − s) = senx cos s − cosx sen s.Una vez que se obtiene la funcion K (x, s) la solucion a la ecuacion es

y (x) =

∫

K (x, s)(

s2 + s)

ds


donde s2 + s corresponde a la parte no homogenea de la ecuacion (3.62).Explıcitamente tenemos que

y (x) =

x∫

0

sen (x − s)(

s2 + s)

ds (3.63)

al integrar la expresion anterior la solucion es

y (x) = −2 + x + x2 + 2 cosx − senx


d4y

dx4+ 2

d2y

dx2+ y = x3 (3.64)


y (0) = 0dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0d2y

dx2

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0d3y

dx3

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

De la ecuacion homogenea correspondiente a (3.64) se obtiene

d4K

dx4+ 2

d2K

dx2+ K = 0

que es una ecuacion lineal homogenea con coeficientes constantes de cuartoorden. La solucion viene dada por

K (x, s) = a0 cosx + a1 sen x + a2x cosx + a3x sen x

la funcion de Green tiene la forma

K (x, s) =

c0 cosx + c1 sen x + c2x cosx + c3x sen x x < sc4 cosx + c5 sen x + c6x cosx + c7x sen x x > s

Utilizando las condiciones iniciales

K (x, s)|x=0 = 0dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0

d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0d3K (x, s)

dx3

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0


se deduce un sistema de ecuaciones para las constantes c0, c1, c2, c3

c0 = 0 c1 + c2 = 0

−c0 + 2c3 = 0 − c1 − 3c2 = 0

cuya solucion es c0 = c1 = c2 = c3 = 0. La funcion de Green ademas debesatisfacer las condiciones de continuidad en x = s

K (x, s)|x=s− − K (x, s)|x=s+ = 0

dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s−

− dK (x, s)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s+

= 0

d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=s−

− d2K (x, s)

dx2

∣

∣

∣

∣

x=s+

= 0

d3K (x, s)

dx3

∣

∣

∣

∣

x=s−

− d3K (x, s)

dx3

∣

∣

∣

∣

x=s+

= −1

resolviendo el sistema de ecuaciones que resulta de las condiciones ante-riores

c4 cos s + c5 sen s + c6s cos s + c7s sen s = 0

−c4 sen s + c5 cos s + c6 cos s − c6s sen s + c7 sen s + c7s cos s = 0

−c4 cos s − c5 sen s − 2c6 sen s − c6s cos s + 2c7 cos s − c7s sen s = 0

c4 sen s − c5 cos s − 3c6 cos s + c6s sen s − 3c7 sen s − c7s cos s = 1

se obtiene

c4 =1

2(s cos s − sen s) c5 =

1

2(cos s + s sen s)

c6 = −1

2cos s c7 = −1

2sen s

por lo tanto, la funcion de Green correspondiente es

K (x, s) =

0 x < s12 [sen (x − s) − (x − s) cos (x − s)] x > s


donde hemos utilizado las identidades

cos (x − s) = cosx cos s + sen x sen s

sen (x − s) = senx cos s − sen s cosx (3.65)

una vez que se obtiene la funcion K (x, s), la solucion a la ecuacion es

y (x) =

∫

K (x, s) s3ds

es decir sustituyendo explıcitamente la funcion obtenida para K (x, s)

y (x) =1

2

x∫

0

[sen (x − s) − (x − s) cos (x − s)] s3ds (3.66)

integrando se obtiene la solucion de (3.64) deseada

y (x) = −12x + x3 − 2x cosx + 15 senx


d2y

dx2+ 2

dy

dx+ 2y = x (3.67)


y (0) = 0dy

dx

∣

∣

∣

∣

x=0

= 0 (3.68)

Como ya se sabe de la ecuacion homogenea relacionada con la anterior, seencuentra la solucion correspondiente, y dado que se trata de una ecuacioncon coeficientes constantes, el polinomio caracterıstico correspondiente esr2 + 2r + 2 = 0. Las raıces del polinomio son r = −1 ± i por lo que lasolucion es

K (x, s) = e−x (a cosx + b senx) (3.69)

3.4. EJERCICIOS 95

Al aplicar las condiciones iniciales (3.68) junto con las condiciones de con-tinuidad en x = s

K(s, x)|x=s+ = 0,dK (s, x)

dx

∣

∣

∣

∣

x=s−

= −1

obtenemos

K (s, x) =

0 x < s−e−(x−s) sen (x − s) x > s

donde hemos utilizado la identidad (3.65). Finalmente, la solucion a laecuacion (3.67) se obtiene de la integral

y(x) = −x∫

0

se−(x−s) sen (x − s) ds (3.70)

Las soluciones de los ejemplos 29-33 se expresan como las integrales (3.58),(3.61),(3.63),(3.66),(3.70) las cuales pueden resolverse con los metodos con-vencionales, sin embargo, segun sea la complejidad de la ecuacion y de lafuncion q (x), muchas veces no se pueden resolver de manera analıtica (enel ejemplo anterior se deja como ejercicio encontrar el valor de la integral(3.70)). Si la integral no es soluble analıticamente, entonces se recurre ametodos de aproximacion numerica mismos que se estudiaran en el capıtulo5.

3.4. Ejercicios

En los problemas del 1 al 10 resuelva cada una de las ecuaciones usandoel metodo mas conveniente.

1. 2y′′′ + y′′ − 10y = 0

2. yIV + 4y′′′ + 6y′′ + 4y′ + y = xe−x

3. 2 d3xdt3

= 0


4. y′′ + 4y = 3e2xsen (2x)

5. y′′′ + y = 0

6. d2xdt2

= ln (t)

7. d5xdt5

+ x = 0

8. y′′′ + 4y′ = sen (x)

9. d4rdθ4 + 2 d3r

dθ3 − 2 drdθ

− r = 0

10. yV − 2yIV + y′′′ = x3e3x

Capıtulo 4La transformada de Laplace

El concepto basico de la transformada de Laplace es convertir unaecuacion diferencial o sistema de ecuaciones diferenciales en un proble-ma algebraico. En este texto no pretendemos realizar un analisis rigurosode la transformada de Laplace. Lo que se desea, es proporcionar algunosconceptos basicos, que permitiran aplicar la transformada de Laplace a laresolucion de ecuaciones diferenciales. En general se han preferido resolverejemplos usando tablas de transformadas basicas y los teoremas pertinentesde la transformada de Laplace. Por lo cual, se hace enfasis en la aplicacionde dichos teoremas. Por lo tanto no realizaremos ninguna demostracionrigurosa, ni de la transformada, ni de sus teoremas, el lector podra consul-tar las definiciones formales y demostraciones en las referencias indicadas,siendo esta consulta altamente recomendable.

97

98 CAPITULO 4. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4.1. La notacion estandar

La notacion estandar es la siguiente, la funcion de t usualmente serepresenta como f(t), y la transformada de Laplace de la funcion se re-presenta como Lf(s). Algunos textos modifican esta representacion alusar

L[f(t)] (4.1)

que se lee, la transformada de Laplace de la funcion f(t), siendo estanotacion la que se utilizara en este texto.

El concepto basico de la transformada de Laplace es transformar unaecuacion diferencial de la forma

an

dny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · · + a1

dy

dt+ a0y = g(t) (4.2)

a una ecuacion algebraica que incluye las condiciones iniciales y(0), y′(0),. . . , yn−1(0) esto hace a la transformada de Laplace sumamente util enanalisis de circuitos y ecuaciones diferenciales con problemas de valor ini-cial.

4.2. Definicion de la transformada de Lapla-

ce y su uso

Sea una funcion f(t) definida para t ≥ 0, la transformada de Laplacede f(t) se obtiene multiplicando a esta funcion f(t) por e−st e integrandodesde t = 0 hasta t = ∞

F (s) = L[f(t)] =

∫ ∞

0

e−stf(t)dt (4.3)

siendo la transformada de Laplace de la funcion f(t), una nueva funcionen la variable s, es decir F (s), siempre y cuando la integral converja.

4.2. DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Y SU USO99

4.2.1. Deduccion de la transformada de Laplace a par-

tir de la definicion

En este apartado nos interesa mostrar como es que se deduce la trans-formada de Laplace directamente de su definicion, con el fin de entenderde donde proviene dicha transformada, sin embargo, veremos que en lapractica no es necesario acudir a la definicion en todo momento, ya queexisten tablas de transformadas basicas como explicaremos mas adelante.

Ejemplo 1. Dada f(t) = 1 obtener su transformada a partir de la defini-cion (4.3).

En este caso, debemos obtener la transformada de Laplace de la funcionf(t) sustituyendo en la definicion y evaluando la integral resultante paraello se realiza el siguiente procedimiento

L[1] =

∫ ∞

0

e−st(1)dt

para evaluar la integral usamos el metodo de sustitucion haciendo u = −sty du = −sdt por lo tanto − du

s= dt por lo cual la integral se sustituye por

∫ ∞

0

e−stdt =

∫ ∞

0

eu

(

−1

s

)

du

= −1

s

∫ ∞

0

eudu

= −1

seu |∞0

sustituyendo nuevamente u = −st

−1

seu |∞0 = −1

se−st |∞0


= −1

se−∞ +

1

se0

= −1

s(0) +

1

s(1)

=1

s

por lo tanto

L[1] =1

s(4.4)

con lo que obtenemos nuestra primera transformada, en este caso la trans-formada de la funcion unidad.

Funcion f(t) Transformada de Laplace F (s)

1 1s

K(cte.) Ks

sen(at) as2+a2

cos(at) ss2+a2

eat 1s−a

t 1s2

t2 2s3

tn n!sn+1

Tabla 4.1: Transformadas basicas de Laplace.

Aunque en la mayorıa de los casos es posible (y deseable) realizar elprocedimiento marcado por esta definicion, se debe considerar como ultimo


recurso y se recomienda usar las propiedades y tablas para facilitar en lamedida de lo posible el calculo de la transformada de Laplace. En estetexto se pretende hacer uso amplio de dichas herramientas. Para lo cualiniciaremos con algunas transformadas basicas que se muestran en la tabla4.1.

Como parte de los ejercicios procederemos a usar la definicion paraobtener algunas de estas transformadas, sin embargo, como ya se dijo an-teriormente, no se espera que en la practica se le utilice, solo es para efectosde claridad.

Ejemplo 2. Sea f(t) = K (donde K = constante) obtener la transforma-da de Laplace a partir de la definicion.

En este caso debemos obtener la transformada de Laplace de la funcionf(t) sustituyendo en la definicion y evaluando la integral resultante paraello se realiza el siguiente procedimiento, de manera similar al ejemploanterior

L[K] =

∫ ∞

0

Ke−stdt

Para evaluar la integral hacemos el cambio de variable u = −st y du =−sdt por lo tanto − du

s= dt por lo cual la integral se sustituye por

K

∫ ∞

0

e−stdt = K

∫ ∞

0

eu

(

−1

s

)

du

= −K

s

∫ ∞

0

eudu

= −K

seu |∞0


y volviendo a sustituir u = −st

−K

seu |∞0 = −K

se−st |∞0

= −K

se−∞ +

K

se0

= −K

s(0) +

K

s(1)

=K

s

por lo tanto

L[K] =K

s(4.5)

con lo que obtenemos nuestra segunda transformada, que concuerda conel resultado de la tabla 4.1.

Ejemplo 3. Dada la funcion f(t) = sen(t) obtener su transformada apartir de la definicion.

