SECRETARÍA DE EDUCACION PÚBLICA

TECNOLOGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ

Carrera: Ingeniería Mecánica

Materia: Ecuaciones Diferenciales

Clave del Grupo: 4Ñ2-D

Arenas Flores Andrea Lisette

Tema: Ecuaciones Diferenciales Autónomas

Semestre: 3º

Docente

Pedro Javier García Ramírez

Agosto-Diciembre 2015 H. Veracruz, Ver.

Ecuaciones Diferenciales Autónomas

Definición.- Ecuación diferencial autónoma de primer orden.

Una ecuación diferencial autónoma de 1er orden es una ecuación de la forma

Donde F(y) es una función dada continua.

Nota: Si en vez de usar la notación y=y(x) para las soluciones usamos la notación x=x(t), la ecuación

diferencial de 1er orden es x = F(x).

Ejemplos: es una ecuación diferencial autónoma de 1er orden. También lo es x √ . En

cambio es una ecuación diferencial de 1er orden no autónoma; x

también es una ecuación diferencial no autónoma.

Definición.- Ecuación diferencial autónoma de segundo orden.

Una ecuación diferencial autónoma de 2do orden es una ecuación de la forma

Donde F(y,y´) es una función dada continua de dos variables reales.

Ejemplos: La ecuación diferencial es autónoma de 2do orden, pues donde la función F es F(u,v) = -3u – 4v

La ecuaci´on diferencial y” + 4y′ + 3y = 0 es aut´onoma de 2do orden, pues y” = −3y − 4y′ = F(y, y′)

donde la función F es F(u, v) = −3u − 4v (u, v) ∈ R2. La ecuación diferencial y” + 4y = 0 también es

autónoma de 2do orden pues y” = −4y = F(y, y′) donde F(u, v) = −4u (u, v) ∈ R2. La ecuación

diferencial y” + 4xy′ + 3y = 0 es lineal de 2do orden homogénea, pero es no autónoma porque y” =

−3y− 4xy′ no puede escribirse como función continua que depende solo de y e y´, (depende además de

x).

Definición. Ecuación diferencial autónoma de orden k ≥ 1

Sea k ≥ 1 un úmero natural dado. Una ecuación diferencial autónoma de orden k es una ecuación de la

forma

y(k)

= F(y, y′, y”, . . . , y(k−1)

)

donde F es una función dada continua de k variables reales, e y(k)

, y(k−1)

, etc, denotan la derivada

k-ésima, (k − 1)-ésima, etc, respectivamente de una función solución y = y(x).

Definición. Puntos de equilibrio o soluciones estacionarias

Se llama punto de equilibrio o solución estacionaria de una ecuación diferencial a una solución y(x) = a

constante para todo x ∈ R. Es decir, las soluciones estacionarias o puntos de equilibrio son

aquellas cuyas graficas son rectas horizontales.

Los puntos de equilibrio o soluciones estacionarias de una ecuación diferencial autónoma de

1er orden y′ = F(y) son todas las funciones constantes (de la forma y(x) = a constante para

todo x) tales que la constante real a satisfacer F(a) = 0. Por ejemplo, si la ecuación diferencial es

y′ = y 2 − 1, los puntos de equilibrio son dos: y(x) = 1 x ∈ R e y(x) = −1 x ∈ R porque a = 1

y a = −1 son las ´únicas raíces de la ecuación a 2 − 1 = 0. Otros ejemplos: la ecuación diferencial

x˙ = x2 + 1 no tiene puntos de equilibrio o soluciones estacionarias, porque la ecuación a 2 + 1 = 0

no tiene soluciones reales a. La ecuación diferencial ˙x =√x tiene una ´única solución estacionaria

o punto de equilibrio que es x(t) = 0 t ∈ R.

Los puntos de equilibrio o soluciones estacionarias de una ecuación diferencial autónoma de

2do. orden y” = F(y, y′) son todas las funciones constantes (de la forma y(x) = a constante para

todo x) tales que la constante real a satisfacer F(a, 0) = 0. Por ejemplo, si la ecuación diferencial

es y” = −4y′ − 3y, el punto de equilibrio es uno solo: y(x) = 0 x ∈ R porque a = 0 es la ´única

raíz de la ecuación −4 · 0 − 3a = 0. Otros ejemplos: la ecuación diferencial y” = y2 + 1 no tiene

puntos de equilibrio o soluciones estacionarias, porque la ecuación a2 + 1 = 0 no tiene soluciones

reales a. La ecuación diferencial y′′ = y2 + y′ − 1 tiene dos soluciones estacionarias o puntos de

equilibrio que son y(x) = 1 x ∈ R, e y(x) = −1 x ∈ R.

El primer teorema que estableceremos es de particular importancia en el estudio de los sistemas

autónomos. Indica que las soluciones de un sistema autónomo se pueden en cierto sentido ``trasladar".

Teorema 1 Si es una solución de la ecuación , entonces para todo

definida por , es también una solución maximal de la misma ecuación.

En efecto, para todo

Ahora para todo

Además,

de donde se concluye que

La interpretación del teorema anterior es bastante simple. Si es una solución de (1) y si

sustituimos por , entonces obtenemos una nueva función la cual también es

solución de (1). Si por ejemplo, y son soluciones del sistema

Entonces, y también son soluciones.

