ÁLGEBRA

Ecuaciones de primer grado

ACLARACIONES PREVIAS

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN? Una ecuación es una IGUALDAD MATEMÁTICA (=) entre 2 EXPRESIONES ALGEBRAICAS, que sólo se cumple para algún o algunos valores de la INCÓGNITA/S (representadas mediante letra/s). Dicho de otro modo, una ecuación expresa, en lenguaje algebraico, una relación entre cantidades cuyo valor, de momento, no conocemos (esas cantidades son las incógnitas, y se representan por letras). Nos centraremos en las ecuaciones con una única incógnita. (Para ecuaciones con más de una incógnita, ver SISTEMAS DE ECUACIONES). Ejemplos:

a) 3(x – 1) = 3x – 3 No es una ecuación, es una identidad (si os fijáis la expresión de la izquierda de la igualdad, es la misma que la de la derecha de la igualdad - si quitáis el paréntesis -) Para cualquier valor de la “x” la igualdad se cumple.

b) 3(x – 1) = x + 1

Sí es una ecuación. La igualdad sólo se cumple para el valor “x = 2”.

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN El valor o valores de la incógnita que satisfacen la igualdad (los que hacen que la igualdad se cumpla), son la solución de la ecuación. En el ejemplo anterior, apartado b), la solución de la ecuación es “x = 2”.

¿QUÉ ES RESOLVER UNA ECUACIÓN? Consiste en encontrar el valor o valores de la incógnita que hacen que la igualdad se cumpla, es decir encontrar la solución. APLICACIÓN PRÁCTICA: Comprobar si la ecuación está bien resuelta. Ejemplo:

3(x – 1) = x + 1 La solución “x = 2” es correcta, ya que al cambiar la “x” por el 2 la igualdad se cumple: 3(2 - 1) ¿será igual a? 2 + 1

3·1 = 3 SÍ es igual, las dos partes de la igualdad nos dan 3

ÁLGEBRA

Ecuaciones de primer grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO. CARACTERÍSTICAS. En general, las ECUACIONES POLINÓMICAS son aquellas en que las expresiones algebraicas igualadas son POLINOMIOS. El mayor de los exponentes de la incógnita, nos dará el número máximo de soluciones de la ecuación y determinará su grado. (Para ecuaciones de mayor grado, ver ECUACIONES DE 2º GRADO o ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR A 2) En las de 1er GRADO, la incógnita estará elevada a 1. Tendrán como máximo una solución, es decir o tienen una, o no tienen (en cuyo caso será una ecuación anómala). ¿CÓMO LAS RESOLVEMOS? Deberemos seguir estos pasos por orden: PASO 1. Quitaremos los PARÉNTESIS, utilizando la DISTRIBUTIVA o el DESARROLLO DE IGUALDADADES NOTABLES. Recuerda:

DISTRIBUTIVA: 36123 xx

IGUALDADES NOTABLES:

222

22222

22222

93·3·

25105··2

912432··2

xxxbababa

xxxbbaaba

xxxbbaaba

PASO 2. Si tiene FRACCIONES, quitaremos los denominadores multiplicando ambos miembros de la ecuación (a la izquierda y derecha del igual) por el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (“m.c.m.”) de todos ellos (de todos los denominadores). Recuerda m.c.m:

Si todos los denominadores son números primos, el m.c.m. será su multiplicación. Por ejemplo: 305.3.2)5,3,2( mcm

Si el mayor de los denominadores es múltiplo de los demás, éste será el m.c.m. Por ejemplo: 20)20,5,2( mcm

Si no se cumple lo anterior:

1º Obtenemos los factores primos.

2º Multiplicamos los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente.

Por ejemplo:

5·3·230

5·220

5·315

:Pr

605·3·2)30,20,15(

.2

2

imosFactores

mcm

ÁLGEBRA

Ecuaciones de primer grado

7

8143

421382

6

42

6

1

23

4

6

42

3

1

2

1

3

22

22

22

x

xx

xxxx

xxxx

xxx

xx

PASO 3. Colocaremos los términos (monomios) con incógnita, a una parte de la igualdad, y los términos independientes (números sin incógnita) a la otra; de forma que al CAMBIAR DE PARTE, CAMBIE DE SIGNO. PASO 4. REDUCIR términos semejantes (agrupar, operar,…) PASO 5. DESPEJAR la incógnita, de manera que el número que la multiplica, pasa dividiendo.

a

bx

bax

Ejemplo:

Paso 1. (DISTRIBUTIVA e IGUALDADES NOTABLES)

Paso 2. (mcm6)

Paso 3. (TRANSPORTAR)

Paso 4. (REDUCIR).

El paso 5 no se aplica, ya que el coeficiente de la incógnita es 1.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO ANÓMALAS Son ecuaciones de primer grado que NO tienen solución, o tienen infinitas (en cuyo caso se llaman IDENTIDADES). ¿CÓMO LAS RECONOCEMOS? ECUACIONES DE PRIMER GRADO SIN SOLUCIÓN. Al resolver la ecuación llegaremos a una contradicción matemática, en la que 0x será igual a un número distinto de cero. (Es decir, llegamos a que cero es igual a un número distinto de cero, afirmación totalmente falsa). Ejemplo:

Ǝ Solución.

IÓNCONTRADICCx

xx

xx

xx

xx

#70

31066

10636

532

36

532

123

ÁLGEBRA

Ecuaciones de primer grado

ECUACIONES DE PRIMER CON INFINITAS SOLUCIONES (IDENTIDADES). Al resolver la ecuación llegaremos a una obviedad matemática, en la que 0x será igual a cero. (Es decir, llegaremos a que cero es igual a cero). Ejemplo:

Ǝ ∞ Soluciones.

IDENTIDADx

xx

xx

xx

xx

00

3366

3636

2

33

2

36

2

33

2

123