ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO:

Definicin.Las ecuaciones de segundo gradoson de la formaax2+ bx + c = 0,siendoa, bycnmeros reales (siendo a distinto de cero), dondexrecibe el nombre de variable o incgnita,aybse llamancoeficientesde las incgnitas ycrecibe el nombre detrmino independiente.Hemos exigido queasea no nulo, ya que en caso de serlo, tendramos una ecuacin de primer grado.

Clasificacin.Las ecuaciones de segundo grado se van a clasificar en:

a. Completas: Si son de la forma:ax2+bx+c=0,siendo a, b y c nmeros reales distintos de cero.a. Incompletas: Distinguiendo dos casos: Si b = 0, quedando la ecuacin ax2+ c = 0 Si el trmino independiente c = 0, quedando la ecuacinax2+ bx =0 Si b=0 y c=0,quedando la ecuacinax2= 0Nmero de soluciones reales. Discriminante. La ecuacin de segundo grado:ax2+bx+c=0puede tener una, dos o ninguna solucin Para averiguarlo sin tener que resolver la ecuacin vamos a recurrir al discriminantede una ecuacin de segundo grado. El valor del discriminante (al que vamos a llamarD) viene dado porD =b2- 4acSi D > 0, la ecuacin tiene dos soluciones reales distintas. SiD = 0, la ecuacin tiene dos soluciones reales iguales (Una solucin doble).Si D < 0, la ecuacin no tiene solucin real.Resolucin. La siguiente expresin o frmula, nos permite hallar las races o soluciones de la ecuacin de segundo grado.

Para ello, basta con identificar los coeficientes a, b y c de la ecuacin , sustituir sus valores en dicha frmula y hacer las operaciones indicadas.A continuacin, veamos cmo se obtiene dicha frmula en 7 pasos:Sea la ecuacin de segundo gradoax2+bx+c=0.1, asilamos el trmino independienteax2+bx =-c2, multiplicamos ambos miembros por 4a:4a2x2+4abx =-4ac3, sumamos b2en ambos miembros:4a2x2+4abx + b2=-4ac + b24, considerando las identidades notables(2ax+b)2=-4ac + b25, extraemos la raz cuadrada

6, pasamos b al segundo miembro 7, despejamos x

La expresin que acabamos de ver, permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado. Sin embargo, las ecuaciones de segundo grado incompletas, se pueden resolver de forma ms sencilla todava, sin necesidad de utilizar dicha expresin: Las ecuaciones incompletas, del tipoax2+bx= 0, se resuelven sacando factor comn x, e igualando los dos factores a cero, esto es:Sea la ecuacin de segundo gradoincompletaax2+bx=0

Las ecuaciones incompletas, del tipoax2+c = 0, se resuelven despejandox2, y posteriormente para obtener x, considerar la solucin positiva y la negativa de la raz cuadrada, esto es:Sea la ecuacin de segundo gradoincompleta ax2+c=0.

Relacin de ejercicios.Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadrticasEn los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como unaecuacin de segundo grado.Para hacerlo, hay que entender la lgica del problema, identificando comoxa una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuacin.Hay que destacar que slo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del lgebra.Problema 1La suma de dos nmeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos nmerosPrimero se asigna la variablexa una de las incgnitas del problema. Hay dos incgnitas que son ambos nmeros, como el problema no hace distincin entre uno y otro, puede asignarsexa cualquiera de los dos, por ejemplo:x = Primer nmeroComo la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro ser:10 x = Segundo nmeroPara entenderlo mejor:Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, Cunto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 400 = $ 600. Si su amigo tiene $x, la cuenta no cambia, slo que no sabr el valor sino en funcin dex, es decir, usted tiene 1.000 x .La condicin final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos nmeros resulta 58, entonces:x2+ (10 - x)2= 58Esta es la ecuacin a resolverPara hacerlo, aplicamos algunas tcnicas delgebra elementaly luego reordenamos para llegar a la frmula conocida.Vemos que la operacin indicada entre parntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy comn que los estudiantes escriban: (a b)2= a2 b2, lo cual es incorrecto. La expresin correcta es: (a b)2= a2 2ab + b2Desarrollando la ecuacin se tiene:x2+ 102 210x + x2= 58 = x2+ 100 20x + x2= 58Ordenando y agrupando:2x2 20x+ 42 = 0;Dividiendo entre 2 toda la ecuacin:x2 10x + 21 = 0Ahora podemos aplicar la frmula general para resolver la ecuacin de segundo grado y llegaremos ax1= 7yx2= 3.

Veamos, si tenemosa = 1, b = 10 c = 21

Los nmeros buscados son 7 y 3.Problema 2El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el rea se duplica. Halle el rea original de la sala.Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variablexse asigne a cualquiera de las dos incgnitas, largo o ancho.Supongamos que:x = ancho de la salaEl largo es 3 metros mayor que el ancho, as es que:x + 3 = largo de la sala.El rea de un rectngulo es la multiplicacin de ambos:x (x + 3 ) = rea de la sala.Tngase en cuenta que estos son los datos iniciales.Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, as que, luego del aumento quedan:x + 3 = nuevo ancho de la salax + 5 = nuevo largo de la sala(x + 3 ) (x + 5) = nueva rea de la salaSegn los datos del problema, el rea se ha duplicado, as es que planteamos la ecuacin:(x + 3 ) (x + 5) = 2 x (x + 3)Se efectan las multiplicaciones:x2+ 5x + 3x + 15 = 2x2+ 6xSe pasa todo al primer miembro:x2+ 5x + 3x + 15 2x2 6x = 0Se simplifica: x2+ 2x + 15 = 0Esta es la ecuacin a resolver.Se aplica la frmula conocida y resulta:x1= 5yx2= 3.La solucinx = 3se desecha, ya quexes el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como nica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros.Como el largo inicialx + 3 = 8metros,el rea original era 8m 5m = 40 m2.Problema 3Halle el rea y permetro del tringulorectngulo mostrado. Las dimensionesestn en metrosComo es un tringulo rectngulo se cumple elTeorema de Pitgoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2= a2+ b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuacin:(x + 3)2+ (x 4)2= (2x 5)2Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene:x2+ 2 3 x + 32+ x2 2 4 x + 42= (2x)2 2 (2x) 5 + 52= x2+ 6x + 9 + x2 8x + 16 = 4x2 20x + 25Reagrupando:x2+ 6x + 9 + x2 8x + 16 4x2+ 20x 25 = 0Finalmente:2x2+ 18x = 0Es la ecuacin a resolverLas races de la ecuacin sonx1= 0yx2= 9.La solucinx = 0se desecha, ya que entonces un cateto sera 4 m, lo cual no es posible. La solucin es entonces,x = 9. De esta manera, el tringulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.El rea de un tringulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que estn a 90 , por lo tanto el rea es

El permetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m =30 m.

Nota final:Cada mtodo de solucin es aplicable segn sea la naturaleza de la ecuacin cuadrtica, pero siempre es posible aplicar el mtodo de completacin de cuadrado de binomio y el de la aplicacin de la frmula de las soluciones generales de una ecuacin cuadrtica.