En este caso es necesario efectuar una sustitucion de la funcion sen(at)con a = 1, por lo que

L[sen(t)] =

∫ ∞

0

sen(t)e−stdt

por medio de la identidad de Euler sabemos que

sen(t) =eit − e−it

2i(4.6)

al sustituir en la funcion sen(t) por su equivalente en forma exponencial,nuestra ecuacion a resolver se transforma a

L[sen(t)] =

∫ ∞

0

(

eit − e−it

2i

)

e−stdt


de esta manera podemos separar la integral en dos integrales exponen-ciales

L[sen(t)] =1

2i

∫ ∞

0

(eit − e−it)e−stdt

=1

2i

∫ ∞

0

(eit−st − e−it−st)dt

=1

2i

∫ ∞

0

e(i−s)tdt − 1

2i

∫ ∞

0

e−(i+s)tdt

=1

2i

∫ ∞

0

e(i−s)tdt − 1

2i

∫ ∞

0

e(−i−s)tdt (4.7)

para evaluar las integrales en (4.7) nuevamente usamos el metodo de sus-titucion. En este caso en particular realizaremos las integrales por sepa-rado, tomando solo el primer termino de la expresion (4.7) tenemos quesi u = (i − s)t y du = (i − s)dt, y a su vez, du

i−s= dt, de esta manera la

integral se sustituye por

1

2i

∫ ∞

0

e(i−s)tdt =1

2i

∫ ∞

0

eu

(

1

i − s

)

du

=1

2i

(

1

i − s

)∫ ∞

0

eudu

=1

2i

(

1

i − s

)

eu |∞0

reemplazando nuevamente u = (i − s)t

1

2i

(

1

i − s

)

eu |∞0 =1

2i

(

1

i − s

)

e(i−s)t |∞0

=1

2i

(

1

i − s

)

e−∞ − 1

2i

(

1

i − s

)

e0

=1

2i

(

1

i − s

)

(0) − 1

2i

(

1

i − s

)

(1)

= − 1

2i

(

1

i − s

)


= − 1

2(i2 − is)

= − 1

2(−1 − is)

=1

2(1 + is)

Tomando el segundo termino de la expresion (4.7), tenemos que u = (−i−s)t y du = (−i− s)dt por lo tanto du

−i−s= dt y la integral se sustituye por

1

2i

∫ ∞

0

e(−i−s)tdt =1

2i

∫ ∞

0

eu

(

1

−i − s

)

du

=1

2i

(

1

−i − s

)∫ ∞

0

eudu

=1

2i

(

1

−i − s

)

eu |∞0

una vez mas sustituimos u = (−i − s)t

1

2i

(

1

−i − s

)

eu |∞0 =1

2i

(

1

−i − s

)

e(−i−s)t |∞0

=1

2i

(

1

−i − s

)

e−∞ − 1

2i

(

1

−i − s

)

e0

=1

2i

(

1

−i − s

)

(0) − 1

2i

(

1

−i − s

)

(1)

= − 1

2i

(

1

−i − s

)

= − 1

2(−i2 − is)

= − 1

2(1 − is)


por lo cual

L[sen(t)] =

∫ ∞

0

eit − e−it

2ie−stdt

=1

2i

∫ ∞

0

e(i−s)tdt − 1

2i

∫ ∞

0

e(−i−s)tdt

=1

2(1 + is)+

1

2(1 − is)

uniendo los resultados de ambas integrales y simplificando tenemos que

1

2(1 + is)+

1

2(1 − is)=

2(1 − is) + 2(1 + is)

2(1 + is) · 2(1 − is)

=4

4(1 + is)(1 − is)

=1

(1 + is)(1 − is)

la expresion del denominador es una diferencia de cuadrados, que al resol-ver nos da como resultado

1

(1 + is)(1 − is)=

1

(1 − i2s2)

=1

(1 − (−1)s2)

=1

1 + s2

por lo tanto

L[sen(t)] =1

1 + s2(4.8)

con lo que obtenemos nuestra tercera transformada.

Ejemplo 4. Sea f(t) = cos(at) obtener su transformada a partir de ladefinicion.


En este caso es necesario efectuar una sustitucion de la funcion cos(at)usando la identidad de Euler, entonces de la definicion

L[cos(at)] =

∫ ∞

0

cos(at)e−stdt

por medio de la identidad de Euler sabemos que

cos(at) =eait + e−ait

2(4.9)

al sustituir la funcion cos(at) por su identidad tenemos

L[cos(at)] =

∫ ∞

0

(

eait + e−ait

2

)

e−stdt

=1

2

∫ ∞

0

(

eait + e−ait)

e−stdt

=1

2

∫ ∞

0

(

eait−st + e−ait−st)

dt

=1

2

∫ ∞

0

e(ai−s)tdt +1

2

∫ ∞

0

e−(ai+s)tdt

=1

2

∫ ∞

0

e(ai−s)tdt +1

2

∫ ∞

0

e(−ai−s)tdt (4.10)

para evaluar las integrales nuevamente usamos el metodo de sustitucion.En este caso, tambien realizaremos las integrales por separado, tomandoel primer termino de la expresion (4.10), haciendo u = (ai − s)t y du =(ai − s)dt por lo tanto du

ai−s= dt, entonces la integral se sustituye por

1

2

∫ ∞

0

e(ai−s)tdt =1

2

∫ ∞

0

eu

(

1

ai − s

)

du

=1

2

(

1

ai − s

)∫ ∞

0

eudu

=1

2

(

1

ai − s

)

eu |∞0


sustituyendo u = (ai − s)t

1

2

(

1

ai − s

)

eu |∞0 =1

2

(

1

ai − s

)

e(ai−s)t |∞0

=1

2

(

1

ai − s

)

e−∞ − 1

2

(

1

ai − s

)

e0

=1

2

(

1

ai − s

)

(0) − 1

2

(

1

ai − s

)

(1)

= −1

2

(

1

ai − s

)

=1

2

(

1

−ai + s

)

para el segundo termino de la expresion (4.10), hacemos las sustitucionescorrespondientes, u = (−ai− s)t y du = (−ai− s)dt, por lo tanto du

−ai−s=

dt y la integral es

1

2

∫ ∞

0

e(−ai−s)tdt =1

2

∫ ∞

0

eu

(

1

−ai − s

)

du

=1

2

(

1

−ai − s

)∫ ∞

0

eudu

=1

2

(

1

−ia− s

)

eu |∞0

regresando a la variable original, es decir reemplazando otra vez u = (−ai−s)t, se obtiene

1

2

(

1

−ai − s

)

eu |∞0 =1

2

(

1

−ai − s

)

e(−ai−s)t |∞0

=1

2

(

1

−ai − s

)

e−∞ − 1

2i

(

1

−ai − s

)

e0


=1

2

(

1

−ai − s

)

(0) − 1

2

(

1

−ai − s

)

(1)

= −1

2

(

1

−ai − s

)

=1

2

(

1

ai + s

)

por lo cual

L[cos(at)] =

∫ ∞

0

(

eait + e−ait

2

)

e−stdt

=1

2

∫ ∞

0

e(ai−s)tdt +1

2

∫ ∞

0

e−(ai+s)tdt

=1

2

(

1

−ai + s

)

+1

2

(

1

ai + s

)

y uniendo ambas integrales tenemos que

1

2

(

1

−ai + s

)

+1

2

(

1

ai + s

)

=2(ai + s) + 2(−ai + s)

2(−ai + s) · 2(ai + s)

=2ai + 2s − 2ai + 2s

4(−ai + s)(ai + s)

=4s

4(−ai + s)(ai + s)

=s

(−ai + s)(ai + s)

la expresion del denominador es tambien una diferencia de cuadrados, queda como resultado

s

(−ai + s)(ai + s)=

s

(s − ai)(s + ai)

=s

(s2 − i2a2)

=s

s2 + a2=

s

a2 + s2

con lo que obtenemos nuestra cuarta transformada


L[cos(at)] =s

a2 + s2

Ejemplo 5. Dada f(t) = t obtener su transformada a partir de la defini-cion.

Como en los ejemplos anteriores sustituyendo f(t) en la definicion

L[t] =

∫ ∞

0

te−stdt

Esta integracion es relativamente complicada, por lo que emplearemos pri-mero un cambio de variables usando z como variable auxiliar, se tienez = st y dz = sdt, por lo cual dz

s= dt y z

s= t, ası

∫ ∞

0

te−stdt =

∫ ∞

0

(z

s

)

e−z dz

s

=

(

1

s2

)∫ ∞

0

ze−zdz

la integral a la derecha es de la forma∫∞0 xe−xdx que debe de ser resuel-

ta por partes, haciendo u = z y du = dz y v = e−z y dv = −e−zdu,sustituyendo estas expresiones en la formula

∫

udv = uv −∫

vdu (4.11)

tenemos que nuestra integral sin el termino 1s2 es

∫

ze−zdz = ze−z +

∫

e−zdz

= ze−z − e−z

por lo tanto sustituyendo este valor en la integral original funcion de z

=1

s2

∫ ∞

0

ze−zdz

=1

s2(ze−z − e−z) |∞0


y regresando a la variable t

1

s2(ze−z − e−z) =

1

s2(ste−st − e−st) |∞0

en este caso en particular la evaluacion del lımite ∞ no puede hacersedirectamente, ya que existe una indeterminacion en el termino ste−st =stest , para remediar esto utilizaremos la regla de L’Hopital

lımt→c

f(t)

g(t)= lım

t→c

f(t)

g(t)(4.12)

derivando el denominador y el numerador tenemos

lımt→∞

f(t)

g(t)= lım

t→∞

d(st)dt

d(est)dt

= lımt→∞

s

sest

= lımt→∞

1

est

=1

e∞

= 0

por lo tanto

(ste−st) |∞0 = lımt→∞

st

est− s(0)e−0

= 0 − s(0)(1)

= 0 − 0

= 0

Por lo cual nuestra expresion se reduce a

1

s2(ste−st − e−st) |∞0 =

1

s2(−e−st) |∞0

= − 1

s2e−∞ +

1

s2e0

4.3. TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 111

= − 1

s2(0) +

1

s2(1)

=1

s2

finalmente obtenemos

L[t] =1

s2(4.13)

Se deja como ejercicio obtener la transformada de Laplace de eat.

Como se puede observar, la deduccion de la transformada de Laplace apartir de su definicion es un metodo relativamente complicado y en generalrequiere de tiempo y paciencia obtener la transformada deseada. En unabuena cantidad de casos es posible usar la tabla de transformadas basicaspara obtener otras transformadas usando los teoremas de la transformadade Laplace que se mostraran a continuacion.

4.3. Teoremas de la transformada de Laplace

Los teoremas de la transformada de Laplace son, en buena parte, larazon por la que el uso de la transformada de la Laplace ofrece ventajasal resolver ecuaciones diferenciales.

Basicamente el principio de aplicacion es relativamente simple, use unatabla de transformadas, si sucede que la transformada que esta buscandono se encuentra en la tabla, se busca en la ecuacion las formas adecuadasque permiten aplicar el o los teoremas apropiados. Estos teoremas y suaplicacion seran explicados con ejemplos mas adelante.

4.3.1. Teorema de la Linealidad

En general, se dice que una funcion es lineal cuando cumple que laimagen de la suma de dos argumentos es igual a la suma de las imagenes


de cada argumento, es decir

f(ax + by) = af(x) + bf(y)

donde a y b son constantes. La transformada de Laplace es una operacionlineal por lo tanto cumple con la definicion anterior. Esto es, si tenemos dosfunciones g(t) y h(t) que tienen transformadas L[g(t)] y L[h(t)] entonces

L[Ag(t) + Bh(t)] = AL[g(t)] + BL[h(t)] (4.14)

donde A y B son constantes.

Ejemplo 6. Calcular la transformada de f(t) = sen(at) + K.

Por medio del teorema de linealidad sabemos que

L[g(t) + h(t)] = L[g(t)] + L[h(t)] (4.15)

es decir

L[f(t)] = L[sen(at) + K]

= L[sen(at)] + L[K]

usando la tabla 4.1 sabemos que

L[sen(at)] =a

s2 + a2

y que

L[K] =K

spor lo tanto

L[f(t)] = L[sen(at)] + L[K]

=a

s2 + a2+

K

s

Ejemplo 7. Sea la funcion g(t) = Keat obtener su transformada usandoel teorema de linealidad. Procedemos de la siguiente manera

L[g(t)] = L[Keat]

= KL[eat]


de la tabla sabemos que

L[eat] =1

s − a

por lo tanto

L[g(t)] = KL[eat]

=K

s − a

Ejemplo 8. Obtener la transformada de la funcion f(t) = Asen(at) +Keat.

Por el teorema de linealidad, podemos separar la funcion f(t) y obtenerla transformada de la funcion Asen(at) y la de Keat (vease (4.1))

L[g(t)] = L[Asen(at)] + L[Keat]

De la tabla 4.1, sabemos que

L[sen(at)] =a

s2 + a2

por lo tanto

L[Asen(at)] = AL[sen(at)]

= Aa

s2 + a2

y tambien de la tabla 4.1

L[eat] =1

s − a

por lo tanto

L[Keat] = KL[eat]

=K

s − a


sumando ambas transformadas tenemos que

L[f(t)] = L[Asen(at) + Keat]

= Aa

s2 + a2+

K

s − a

con lo cual obtenemos la transformada deseada.

4.3.2. Teorema de traslacion

Sea una funcion f(t) que tiene transformada de Laplace F (s), y sea auna constante cualquiera. Entonces

L[eatf(t)] = F (s − a) (4.16)

Ejemplo 9. Obtener la transformada de Laplace de h (t) = ett2.

De la tabla 4.1 sabemos que

L[t2] =2

s3

aplicando el teorema de traslacion tenemos que

L[eatf(t)] = F (s − a)

haciendo a = 1 entonces

L[h (t)] =2

(s − 1)3

Ejemplo 10. Sea la funcion f(t) = Ae3tsen(at) + ett, obtenga su trans-formada de Laplace.