Como una observación importante se podría señalar que el teorema anterior no es válido si la

función del lado derecho de (1) depende explícitamente de la variable .

Enunciamos a continuación un teorema de existencia y unicidad para sistemas autónomos. La

demostración se puede consultar en .

Teorema 2 Sean y la ecuación diferencial

Dadas las hipótesis del teorema global de existencia y unicidad, entonces por todo punto de pasa

una y solamente una órbita maximal

Un teorema de particular interés en sistemas dinámicos es el siguiente.

Teorema 3 Sea una solución de la ecuación . Si , para

algunos y entonces es idénticamente igual a .

Lo que establece este teorema es que si una solución de la ecuación (1) regresa a su valor inicial

después de algún tiempo , entonces tal solución debe ser periódica con periodo .

La demostración de este resultado es simple. Sea una solución de y supóngase que

, para algunos y . Entonces la función es también

solución que coincide con en el tiempo . Por el teorema de existencia y unicidad se

concluye el resultado.

La propiedad anterior es muy útil sobre todo en el caso en que . Por ejemplo

sea y una solución periódica del sistema de ecuaciones diferenciales

Si y , entonces la órbita de la solución es una curva cerrada en

el plano , ya que en cualquier tiempo , la solución se mueve a lo largo de .

Recíprocamente, supongamos que la órbita de la solución , de la ecuación anterior

es una curva cerrada que no contiene puntos críticos de (2). Entonces la solución

, es periódica. En efecto, observemos que que tal solución se mueve a lo largo de su órbita

con velocidad . Si su órbita no contiene puntos críticos de (2), entonces la

función posee un mínimo positivo para en . Por lo tanto, la órbita

de , debe regresar a su punto inicial , en algún tiempo

finito , pero esto implica que y que , para toda .

Como un ejemplo interesante a esto, consideremos la siguiente ecuación diferencial de segundo orden

Mostremos que cualquier solución de esta ecuación es periódica. Lo primero que se hace es pasar la

ecuación a un sistema de ecuaciones equivalentes, es decir que si hacemos y ,

entonces obtenemos el sistema

Las órbitas del sistema anterior son las curvas solución de

de la ecuación . El único punto crítico del sistema es , por consiguiente

toda solución , es una función periódica en el tiempo. Sin embargo, no es posible

calcular el período de ninguna solución particular.

Otro ejemplo interesante es el siguiente. Demostrar que toda solución del sistema de ecuaciones

diferenciales

es periódica. En primer lugar observemos que las órbitas de la ecuación anterior son las curvas

solución de la ecuación de primer orden . Es

más, y es el único punto crítico del sistema. Por lo tanto, toda solución

, del sistema anterior es una función periódica del tiempo.

[width=3.00in,height=2.86in]images/figura1a.eps

Por último, se enunciarán y demostrarán resultados sobre el conjunto de los períodos de la función

. Básicamente se mostrará que sólo existen tres tipos de trayectorias: curvas

cerradas, un único punto y las trayectorias sin puntos dobles.

Teorema 4 El conjunto de todos los períodos de la función definida por , es un

subgrupo cerrado del grupo de los números reales.

Sean y dos períodos de , entonces se sigue que

de donde se deduce que es también un período. Esto demuestra que el conjunto de los

períodos es un subgrupo. Falta demostrar que tal subgrupo es cerrado. Sea una sucesión de

períodos tales que . Del hecho de que es continua se sigue que

Esto demuestra que el conjunto de períodos es un conjunto cerrado.

Otro resultado fundamental es el siguiente.

Teorema 5 Todo subgrupo cerrado de es alguna de las siguientes posibilidades:

.

.

, para algún .

Supongamos que , entonces existe al menos un elemento positivo. Esto se sigue del hecho de

que si , entonces su inverso y pertenece a . Sea . Es

fácil mostrar que . Si , se sigue que , ya que es un subgrupo, y

además que todos los elementos de la forma también pertenecen a . Mostremos que cualquier

elemento q ue no sea de esta forma no puede estar en . En efecto, los elementos de

forma dividen a en intervalos abiertos de la forma . Supongamos que un

elemento de estos intervalos también está en , entonces tendríamos que y

que . Como , se sigue que

de donde resulta que , lo que contradice la suposición de que es el ínfimo de los

elementos positivos de . Por lo tanto, el caso no se puede dar.

Si , entonces para todo , existe en un elemento tal que, , y esto

significa que los elementos del tipo pertenecen a y dividen a en intervalos de longitud

menor que . De la arbitrariedad de se puede concluir que en cualquier vecindad de un elemento

de siempre existen elementos de , y como es cerrado, se sigue que . Esto demuestra

el teorema.

De los teoremas anteriores podemos deducir que el conjunto de todos los períodos de es o

todo o todos los múltiplos enteros del menor período . Esto significa que si una órbita se corta a

sí misma existen dos posibilidades:

La solución es constante y la órbita se reduce a un único punto, el cual se denomina punto de

reposo.

La solución es periódica con período y la órbita es una curva cerrada, la cual se denomina

ciclo.

Se puede concluir que solamente existen tres tipos de órbitas , las dos anteriores y las órbitas sin puntos

dobles, es decir, que no se autointersecan. De los tres tipos, el estudio del primero resulta de gran

importancia desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas. En particular resulta muy útil

determinar el comportamiento de un sistema físico, en una vecindad del punto de reposo.