7/21/2019 ecuaciones diferenciales

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6.4 solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales

Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como

( )

( )

( )nnn

n

n

 y y y x f  dx

dy

 y y y x f  dxdy

 y y y x f  dx

dy

,...,,

,...,,

,...,,

21

2122

211

1

=

=

=

La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.

Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de

 primer orden.

Escriba la ecuación diferencial ordinaria yn! "  f  x,  y,  y’ ,  y´´ , ..., yn - 1!! como un sistema de ecuaciones de primer orden #aciendo las sustituciones

 y1 = y, y2 = y’ , ..., yn = yn - 1!

Entonces$

 y´ 1 = y2

 y´ 2 = y3

 y’ n " f  x, y1, y2, y3, ..., yn !

es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias.

%or e&emplo, considere el problema de valor inicial.

 y´´´ -' y’’  ( y’y = )  y )! " )  y´  )! " 1  y** )! " +1

espe&e en la ecuación diferencial, para su derivada de ma-or orden escribiendo  y´´ * en trminos de x - de

sus derivadas de orden menor  y´´´  " ' y´´ +  y´y. /i #acemos las sustituciones

 y1 = y y2 = y’ y3 = y´´ 

entonces

 y´ 1 = y2

 y´ 2 = y3

 y3’ = ' y3 + y2 y1

con las condiciones iniciales

 y1 )! " ) y2 )! " 1

 y' )! " +1

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Ejemplo 6.5

0esolver el problema de valores en la frontera definido por la ecuación$

)2

2

=+ ydx

 yd 

si y)! " 1, y′    )! " 2 - calcular el valor de y1!.

nal3ticamente

Teorema.

/i la ecuación au5iliar m2  bm c " ) tiene las ra3ces comple&as s ± ti, entonces la solución general

de y′′      by′      cy " ) es y " e sx c1 cos tx  c2 sen tx!”

En el e&emplo, para la ecuación au5iliar b " ) - c " 1 →  m2  1 " ) →  m " ± i

%or ello, s " ) - t  " 1, - la solución general queda$

 y " e)!5 c1 cos 1! x  c2 sen 1! x!

 y " c1 cos x  c2 sen x

 y′      " c2 cos x ( c1 sen x

/ustitu-endo las condiciones en la frontera

 y)! " c1 cos )! c2 sen )! " 1   → c1 " 1

 y′     )! " c2 cos )! ( c1 sen )! " 2   → c2 " 2

 y " cos x  2sen x y(1) = cos (1) + 2sen (1) = 2.223244

Utili7ando el paquete Polymath, para  x  =1,  y = 2.2232

 8umricamente

Usando el mtodo de 0unge+9utta de segundo orden mtodo de 0alston! con h " ).:, y)! " 1, y′    )! " 2

)2

2

=+ ydx

 yd 

)1

1 =+   

  

 ydx

dy

dx

d 

2

1  ydxdy =

1

2

1

2 )   y

dx

dy y

dx

dy−=→=+

Ecuaciones del mtodo$+

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 y j, i+1 = y j, i  + (  k 1, j  +  k 2, j ) h

k 1, j  = f  j  ( x i , y1, i , y2, i ,..., yn, i );

k 2, j  = f  j  ( x i + h,  y1, i + h k 1, 1,  y2, i + h k 1, 2,...,  yn, i + h k 1, n,)

 xi " ) y1, i " 1 y2, i " 2

k 1, 1 " f 1 ), 1, 2! " 2

k 1, 2 " f 2 ), 1, 2! " +1

 xi h " )  ).:! " ).';:

 y1, i   h k 1, 1 " 1  ).:!2! " 1.;:

 y2, i   h k 1, 2 " 2  ).:!+1! " 1.62:

k 2, 1 " f 1 ).';:, 1.;:, 1.62:! " 1.62:k 2, 2 " f 2 ).';:, 1.;:, 1.62:! " +1.;:

 y1 ).:! " 1  2!  1.62:! ).:!

 " 1.<;:

 y2 ).:! " 2  +1!  +1.;:! ).:!

 " 1.2:

 xi " ).: y1, i " 1.<;: y2, i " 1.2:

k 1, 1 " f 1 ).:, 1.<;:, 1.2:! " 1.2:

k 1, 2 " f 2 ).:, 1.<;:, 1.2:! " +1.<;:

 xi h " ).:  ).:! " ).<;:

 y1, i   h k 1, 1 " 1.<;:  ).:!1.2:!

  " 2.'4';:

 y2 , i   h k 1, 2 " 1.2:  ).:!+1.<;:!

  " ).:46<;:

k 2, 1 " f 1 ).<;:, 2.'4';:, ).:46<;:!  " ).:46<;:

k 2, 2 " f 2 ).<;:, 2.'4';:, ).:46<;:!

  " +2.'4';:

 y1 (1) =

1.875 + [( (1.25) + (0.546875)](0.5)

= 2.265625

 y2 (1) =

1.25 + [ (-1.875) + (-2.34375)](0.5)

= 0.15625

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