Procedamos con el primer termino de la tabla 4.1 sabemos que

L[sen(at)] =a

s2 + a2


multiplicacion por una constante

L[Asen(at)] = Aa

s2 + a2

usando el teorema de traslacion

L[Ae3tsen(at)] = Aa

(s − 3)2 + a2

= Aa

s2 − 6s + 9 + a2

Con el segundo termino sabemos que (vease tambien la tabla 4.1)

L[t] =1

s2

usando el teorema de traslacion

L[ett] =1

(s − 1)2

=1

s2 − 2s + 1

por ultimo

L[Ae3tsen(at) + ett] = Aa

s2 − 6s + 9 + a2+

1

s2 − 2s + 1

que es una forma mucho mas sencilla de obtener la transformada de La-place en vez de la definicion directa.

4.3.3. Teorema de cambio de escala

Sea una funcion f(t) que tiene transformada de Laplace F (s), y sea auna constante cualquiera. Entonces

L[f(at)] =1

aF( s

a

)

(4.17)


Ejemplo 11. Obtenga la transformada de Laplace de cos(at). Sabiendoque

L[cos(t)] =s

s2 + 1

y aplicando el teorema de cambio de escala

L[cos(at)] =1

a

sa

( sa)2 + 1

=1

a2

s

( sa)2 + 1

=1

a2

ss2

a2 + 1

=s

s2 + a2

esto esL[cos(at)] =

s

s2 + a2

que concuerda con el resultado de la tabla 4.1.

4.4. Transformada inversa de Laplace

Tambien resulta necesario invertir el proceso de encontrar una trans-formada de Laplace. Esto es

L−1[F (s)] = f(t) (4.18)

que se lee transformada inversa de Laplace de la funcion F (s), en muchoscasos es posible identificar la funcion correspondiente en la variable s yefectuar el procedimiento de manera directa.

Ejemplo 12. Encuentre la transformada inversa de Laplace de F (s) = 1s.

Por inspeccion

L−1

[

1

s

]

= 1

4.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 117

Ejemplo 13. Encuentre la transformada inversa de Laplace de F (s) = 5s2 .

Por inspeccion

L−1

[

5

s2

]

= 5L−1

[

1

s2

]

= 5L−1

[

1

s2

]

= 5t

Ejemplo 14. Encuentre la transformada inversa de Laplace de F (s) = 2s4 .

Se tiene que

L−1

[

2

s4

]

= L−1

[

21

s4

]

Observe en la tabla 4.1 que en el caso de 1s4 necesitamos n! en el numerador,

en este caso n + 1 = 4 de donde n = 3 y por lo tanto n! = 3 · 2 · 1 = 6

L−1

[

21

s4

]

= L−1

[

2

6

6

s4

]

=1

3L−1

[

6

s4

]

=1

3L−1

[

3!

s4

]

=1

3t3

Ejemplo 15. Encuentre la transformada inversa de Laplace de F (s) =1

s2+16 . Observemos que

L−1

[

1

s2 + 16

]

= L−1

[

1

s2 + 42

]

De manera similar a la transformada inversa anterior, de la tabla 4.1 te-


nemos

= L−1

[

1

4

4

s2 + 42

]

=1

4L−1

[

4

s2 + 42

]

=1

4sen(4t)

Observe que en los ultimos ejemplos solo es necesario encontrar un terminoconstante para completar la transformada inversa. Como puede tambienobservarse, las transformadas inversas satisfacen algunos de los teoremasque son aplicables a las transformadas de Laplace especıficamente

L−1[Ag(s) + Bh(s)] = AL−1[g(s)] + BL−1[h(s)] (4.19)

donde A y B son constantes. Es decir, tambien la transformada inversade Laplace es una operacion lineal. En una gran cantidad de casos, noes posible hallar facilmente una constante que nos permita reconocer deinmediato alguna transformada inversa de Laplace y su correspondientefuncion de t.

Ejemplo 16. Encuentre la transformada inversa de Laplace de la funcion

F (s) =4s2 + 13s− 9

s3 + 2s2 − 3s(4.20)

En este caso no es posible encontrar un termino constante que nos permi-ta obtener una transformada inversa directamente, sin embargo, usandofracciones parciales se puede obtener una simplificacion. Utilizando los re-sultados del ejemplo del apendice de Fracciones Parciales, sustituimos lasconstantes correspondientes para este ejemplo en particular, por lo que setiene

4s2 + 13s− 9

s3 + 2s2 − 3s=

3

s+

2

s − 1− 1

s + 3(4.21)

4.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS E INTEGRALES119

y por lo tanto

L−1

[

4s2 + 13s− 9

s3 + 2s2 − 3s

]

= L−1

[

3

s+

2

s − 1− 1

s + 3

]

= L−1

[

3

s

]

+ L−1

[

2

s − 1

]

− L−1

[

1

s + 3

]

= 3L−1

[

1

s

]

+ 2L−1

[

1

s − 1

]

− L−1

[

1

s + 3

]

= 3 + 2et − e−3t

Como podemos imaginar el metodo de fracciones parciales esta comunmen-te ligado al calculo de la transformada inversa de Laplace. Es simple lo quese debe hacer para calcular la transformada inversa, se analiza la funcionF (s), se separa en fracciones parciales (toda vez que esto sea posible), ydado que la transformada inversa tambien es una operacion lineal, sim-plemente se calcula la transformada de cada termino que normalmente yaes una expresion que se puede determinar por inspeccion de alguna tabla(como la tabla 4.1), finalmente se obtiene f(t).

4.5. Transformada de Laplace de derivadas e

integrales

La transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferencialesde una manera rapida y sencilla, al convertir una ecuacion diferencial (quepudiese ser un problema complicado de calculo) en una simple ecuacionalgebraica. Sin embargo, el corazon del uso de la transformada de Laplaceen la solucion de ecuaciones diferenciales se basa en la existencia de latransformada de Laplace de la derivada de alguna funcion y similarmentepara el caso de la integral. A continuacion mencionaremos brevemente lasformulas asociadas a estas funciones.

Queremos encontrar la transformada de Laplace de la derivada de una


funcion, es decir, usando la definicion

F (s) = L[f ′(t)]

=

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt

Observe que esta integracion debe hacerse por partes para lo cual hacemos,u = e−st, du = −se−stdt, dv = f ′(t)dt, y v = f(t), por lo que

∫

udv = uv −∫

vdu

∫ ∞

0

e−stf ′(t)dt = e−stf(t) |∞0 −∫ ∞

0

(

−sf(t)e−st)

dt

= e−stf(t) |∞0 +

∫ ∞

0

sf(t)e−stdt

= e−stf(t) |∞0 +s

∫ ∞

0

f(t)e−stdt

recordemos que∫∞0

f(t)e−stdt es la definicion de la transformada de La-place, entonces

L[f ′(t)] = e−∞f(∞) − e0f(0) + sL[f(t)]

= (0)f(∞) − (1)f(0) + sL[f(t)]

= −f(0) + sL[f(t)]

o bien

L[f ′(t)] = sL[f(t)] − f(0) (4.22)

Observemos que surge una propiedad sumamente interesante de la trans-formada de Laplace, la derivada de una funcion de t es justamente latransformada de Laplace multiplicada por s menos la “condicion inicial”dada por f(0).

Tomemos ahora la segunda derivada de una funcion f(t) y sigamos unprocedimiento muy similar al anterior para calcular su transformada de


Laplace

F (s) = L[f ′′(t)]

=

∫ ∞

0

e−stf ′′(t)dt

nuevamente esta integracion debe hacerse por partes para lo cual, u = e−st,du = −se−stdt, dv = f ′′(t)dt, y v = f ′(t)

∫

udv = uv −∫

vdu

∫ ∞

0

e−stf ′′(t)dt = e−stf ′(t) |∞0 −∫ ∞

0

(

−sf ′(t)e−st)

dt

= e−stf ′(t) |∞0 +

∫ ∞

0

sf ′(t)e−stdt

= e−stf ′(t) |∞0 +s

∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt

Observemos primeramente que el termino e−stf ′(t) |∞0 es exactamenteel mismo caso de evaluacion de lımites presentado en la transformada ante-rior, con excepcion de que estas son las condiciones iniciales de la primeraderivada, es decir, = e−∞f ′(∞) − e0f ′(0) = −f ′(0), y en segundo lugar,el termino que acompana a s es justamente la definicion de la transforma-da de Laplace de una derivada, por lo cual sustituimos nuestro resultadoanterior en la formula y obtenemos

∫ ∞

0

e−stf ′′(t)dt = e−stf ′(t) |∞0 +s

∫ ∞

0

f ′(t)e−stdt

= −f ′(0) + s(L[f ′(t)])

= −f ′(0) + s(sL[f(t)] − f(0))

= −f ′(0) + s2L[f(t)] − sf(0)

o bienL[f ′′(t)] = s2L[f(t)] − sf(0) − f ′(0) (4.23)


Vemos que los resultados anteriores son casos especiales del siguiente teore-ma, que no se demostrara, sin embargo la demostracion puede encontrarseen la bibliografıa citada.

4.5.1. Transformada de Laplace de la derivada n-esima

de una funcion f(t)

Si f(t), . . . , f (n−1)(t), son funciones continuas en el intervalo [0,∞) yson de orden exponencial y si fn(t) es continua por partes en el intervalo[0,∞) entonces

L[fn(t)] = snL[f(t)] − sn−1f(0) − sn−2f ′′(0) − · · · − fn−1(0) (4.24)

Si n = 1 se obtiene el caso de la primera derivada, y si las condicionesiniciales son triviales es decir, f(0) = f ′′(0) = · · · = fn−1(0) = 0, laformula se simplifica aun mas, esto es

L[f ′(t)] = sL[f(t)]

En el caso de derivadas de orden n-esimo, con condiciones iniciales nulas,esta expresion se reduce a

L[fn(t)] = snL[f(t)]

4.5.2. Teorema de convolucion

La convolucion es una funcion que tiene aplicaciones en analisis desenales y en general no es facil calcular, esta definida como

f(t) ∗ g(t) =

∫ t

0

g(t − τ)f(τ)dτ (4.25)

Sin embargo, por este teorema sabemos que cuando f(t), y g(t) soncontinuas por partes en el intervalo [0,∞), la transformada de Laplace de


la convolucion de dos funciones es

L[f(t) ∗ g(t)] = L[f(t)]L[g(t)]

L[f(t) ∗ g(t)] = F (s)G(s) (4.26)

Observe que la convolucion en el tiempo de dos funciones f(t) y g(t),por su definicion, puede ser una funcion difıcil de calcular en la variable t.Sin embargo, para la transformada de Laplace, solo se obtiene la transfor-mada de Laplace de f(t) y de g(t), y se multiplican que es un procedimientorelativamente sencillo de realizar.

Un caso particular ocurre cuando g(t) = 1 y por consiguiente L[g(t)] =G(s) = 1

s, entonces el teorema de convolucion implica que la convolucion

entre una funcion f(t) con la unidad es igual a la integral de la funcionf(t)

L[g(t) ∗ f(t)] = L[∫ t

0

g(t − τ)f(τ)dτ

]

= L[∫ t

0

(1)f(τ)dτ

]

= L[∫ t

0

f(τ)dτ

]

esto es

L[∫ t

0

f(τ)dτ

]

= L[1]L[f(t)]

=1

sL[f(t)]

lo que significa que la transformada de la integral de una funcion es

L[∫ t

0

f(τ)dτ

]

=1

sL[f(t)]

Estas son dos propiedades fundamentales de la transformada de Laplaceque se utilizaran ampliamente al resolver ecuaciones diferenciales por estemetodo.


4.6. Resolucion de ecuaciones diferenciales

Considere la siguiente ecuacion diferencial ordinaria de n-esimo orden

an

dny

dtn+ an−1

dn−1y

dtn−1+ · · · + a1

dy

dt+ a0y = g(t)

sujeta a las condiciones iniciales

y(0), y′(0), . . . , yn−1(0)

Por la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace es posibletransformar la ecuacion anterior a

L[an

dny

dtn] + L[an−1

dn−1y

dtn−1] + · · · + L[a1

dy

dt] + L[a0y] = L[g(t)]

anL[dny

dtn] + an−1L[

dn−1y

dtn−1] + · · · + a1L[

dy

dt] + a0L[y] = L[g(t)]

por medio de la transformada de una derivada n-esima de una funcionsabemos que podemos transformar la ecuacion anterior mediante

an[snL[f(t)] − sn−1f(0) − sn−2f ′(0) − · · · − fn−1(0)]

+ an−1n[sn−1L[f(t)] − sn−2f ′(0) − sn−3f ′′(0) − · · · − fn−2(0)]

+ a[sL[f(t)] − f(0)] + a0L[y] = L[g(t)]

observe que en esta ecuacion es posible resolver de manera algebraica paraY(s). Esto es, despejar para Y (s) de tal manera que esto sea reducido pormedio de operaciones algebraicas a la forma

Y (s) = F (s)

donde solo es obtener la trasformada inversa de la funcion Y(s) para ob-tener la solucion

L−1[Y (s)] = L−1[F (s)]

y(t) = L−1[F (s)]

4.6. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES 125

esto es mucho mas sencillo de comprender con un ejemplo.

