ECUACIONES HOMOGNEASDefinicin:Una ecuacin diferencial de primer orden que se puede llevar a escribir de la forma:

se denomina ED de priemer ordenhomognea.

Procedimiento:

Para resolver una ecuacin diferencial homognea se procede a efectuar las siguientes sustituciones:

Ejemplo ilustrativo:

Ejercicios2.4En los problemas1a10,determine si la funcin dada es homognea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad.

En los problemas11a30,resuelva la ecuacin diferencial dada usando una sustitucin apropiada:

1.Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogneas y resolverlas:

ECUACIONES EXACTAS

Definicin:

Sea la ecuacin diferencial:

Procedimiento:

Ejemplo ilustrativo:

Ejercicio2.2

En los problemas1a24determine si la ecuacin dada es exacta. Si lo es, resulvala.

En los problemas25-30resuelva la ecuacin diferencial dada sujeta a la condicin inicial que se indica:

En los problemas31-34halle el valor de k de modo que la ecuacin diferencial correspondiente sea exacta:

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDENIntroduccin:Una ecuacin diferencial lineal de primer orden se escribe, usualmente, de la forma:

Existen varios mtodos ideados para resolver una ecuacin lineal de primer orden. El primero de ellos, que se denominamtodo del factor integrante, utiliza el siguiente factor de integracin:

Como se puede observar el factor de integracin depende de la funcin coeficiente deyen (1), esto es, depende dep(x).

Los otros dos mtodos que vamos a estudiar aqu se llaman, respectivamente,variacin de la constante de Lagrangeyalgoritmo de los coeficeintes indeterminados.

Factor integrante:Es posible deducir un factor de integacin adecuado,u(x), que facilite el hallazgo de la solucin de una ecuacin diferencial lineal de primer orden. Veamos:

Procedimiento:Para resolver una ecuacin diferencial lineal de primer orden se procede como sigue:1.Se lleva la ecuacin dada a la forma:

2.Se identifica el coeficiente dey, esto es, la funcin p(x)y se determina el factor integrante dado por:

3.Se multiplica la ecuacin obtenida en el paso1por el factor de integracin calculado en el paso2:

4.Se observa que el miembro izquerdo de la ecuacin tiene la forma expandida de la derivada de un producto; se escribe esta derivada en la forma no expandida:

5.Se integran ambos miembros de la ecuacin obtenida en el paso4:

6.Se despeja la funciny:

Ejemplo ilustrativo 1:Resuelva la siguiente ecuacin:

Ejercicios2.3En los problemas1a24, determine la solucin general de la ecuacin diferencial dada. Indique el intervalo I ms largo en el que est definida la solucin general. Determine si hay algunos trminos transitivos en la solucin general:

ECUACIONES DE BERNOULLIDefinicin:Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son aquellas de la forma, o que, mediante manipulaciones algebraicas pertinentes, pueden llevarse a escribir como:

Es de notar que si n= 0 n=1, entonces la ED (1) es lineal y se puede resolver, por ejemplo, hallando un factor de integracin adecuado como se explica en la seccin correspondiente. Ahora bien, sines diferen de 0 y de 1, entonces se trata de una ecuacin diferencal no-lineal; sinembargo, mediante un mtodo ingeniado por Leibniz en 1696, es posible reducirla a una ecuacin lineal usando la sustitucin:

Veamos:

Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:

Ejemplo ilustrativo:Resolver la siguiente ecuacin:

Apuntessobre ecuaciones diferenciales

http://www.ecuacionesdiferenciales.jcbmat.com/id223.htm