Muñoz Mata Brenda Guadalupe UPSLP A51

28/11/11

Cinemática

Ecuaciones de movimiento.

El mundo y todo lo que se encuentra en él se mueve incluso cosas

aparentemente estacionarias y a partir de experiencias cotidianas se reconoce

que el movimiento representa el cambio continuo de la posición de una

partícula. Estudiar el movimiento significa encontrar sus ecuaciones de

movimiento estas ecuaciones de movimiento son formulas

matematicas qe definen la evolución temporal de un sistema físico en el

espacio.

Una ecuación de movimiento puede determinar la posición de un móvil en

función de variables que afectan su movimiento como la velocidad y la

aceleración entre otras. Las cuales se explicaran a continuación.

Movimiento en una sola dimensión

Desplazamiento, velocidad y rapidez.

El movimiento de una partícula se conoce si su posición en el espacio se

conoce en todo momento. Si una partícula esta en movimiento se puede

determinar fácilmente el cambio en su posición. El desplazamiento de una

partícula se define como el cambio en su posición. Se usa la letra griega

(delta) para denotar cambio en cantidad, por lo tanto el desplazamiento se

escribe como x2-x1.

Una forma común de observar los cambios de posición en diferente momentos

es dividir el desplazamiento entre la duracin de un intervalo de tiempo .

A dicha proposición se le ha dado el nombre de velocidad promedio:

_

Vx

Donde el subíndice x indica movimiento a lo largo del eje x

Cuando se toman valores en muy pequeños se dice que tiende a cero, en

otras palabras la velocidad instantánea:

Vx =

Lo que en cálculo se conoce como la derivada de x respecto de t, y se escribe

.

Ya se definió la velocidad, y el desplazamiento por lo tanto ahora definiremos lo

que es la aceleración. Suponga que una partícula se mueve a lo largo del eje x

tiene una velocidad vxi al tiempo ti y una velocidad vxf al tiempo tf, lo que nos da

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la definición de la aceleración promedio la cual se define como el cambio en

velocidad vx dividido entre el intervalo durante el cual ocurre dicho cambio.

_

ax =

En algunas ocasiones el valor de la aceleración promedio puede ser diferente e

distintos intervalos, por lo tanto es útil definir la aceleración instantánea como el

límite de la aceleración promedio cuando tiende a cero.

ax =

Lo cual es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo. Puesto que

vx= , la aceleración también pued escribirse:

ax= = ( )=

Es decir en un movimiento unidimensional la aceleración es igual a la segunda

derivada de x con respecto al tiempo.

Movimiento unidimensional con aceleración constante.

Si la aceleración de una partícula varía con el tiempo, el movimiento puede ser

difícil de analizar. Sin embargo, un tipo muy común y simple de movimiento

unidimensional ocurre cuando la aceleración es constante, donde la

aceleración promedio en cualquier intervalo es igual a la aceleración

instantánea en cualquier instante durante el intervalo.

ax= ó vxf= vxi + aXt (para ax constante)

Esta expresión permite determinar la velocidad de un objeto en cualquier

tiempo t si se conoce la velocidad inicial y la aceleración (constante) del objeto.

Puesto que la velocidad constante varia linealmente en el tiempo es posible

expresar la velocidad promedio en cualquier intervalo de tiempo como la media

aritmética de la velocidad inicial, vxi y de la velocidad final vxf.

_

vx= (para ax constante)

Recordando que en la ecuación _

Vx representa xf-xi y ahora usando t en

lugar de puesto que se toma ti=0 se puede decir:

xf-xi = vxt= (vxi + vxf) t

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Se obtiene otra ecuación para el desplazamiento con aceleración constante al

sustituir la ecuación vxf= vxi + aXt en la ecuación xf-xi = vxt= (vxi + vxf) t:

xf-xi = (vxi + vxf + axt) t

xf-xi = vxit + axt2

Por último es posible obtener una expresión para la velocidad final que no

contenga un intervalo de tiempo sustituyendo el valor de t de la ecuación

vxf= vxi + aXt en la ecuación xf-xi = vxt= (vxi + vxf) t:

xf-xi = (vxi + vxf) ( )=

vxf2 = vxi

2 + 2ax (xf-xi) (para ax constante)

Ahora se muestran todas las ecuaciones cinemáticas para el movimiento en

una línea recta bajo aceleración constante, que hemos descrito anteriormente.

vxf= vxi + aXt Velocidad como función del tiempo

xf-xi= vxt= (vxi + vxf) t Desplazamiento como función de la velocidad y el tiempo

xf-xi = vxit + axt2 Desplazamiento como función del tiempo

vxf2 = vxi

2 + 2ax (xf-xi) Velocidad como función del desplazamiento

Nota: El movimiento es a lo largo del eje x.

Movimiento en dos dimensiones

Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración.