Ejemplo 18. Encuentre la solucion de la ecuacion diferencial con condi-cion inicial

dy

dt− 3y = e2t

y(0) = 1

primero obtengamos la transformada de Laplace de ambos lados de laecuacion diferencial

L[

dy

dt

]

− L [3y] = L[

e2t]

ahora, obtengamos la transformada de Laplace de cada termino por sepa-rado

L[

dy

dt

]

= sL [y] − f(0)

= sY (s) − y(0)

= sY (s) − 1

L [3y] = 3L [y]

= 3Y (s)

y

L[

e2t]

=1

s − 2

coloquemos nuestros resultados en la ecuacion original

L[

dy

dt

]

− L [3y] = L[

e2t]

sY (s) − 1 − 3Y (s) =1

s − 2


agrupemos los terminos Y (s)

sY (s) − 3Y (s) =1

s − 2+ 1

Y (s)(s − 3) =1

s − 2+ 1

obteniendo el factor comun o mejor dicho Y (s)

Y (s)(s − 3) =1

s − 2+ 1

despejando Y (s)

Y (s) =

(

1

s − 2+ 1

)(

1

s − 3

)

=1

(s − 2)(s − 3)+

1

s − 3

=1

(s − 2)(s − 3)+

s − 2

(s − 3)(s − 2)

=s − 1

(s − 2)(s − 3)

esto hay que solucionarlo con fracciones parciales, para hacer sencillo elcalculo de las constantes recurriremos a un pequeno truco

s − 1

(s − 2)(s − 3)=

A

s − 3+

B

s − 2

multipliquemos ambos lados de la ecuacion por (s − 2)(s − 3)

(s − 2)(s − 3)s − 1

(s − 2)(s − 3)=

(

A

s − 3+

B

s − 2

)

(s − 2)(s − 3)

s − 1 = (s − 2)(s − 3)

(

A

s − 3

)

+ (s − 2)(s − 3)

(

B

s − 2

)

s − 1 = A(s − 2) + B(s − 3)


hagamos primero s = 2 y veamos que pasa

2 − 1 = A(2 − 2) + B(2 − 3)

1 = A(0) + B(−1)

1 = −B

−1 = B

ahora s = 3 y veamos

3 − 1 = A(3 − 2) + B(3 − 3)

2 = A(1) + B(0)

2 = A

por lo tanto A = 2 y B = −1, sustituyendo en la ecuacion original

s − 1

(s − 2)(s − 3)=

A

s − 3+

B

s − 2

s − 1

(s − 2)(s − 3)=

2

s − 3− 1

s − 2

que en nuestra transformada es

Y (s) =s − 1

(s − 2)(s − 3)

Y (s) =2

s − 3− 1

s − 2

obteniendo la transformada inversa de Laplace obtenemos la solucion denuestra ecuacion diferencial

L−1[Y (s)] = L−1

[

2

s − 3− 1

s − 2

]

L−1[Y (s)] = L−1

[

2

s − 3

]

− L−1

[

1

s − 2

]

L−1[Y (s)] = 2L−1

[

1

s − 3

]

− L−1

[

1

s − 2

]


observe que hemos resuelto la ecuacion algebraica de tal manera que lastransformadas inversas sean facilmente visualizadas. Para obtener la solu-cion solo hay que obtener la transformada inversa de la tabla 4.1 y tenemosnuestra solucion en terminos de la variable temporal t

L−1[Y (s)] = 2L−1

[

1

s − 3

]

− L−1

[

1

s − 2

]

y(t) = 2e3t − e2t

4.6.1. Procedimiento basico

Primero obtenga las transformadas de Laplace de todos los terminosinvolucrados en la ecuacion diferencial, recuerde incluir las condicionesiniciales.

Segundo despeje para Y (s).

Tercero descomponga el termino a la derecha de la igualdad en frac-ciones que tengan una transformada inversa.

Y por ultimo, obtenga la transformada inversa.

Esta secuencia de pasos, son un procedimiento general para resolverEDOs como se ilustro al inicio de este capıtulo.

Ejemplo 19. Encuentre la solucion de la ecuacion diferencial con condi-ciones iniciales

d2y

dt2− y = 2t

y(0) = 1

y′(0) = 1

iniciemos obteniendo las transformadas de Laplace de los terminos involu-


crados en la ecuacion diferencial

L[

d2y

dt2

]

+ L [y] = L [2t]

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + Y (s) =2

s2

sustituyendo los valores de las condiciones iniciales

s2Y (s) − s(1) − (1) + Y (s) =2

s2

s2Y (s) + Y (s) − s − 1 =2

s2

factorizando y despejando para Y (s)

s2Y (s) + Y (s) − s =2

s2+ 1

s2Y (s) + Y (s) =2

s2+ s + 1

Y (s)(s2 + 1) =2

s2+ s + 1

Y (s) =1

s2 + 1

(

2

s2+ s + 1

)

realizando las operaciones indicadas

Y (s) =2

s2(s2 + 1)+

s

(s2 + 1)+

1

(s2 + 1)

observe que los dos terminos finales tienen transformada inversa en laforma de cos(t) y sen(t), por lo que necesitamos descomponer el terminoen fracciones parciales

2

s2(s2 + 1)=

A

s2+

B

(s2 + 1)

1 = A(s2 + 1) + Bs2


haciendos = j

tenemos

2 = A(j2 + 1) + Bj2

2 = A(−1 + 1) + B(−1)

2 = −B

−2 = B

y haciendos = 0

tenemos

2 = A(0 + 1) + B(0)

2 = A(1)

2 = A

utilizando los valores de A = 2 y B = −2, se obtiene la fraccion parcial

2

s2(s2 + 1)=

2

s2− 2

(s2 + 1)

sustituyendo en la funcion original

Y (s) =2

s2− 2

(s2 + 1)+

s

(s2 + 1)+

1

(s2 + 1)

Y (s) =2

s2− 1

(s2 + 1)+

s

(s2 + 1)(4.27)

de la tabla 4.1, tenemos que

L−1

(

2

s2

)

= 2t

L−1

(

1

s2 + 1

)

= sen(t)


L−1

(

s

s2 + 1

)

= cos(t)

Sustituyendo estas transformadas inversas en la relacion (4.27) tenemos

y(t) = 2t− sen(t) + cos(t)

lo cual constituye el resultado final buscado.

Capıtulo 5Aproximacion Numerica

En capıtulos anteriores hemos estudiado distintos metodos para obtenersoluciones analıticas de ecuaciones diferenciales ordinarias. A pesar deldesarrollo teorico alcanzado hasta nuestros dıas, no siempre es posibledeterminar la solucion analıtica, o bien, la solucion obtenida esta expresadade manera implıcita. Por lo tanto, se necesitan metodos numericos parapoder resolver ecuaciones diferenciales de forma numerica empleando lacomputadora.

En este capıtulo abordamos metodos numericos explıcitos para apro-ximar la solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.Describimos el metodo de Euler, ası como los esquemas de Runge-Kutta. Atraves de multiples ejemplos expondremos las diferencias entre los distin-tos esquemas numericos. Se incluyen las implementaciones de los esquemasnumericos en el lenguaje de programacion C.

133

134 CAPITULO 5. APROXIMACION NUMERICA

5.1. Modelo matematico

El modelo matematico del problema de valor inicial para ecuacionesdiferenciales ordinarias esta definido como

dy(x)

dx= f(x, y(x)), y(a) = y0 (5.1)

donde x ∈ [a, b] y f : R × R → R. La condicion inicial corresponde ay(a) = y0, lo cual debe ser un valor conocido.

El objetivo es determinar una aproximacion de la solucion y(x) en elintervalo a ≤ x ≤ b. Para ello, asumimos que la funcion f satisface lascondiciones de existencia que nos garantizan la unicidad, continuidad ydiferenciabilidad en la solucion [8]. Para aproximar la solucion exacta y(x)considere que el intervalo continuo [a, b] es discretizado con un conjuntode puntos equiespaciados

x1, x2, . . . , xn

con x1 = a, xn = b y xi = a + (i − 1)h, donde h es una constantedeterminada mediante

h =b − a

n − 1Sobre esta particion de datos obtendremos las aproximaciones yi, i =1, . . . n de la solucion teorica y(x).

Como se aprecia en (5.1), los esquemas de aproximacion que estudia-remos en este capıtulo corresponden a ecuaciones diferenciales ordinariasde primer orden. El modelo matematico para este tipo de ecuaciones es

dy(x)

dx+ a(x)y(x) = g(x, y(x)) (5.2)

para transformar (5.2) a la forma (5.1), hacemos un despeje de la forma

dy(x)

dx= f(x, y(x))

donde f(x, y(x)) = −a(x)y(x)+g(x, y(x)). Con ello, podremos resolver losproblemas de la forma (5.2) mediante los metodos numericos que estudia-remos a continuacion.

5.2. METODO DE EULER 135

5.2. Metodo de Euler

El metodo de Euler (Euler-Cauchy) consiste en aproximar la funciony(x) mediante un polinomio de Taylor de primer orden. Por las leccionesde Calculo sabemos que una funcion y(x) puede ser aproximada en unavecindad de un punto x mediante una serie de Taylor

y(x + h) = y(x) + hy′(x) +1

2y′′(x)h2 +

1

3!y′′′(x)h3 + · · · (5.3)

tomando la aproximacion de primer orden tenemos

y(x + h) = y(x) + hy′(x) +1

2y′′(ξ)h2 (5.4)

donde ξ esta entre x y x + h. Considerando que |y′′(ξ)| ≤ M se obtiene

y(x + h) = y(x) + hy′(x) + O(h2) (5.5)

el termino O(h2) corresponde al error de truncamiento en la serie de Taylor.Substituyendo y′ = f(x, y) en la ecuacion anterior

y(x + h) = y(x) + hf(x, y) + O(h2) (5.6)

eliminando el error de truncamiento O(h2) y considerando yi ≈ y(xi), parai = 1, . . . , n se obtiene finalmente el esquema iterativo buscado

yn+1 = yn + hf(xn, yn) (5.7)

el cual corresponde al metodo de Euler. La constante h se conoce como pasode integracion o tamano de paso. Observe que la ecuacion (5.7) correspondea una extrapolacion lineal de la solucion yn al punto yn+1 utilizando lainformacion de la pendiente f(xn, yn) al inicio del intervalo.

El metodo de Euler tiene el atractivo de ser muy facil de entender y deimplementar. Adicionalmente, en cada paso h solo requerimos evaluar unasola vez la funcion f(x, y). Por otro lado, este esquema rara vez se utilizaen problemas practicos, esto se debe a que tiene un error de truncamiento


local O(h1), lo cual da un decrecimiento lineal en el error conforme hacemosa h tender a cero. Cuando la solucion es una lınea recta el esquema daresultados exactos. Es deseable contar con esquemas numericos que tenganun error de truncamiento local O(hp) con p > 1, debido a que conformep crece, el error cometido disminuye considerablemente. En la siguienteseccion se aborda dicho tema.

5.2.1. Medicion del error

En el caso de que conozcamos la solucion analıtica y del problema(5.1), y con base en una aproximacion numerica y, podemos medir el errorcometido. Para ello, primero definimos el error absoluto.

Error Absoluto. Sea y una aproximacion de la solucion exacta y, el errorabsoluto esta definido como

|y − y| (5.8)

El medir la aproximacion obtenida mediante el error absoluto es depen-diente de las magnitudes. Para esclarecer este hecho, considere el siguienteejemplo: si y = 10 es la solucion exacta y y = 9 la solucion aproximada,tendrıamos un error absoluto de 1. Ahora, considerando los valores y = 100y y = 99 como el valor exacto y el aproximado respectivamente, con estosvalores obtendrıamos el mismo error absoluto de 1. En ambos ejemplos ob-tuvimos el mismo error absoluto, sin embargo claramente observamos quela segunda aproximacion esta mas cerca del valor real que con respecto delprimer ejemplo. Es por ello que necesitamos trabajar con otra medida delerror que tome en cuenta las magnitudes de los datos, para ello definiremosel error relativo.

Error Relativo. Sea y una aproximacion de la solucion exacta y, el errorrelativo esta definido como

|y − y||y| , para y 6= 0 (5.9)

Repitiendo el ejemplo anterior tendrıamos que para el valor aproximado


y = 9 de la solucion exacta y = 10 el error relativo cometido es 0.1.Adicionalmente para la aproximacion y = 99 del valor exacto y = 100, elerror relativo es 0.01 lo cual nos representa de una mejor manera el errorcometido.

Es frecuente en la ingenierıa determinar porcentualmente que tan lejoso cerca estamos de la solucion, para ello definimos el error porcentual.

Error Porcentual. Sea y una aproximacion de la solucion exacta y, elerror porcentual esta definido como

|y − y||y| × 100 %, para y 6= 0 (5.10)

Ejemplo 1. Dada la siguiente ecuacion diferencial ordinaria

dy

dx= 2xy (5.11)

aproxime el valor en x = 0.3, tomando como condicion inicial y(0) = 1y utilizando un tamano de paso h = 0.1. Compare el resultado con lasolucion analıtica y(x) = ex2

.

El primer paso del metodo de Euler esta determinado como

y1 = y0 + hf(x0, y0)

= 1 + 0.1f(0, 1)

= 1 + 0.1 · (2 · 0 · 1)

= 1

Ya estamos en el punto y1 = 1, con esta informacion podemos avanzarhacia el nuevo punto y2 empleando el metodo de Euler, para ello realizamoslo siguiente

y2 = y1 + hf(x1, y1)

= 1 + 0.1f(0.1, 1)

= 1 + 0.1 · (2 · 0.1 · 1)

= 1.02


Finalmente, a partir de la solucion obtenida y2 = 1.02 avanzamos un pasoadicional para poder aproximar la solucion en y3, para ello realizamos losiguiente

y3 = y2 + hf(x2, y2)

= 1.02 + 0.1f(0.2, 1.02)

= 1.02 + 0.1 · (2 · 0.2 · 1.02)

= 1.0608

El valor obtenido y3 = 1.0608 es una aproximacion al valor exacto eny(0.3) = 1.094174. El error absoluto es |y(0.3) − y3| = 0.033374. Adicio-nalmente, el error porcentual cometido es del 3 %.

Observe que en cada paso subsecuente, se comienza con un nuevo pro-blema de valor inicial en que la condicion inicial es el valor aproximado dela solucion calculada en la etapa anterior.

Ejemplo 2. Para apreciar el efecto que tiene la seleccion de h, resolveremosel problema anterior seleccionando h = 0.15. El primer paso esta determi-nado como

y1 = y0 + hf(x0, y0)

= 1 + 0.15f(0, 1)

= 1 + 0.15 · (2 · 0 · 1)

= 1

lo cual corresponde a la aproximacion en el punto x1 = x0 + h, x1 = 0.15.Ahora, daremos un paso mas con el metodo de Euler

y2 = y1 + hf(x1, y1)

= 1 + 0.15f(0.15, 1)

= 1 + 0.15 · (2 · 0.15 · 1)

= 1.045

lo que corresponde a la aproximacion en el punto x2 = x1 + h, x2 =0.15 + 0.15 = 0.3. El error absoluto y porcentual son: 0.0491274 y 4.4 %


respectivamente. Comparando las aproximaciones obtenidas variando eltamano del paso de integracion, observamos que conforme disminuimos hse obtiene una mejor aproximacion numerica. De hecho, el decrecimientodel error es lineal O(h). Por otro lado, al disminuir h se requiere de unmayor trabajo computacional para alcanzar la precision deseada.

Programa 1. El siguiente codigo en C, corresponde a la implementaciondel metodo de Euler. El esquema numerico se encuentra en la funcionllamada euler la cual requiere de cinco argumentos. El primer argumentoes un puntero a la funcion f(x, y), el segundo argumento corresponde a lacondicion inicial y0, el tercer y cuarto argumentos corresponden al intervalo[a, b] de la EDO, el quinto argumento de entrada es el tamano del paso deintegracion h.

#include <stdio.h>

float func1(float x, float y)

return x-y+1;

void euler( float ( *fnc)(float,float), float y_0,

float a, float b, float h)

float x,y;

y = y_0;

x = a;

while(x < b)

y = y + h*fnc(x,y);

x = x + h;


int main(void)

euler(func1,1,0,1,0.1);

return 0;

El programa 1 es generico en el sentido de que podemos cambiar facil-mente el problema de valor inicial que deseamos resolver. Para ello essuficiente con agregar una funcion con dos argumentos de entrada y unargumento de salida, ver func1. Ası como los argumentos de entrada delmetodo de Euler. Ejemplo 3. Dado el problema de valor inicial

dy

dx= −y + x + 1 (5.12)

definido en el intervalo [0, 1] con la condicion inicial y(0) = 1. Determinela solucion aproximada con el metodo de Euler utilizando un tamano depaso h = 0.1. Compare con la solucion analıtica y(x) = x + e−x. En losdos ejemplos anteriores, hemos realizado los calculos utilizando una calcu-ladora. Sin embargo, esta manera de hacerlo es propensa a errores. En esteejemplo utilizaremos el programa 1 para resolver el problema planteado.En la tabla siguiente se muestran los resultados obtenidos.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.100000 1.004837 1.000000 0.0048370.200000 1.018731 1.010000 0.0087310.300000 1.040818 1.029000 0.0118180.400000 1.070320 1.056100 0.0142200.500000 1.106531 1.090490 0.0160410.600000 1.148812 1.131441 0.0173710.700000 1.196585 1.178297 0.0182880.800000 1.249329 1.230467 0.0188620.900000 1.306570 1.287421 0.0191491.000000 1.367880 1.348678 0.019201


En la ultima columna se aprecia el error absoluto en los distintos puntos deevaluacion numerica. En el punto final, x = 1, se tiene un error del orden2×10−2, lo cual indica que estamos cerca del valor real o analıtico. Ejem-

plo 4. Ahora, repetiremos el problema del ejemplo 3 con un tamano depaso h = 0.05. En la siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos.En este caso, solo es necesario modificar el quinto argumento de la funcioneuler del programa 1. Es decir: euler(func1,1,0,1,0.05). Solo se desplie-gan los pasos 2 · h, para poder comparar directamente con los resultadosobtenidos en el ejemplo 3.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.100000 1.004837 1.002500 0.0023370.200000 1.018731 1.014506 0.0042250.300000 1.040818 1.035092 0.0057260.400000 1.070320 1.063421 0.0069000.500000 1.106531 1.098737 0.0077940.600000 1.148812 1.140360 0.0084510.700000 1.196585 1.187675 0.0089100.800000 1.249329 1.240127 0.0092020.900000 1.306570 1.297215 0.0093551.000000 1.367880 1.358486 0.009393

Comparando los resultados obtenidos del ejemplo 3 y 4, se aprecia una dis-minucion en el error absoluto. Es decir, ahora obtuvimos un error relativodel orden 9×10−3 en el punto x = 1, lo cual muestra una mejora con respec-to al error obtenido en el problema anterior en el mismo punto. En general,disminuyendo el valor de h se obtiene una mejor aproximacion, lo cual esconsistente. Sin embargo, debido a errores de redondeo/truncamiento apartir de un cierto h0 el error comienza a crecer.

En los ejemplos anteriores, hemos elegido con libertad el tamano depaso h. Una manera empırica de determinar el valor de h es seleccionardos pasos de integracion h1 < h2 de tal forma que la diferencia en valorabsoluto de las respectivas aproximaciones sea menor que un cierto valor


de umbral ǫ, es decir|yh1

− yh2| < ǫ

por ejemplo, podemos seleccionar ǫ = 10−3. El proceso de seleccionar h esde caracter iterativo y solo es recomendable cuando el tiempo de simulacionno resulte excesivo.

Es conveniente aclarar que el metodo de Euler es de caracter didacticoy por lo general no se utiliza en la practica debido a que el error decrece demanera lineal conforme reducimos el parametro h. Sin embargo, la com-prension de dicho esquema numerico es de vital importancia para poderabordar otros esquemas numericos con una mejor tasa de convergencia,este tema se aborda en las siguientes secciones.

5.3. Metodos de Runge-Kutta

Dado un conjunto de coeficientes reales aij , bj y cj el metodo generalde Runge-Kutta esta definido por

k1 = f(xn, yn)k2 = f(xn + c2h, yn + ha21k1)k3 = f(xn + c3h, yn + h(a31k1 + a32k2))...

ks = f(xn + csh, yn + h(as1k1 + · · · + as,s−12ks−1))

con base en las ki podemos determinar el valor para el siguiente yn+1 comouna combinacion lineal de dichas pendientes ki

yn+1 = yn + h(b1k1 + · · · + bsks) (5.13)

las constantes de ponderacion bi, i = 1, . . . , s satisfacen

b1 + · · · + bs = 1 (5.14)

la determinacion de las incognitas aij , bj y cj son seleccionadas basandoseen la aproximacion del polinomio de Taylor de grado s. Para el caso s = 2

5.3. METODOS DE RUNGE-KUTTA 143

en la seccion siguiente se ilustra dicho concepto. Observe que para s = 1,obtenemos el metodo de Euler descrito al inicio del capıtulo. Cuando s = 3obtenemos un metodo de tercer orden y cuando s = 4 se obtiene un metodode cuarto orden. En las siguientes secciones se ilustran dichos esquemasnumericos.

5.3.1. Runge-Kutta de orden dos

Para construir un esquema explıcito de orden dos, requerimos hacerdos evaluaciones en f(x, y) para obtener el promedio ponderado de ambaspendientes de la manera siguiente

yn+1 = yn + h(b1k1 + b2k2) (5.15)

dondek1 = f(xn, yn) (5.16)

k2 = f(xn + c2h, yn + ha21k1) (5.17)

Ahora, nuestro objetivo es determinar las constantes b1, b2, c2, a21 de talforma que se obtenga un esquema con un error de truncamiento localcuadratico.

Deduccion

En los siguientes parrafos deduciremos los valores de las variables b1, b2,c2, a21 requeridas en (5.15-5.17). Para ello, primero obtengamos la expan-sion en serie de Taylor de orden tres para y(x)

y(x + h) = y(x) + hy′(x) +h2

2y′′(x) + O(h3) (5.18)

substituyendo y′(x) = f(x, y(x)) se obtiene

y(x + h) = y(x) + hf(x, y(x)) +h2

2f ′(x, y(x)) + O(h3) (5.19)


donde f ′(x, y(x)) = ∂f(x,y(x))∂x

. Ahora, determinaremos f ′ mediante la reglade la cadena

∂f(x, y(x))

∂x=

∂f

∂x

dx

dx+

∂f

∂y

dy

dx(5.20)

substituyendo (5.20) en (5.18) con y′(x) = f(x, y) y abreviando y = y(x)

y(x+h) = y(x)+hf(x, y)+h2

2

[

∂f(x, y)

∂x+

∂f(x, y)

∂y

dy

dx

]

+O(h3) (5.21)

ahora, seleccionemos un punto xn = x y haciendo xn+1 = x + h conyn ≈ y(xn) se obtiene la ecuacion en diferencias buscada

yn+1 = yn+hf(xn, yn)+h2

2

[

∂f(xn, yn)

∂x+

∂f(xn, yn)

∂y

dy

dx

]

+O(h3) (5.22)

Por otro lado, expandamos en serie de Taylor de primer orden a la ecuacion(5.17)

f(xn +c2h, yn + ha21k1) = f(xn, yn)+hc2∂f

∂x+ha21k1

∂f

∂y+O(h2) (5.23)

nuestro siguiente paso es substituir k1, k2 en (5.15) para obtener

yn+1 = yn + hb1f(xn, yn) + hb2k2f(xn + c2h, yn + ha21k1) (5.24)

substituyendo (5.23) en (5.24) obtenemos

yn+1 = yn+hb1f(xn, yn)+hb2k2

[

f(xn, yn) + hc2∂f

∂x+ ha21k1

∂f

∂y+ O(h2)

]

agrupando en terminos de h y h2 con f = f(xn, yn) se obtiene

yn+1 = yn + h [b1f + b2f ] + h2

[

b2c2∂f

∂x+ b2a21k1

∂f

∂y

]

+ O(h3) (5.25)

comparando los terminos de (5.22) con (5.25) se observa que los coeficientesb1, b2, c2, a21 deben de satisfacer las restricciones

b1 + b2 = 1, b2 · c2 =1

2, b2 · a21 =

1

2


lo que corresponde a un sistema de 4 incognitas con 3 ecuaciones. Estoes un sistema de ecuaciones subdeterminado y por lo tanto es necesariofijar el valor de una de las incognitas para poder determinar las incognitasrestantes. Esto nos da flexibilidad en la eleccion de una incognita y daorigen a distintos esquemas numericos con un error de truncamiento localO(h2). Seleccionando c2 = 1 se obtiene b1 = b2 = 1/2 y a21 = 1 el cual seconoce como metodo de Euler modificado. Con base en dichas constantes,finalmente mostramos el esquema numerico buscado

yn+1 = yn +h

2(k1 + k2) (5.26)

donde

k1 = f(xn, yn) (5.27)

k2 = f(xn + h, yn + k1h) (5.28)

Cabe mencionar que (5.26) es un esquema de tipo Runge-Kutta de segundoorden, que tiene un error de truncamiento local O(h2), lo cual es mejorque el error de truncamiento local O(h1) del metodo de Euler.