Ahora se describirá la posición del movimiento en el plano xy . Primero se

describe la posición de una partícula con un vector de posición r, trazado desde

el origen de algún sistema de coordenadas hasta la partícula que se encuentra

en el punto A, y en algún instante posterior tf la partícula esta en el punto B. La

trayectoria de A a B no tiene que ser necesariamente una línea recta. Cuando

la partícula se mueve de A a B en el intervalo de tiempo tf-ti, el vector de

posición cambia de ri a rf. Como sabemos el desplazamiento es un vector, y el

desplazamiento de una partícula es la diferencia entre su posición final y su

posición inicial. Ahora se define formalmente el vector de desplazamiento

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como la diferencia entre su vector de posición final y su vector de posición

inicial:

rf-ri

En la cinemática bidimensional (o tridimensional), todo es igual que en la

cinemática unidimensional, excepto que ahora se deben usar vectores en lugar

de signos más y menos para indicar la dirección del movimiento. Por lo tanto se

define a la velocidad promedio de la partícula durante el intervalo de tiempo

como el desplazamiento de la particula dividido entre el intervalo de tiempo:

_

V

Considere otra vez el movimiento de una partícula entre dos puntos, xy; conforme los intervalos de tiempo sobre los cuales se observa el movimiento se vuelven mas y mas pequeños, la dirección del desplazamiento se aproxima a la de la línea tangente y a la trayectoria en el punto A. Esto lleva a la definición de la velocidad instantánea, la cual se define como el límite de la

velocidad promedio , cuando tiende a cero:

_

V =

Se dice que tiende a cero cuando se toman intervalos de tiempo muy pequeños

los cuales son tan pequeños que se aproximan a cero.

Cuando una partícula se mueve de un punto a otro a lo largo de cierta

trayectoria, su vector de velocidad instantánea cambia de vi en el tiempo ti a vf

en el tiempo tf. Conocer la velocidad en estos puntos permitirá determinar la

aceleración promedio de la partícula:

La aceleración promedio de una partícula cuando se mueve de una posición a

otra se define como el cambio del vector de velocidad instantánea, , dividido

entre el tiempo durante el cual ocurrió dicho cambio:

=

Puesto que la aceleración promedio es la relación entre una cantidad

vectorial, , y una cantidad escalar, , se concluye que es una cantidad

vectorial dirigida a lo largo de .Por definición vf-vi.

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Cuando la aceleración promedio de una partícula cambia durante diferentes

intervalos de tiempo, se define su aceleración instantánea como el valor límite

de la relación cuando tiende a cero:

a =

En otras palabras la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector

velocidad respecto al tiempo.

Movimiento bidimensional con aceleración constante

Se considera un movimiento bidimensional durante el cual la aceleración

permanece constante, tanto en magnitud como en dirección. El vector de

posición para una partícula que se mueve en el plano xy se escribe:

r=xi + yj

donde x,y Y r cambian con el tiempo cuando se mueve la partícula, mientras i y

j permanecen constantes. Si se conoce le vector de posición la velocidad de la

partícula puede obtenerse de:

v= vxi + vyj

Debido a que a se supone constante, sus componentes ax y ay también lo son.

Por consiguiente, es posible aplicar las ecuaciones de la cinemática a las

componentes x Y y del vector velocidad. La sustitución Vxf=Vxi +axt y Vyi + ayt

para determinar la velocidad final en el tiempo t, produce

Vf= (vxi + axt)i + (vyi + ayt)j

Vf= (vxii + vyij)+ (axi+ ayj)t

Vf=vi + at

Este resultado establece que la velocidad de una particular en algún tiempo t

es igual al vector suma de su velocidad inicial, vi, y la velocidad adicional at

adquirido en el tiempo t como resultado de su aceleración constante.

De acuerdo a la ecuación xf-xi= Vxit + axt2, se sabe que las coordenadas de x y

y de una partícula que se mueve con aceleración constante son

Xf= xi + vxit + axt2 yf= yi +vyit + ayt

2

Al sustituir estas expresiones en la ecuación r=xi + yj se obtiene

rf=( xi +vxit + axt2)I + (yi + vyit + ayt

2)j

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rf= (xii +yij) + (vxii + vyij)t + (axi +ayj)t2

rf= ri + vit + at2

Esta ecuación implica que el vector de desplazamiento es el vector suma de u

desplazamiento vit, que se obtiene de la velocidad inicial de la partícula y un

desplazamiento at2,resultado de la aceleración uniforme de la partícula.

Movimiento de proyectiles

La expresión vectorial para el vector de posición del proyectil como función del

tiempo se deduce directamente de la ecuación rf= ri + vit + at2, con ri =0 y a=g:

r= vit + gt2

En conclusión el análisis del movimiento nos permite obtener ecuaciones

cinemáticas en función del tiempo donde r(t) es posición, v(t) es la velocidad y

a(t) es la aceleración.

ax= Es la ecuación a= (aceleración)

vxf2 = vxi

2 + 2ax (xf-xi) Es la ecuación vf2 = vi

2 + 2a (Ecuación de velocidad)

Vf=vi + at Es la ecuación Vf=vi + at (Ecuación de velocidad)

rf= ri + vit + at2 Es la ecuación h=vi + vit + at2 (Ecuación de posición)

Bibliografía:

(sa).(sf). Vectores y cinemática del punto. Gobierno de canarias.org Extraído el

25 de noviembre de 2011 desde:

http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/3/Usrn/fisica/VECTYCIN.htm#0.7

Velocidad media. Velocidad instantánea.

(sa).(sf).Cinemática. FisicaNet. Extraído el 25 de noviembre de 2011 desde:

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/cinematica/ap01_cinematica.php

Serway, A. R. (2002). Física para ciencias e ingeniería ( 4° Ed.).pp. 23-82,

México: McGraw-Hill