Ejemplo 5. Resolver el problema del ejemplo 2 empleando el esquema deRunge-Kutta de segundo orden.

Como primer paso determinaremos las pendientes k1, k2 para el primerpaso, para ello consideremos los valores: x0 = 0, h = 0.15 y y0 = 1.

k1 = f(x0, y0)

= f(0, 1)

= (2 · 0 · 1)

= 0

k2 = f(x0 + h, y0 + k1h)

= f(0 + 0.15, 1 + 0 · 0.1)

= f(0.15, 1)


= 2 · 0.15 · 1= 0.3

Utilizando la expresion (5.26) obtenemos

y1 = y0 +h

2(k1 + k2)

= 1 +0.1

2(0 + 0.3)

= 1.022500

La aproximacion obtenida y1 corresponde al punto x = 0.15. De manerasemejante, podemos obtener la aproximacion para y2 en el punto x = 0.3,para ello realizamos lo siguiente

k1 = f(x1, y1)

= f(0.15, 1.022500)

= 2 · 0.15 · 1.022500

= 0.306750

k2 = f(x1 + h, y1 + k1h)

= f(0.15 + 0.15, 1.022500 + 0.306750 · 0.15)

= 0.641108

Con base en las pendientes k1, k2 obtenemos

y2 = y1 +h

2(k1 + k2)

= 1 +0.15

2(0.306750 + 0.641108)

= 1.093589

Este valor puntual de la aproximacion y2 = 1.093589 en el punto x = 0.3tiene un error absoluto y porcentual: 0.000585 y 0.05 %. Lo cual es unamejora de dos ordenes de magnitud en comparacion con el metodo de Euler.


Esto se debe a que el esquema de Runge-Kutta utilizado es de segundoorden O(h2), lo cual tiene mejor tasa de convergencia en comparacion conel O(h) del metodo de Euler.

Programa 2. El siguiente codigo en C, corresponde a la implementaciondel metodo de Runge-Kutta de segundo orden. La codificacion de la ecua-cion (5.26) se encuentra en la funcion rk2. Los argumentos de la funcionson identicos a los utilizados en el metodo de Euler.

#include <stdio.h>

#include <math.h>


return x-y+1;

void rk2( float ( *fnc)(float,float), float y_0,


float x,y;

float k1,k2;

y = y_0;

x = a;

while(x < b)

k1 = fnc(x,y);

k2 = fnc(x+h,y+k1*h);

y = y + (h/2.0)*( k1 + k2);

x = x + h;


int main(void)

rk2(func1,1,0,1,0.1);

return 0;

Mediante la funcion func1 podemos implementar distintos modelos deecuaciones diferenciales ordinarias. En tal caso, es necesario modificar losargumentos de entrada de la funcion rk2.

Ejemplo 6. Resuelva el problema de valor inicial del Ejemplo 3 con elmetodo de Runge-Kutta de orden dos, compare los resultados con el meto-do de Euler.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.100000 1.004837 1.005000 0.0001630.200000 1.018731 1.019025 0.0002940.300000 1.040818 1.041218 0.0003990.400000 1.070320 1.070802 0.0004820.500000 1.106531 1.107076 0.0005450.600000 1.148812 1.149403 0.0005920.700000 1.196585 1.197210 0.0006250.800000 1.249329 1.249975 0.0006460.900000 1.306570 1.307227 0.0006581.000000 1.367880 1.368541 0.000661

En la tabla anterior mostramos en la ultima columna el error cometidocon el esquema de orden dos. Como se puede apreciar, en el punto finalx = 1 el error absoluto es: 6×10−4. Con el esquema de Euler se obtuvo unerror absoluto del orden 10−2. Claramente, con RK2 se tiene una mejorade dos ordenes de magnitud en los resultados. Esto es consistente con elhecho de que el esquema de Runge-Kutta empleado es de orden dos O(h2)y el metodo de Euler es O(h), por lo tanto, para un mismo valor de h conRK2 se obtendra una mejor aproximacion.


5.3.2. Runge-Kutta de orden tres

En el esquema de Runge-Kutta de orden tres (RK3) requerimos tresevaluaciones de la funcion f(x, y), para avanzar de la solucion yn a yn+1

con un tamano de paso h. Esto corresponde a seleccionar s = 3 en laecuacion (5.13). En tal caso, se requiere poder determinar ocho incognitasc2, c3, a21, a31, a32, b1, b2, b3. Podemos seguir un procedimiento similar aldel metodo de segundo orden. Por cuestiones de claridad omitimos dichadeduccion, basta decir que se obtendran seis ecuaciones con ocho incogni-tas, lo cual es un sistema subdeterminado. Es necesario seleccionar dosvalores en las incognitas para poder determinar las seis incognitas restan-tes. En la siguiente ecuacion mostramos un esquema comun del metodoRK3

yn+1 = yn +h

6(k1 + 4k2 + k3) (5.29)

donde

k1 = f(xi, yi) (5.30)

k2 = f(xi +1

2h, yi +

1

2k1h) (5.31)

k3 = f(xi + h, yi − k1h + 2k2h) (5.32)

El esquema (5.29) tiene un error de truncamiento local O(h3), lo cual esmejor que el error de truncamiento local O(h2) del RK2.

Programa 3. El siguiente codigo en C, corresponde a la implementaciondel metodo de Runge-Kutta con un error de truncamiento local de ordentres. La parte principal se encuentra en la funcion rk3 lo que correspondea la implementacion de la ecuacion (5.29). Los argumentos de la funcionen C de RK3 son identicos a los utilizados en el metodo de Euler.

#include <stdio.h>

#include <math.h>



return x-y+1;



float x,y;

float k1,k2,k3;

y = y_0;

x = a;

while(x < b)

k1 = fnc(x,y);

k2 = fnc(x+0.5*h,y+0.5*k1*h);

k3 = fnc(x+h,y-k1*h+2*k2*h);

y = y + (h/6.0)*( k1 + 4*k2 + k3);

x = x + h;

int main(void)

rk3(func1,1,0,1,0.1);

return 0;

Ejemplo 7. Resuelva el problema de valor inicial del Ejemplo 3 con elmetodo de Runge-Kutta de orden tres y compare los resultados con elmetodo RK2, ver ejemplo 6.

En la siguiente tabla mostramos la aproximacion obtenida con el Pro-grama 3. Como se puede observar, el error cometido con RK3 en el punto


x = 1 es 1.7×10−5 y con RK2 es 6.6×10−4 lo cual es un orden de magnitudmenor. Por lo tanto, para este ejemplo, se aprecia que con RK3 se obtieneuna mejor aproximacion. Esto es consistente con el error de truncamientolocal; O(h3) para RK3 y O(h2) para RK2. Lo cual nos dice, que para unmismo tamano de paso h, con RK3 se obtendra una mejor aproximacionque con RK2.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.100000 1.004837 1.004833 0.0000040.200000 1.018731 1.018723 0.0000070.300000 1.040818 1.040808 0.0000100.400000 1.070320 1.070308 0.0000120.500000 1.106531 1.106517 0.0000140.600000 1.148812 1.148797 0.0000150.700000 1.196585 1.196570 0.0000160.800000 1.249329 1.249313 0.0000160.900000 1.306570 1.306553 0.0000171.000000 1.367880 1.367863 0.000017

Ejemplo 8. Con base en el problema de valor inicial

dy(x)

dx= 2xy, y(0) = 1 (5.33)

obtenga la solucion analıtica y obtenga el valor aproximado en y(2) con elesquema de Runge-Kutta de tercer orden con h = 0.2.

La solucion analıtica de (5.33) se obtiene mediante el esquema de se-paracion de variables, ver capıtulo 1, para ello realizamos lo siguiente

dy

y= 2xdx

integrando ambos terminos∫

dy

y=

∫

2xdx


de donde obtenemosln |y| = x2 + c

para determinar la constante c, utilizamos la condicion inicial y(0) = 1

ln |y(0)| = 02 + c

ln 1 = c

0 = c

por lo tanto, la solucion analıtica queda expresada como

ln y = x2

eln y = ex2

y(x) = ex2

Ahora, comparemos la solucion obtenida con RK3 vs. la solucion analıti-ca y(x) = ex2

. Los resultados obtenidos se muestran en la tabla siguiente

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.200000 1.040811 1.041067 0.0002560.400000 1.173511 1.174034 0.000524f0.600000 1.433329 1.434138 0.0008080.800000 1.896481 1.897437 0.0009561.000000 2.718282 2.718547 0.0002651.200000 4.220696 4.216865 0.0038311.400000 7.099329 7.079116 0.0202131.600000 12.935822 12.856431 0.0793911.800000 25.533741 25.246056 0.2876852.000000 54.598202 53.572807 1.025394

A pesar de que empleamos un tamano de paso h relativamente grande, seobtuvo un error porcentual cerca del 2 %.

Seleccionando h = 0.005 el esquema de Euler genera una aproximacioncon un error absoluto del mismo orden que con RK3. La diferencia estriba


que para obtener aproximadamente el mismo error, con el metodo de Eulerse requirieron 400 pasos y con RK3 solo se requirio de 10 pasos. El numerode evaluaciones de la funcion f(x, y) fueron 400 y 30 para el metodo deEuler y RK3 respectivamente. De esta comparacion numerica claramentese aprecia que el metodo de Euler no es un esquema que convenga utilizarloen problemas practicos.

5.3.3. Runge-Kutta de orden cuatro

Cuando seleccionamos s = 4 (ver inicio de la seccion 5.3) obtenemosel metodo de Runge-Kutta de cuarto orden RK4. El cual es un metodoexplıcito que requiere de cuatro evaluaciones de la funcion f(x, y) paraavanzar del punto yn a yn+1. En la siguiente tabla mostramos los valoresclasicos del RK4 en la notacion de la tabla de Butcher

01/2 1/21/2 0 1/21 0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

Con base en los valores mostrados en la tabla anterior, mostramos el es-quema iterativo RK4 final

yn+1 = yn +h

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) (5.34)

donde

k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi +1

2h, yi +

1

2k1h)

k3 = f(xi +1

2h, yi +

1

2k2h)

k4 = f(xi + h, yi + k3h)


El esquema RK4 tiene un error de truncamiento local O(h4) de donde sededuce que tiene un mejor decrecimiento del error en comparacion conlos esquemas numericos mostrados anteriormente. Este esquema numericoes ampliamente conocido en la literatura y es uno de los metodos masutilizados para resolver problemas de valor inicial.

Programa 4. El siguiente codigo en C, corresponde a la implementaciondel metodo de Runge-Kutta de cuarto orden. La parte principal se en-cuentra en la funcion rk4 lo cual corresponde a la implementacion de laecuacion (5.34). Los argumentos de la funcion en C de RK4 son identicosa los utilizados en el esquema de Euler.

#include <stdio.h>

#include <math.h>


return x-y+1;



float x,y;

float k1,k2,k3,k4;

y = y_0;

x = a;

while(x < b)

k1 = fnc(x,y);

k2 = fnc(x+0.5*h,y+0.5*k1*h);

k3 = fnc(x+0.5*h,y+0.5*k2*h);

k4 = fnc(x+h,y+k3*h);


y = y + (h/6.0)*( k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);

x = x + h;

int main(void)

rk4(func1,1,0,1,0.1);

return 0;

Como se aprecia en el programa 4, la implementacion del esquema(5.34) con sus respectivas ki, estan codificadas en la funcion rk4. Por estarazon, los esquemas RKs son faciles de programar y nos pueden servircomo punto de partida para posteriores implementaciones de metodos massofisticados.


Ejemplo 9. Resuelva el problema de valor inicial del ejemplo 3 con RK4empleando precision doble, compare los resultados con el metodo RK3,RK2 y RK1.

En la siguiente tabla se muestran los datos obtenidos con el programa4. Como se puede observar, el error absoluto es del orden 10−7 lo cuales muy superior a los errores obtenidos con los otros esquemas numericosplanteados.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 0.000000e + 000.100000 1.0048374 1.0048375 8.196404e− 080.200000 1.0187308 1.0187309 1.483283e− 070.300000 1.0408182 1.0408184 2.013195e− 070.400000 1.0703200 1.0703203 2.428819e− 070.500000 1.1065307 1.1065309 2.747107e− 070.600000 1.1488116 1.1488119 2.982823e− 070.700000 1.1965853 1.1965856 3.148798e− 070.800000 1.2493290 1.2493293 3.256172e− 070.900000 1.3065697 1.3065700 3.314595e− 071.000000 1.3678794 1.3678798 3.332411e− 07

Para ver a detalle la precision de cada esquema, solo consideraremosla aproximacion en el punto x = 1. Con RK1 obtuvimos 1.92 × 10−2, conRK2 se determino 6.61×10−4, con RK3 se tiene 1.66×10−5, y finalmentecon RK4 el error cometido es 4.70× 10−7. Observe que el error disminuyedrasticamente, la diferencia entre el metodo de Euler y RK4 es de cincoordenes de magnitud; lo cual habla de que con RK4 se tiene una mejorprecision numerica. En este ejercicio se fijo el paso de integracion h yvariamos el orden del metodo.

Ejemplo 10. Resuelva el problema de valor inicial del ejemplo 8 con RK4,compare los resultados con el metodo RK3.

En la siguiente tabla mostramos la aproximacion obtenida con el pro-grama 4. Como se puede observar, el error absoluto cometido es un orden

5.4. OBSERVACIONES 157

de magnitud menor que lo obtenido con RK3. En este caso se requirieron40 evaluaciones de la funcion f(x, y), lo cual es mas costoso que las 30evaluaciones requeridas con RK3. Sin embargo, con RK4 se obtiene unamejor aproximacion que con RK3.

x y(xi) yi |y(xi) − yi|0.000000 1.000000 1.000000 −−0.200000 1.040811 1.040811 0.0000000.400000 1.173511 1.173510 0.0000010.600000 1.433329 1.433321 0.0000080.800000 1.896481 1.896441 0.0000401.000000 2.718282 2.718107 0.0001751.200000 4.220696 4.219987 0.0007091.400000 7.099329 7.096597 0.0027321.600000 12.935822 12.925571 0.0102511.800000 25.533741 25.495478 0.0382632.000000 54.598202 54.453884 0.144318

5.4. Observaciones

En este capıtulo hemos presentado cuatro programas que implementanlos metodos explıcitos de Runge-Kuta de orden O(hp) con p = 1, 2, 3, 4. Elesquema RK4 es ampliamente utilizado y constituye uno de los esquemasmas conocidos. El lector debe recordar que los esquemas planteados sonde caracter introductorio y no constituye un tratado exhaustivo.

Conforme incrementamos el orden del metodo O(hp), el numero de eva-luaciones s de la funcion f(x, y) tambien se incrementa linealmente. Paraesquemas explıcitos de Runge-Kutta con p > 4, el numero de evaluacioness ya no se incrementa unitariamente. Es decir, para un metodo de quin-to orden se requieren seis evaluaciones, para un metodo de sexto ordensiete evaluaciones y para un metodo de octavo orden son requeridas onceevaluaciones de f(x, y), para mas detalles vea el libro de Butcher [9].


Como se menciono a lo largo de este capıtulo, no existe una manera uni-ca de determinar los coeficientes en los metodos de Runge-Kutta. Versionesmodernas de RKs determinan los coeficientes en funcion de minimizar lamemoria requerida, o bien lograr que el metodo sea de variacion totalacotada cuando se analizan ecuaciones diferenciales parciales hiperbolicas.

Es conveniente mencionar que existen restricciones para seleccionar eltamano del paso de integracion h. La seleccion de h depende del esquemade Runge-Kutta, el cual debe de estar dentro de la zona de estabilidad delesquema numerico. El estudio de las zonas de estabilidad sale del alcancede este libro. El lector interesado puede consultar el libro de Shampine[10].

5.5. Forma integral

En esta seccion mostraremos a detalle como la aproximacion de EDOsde primer orden puede ser interpretada como una aproximacion a inte-grales. Por cuestiones didacticas, considere el siguiente problema de valorinicial

dy(x)

dx= f(x), y(x0) = y0 (5.35)

lo que buscamos es determinar la solucion en el punto x1 = x0 + h, conh > 0. En otras palabras, de la condicion inicial conocemos el valor exactode y(x) en el punto inicial x0, lo que queremos determinar es una aproxi-macion y en un punto cercano a x0, es decir y(x1).

La ecuacion (5.35) la podemos integrar en el intervalo de x0 a x1,obteniendo

∫ x1

x0

dy(x)

dxdx =

∫ x1

x0

f(x)dx (5.36)

por el teorema fundamental del calculo, el lado izquierdo de (5.36) se puederepresentar como

y(x1) − y(x0) =

∫ x1

x0

f(x)dx (5.37)

5.5. FORMA INTEGRAL 159

esta ecuacion es una representacion exacta, todavıa no hemos empleadoninguna aproximacion. Observe que la funcion f(x) puede ser integradaanalıticamente obteniendo ası una representacion exacta para y(x1). Sinembargo, por lo general no es posible hacerlo. Es por ello que determina-remos una aproximacion numerica de la integral definida.

Para ello, considere que queremos determinar el area bajo la curvamediante un rectangulo de base x1 − x0 y altura f(x0). Con ello, deter-minamos que el area bajo la curva corresponde al calculo de base×altura,quedando expresado de la manera siguiente

∫ x1

x0

f(x)dx ≈ (x1 − x0)f(x0) (5.38)

substituyendo (5.38) en (5.37) con h = x1 − x0

y1 = y0 + h · f(x0) (5.39)

donde y1 corresponde a la aproximacion de y(x1), para obtener las apro-ximaciones y2, . . . , yn, en los puntos xi con xi = x0 + (i − 1)h, parai = 2, . . . , n. La ecuacion anterior la podemos escribir como

yn+1 = yn + h · f(xn) (5.40)

lo cual corresponde al metodo de Euler (5.7).

Como segundo ejemplo didactico, consideremos que deseamos aproxi-mar la integral

∫ x1

x0

f(x)dx (5.41)

mediante un polinomio de primer grado -lınea recta- que une a los puntos(x0, f(x0)), (x1, f(x1)). En el ejemplo anterior se utilizo un polinomio degrado cero, es decir, empleamos un valor constante para la altura. Aho-ra, utilizaremos una funcion lineal; para ello, realizamos la aproximacionf(x) ≈ f(x) como

f(x) = f(x0) +f(x1) − f(x0)

x1 − x0· (x − xo) (5.42)


substituyendo (5.42) en (5.41) se obtiene

∫ x1

x0

f(x)dx =

∫ x1

x0

(

f(x0) +f(x1) − f(x0)

x1 − x0· (x − xo)

)

dx (5.43)

lo cual puede ser integrado analıticamente obteniendo

∫ x1

x0

f(x)dx =h

2· (f(x1) − f(x0)) (5.44)

el procedimiento anterior es conocido como integral del trapecio. Substi-tuyendo (5.44) en (5.37) obtenemos

y1 = y0 +h

2· (f(x1) − f(x0)) (5.45)

La ecuacion anterior la podemos expresar de manera iterativa como

yn+1 = yn +h

2· (f(xn+1) − f(xn)) (5.46)

lo cual es el metodo de Runge-Kutta de orden dos, ver (5.26). Es conve-niente indicar que en las secciones anteriores se emplearon en todo mo-mento aproximaciones polinomicas basadas en el teorema de Taylor. Estoconstituye la piedra angular en los esquemas numericos frecuentementeanalizados a nivel licenciatura.

5.6. Sistemas de ecuaciones diferenciales

En las secciones anteriores hemos descrito distintos esquemas numericospara resolver EDOs de la forma (5.1). En esta seccion expondremos unaintroduccion a la solucion numerica de sistemas de ecuaciones diferencialesordinarias.

5.6. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 161

Un sistema de m ecuaciones diferenciales ordinarias lo podemos expre-sar como

dy1

dx= f1(x, y1, . . . , ym)

dy2

dx= f2(x, y1, . . . , ym)

...dym

dx= fm(x, y1, . . . , ym)

en el intervalo a ≤ x ≤ b con las condiciones iniciales yj(a) = ηj conj = 1, . . . , m. El sistema anterior, corresponde a una generalizacion de(5.1) y podemos emplear cualquiera de los esquemas numericos descritosanteriormente. Para el caso m = 1 obtenemos el modelo (5.1). La diferenciaconsiste en que ahora trabajamos con vectores.

El esquema de Euler para sistemas de ecuaciones lo podemos expresarcomo

y1,n+1 = y1,n + hf1(xn, y1,n, . . . , ym,n)

y2,n+1 = y2,n + hf2(xn, y1,n, . . . , ym,n)

...

ym,n+1 = ym,n + hfm(xn, y1,n, . . . , ym,n)

Para n = 0, 1, . . . , M , donde M corresponde al numero de intervalos conlos que se discretizo [a, b]. El paso de integracion h es determinado comoh = (b − a)/M . El primer subındice en y corresponde al numero de lacomponente del vector, y el segundo subındice corresponde al paso en laiteracion.

Programa 5. El siguiente codigo en C, corresponde a la implementaciondel metodo de Euler para un sistema de m ecuaciones diferenciales ordi-narias. Este programa es una generalizacion del Programa 1. Como casoparticular se resuelve numericamente el oscilador de Van der Pol, descrito


por el siguiente sistema

dy1

dx= y2

dy2

dx= 10(1 − y2

1)y2 − y1

sujeto a las condiciones iniciales y1(0) = 1, y2(0) = 1. La codificacion dela EDO se encuentra en la funcion func1. Cambiando la funcion func1y las condiciones iniciales, podemos utilizar este programa para resolvercualquier sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con condicionesiniciales.

#include <stdio.h>

#include<stdlib.h>

void func1(const float x, const float *y_in, float *f)

f[0] = y_in[1];

f[1] = -y_in[0]+10*(1-y_in[0]*y_in[0])*y_in[1];

void eulern( void ( *fnc)(const float,const float *, float *),

float *y_0, int m, float a, float b, float h)

float x,*y,*k1;

int i;

y = malloc(m*sizeof(float)); /* reservo memoria */

k1 = malloc(m*sizeof(float));

for(i=0;i<n;i++) y[i] = y_0[i];

x = a;

5.6. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 163

while(x < b)

fnc(x,y,k1);

for(i=0;i<m;i++)

y[i] = y[i] + h*k1[i];

x = x + h;

printf("%f \t %f \t %f\n",x,y[0],y[1]);

free(y); /* libero la memoria */

free(k1);

main(void)

float y_0[2];

int m;

float a,b,h;

y_0[0]=1; /*defino las condiciones iniciales */

y_0[1]=1;

m = 2; /* numero de ecuaciones */

a = 0; /* inicio */

b = 70; /* fin */

h = 0.01; /* paso de integracion */

eulern(func1,y_0,m,a,b,h);

La salida del programa anterior la desplegamos graficamente en la fi-


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 10 20 30 40 50 60 70

Van der Pol - oscilador

Figura 5.1: Oscilador de Van der Pol.

gura 5.1. Esto corresponde a la primera componente del vector y. En lagrafica 5.1 se aprecia que la solucion obtenida oscila periodicamente, estehecho ha sido ampliamente estudiado en la literatura.

Ejemplo 11. Con base en el Programa 5, resuelva el problema de valorinicial definido como

d

dt

[

xy

]

= f(x, y)

donde

f(x, y) =

[

−yx

]

+

[

cos 2xsin 2y

]

− 0.05

[

xy

]

sujeto a los valores iniciales x0 = 3 y y0 = 0 para t ∈ [0, 10.8]. Utilice unpaso de integracion h = 0.01.

Para poder implementar el problema de valor inicial planteado, solo esnecesario modificar la funcion func1 del Programa 5, ası como las condicio-nes iniciales contenidas en la funcion principal. En la figura 5.2 mostramosen una lınea continua la solucion numerica obtenida. Adicionalmente, seindica el campo vectorial de la funcion f(x, y) utilizada. El punto inicial(3, 0) esta indicado por un cırculo.

5.7. NOTA 165

Figura 5.2: Campo vectorial de f(x, y) del ejemplo 11 y solucion numericaobtenida.

5.7. Nota

Existe una gran variedad de esquemas numericos para ecuaciones dife-renciales ordinarias, dentro de los mas relevantes podemos mencionar: es-quemas de Runge-Kutta, metodos de pasos adaptivos, esquemas multipasoAdams-Bashforth y Adams-Moulton, metodos embebidos, tecnicas multi-tasa y esquemas implıcitos. En general, la correcta seleccion de un metodonumerico para resolver EDOs no es una tarea trivial. Cabe mencionar quelos metodos numericos no son universales, es decir, no podemos resolvereficientemente cualquier problema en ecuaciones diferenciales ordinariascon un mismo metodo numerico. Es por ello que debemos de apoyarnos deun experto en el area de analisis numerico para poder determinar cual es elmejor esquema de aproximacion para el problema que deseamos resolver.


5.8. Ejercicios

1. Dado el problema y′ = x−2y con y(0) = 2 determine la solucion analıti-ca, ver capıtulo 2. Aplique el metodo de Euler con h = 0.1, 0.01, 0.001, conbase en la solucion analıtica determine el error absoluto en el punto x = 1.

2. Modifique el programa uno para datos en precision doble. Con base alejemplo tres, compare lo obtenido con el metodo de Euler en precisionsimple y doble. Observe que pasa cuando h → 0.

3. Compare el metodo de Euler y el metodo de Runge-Kutta de orden doscon h = 0.01 en x = 1 para el problema y′ = 1 + y/x con 1 ≤ x ≤ 2,y(1) = 2 cuya solucion analıtica es y(x) = x lnx + 2x.

4. Considere la EDO y′ = −30y, 0 ≤ x ≤ 1.5 con y(0) = 1/3. Esteproblema tiene una solucion exacta y = 1

3e−30t. Seleccionando un tamanoh = 0.1, determine la solucion numerica en el punto x = 1.5 con el esquemade Euler y RK4. ¿Con cual de los dos esquemas numericos se obtiene unamejor aproximacion?

5. Sea y(x) = 1+e−6t, establezca la EDO. A partir del esquema de Runge-Kutta de segundo orden, resuelva la EDO empleando 0 ≤ x ≤ 1 cony(0) = 2 y h = 0.1. Determine el error absoluto en x = 1.

6. Considere el problema y′ = −λy con y(0) = y0 y λ > 0. Emplean-do el metodo de Euler determine que yn se puede expresar como: yn =(1 − hλ)ny0.

7. Con el metodo de Euler resuelva la ecuacion logıstica

dp

dt= rp

(

1 − p

k

)

, p(0) = 0.1

con r = 0.5, k = 10 en el intervalo [0, 50]. Seleccione el tamano de paso hde tal forma que dos aproximaciones sucesivas con distintos h no difieranen mas de 10−2.

8. Considere el problema de valor inicial y′ = 2√

y en el intervalo [0, 1].Con el esquema de Runge-Kutta de cuarto orden, resuelva el problema

5.8. EJERCICIOS 167

planteado haciendo tender a cero la condicion inicial y(0) = 1/p con p →∞. Observe lo que sucede con la aproximacion en el punto final x = 1.Trate de explicar dicho comportamiento.

9. Considere el siguiente problema de valor inicial

dy(x)

dx+ 2y(x) = 3e−4x, y(0) = 1

cuya solucion analıtica es

y(x) =5e−2x − 3e−4t

2

determine la solucion aproximada en x = 1 utilizando el esquema de Eulery RK4. Seleccione el paso de integracion h de tal forma que ambas so-luciones aproximadas coincidan. ¿Cual es la ganancia de emplear RK4?,explique a detalle su respuesta.

10. Considere el problema de valor inicial y′ = y2 definido en 0 ≤ x ≤ 0.5con y(0) = 1. Mediante la transformada de Laplace determine la solucionanalıtica y(x) = (1 − x)−1; ver capıtulo 4. Compare los distintos esque-mas de Runge-Kutta para este problema y determine con cual esquemaobtenemos el menor error, manteniendo el mismo valor de h para todoslos casos.

Apendice A

Imaginemos que existe un conjunto de n funciones y0 (x) , y1 (x) , . . . , yn (x)y formemos una combinacion lineal de ellas

k0y0 (x) + k1y1 (x) + · · · + knyn (x) = 0 (A.1)

y agreguemos n−1 ecuaciones tomando la derivada de la ecuacion anteriorn − 1 veces, es decir

k0y′0 (x) + k1y

′1 (x) + · · · + kny′

n (x) = 0

k0y′′0 (x) + k1y

′′1 (x) + · · · + kny′′

n (x) = 0

...

k0yn−10 (x) + k1y

n−11 (x) + · · · + knyn−1

n (x) = 0

en notacion matricial, hemos formado un sistema de ecuaciones de la forma

W−→k =

−→0

169


donde

W =

y0 (x) y1 (x) y2 (x) · · · yn (x)y′0 (x) y′

1 (x) y′2 (x) · · · y′

n (x)y′′0 (x) y′′

1 (x) y′′2 (x) · · · y′′

n (x)...

...... · · ·

...yn−10 (x) yn−1

1 (x) yn−12 (x) · · · yn−1

n (x)

−→k =

k0

k1

...kn

,−→0 =

00...0

claramente para que el sistema tenga solucion no trivial, es decir, que almenos un ki 6= 0, el determinante de la matriz W debe ser igual a cero (ver[11]). Esto implicarıa que en la combinacion (A.1) las funciones sean lineal-mente dependientes. Por el contrario, si aseguramos que el determinante deW sea distinto de cero, se tiene la solucion trivial k0 = k1 = · · · = kn = 0,y esto garantiza que las funciones en la combinacion (A.1) sean linealmenteindependientes.

Apendice B

En este apartado, mostramos las transformadas de Laplace mas fre-cuentemente utilizadas, ası como, un breve sumario de las propiedades dela transformada de Laplace.

171


Propiedades de f (t) Transformada de Laplace

(Linealidad) af (t) ± bg (t) aF (s) ± bG (s)

f ′(t) sF (s) − f(0)

f ′′(t) s2F (s) − sf(0) − f ′(0)

fn(t) snF (s) − sn−1f(0) − · · · − fn−1(0)∫ t

0f(τ)dτ 1

sF (s)

U (t − a) =

f (t − a) t > a

0 t < ae−asf(s)

f(t) ∗ g(t) F (s)G(s)

−tf(t) F ′ (s)

(−1)ntnf (t) F (n) (s)

f(t)t

∫∞s

F (u)du

f(at) 1aF ( s

a)

Tabla 1: Propiedades de la Transformada de Laplace.

5.8. EJERCICIOS 173

Funcion f (t) Transformada de Laplace F (s)

1 1s

K (cte.) Ks

eat 1s−a

t 1s2

tn n¡sn+1

1√t

√

πs

eattn n¡(s−a)n+1

δ (t) 1

δ (t − a) e−as

H (t − a) =

1 t > a

0 t < a

e−as

s

sen(t) 1s2+1

cos(t) ss2+1

sen(at) as2+a2

cos(at) ss2+a2

eatsen(bt) b

(s−a)2+b2

eatcos(bt) (s−a)

(s−a)2+b2

senh(at) as2−a2

cosh(at) ss2−a2

Tabla 2: Transformadas Basicas de Laplace.

Apendice C

El uso eficiente de la transformada de Laplace requiere de un metodoalgebraico llamado fracciones parciales. La idea general es descomponeruna fraccion como una suma de fracciones, esto con el objeto de aplicar latransformada de Laplace a cada sumando empleando las tablas de trans-formadas, ver apendice B.

Lo primero que se tiene que hacer es factorizar el denominador queaparece en la fraccion. A partir de la estructura de los factores obtenidos,se presentan cuatro casos:

1) Si en la factorizacion existen polinomios de primer orden y todosellos distintos, entonces la fraccion se puede descomponer en la forma

A1

x + a1+

A2

x + a2+

A3

x + a3+ · · · + An

x + an

2) Si algun factor en el denominador de la fraccion es un polinomiolineal y se repite n veces, entonces la descomposicion correspondiente aese factor se expresa como

A1

x + a1+

A1

(x + a1)2 + · · · + A1

(x + a1)n

175


3) Si algunos factores son polinomios cuadraticos irreducibles (irredu-cible en el sentido de que el polinomio no se puede factorizar en terminosde numeros reales) y cada uno de ellos son distintos, entonces la descom-posicion en fracciones parciales correspondiente tiene la forma

A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2

a2x2 + b2x + c2+ · · · + Anx + Bn

anx2 + bnx + cn

4) Finalmente, si algun factor es un polinomio cuadratico irreducible yse repite n veces, entonces la descomposicion correspondiente a ese factores

A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2

(a1x2 + b1x + c1)2 + · · · + Anx + Bn

(a1x2 + b1x + c1)n

El denominador de la fraccion puede presentar alguna combinacion delos casos anteriores. Notemos que en cada caso en las fracciones parcialesaparecen constantes que deben ser determinadas, lo que implica resolverun sistema lineal de ecuaciones simultaneas con los metodos ya conocidosdel algebra lineal.

Para ilustrar el metodo encontremos las fracciones parciales para elejemplo 8 del capıtulo 2. Se tiene la fraccion

1

u2 − 9

notemos que el denominador de esta fraccion es una diferencia de cuadra-dos la cual se puede factorizar en la siguiente forma

1

u2 − 9=

1

(u − 3)(u + 3)

Los factores que aparecen en el denominador son polinomios de primerorden distintos, los cuales corresponden al primer caso planteado para las

5.8. EJERCICIOS 177

fracciones parciales en este apendice, entonces se tiene que

1

(u − 3)(u + 3)=

A

u + 3+

B

u − 3(C.1)

multiplicando ambos miembros de (C.1) por (u−3)(u+3) y simplificandose obtiene una expresion para el numerador

1 = A(u + 3) + B(u − 3) (C.2)

igualando los coeficientes en ambos miembros de C.2 se obtienen dos ecua-ciones algebraicas con dos incognitas A,B

A + B = 0

3A − 3B = 1

Multiplicando por −3 a la primera ecuacion y sumando el resultado con lasegunda, obtenemos B = −1/6 y, sustituyendo el valor de B en la primeraecuacion A = 1/6.

Como segundo ejemplo ilustrativo encontremos las fracciones parcialespara el ejemplo 16 del capıtulo 4. Observemos que el denominador de laexpresion (4.20) se puede factorizar en la forma

x3 + 2x2 − 3x = x(x2 + 2x − 3)

= x(x − 1)(x + 3)

vemos que el polinomio del denominador se puede factorizar como un pro-ducto de tres polinomios de primer orden todos ellos distintos. Esto co-rresponde al primer caso de las cuatro posibilidades mencionadas en esteapendice, por lo que la expresion se puede factorizar en la forma

4x2 + 13x − 9

x3 + 2x2 − 3x=

A

x+

B

x − 1+

C

x + 3(C.3)

Nota. Este es un caso particular de la descomposicion en fracciones parcia-les consideradas en el caso 1. Existen otros casos que involucran terminos


en el numerador de la forma Ax + B mismos que no se consideraran eneste libro.

Si multiplicamos ambos lados de la igualdad (C.3) por x(x− 1)(x+3),tenemos(

4x2 + 13x − 9

x3 + 2x2 − 3x

)

(x(x−1)(x+3)) =

(

A

x+

B

x − 1+

C

x + 3

)

(x(x − 1)(x + 3))

simplificando ambos numeradores

4x2 + 13x − 9 = A(x − 1)(x + 3) + B(x(x + 3)) + C(x(x − 1))

4x2 + 13x − 9 = A(x2 + 2x − 3) + B(x2 + 3x) + C(x2 − x)

4x2 + 13x − 9 = Ax2 + 2Ax − 3A + Bx2 + 3Bx + Cx2 − Cx

agrupando cada termino tenemos que

4x2 + 13x − 9 = (A + B + C)x2 + (2A − C + 3B)x − 3A

e igualando los monomios correspondientes

4x2 = (A + B + C)x2

13x = (2A − C + 3B)x

−9 = −3A

resulta el siguiente sistema de tres ecuaciones para las tres incognitasA,B,C, esto es

4 = A + B + C (C.4)

13 = 2A − C + 3B (C.5)

−9 = −3A (C.6)

Notemos que la ecuacion (C.6) se puede resolver directamente

A = 3

5.8. EJERCICIOS 179

sustituyendo A = 3 tanto en (C.5) como en (C.4), y sumando la ecuacion(C.5) a la ecuacion (C.4) se obtiene

B = 2

finalmente sustituyendo los valores de A y B en (C.4) y despejando C

C = −1

por lo que se obtiene

4x2 + 13x − 9

x3 + 2x2 − 3x=

3

x+

2

x − 1− 1

x + 3

que es precisamente la expresion (4.21).

Bibliografıa

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Ecuaciones diferenciales ordinaris. José Antonio Muñoz Gómez, Omar Aguilar Loreto

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